23.2 相似图形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 23. 2　 相似图形　 　 相似图形的识别 1. (3 分)下列说法中正确的是(　 　 ) A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的等腰梯形都相似 2. (3 分)观察图形,并填空: 　 　 图甲　 　 图乙 图乙中与图甲(1)相似的图形有　 　 　 ;与图 甲(2)相似的图形有　 　 　 ;与图甲(3)相似 的图形有　 　 　 . (只填序号①,②等) 相似多边形的性质 3. ( 3 分 ) 若 多 边 形 ABCDEF 与 多 边 形 A1B1C1D1E1F1 是相似图形,且∠A 与∠A1 是 对应角,∠A= 58°,则∠A1 等于(　 　 ) A. 32°　 　 B. 122°　 　 C. 58°　 　 D. 48° 4. (3 分)(浙江杭州模拟)如图,四边形 ABCD 与 四边形 A1B1C1D1 相似,AB = 12,CD = 15,A1B1 = 9,则 C1D1 的长是(　 　 ) A. 10　 B. 12　 C. 45 4 　 D. 36 5 第 4 题图 　 第 5 题图 5. ( 3 分) ( 福 建 福 州 中 考) 如图, 正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 相似,若 AB ∶FG = 2 ∶3,则下列结论正确的是(　 　 ) A. 2DE= 3MN B. 3DE= 2MN C. 3∠A= 2∠F D. 2∠A= 3∠F 6. (8 分)【教材 P59 例题变式】在如图的两个相 似五边形中,求未知的边 x,y,z,m 的长度和角 a 的大小. 　 相似多边形的判定 7. (3 分)如图,在三个矩形中,相似的是(　 　 ) A. 甲和丙 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙 8. (3 分)在四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′中, ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′, ∠D = ∠D′,且 AB A′B′ = BC B′C′ = CD C′D′ = DA D′A′ = 2 3 ,则四边 形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′　 　 　 　 ,且它们 的对应边的比是　 　 　 　 . 对相似多边形的概念理解不透彻 9. (3 分)把一个多边形按 1 ∶3的比例缩小,则下 列说法正确的是(　 　 ) A. 各边都扩大到原来的 3 倍,各角不变 B. 各边和各角都缩小到原来的 1 3 C. 各边和各角都扩大到原来的 3 倍 D. 各边都缩小到原来的 1 3 ,各角不变 04 10. (3 分) (重庆中考)要制作两个形状相同的 三角形框架,其中一个三角形的三边长分别 为 5 cm,6 cm 和 9 cm,另一个三角形的最短 边长为 2. 5 cm,则它的最长边长为(　 　 ) A. 3 cm B. 4 cm C. 4. 5 cm D. 5 cm 11. (3 分)(山东济宁中考)如图,在长为 8 cm、 宽为 4 cm 的矩形中,截去一个矩形,使得留 下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则 留下的矩形的面积是(　 　 ) A. 2 cm2 　 B. 4 cm2 　 C. 8 cm2 　 D. 16 cm2 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. (3 分)如图,已知矩形 ABCD 中,AB = 2,在 BC 上取一点 E,沿 AE 将△ABE 向上折叠, 使 B 点落在 AD 上的 F 点处. 若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似,则 AD = ( 　 　 ) A. 5 B. 5 +1 C. 4 D. 2 3 13. (3 分)(河南沈丘月考)我们通常用到的一种 复印纸,整张称为 A1 纸(如图 1),按下图方式 对折一分为二,裁开成为 A2 纸(如图 2),再一 分为二成为 A3 纸(如图 3) .它们都是相似的 矩形,这些矩形的长与宽的比值都是一个定 值,这个定值是(　 　 ) A. 3 ∶2　 　 B. 2 ∶1　 　 C. 4 ∶3　 　 D. 2 ∶3 14. (3 分)【综合性试题】制作一块 3 m×2 m 的 长方形广告牌的成本是 120 元,在每平方米 制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四 边都扩大到原来的 3 倍,那么扩大后长方形 广告牌的成本是(　 　 ) A. 360 元　 　 　 　 　 　 B. 720 元 C. 1 080 元 D. 2 160 元 15. (3 分)(河南南阳期中)矩形的两边分别为 x 和 6( x< 6),把它按如图方式分割成三个全 等的小矩形,每一个小矩形与原来相似,则 x= 　 　 　 　 . 16. (10 分)在 AB = 20 m,AD = 30 m 的矩形花坛 四周修筑小路. (1)如果四周的小路的宽均相等,都是 a m, 如图 ①, 那么小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似吗? 请说明 理由. (2)如果相对着的两条小路的宽均相等,宽 分别为 x m,y m,如图②,试问 x 与 y 的 比值为多少时,能使小路四周所围成的 矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似? 请说 明理由. 14 ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段. (2)∵ a b = 5 1 = 5 , c d = 15 3 = 5 ,∴ a b = c d , ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段. 5. B　 6. A　 7. A 8. 证明:∵ a b = c d ,∴ ad= bc. 等式两边都加上 ac,得 ad+ac= bc+ac, ∴ a(c+d)= c(a+b) . 由 a+b≠0,且 a b = c d ,知 c+d≠0, 上式两边都除以(a+b)(c+d),得 a a+b = c c+d . 9. 15 或12 5 或 20 3 10. B 11. A　 【解析】∵ 2a= k(b+c),2b = k(a+c),2c = k(a+ b),∴ 2(a+b+c)= 2k(a+b+c) . ∵ a、b、c 为△ABC 的三边,∴ a+b+c≠0,∴ k= 1. 故选 A. 12. 解:DE,DF,AB,AC 是成比例线段. 理由如下:易知 AC = 2,由勾股定理,得 DE = 12 +22 = 5 ,DF= 12 +32 = 10 ,AB = 12 +12 = 2 ,∴ DE DF =AB AC = 2 2 . ∴ DE,DF,AB,AC 是成比 例线段. 13. 解:(1) AB,AD,BF,DE 这四条线段是成比例线 段. 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,DE⊥AB,BF⊥AD,∴ S平行四边形ABCD = AB ×DE=AD×BF,∴ AB AD = BF DE ,∴ AB,AD,BF, DE 这四条线段是成比例线段. (2)由(1)知AB AD = BF DE . ∵ AB = 10,DE = 2. 5,BF = 5,∴ AD=AB ×DE BF = 10×2. 5 5 = 5,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BC=AD= 5. 14. 解:(1) 设 AD= 1,CD= x,则 AC= 1-x. ∵ AC ∶CD=CD ∶AD,∴ CD2 =AC×AD, ∴ x2 = 1 - x,∴ x = -1± 5 2 . ∵ x > 0, ∴ x = 5 -1 2 , ∴ CD ∶AD= 5 -1 2 ,即黄金分割数为 5 -1 2 . (2)设 AB= 2m,则 BD=m,∴ DE=BD=m, ∵ BD⊥AB,∴ ∠ABD= 90°, ∴ AD= AB2 +BD2 = (2m) 2 +m2 = 5m, ∴ AE=AD-DE= 5m-m= ( 5 -1)m, ∴ AC=AE= ( 5 -1)m, ∴ AC ∶AB= ( 5 -1)m ∶2m= ( 5 -1) ∶2, ∴ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点. (3) 5 -2 第 2 课时　 平行线分线段成比例 1. C　 2. B　 3. C 4. 解:∵ AD∥BE∥CF,∴ AB BC =DE EF = 2 5 ,∴ AB AC = 2 7 . ∵ AC = 14,∴ AB= 4,∴ BC= 14-4 = 10. 5. C 6. 解:∵ DE∥AC,BE= 6,EC= 10, ∴ BD ∶DA=BE ∶EC= 6 ∶10 = 3 ∶5. 又∵ DF∥BC,∴ FC ∶FA=BD ∶DA= 3 ∶5. 而 FA-FC= 3,∴ FA=FC+3, ∴ FC ∶(FC+3)= 3 ∶5. ∴ FC= 4. 5. 7. C 8. B　 【解析】∵ DE∥FG∥BC,∴ AF DB = AG EC . 而 AD ∶DF ∶ FB= 3 ∶ 2 ∶ 1,∴ AF DB = 5 3 . ∴ 15 EC = 5 3 ,∴ EC = 9. 故选 B. 9. A　 10. A　 11. 1 3 　 12. 2 3( ) n ·c 13. 证明:(1)∵ EF∥CD,∴ AF FD = AE EC . ∵ DE∥BC,∴ AD BD = AE EC . ∴ AF FD = AD BD . (2)∵ AD ∶BD= 2 ∶1,∴ BD= 1 2 AD. ∴ AD+ 1 2 AD= 15. ∴ AD= 10. ∵ AF ∶FD = AD ∶DB,∴ AF ∶FD = 2 ∶ 1. ∴ AF= 2DF. ∵ AF+DF = 10,∴ 2DF+DF = 10,∴ DF = 10 3 . 14. 证明:过点 C 作 CE∥DA,交 BA 的延长线于 E. ∵ CE∥AD,∴ BD CD =AB EA ,∠2 = ∠ACE,∠1 = ∠E. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠ACE = ∠E,∴ AE = AC. ∵ DB CD =BA AE ,∴ AB AC =BD CD . 23. 2　 相似图形 1. B　 2. ④　 ②⑤　 ⑥　 3. C　 4. C　 5. B 6. 解:∵ 两个五边形相似,∴ x 3 = y 4 = 1. 8 z = m 2 = 3 5 , 解得 x= 1. 8,y= 2. 4,z= 3,m= 1. 2. ∵ 五边形的内角和为(5-2) ×180° = 540°, ∠a= 540°-90°-125°-60°-105° = 160°. 7. A　 8. 相似　 2 ∶3　 9. D 10. C　 【解析】2. 5÷5×9 = 4. 5(cm) . 故选 C. 11. C　 【解析】阴影宽 4 ÷ 8 × 4 = 2( cm),面积 2 × 4 = 8(cm2) . 故选 C. 12. B　 【解析】∵ AB AD =FD DC ,DC =AB,∴ FD·AD=AB· —11— AB= 4,设 FD 为 x. AD = 2+x,则 x(2+x)= 4,( x+ 1) 2 = 5,x1 = 5 -1,x2 = - 5 -1(舍去),∴ AD= 5 - 1+2 = 5 +1. 故选 B. 13. B　 14. C 15. 2 3 　 【解析】∵ 原矩形的长为 6,宽为 x,小矩形 与原矩形相似,∴ 小矩形的长为 x,宽为 2. ∴ x 6 = 2 x ,∴ x= 2 3 或-2 3 (舍) . 16. 解:(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四 周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 不相似; 由题意,得30 +2a 30 = 15+a 15 ,20 +2a 20 = 10+a 10 ,∴ 30+2a 30 ≠20 +2a 20 . ∴ 小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩 形 ABCD 不相似; (2) 当 x y = 2 3 时, 小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和 矩 形 ABCD 相 似, 20 +2x 20 = 30+2y 30 ,解得 x y = 2 3 . ∴ 路的宽 x 与 y 的比值为 2 ∶3时,能使小 路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似. 23. 3　 相似三角形 第 1 课时　 相似三角形 1. C　 2. C 3. 解:(1) ∵ ∠A = 45°,∠ACB = 40°,∴ ∠ABC = 95°. ∵ △ABC∽△ADE,∴ ∠AED= ∠ACB= 40°, ∴ ∠ADE= ∠ABC= 95°. (2)∵ △ADE∽△ABC,∴ AE AC =DE BC . ∵ AE= 50cm,EC= 30cm,BC = 70cm,∴ DE = 175 4 cm. 4. C　 5. 3 7 6. 解:∵ 一个三角形的三边长分别为 3、4、5,与其相 似的三角形的最长的边为 30,∴ 其相似比 = 5 30 = 1 6 . 设较大三角形的周长为 L,3 +4+5 L = 1 6 ,解 得 L= 72. ∴ 较小三角形与较大三角形周长的 比是 1 6 . 7. C 8. A　 【解析】∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,∴ DE BC = AD AB = AD AD+DB = 4 4+2 = 2 3 . 故选 A. 9. C 10. 1 ∶2　 【解析】∵ EF∥BC,∴ AE AB = EM BN =MF NC ,∴ BN NC = EM MF = 1 2 ,即 BN ∶NC= 1 ∶2. 11. A　 【解析】 AB CD =BO DO ,故①错;AB CD = AO CO ,故②错;OA OC =OB OD ,故③错;④正确. 故选 A. 12. C 13. B　 【解析】∵ D 为 AB 的中点,∴ AD =BD = 1 2 AB. ∵ AB= 10,∴ DB= AD = 5. ∵ DF =DB,∴ DF = 5. ∵ BF 平分∠ABC,∴ ∠DBF = ∠CBF. ∵ DB =DF,∴ ∠DBF = ∠DFB,∴ ∠DFB = ∠CBF,∴ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC. ∴ AD AB =DE BC . ∵ AD = 5,AB = 10,BC = 16, 5 10 =DE 16 ,∴ DE = 8. ∵ DF = 5,∴ FE =DE-DF = 8-5 = 3. 故选 B. 14. 6　 【解析】∵ ▱ABCD 中,AD∥BC,且 AD =BC,AE = 2 3 AD,∴ △AEF∽△CBF,∴ AE CB = AF CF = 2 3 ,∵ AC =AF+CF= 15,∴ AF= 15× 2 3+2 = 6. 15. 解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∴ △FND∽△ENB. ∵ N 为 BD 的 三等分点,∴ FN NE =DN BN = 1 2 . 16. 证明:(1)∵ 四边形 EFGH 是正方形,∴ EH∥BC, ∴ △AEH∽△ABC. (2)设 AD 与 EH 交于点 M. ∵ ∠EFD= ∠FEM= ∠FDM= 90°, ∴ 四边形 EFDM 是矩形,∴ EF=DM. 设正方形 EFGH 的边长为 xcm, ∵ △AEH∽△ABC,∴ EH BC =AM AD , ∴ x 40 = 30-x 30 ,∴ x= 120 7 ,∴ x2 = 14 400 49 . ∴ 正 方 形 的 边 长 为 120 7 cm, 面 积 为 14 400 49 cm2 . 第 2 课时　 相似三角形的判定(1) 1. A 2. D 　 【解析】 △ADE ∽ △ABC ∽ △ACD, △BDC ∽ △CED,即 4 对. 故选 D. 3. D　 4. C 5. 证明:∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ACD+∠BCD= 90°. ∵ CD ⊥AB,∴ ∠A+∠ACD = 90°,∴ ∠BCD = ∠A. 又 ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90°, ∴ △ACD ∽ △ABC. 6. 2 或 4. 5　 【解析】∵ ∠EAF = ∠BAC,∴ 当∠AEF = —21—