23.1 成比例线段-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

23. 1　 成比例线段 第 1 课时　 成比例线段 两条线段的比 1. (3 分)已知线段 AB,在 BA 的延长线上取一点 C,使 CA = 3AB,则线段 CA 与线段 CB 之比 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 ∶4 B. 2 ∶3 C. 3 ∶5 D. 1 ∶2 2. (3 分)在 1 ∶1 000 000 的地图上,A,B 两点之 间的距离是 5 cm,则 A,B 两地的实际距离 是(　 　 ) A. 5 km B. 50 km C. 500 km D. 5 000 km 成比例线段 3. (3 分)下列线段 a、b、 c、d 中成比例线段的 是(　 　 ) A. a= 2,b= 4,c= 6,d= 12 B. a= 4,b= 5,c= 3,d= 6 C. a= 1,b= 15 ,c= 5 ,d= 2 D. a= 2,b= 4,c= 5,d= 8 4. (8 分)判断下列线段 a、b、c、d 是不是成比例 线段. (1)a= 0. 4,b= 0. 8,c= 0. 6,d= 0. 3; (2)a= 5 ,b= 1,c= 15 ,d= 3 . 比例的基本性质 5. (3 分)(甘肃中考)已知 a 2 = b 3 (a≠0,b≠0), 下列变形错误的是(　 　 ) A. a b = 2 3 B. 2a= 3b C. b a = 3 2 D. 3a= 2b 6. (3 分)(黑龙江牡丹江中考)若 x ∶y= 1 ∶3,2y= 3z,则2x +y z-y 的值是(　 　 ) A. -5 B. -10 3 C. 10 3 D. 5 7. (3 分)下列推理错误的是(　 　 ) A. 若 a b = c d ,则a 2 b2 = c d B. 若 a b = c d ,且 b=d,则 a= c C. 若 a b = c d ,则a +c b+d = c d (b+d≠0) D. 若 b2 =ac,则 a b = b c 8. (8 分)已知 a b = c d (a+b≠0),求证: a a+b = c c+d . 四条线段成比例但顺序不确定时,没 有分类讨论出错 9. (3 分)已知三条线段长分别是 4 cm,6 cm 和 10 cm,则再加一条　 　 　 　 cm 的线段,才能 使这四条线段成比例. 10. (3 分)如果 a b = c d ,那么下列等式中不一定 成立的是(　 　 ) A. a +b b = c+d d B. a +c b+d = a b C. a 2 b2 = c 2 d2 D. ad= bc 63 11. (3 分)已知 a,b,c 为△ABC 的三边,且 2a b+c = 2b a+c = 2c a+b = k,则 k 的值为(　 　 ) A. 1 B. 1 2 或-1 C. -2 D. 1 或-2 12. (5 分)如图,在边长为 1 的 5×5 的正方形网 格中有两个三角形,它们的顶点都在格点 上. 问 DE,DF,AB,AC 是成比例线段吗? 请 说明理由. 13. (10 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形, DE⊥AB 于点 E,BF⊥AD 交 AD 的延长线于 点 F. (1)AB,AD,BF,DE 这四条线段是不是成比 例线段? 请说明理由. (2)若 AB= 10,DE= 2. 5,BF= 5,求 BC 的长. 14. (12 分) (安徽宿州期中)请阅读下列材料, 并完成相应的任务: 公元前 300 年前后,欧几里得撰写的《几何 原本》系统地论述了黄金分割,成为最早的 有关黄金分割的论著. 黄金分割( goldensec- tion)是指把一条线段分割为两部分,使较大 部分与全长的比值等于较小部分与较大部 分的比值. 如图①,在线段 AD 上找一个点 C,C 把 AD 分为 AC 和 CD 两段,其中 AC 是较小的一段, 如果 AC ∶CD = CD ∶AD,那么称线段 AD 被 C 点黄金分割,点 C 叫做线段 AD 的黄金分割 点,AC 与 CD 的比值叫做黄金分割数. 为简单起见,设 AD= 1,CD= x,则 AC= 1-x. ∵ AC ∶CD=CD ∶AD,∴ …… 任务: (1)请根据上面的部分解题过程,求黄金分 割数. (2)如图②,采用如下方法可以得到黄金分 割点: ①设 AB 是已知线段,过点 B 作 BD⊥AB 且使 BD= 1 2 AB; ②连结 DA,在 DA 上截取 DE=DB; ③在 AB 上截取 AC=AE; 则点 C 即为线段 AB 的黄金分割点,你能 说说其中的道理吗? (3)已知线段 AB= 1,点 C,D 是线段 AB 上的 两 个 黄 金 分 割 点, 则 线 段 CD 的 长是　 　 　 　 . 73 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 2 课时　 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 1. (3 分)【教材 P53 例 3 变 式】如图,直线 l1∥l2∥l3, 直线 AC 和 DF 被 l1,l2 ,l3 所截, AB = 5, BC = 6, EF = 4, 则 DE 的长 为(　 　 ) A. 3　 　 　 B. 5 3 　 　 　 C. 10 3 　 　 　 D. 24 5 2. (3 分)如图,DE∥FG∥BC,若 DB = 4FB,则 EG 与 GC 的关系是(　 　 ) A. EG= 4GC B. EG= 3GC C. EG= 5 2 GC D. EG= 2GC 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. (3 分)(河南许昌二模)如图,在△ABC 中,DE ∥BC,若AD AB = 3 5 ,则AE CE 的值为(　 　 ) A. 3　 B. 2 3 　 C. 3 2 　 D. 5 3 4. (6 分)如图,已知 AD∥BE∥CF,它们依次交直 线 l1,l2 于点 A、B、C 和点 D、E、F, DE EF = 2 5 ,AC = 14. 求线段 AB, BC 的长. 平行线分线段成比例的推论 5. (3 分) 如图,在△ABC 中,若 DE∥BC,EF∥ AB,则下列比例正确的是(　 　 ) A. AD DB =DE BC B. BF BC =EF AD C. AE EC =BF FC D. EF AB =DE BC 6. (6 分)(河南鹤壁期中)如图,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,CA 上,DE∥AC,DF∥ BC. 如果 BE = 6,EC = 10,FA-FC = 3,求 FC 的长. 7. (3 分)(河南南阳期末)如图,在△ABC 中,DE ∥BC,以下结论正确是(　 　 ) A. AE AC = AD BD 　 　 B. AE AC =BD AB C. AE CE = AD BD 　 　 D. AC CE = AD BD 83 8. (3 分)如图,在△ABC 中,点 D,F 在 AB 边上, 点 E,G 在 AC 边上,DE∥FG∥BC,且 AD ∶DF ∶ FB= 3 ∶2 ∶1. 若 AG= 15,则 CE 的长为(　 　 ) A. 6　 　 B. 9　 　 C. 12　 　 D. 15 第 8 题图 　 第 9 题图 　 第 10 题图 9. (3 分)如图,在△ABC 中,点 D,E,F 在 AB, AC,BC 边上,DE∥BC,EF∥AB,若 AD = 2BD, 则 CF BF 的值为(　 　 ) A. 1 2 　 B. 1 3 　 C. 1 4 　 D. 2 3 10. (3 分) (河南西峡期末)如图,已知直线 a∥ b,AP ∶ PB = 3 ∶ 2,CD = n,则线段 CP 的值 等于(　 　 ) A. 3 5 n B. 3 2 n C. 2 5 n D. 2 3 n 11. (3 分) (河南三门峡一模)如图,EF∥AB∥ CD,AC 与 BD 相交于点 E. 若 CE= 4,CF= 3, AE=BC,则DE BE 的值是　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. (3 分) 【教材 P54 页读一读变式】如图,在 △ABC 中,AB= c,作 BC 边的三等分点 C1,使 得 CC1 ∶BC1 = 1 ∶2,过点 C1 作 AC 的平行线 交 AB 于点 A1;再作 BC1 的三等分点 C2,使 得 C1C2 ∶BC2 = 1 ∶2,过点 C2 作 AC 的平行线 交 AB 于点 A2; …;如此进行下去,则线段 AnB 的长度为　 　 　 　 . 13. (10 分)如图,在△ABC 中,EF∥CD,DE∥BC. (1)求证:AF ∶FD=AD ∶DB; (2)若 AB= 15,AD ∶BD= 2 ∶1,求 DF 的长. 14. (8 分)(浙江杭州模拟) 【综合性试题】请阅 读以下有关角平分线分线段成比例定理的 材料,并完成相应的问题. 如图 1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则AB AC = BD CD . 下面是这个 定理的部分证明过程. 证明 ∶如图2,过点 C 作 CE∥DA,交 BA 的延 长线于点 E…… 请按照上面的证明思路,写出证明过程. 93 ∵ 40-x>25,∴ x<15,则 0<x<15,∴ x= 10. 即每件商品应降价 10 元时,该商店每天销 售利润为 1 200 元. 5. C　 【解析】设每件应降价 x 元. 由题可知(20-x) (40+10x)= 1 080. 整理可得 x2 -16x+28 = 0,(x-2) (x-14) = 0,x1 = 2,x2 = 14. ∵ 每件盈利不低于 10 元,即 20-x≥10,∴ x≤10,∴ x2 = 14 不合题意,应 舍去,∴ x= 2. 故选 C. 6. 84　 【解析】设这个两位数的个位数字为 x,则十位 数字为(x+4),依题意,得 x2 +(x+4) 2 -[10(x+4)+ x] = -4. 解得 x1 = 4,x2 = - 5 2 . 又∵ x 为非负整数,∴ x= 4,∴ 10(x+4)+x= 10×(4+4)+4 = 84. 7. 解:根据题意,得 m(m+1) +m+1 = 121,即(m+1) 2 = 121,∴ m+1 = ±11,∴ m1 = 10,m2 = -12(舍去) . 故 m 的值为 10. 追梦第 22 章章末复习　 一元二次方程 1. D 2. D　 【解析】∵ m-3≠0 且 m+2≥0,∴ m≥-2 且 m ≠3. 故选 D. 3. A　 【解析】将 x=m 代入方程 x2 -x-1 = 0,得 m2 -m -1 = 0,即 m2 -m= 1. ∴ 原式= 1+2 022 = 2 023. 故选 A. 4. x1 = 0,x2 = 5　 【解析】把方程 a(x-2) 2 +b(x-2)+2 = 0 看作关于(x-2)的一元二次方程. ∵ 关于 x 的 方程 ax2 +bx+2 = 0 的两根为 x1 = -2,x2 = 3,∴ x-2 = -2 或 x-2 = 3. 解得 x= 0 或 x= 5. ∴ 方程 a(x-2) 2 + b(x-2)+2 = 0 的两根分别为 x1 = 0,x2 = 5. 5. 解:设这两个方程的根分别为 a 和-a. 把 x=a 代入方程 x2 -2 016x+m2 -3m= 0, 得 a2 -2 016a+m2 -3m= 0①. 把 x= -a 代入方程 x2 +2 016x-m2 +3m= 0, 得 a2 -2 016a-m2 +3m= 0②. ①-②,得 2m2 -6m= 0,解得 m= 3 或 m= 0. 6. 解:(1)变形得,( t-3) 2 = 9 4 ,t-3 = ± 3 2 ,t1 = 9 2 ,t2 = 3 2 ; (2)变形得,x2 - 7 2 x+( 7 4 ) 2 = 2+( 7 4 ) 2,(x- 7 4 ) 2 = 81 16 , x- 7 4 = ± 9 4 ,x1 = 4,x2 = - 1 2 ; (3)变形得,3x2 +10x+5 = 0, x= -10± 102 -4×3×5 2×3 = -5± 10 3 ; x1 = -5+ 10 3 ,x2 = -5- 10 3 ; (4)变形得,3(x-5) 2 +2(x-5) = 0,(x-5) (3x- 15+2)= 0,(x-5)(3x-13)= 0,x1 = 5,x2 = 13 3 . 7. A 8. B　 【解析】∵ b2 -4ac= 32 -(-1)·4k = 9+4k≥0,∴ k≥- 9 4 且 k≠0. 故选 B. 9. D 10. 解:(1)Δ= (2k+1) 2 -4×1×4(k- 1 2 )= 4(k- 3 2 ) 2 ≥ 0. ∴ 无论 k 取何值,此方程总有实数根; (2)若 x= 1 是这个方程的一个根,则 1-(2k+ 1) +4(k- 1 2 )= 0,解得 k= 1. ∴ 关于 x 的方程 x2 -3x+2 = 0. 解方程得 x1 = 1,x2 = 2. ∴ 方程的另一根是 2. 11. A　 【解析】设平均每个月的增长率为 x,根据题 意,得 1 000(1+x) 2 = 1 440. 解得 x1 = 0. 2, x2 = -2. 2(舍去) . 第四季度实现生活垃圾分类的社区 达到 1 440×(1+0. 2)= 1 728(个) . 故选 A. 12. C 13. 10x+(x+3)= (x+3) 2 14. 8　 【解析】每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台 电脑,列方程得 1+x+x(1+x)= 81,解得 x1 = -10 (舍去),x2 = 8. 故每轮感染中平均一台电脑会感 染 8 台电脑. 15. 2 米　 【解析】设道路的宽为 x 米,根据题意得(62 -x)(42-x)= 2 400. 解得 x1 = 2,x2 = 102(舍去) . 故道路的宽为 2 米. 16. 解:设动点 P,Q 运动 t 秒后,能使四边形 APQC 的 面积为 9cm2,则 BP 为(8-t) cm,BQ 为 2t cm. ∵ 6÷2 = 3(s),∴ 1 2 ×(8-t) ×2t = 1 2 ×8×6-9,解 得 t1 = 3,t2 = 5(舍去) . ∴ 动点 P,Q 运动 3 秒 时,能使四边形 APQC 的面积为 9cm2 . 17. 解:(1)(20+2x)　 (40-x) (2)由题意得:(90-x-50)(20+2x)= 1 200, 解得 x1 = 20,x2 = 10. ∵ 20>10,∴ 当 x 取 20 时,平均每天销售 盈利 1 200 元,同时又要使顾客得到较多 的实惠; (3)不可能,理由如下: 依题意得(90-x-50)(20+2x)= 2 000, 整理,得 x2 -30x+600 = 0. Δ= ( -30) 2 -4×600 = 900-2 400 = -1 500< 0, 则原方程无实数解. 则不可能每天盈利 2 000 元. 第 23 章　 图形的相似 23. 1　 成比例线段 第 1 课时　 成比例线段 1. A　 【解析】CA= 3AB,CA ∶CB=CA ∶(AB+CA)= 3AB ∶ 4AB= 3 ∶4. 故选 A. 2. B　 3. A 4. 解:(1)∵ a b = 0. 4 0. 8 = 1 2 , d c = 0. 3 0. 6 = 1 2 ,∴ a b = d c , —01— ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段. (2)∵ a b = 5 1 = 5 , c d = 15 3 = 5 ,∴ a b = c d , ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段. 5. B　 6. A　 7. A 8. 证明:∵ a b = c d ,∴ ad= bc. 等式两边都加上 ac,得 ad+ac= bc+ac, ∴ a(c+d)= c(a+b) . 由 a+b≠0,且 a b = c d ,知 c+d≠0, 上式两边都除以(a+b)(c+d),得 a a+b = c c+d . 9. 15 或12 5 或 20 3 10. B 11. A　 【解析】∵ 2a= k(b+c),2b = k(a+c),2c = k(a+ b),∴ 2(a+b+c)= 2k(a+b+c) . ∵ a、b、c 为△ABC 的三边,∴ a+b+c≠0,∴ k= 1. 故选 A. 12. 解:DE,DF,AB,AC 是成比例线段. 理由如下:易知 AC = 2,由勾股定理,得 DE = 12 +22 = 5 ,DF= 12 +32 = 10 ,AB = 12 +12 = 2 ,∴ DE DF =AB AC = 2 2 . ∴ DE,DF,AB,AC 是成比 例线段. 13. 解:(1) AB,AD,BF,DE 这四条线段是成比例线 段. 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,DE⊥AB,BF⊥AD,∴ S平行四边形ABCD = AB ×DE=AD×BF,∴ AB AD = BF DE ,∴ AB,AD,BF, DE 这四条线段是成比例线段. (2)由(1)知AB AD = BF DE . ∵ AB = 10,DE = 2. 5,BF = 5,∴ AD=AB ×DE BF = 10×2. 5 5 = 5,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BC=AD= 5. 14. 解:(1) 设 AD= 1,CD= x,则 AC= 1-x. ∵ AC ∶CD=CD ∶AD,∴ CD2 =AC×AD, ∴ x2 = 1 - x,∴ x = -1± 5 2 . ∵ x > 0, ∴ x = 5 -1 2 , ∴ CD ∶AD= 5 -1 2 ,即黄金分割数为 5 -1 2 . (2)设 AB= 2m,则 BD=m,∴ DE=BD=m, ∵ BD⊥AB,∴ ∠ABD= 90°, ∴ AD= AB2 +BD2 = (2m) 2 +m2 = 5m, ∴ AE=AD-DE= 5m-m= ( 5 -1)m, ∴ AC=AE= ( 5 -1)m, ∴ AC ∶AB= ( 5 -1)m ∶2m= ( 5 -1) ∶2, ∴ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点. (3) 5 -2 第 2 课时　 平行线分线段成比例 1. C　 2. B　 3. C 4. 解:∵ AD∥BE∥CF,∴ AB BC =DE EF = 2 5 ,∴ AB AC = 2 7 . ∵ AC = 14,∴ AB= 4,∴ BC= 14-4 = 10. 5. C 6. 解:∵ DE∥AC,BE= 6,EC= 10, ∴ BD ∶DA=BE ∶EC= 6 ∶10 = 3 ∶5. 又∵ DF∥BC,∴ FC ∶FA=BD ∶DA= 3 ∶5. 而 FA-FC= 3,∴ FA=FC+3, ∴ FC ∶(FC+3)= 3 ∶5. ∴ FC= 4. 5. 7. C 8. B　 【解析】∵ DE∥FG∥BC,∴ AF DB = AG EC . 而 AD ∶DF ∶ FB= 3 ∶ 2 ∶ 1,∴ AF DB = 5 3 . ∴ 15 EC = 5 3 ,∴ EC = 9. 故选 B. 9. A　 10. A　 11. 1 3 　 12. 2 3( ) n ·c 13. 证明:(1)∵ EF∥CD,∴ AF FD = AE EC . ∵ DE∥BC,∴ AD BD = AE EC . ∴ AF FD = AD BD . (2)∵ AD ∶BD= 2 ∶1,∴ BD= 1 2 AD. ∴ AD+ 1 2 AD= 15. ∴ AD= 10. ∵ AF ∶FD = AD ∶DB,∴ AF ∶FD = 2 ∶ 1. ∴ AF= 2DF. ∵ AF+DF = 10,∴ 2DF+DF = 10,∴ DF = 10 3 . 14. 证明:过点 C 作 CE∥DA,交 BA 的延长线于 E. ∵ CE∥AD,∴ BD CD =AB EA ,∠2 = ∠ACE,∠1 = ∠E. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠ACE = ∠E,∴ AE = AC. ∵ DB CD =BA AE ,∴ AB AC =BD CD . 23. 2　 相似图形 1. B　 2. ④　 ②⑤　 ⑥　 3. C　 4. C　 5. B 6. 解:∵ 两个五边形相似,∴ x 3 = y 4 = 1. 8 z = m 2 = 3 5 , 解得 x= 1. 8,y= 2. 4,z= 3,m= 1. 2. ∵ 五边形的内角和为(5-2) ×180° = 540°, ∠a= 540°-90°-125°-60°-105° = 160°. 7. A　 8. 相似　 2 ∶3　 9. D 10. C　 【解析】2. 5÷5×9 = 4. 5(cm) . 故选 C. 11. C　 【解析】阴影宽 4 ÷ 8 × 4 = 2( cm),面积 2 × 4 = 8(cm2) . 故选 C. 12. B　 【解析】∵ AB AD =FD DC ,DC =AB,∴ FD·AD=AB· —11—