23.4 中位&23.5 位似图形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 23. 4　 中位线 三角形的中位线 1. (3 分)如图,要测定被池塘隔开的 A,B 两点间 的距离.可以在 AB 外选一点 C,连结 AC,BC,并 分别找出它们的中点 D,E,连结 DE,现测得 AC = 30 m,BC= 40 m,DE= 24 m,则 AB=(　 　 ) A. 50 m　 　 B. 48 m　 　 C. 45 m　 　 D. 35 m 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = 3,BC = 4,AC = 2. D,E,F 分别为 AB,BC,AC 的中点,连结 DF,FE,则四边形 DBEF 的周长是(　 　 ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 3. (6 分) 【教材 P78 例 2 变式】如图,在△ABC 中,E,F 分别是边 AC,BC 的中点,AF,BE 相交 于点 D,求证:AD AF =BD BE = 2 3 . 三角形的重心 4. (3 分)给出以下结论: (1)线段的中点是线段的重心; (2)三角形的三条中线交于一点,这一点就是 三角形的重心; (3)平行四边形的重心是它的两条对角线的 交点; (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等 分点. 那么以上结论中正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. (3 分)在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,G 是 重心,如果 AG=6,那么线段 DG 的长为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 6. (3 分)(江苏泰州中考)如图所示的网格由边长 相同的小正方形组成,点 A、B、C、D、E、F、G 在小 正方形的顶点上,则△ABC 的重心是(　 　 ) A. 点 D B. 点 E C. 点 F D. 点 G 应用中位线定理求线段的长 7. (3 分)(山东济南模拟)如图,△ABC 的周长为 19,点 D,E 在边 BC 上,∠ABC 的平分线垂直于 AE,垂足为N,∠ACB 的平分线垂直于 AD,垂足 为 M,若 BC= 7,则 MN 的长度为(　 　 ) A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3 8. (3 分)如图,在△ABC 中,AB= 6,AC= 4,AD,AE 分别是角平分线和中线,过点 C 作 CF⊥AD 于 点 F,连结 EF,则线段 EF 的长为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 2 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 45 9. (3 分)如图所示,M 是△ABC 的边 BC 的中 点,AN 平分∠BAC,BN⊥AN 于点 N,且 AB = 8,MN= 3,则 AC 的长是(　 　 ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 10. ( 3 分) (河南镇平月考) 如图,BD、CE 是 △ABC 的中线,P、Q 分别是 BD、CE 的中点, 则 PQ ∶BC= 　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. (3 分) (河南南阳期末)如图,S△ABC = 12,点 D,E,F,G 分别是 BC,AD,BE,CE 的中点,则 S△AFG 的值是　 　 　 　 . 12. (6 分) (河南邓州模拟)如图,在△ABC 中, 点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,DF 过 EC 的中点 G 并与 BC 的延长线交于点 F,BE 与 DF 交于点 O. 若△ADE 的面积为 S,试求四 边形 BOGC 的面积. 13. (7 分)如图,已知四边形 ABCD 中,AB =DC, E,F 分别为 AD 与 BC 的中点,连结 FE 并延 长与 BA 的延长线交于点 N,与 CD 的延长线 交于点 M. 求证:∠BNF= ∠CMF. 14. (11 分)(江苏扬州模拟)在△ABC 中,AE 平 分∠BAC,BE⊥ AE 于点 E,点 F 是 BC 的 中点. (1)如图 1,BE 的延长线与 AC 边相交于点 D,连结 EF. 求证:EF= 1 2 (AC-AB) . (2)如图 2,连结 EF. 写出线段 AB,AC,EF 之 间的数量关系,并说明理由. 55 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 23. 5　 位似图形 位似图形和位似中心 1. (3 分)如图是△ABC 的位似图形的几种画法, 其中正确的有(　 　 ) ① ② ③ ④ A. 1 个　 　 B. 2 个　 　 C. 3 个　 　 D. 4 个 位似图形的性质 2. ( 3 分) (河南方城月考) 如图, △A′B′C′是 △ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到 的,若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是 4 ∶9,则 OB′ ∶OB 为(　 　 ) A. 2 ∶3 B. 3 ∶2 C. 4 ∶5 D. 4 ∶9 第 2 题图 　 第 3 题图 3. (3 分)(天津一模)如图,已知△ABC,任取一 点 O,连结 AO,BO,CO,并取它们的中点 D,E, F,顺次连结,得到△DEF. 下列结论 ∶①△ABC 与△DEF 是位似图形;②△ABC 与△DEF 是 相似图形;③△ABC 与△DEF 的周长比为 1 ∶ 2;④△ABC 与△DEF 的面积比为 4 ∶1. 其中结 论正确的个数是(　 　 )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (3 分)如图,△ABC 中, A、B 两个顶点在 x 轴的 上方,点 C 的坐标是(1, 0),以点 C 为位似中心, 在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C,使 △A′B′C 与△ABC 的位似比为 2 ∶1 ,设点 B 的 横坐标是 a,则点 B 的对应点 B′的横坐标 是(　 　 ) A. -2a+3 B. -2a+1 C. -2a+2 D. -2a-2 5. (8 分)如图,在由边长为 1 的小正方形组成的 网格图中有△ABC. 建立平面直角坐标系后, 点 O 的坐标是(0,0) . (1) 以 O 为位似中 心,作△A′B′C′ ∽ △ABC, 相似 比为 1 ∶ 2,且保 证 △A′ B′ C′ 在 第三象限. (2) 点 B′的坐标为 (　 　 ,　 　 ); (3)△A′B′C′的面积是　 　 　 　 . 6. (10 分) (山西太原模拟)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,连结 DE 交 OC 于点 F,作 FG⊥BC 于点 G,则△ABC 和 △FGC 是位似图形吗? 若是,请写出位似 中心, 并求出相似比; 若不是, 请说明 理由. (2)连结 DG 交 OC 于点 H,作 HI⊥BC 于点 I, 求 CI ∶BC(直接写出结果) . 65 90 60 , 解得 x= 100. 经检验,x = 100 是原分式方程 的解. ∴ 敏敏的影长为 100cm; (2)如图,连结 AE,过点 F 作 FC ∥EA 交 AB 于点 C. ∵ AB∥EF,∴ 四边形 ACFE 是平行四边形. ∴ AC=EF= 150cm. 设 BC= ycm. 根据题意, 得 BC 落在地面上的影长为 120cm, ∴ y 120 = 90 60 ,解得 y= 180. ∴ AB=AC+BC= 150+180 = 330(cm). ∴ 高圆柱的高度为 330cm. 9. (1)证明:∵ DB 平分∠ADC,∴ ∠ADB= ∠BDC. ∵ ∠ABD = ∠BCD = 90°, ∴ △ABD ∽ △BCD, ∴ BD CD = AD BD . ∴ BD2 =AD·CD; (2)解:∵ MB∥CD,∴ ∠DBM= ∠BDC, ∠CBM+∠BCD= 180°,∴ ∠CBM= 90°. 而∠ADB = ∠BDC, ∴ ∠ADB = ∠DBM, ∴ BM=DM, ∵ ∠DBM+∠ABM= 90°,∠ADB+∠A= 90°, ∴ ∠ABM= ∠A,∴ BM = AM,∴ BM = 1 2 AD = 4. BD2 =AD·CD= 8×6 = 48. 在 Rt△BCD 中,由勾股定理, 得 BC= BD2 -CD2 = 48-62 = 2 3 . 在 Rt△BCM 中,由勾股定理, 得 CM= BM2 +BC2 = 42 +(2 3 ) 2 = 2 7 . 10. 解:(1)由题意知,BM= 3tcm,CN= 2tcm, ∴ BN = ( 8 - 2t) cm, BA = 62 +82 = 10 (cm) . 当△BMN∽△BAC 时,BM BA =BN BC , ∴ 3t 10 = 8-2t 8 ,解得 t= 20 11 . 当△BMN∽△BCA 时,BM BC =BN BA , ∴ 3t 8 = 8-2t 10 ,解得 t= 32 23 . ∴ 当△BMN 和△ABC 相似时,t 的值为20 11 或 32 23 ; (2)过点 M 作 MD⊥CB 于点 D,∵ AC⊥CB, MD⊥CB,∴ △BMD∽△BAC,∴ DM = 9 5 t ( cm),BD = 12 5 t ( cm),BM = 3tcm,CN = 2tcm,∴ CD = ( 8 - 12 5 t) cm. ∵ AN⊥CM, ∠ACB = 90°, ∴ ∠CAN + ∠ACM = 90°, ∠MCD+∠ACM = 90°. ∴ ∠CAN = ∠MCD. ∵ MD⊥CB, ∴ ∠MDC = ∠ACB = 90°, ∴ △CAN ∽ △DCM, ∴ AC CN = CD DM , ∴ 6 2t = 8-12 5 t 9t 5 ,解得 t= 13 12 或 t= 0(舍去) . ∴ t= 13 12 . 23. 4　 中位线 1. B　 2. B 3. 证明:连结 EF,∵ E、F 分别是 AC、BC 的中点, ∴ EF∥AB,EF AB = 1 2 . ∴ △ADB∽△FDE, ∴ AD DF =BD DE = 2. ∴ AD AF =BD BE = 2 3 . 4. D　 5. B　 6. A 7. C　 【解析】由题可知 M,N 分别为 AD、AE 的中点, △ABE 和△ACD 是等腰三角形. 即 AB = BE,AC = CD,周长 AB+AC+BC = 19,BE+DC+BC = 19,2BC+ DE= 19,∵ BC = 7,∴ DE = 5,∵ MN 为△ADE 的中 位线,∴ MN= 1 2 DE= 5 2 . 故选 C. 8. A　 【解析】延长 CF 交 AB 与 G,∵ AD 为△ABC 的 角平分线,CG 垂直 AD,∴ △ACG 是等腰三角形,∴ AG=AC= 4,FG=CF,∴ BG = AB-AG = 6-4 = 2,∵ AE 为△ABC 的中线,∴ EF 是△BCG 的中位线,∴ EF = 1 2 BG= 1. 故选 A. 9. B　 【解析】延长 BN 交 AC 于点 D,∵ BN⊥AN,AN 平分∠BAC,∴ AB=AD,且 N 是 BD 的中点,∵ M 是 BC 中点,∴ CD= 2MN,∴ AC=AD+DC=AB+2MN= 8 +3×2 = 14. 故选 B. 10. 1 ∶4　 【解析】延长 PQ 分别交 AB、AC 于点 M、N, 由题可知 MQ = 1 2 BC,PN = 1 2 BC,MP = QN = 1 2 ED,ED= 1 2 BC. 则 MQ+PN=MP+PQ+PQ+QN=ED +2PQ= 1 2 BC+2PQ=BC. ∴ PQ= 1 4 BC,即 PQ ∶BC = 1 ∶4. 11. 4. 5 12. 解:∵ 点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点, ∴ DE∥BC,DE= 1 2 BC,∴ △ADE∽△ABC, ∴ S△ADE S△ABC = (DE BC ) 2 = 1 4 . ∵ △ADE 的面积为 S,∴ S△ABC = 4S. —61— ∵ DE∥BC,∴ ∠EDG= ∠F,∠DEG= ∠GCF, 又∵ EG=CG,∴ △DEG≌△FCG, ∴ DE=CF,∴ BF= 3DE, ∵ DE∥BC,∴ △ODE∽ △OFB, ∴ OE OB = DE BF = 1 3 , ∵ AD=BD,∴ S△BDE =S△ADE =S. ∵ AE=CE= 2EG,∴ S△DEG = 1 2 S△ADE = 1 2 S, ∵ OE OB = 1 3 ,∴ S△ODE = 1 4 S△BDE = 1 4 S, ∴ S△OEG =S△DEG-S△ODE = 1 4 S, ∵ S四边形DBCE =S△ABC-S△ADE = 3S, ∴ S四边形OBCG =S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG = 3S-S- 1 4 S= 7 4 S. 13. 证明:连结 AC,取 AC 的中点 K,连结 EK,FK. ∵ AE=ED,AK=KC,∴ EK∥DC,EK= 1 2 DC. 同理 FK∥AB,FK= 1 2 AB. ∴ FK= 1 2 AB= 1 2 DC=EK. ∴ ∠FEK= ∠EFK. ∵ EK∥DC,∴ ∠CMF= ∠FEK. ∵ FK∥AB,∴ ∠BNF= ∠EFK, ∴ ∠BNF= ∠CMF. 14. (1)证明:AE⊥BD,∴ ∠AED= ∠AEB= 90°, ∴ ∠BAE+∠ABE= 90°,∠DAE+∠ADE= 90°. ∵ ∠BAE = ∠DAE,∴ ∠ABE = ∠ADE,∴ AB = AD. ∵ AE⊥BD,∴ BE=DE. ∵ BF = FC, ∴ EF = 1 2 DC = 1 2 ( AC - AD) = 1 2 (AC-AB) . (2)解:EF = 1 2 (AB-AC),理由如下:延长 AC 交 BE 的延长线于点 P. ∵ AE⊥BP,∴ ∠AEP= ∠AEB= 90°. ∴ ∠BAE+∠ABE= 90°,∠PAE+∠APE= 90°. ∵ ∠BAE = ∠PAE,∴ ∠ABE = ∠APE,∴ AB = AP. ∵ AE⊥BE,∴ BE=PE. ∵ BF = FC,∴ EF = 1 2 PC = 1 2 ( AP -AC) = 1 2 (AB-AC) . 23. 5　 位似图形 1. D　 2. A 3. C　 【解析】根据位似图形的性质得出①△ABC 与 △DEF 是位似图形;②△ABC 与△DEF 是相似图 形;将△ABC 的三边缩小为的原来的 1 2 ,∴ △ABC 与△DEF 的周长比为 2 ∶1,故③选项错误;④根据 面积比等于相似比的平方,∴ △ABC 与△DEF 的 面积比为 4 ∶1. 故选 C. 4. A　 【解析】设点 B′的横坐标为 x,则 B、C 间的水平 距离为 a-1,B′、C 间的水平距离为-x+1. ∵ △ABC 放大到原来的 2 倍得到△A′B′C,∴ 2(a-1)= -x+ 1,解得 x= -2a+3. 故选 A. 5. 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求; (2) -2　 -1 (3)2. 5　 【解析】△A′B′C′的面积为 3×2- 1 2 ×2 ×1×2- 1 2 ×3×1 = 2. 5. 6. 解:(1)∵ FG⊥BC,AB⊥BC,∴ FG∥AB,∴ △ABC∽ △FGC,△ABC 与△FGC 对应顶点的连线 相交于一点,对应边互相平行或重合, ∴ △ABC 与△FGC 是位似图形,位似中心是 点 C. ∵ BO = OD, OE∥CD, ∴ △BOE ∽ △BDC,∴ DC OE = BD OB = 2. ∴ △OFE∽△CFD, ∴ CF FO = DC OE = 2. ∴ CG CE = 2 3 , ∴ CG CB = 1 3 . 则 △ABC 与△FGC 的位似比为 3; (2)CI ∶BC= 1 ∶4. 23. 6　 图形与坐标 第 1 课时　 用坐标确定位置 1. C　 2. C　 3. B　 4. A　 5. B　 6. C 7. 解:(1)(3)如图所示: (2)由坐标系可得出:体育场坐标为:( -4,3), 宾馆坐标为:(2,2),超市坐标为(2,-3). 第 2 课时　 图形的变换与坐标 1. B　 2. (5,4)　 3. D　 4. B 5. A′(0,0),B′(4,0),C′(2,-3) 6. (2,-3)　 7. C　 8. A　 9. C 10. A　 【解析】∵ △ABC 与△CDE 为等腰直角三角 —71—