22.3 实践与探索-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 22. 3　 实践与探索 第 1 课时　 一元二次方程的应用 　 图形的面积问题 1. (3 分) (甘肃中考)如图,某小区计划在一块 长为 32 m,宽为 20 m 的矩形空地上修建三条 同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草 坪的面积为 570 m2 . 若设道路的宽为 x m,则 下面所列方程正确的是(　 　 ) A. (32-2x)(20-x)= 570 B. 32x+2×20x= 32×20-570 C. (32-x)(20-x)= 32×20-570 D. 32x+2×20x-2x2 = 570 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. (3 分)如图是一张长 40 cm、宽 28 cm 的矩形 纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的正方 形,可制成底面积是 364 cm2 的一个无盖长方 体纸盒,设剪去的正方形边长为 x cm,那么纸 盒的体积是(　 　 )cm3 . A. 2 548　 　 B. 364　 　 C. 7 840　 　 D. 5 292 3. (3 分)【数学文化】《算学宝鉴》中记载了我国 南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八 百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及 长各几步?”译文:“一个矩形田地的面积等于 864 平方步,且它的宽比长少 12 步,问长与宽 各是多少步?” 若设矩形田地的长为 x 步,则 宽为(　 　 )步. A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 4. (8 分)如图,利用足够长的一段围墙,用篱笆 围一个长方形的场地,中间用篱笆分割出 2 个 小长方形,与墙平行的一边上各开一扇宽为 1 米的门,总共用去篱笆 34 米; (1)为了使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平 方米,求边 AB 为多少米? (2)用这些篱笆,能使围成的长方形 ABCD 面 积是 110 平方米吗? 说明理由. 变化率问题 5. (3 分)某品牌足球今年单价为 200 元,两年 后,公司将该品牌足球的单价确定为 162 元, 则这两年该品牌足球单价平均每年降低的百 分率是(　 　 ) A. 10% B. 19% C. 20% D. 30% 6. (3 分)(河南汝阳期末改编)已知一株植物原 高度为 a 米,两年后,该株植物高度为 b 米. 若 该株植物每年的高度平均增长率为 x,则 x 满 足的方程是　 　 　 　 　 　 　 . 7. (3 分)“杂交水稻之父”———袁隆平先生率领 的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩 产 700 公斤的目标,第三阶段实现水稻亩产 1 008 公斤的目标. 如果第二阶段、第三阶段 水稻亩产量的增长率相同,则这两年的年平 均亩产量增长率为　 　 　 　 . 03 忽略列一元二次方程解应用题的隐含 条件致错 8. (7 分)如图,有一道长为 25 m 的墙,计划用总 长为 50 m 的栅栏,靠墙围成由三个小长方形 组成的矩形花圃 ABCD. 若花圃 ABCD 的面积 为 150 m2,求 AB 的长. 9. (3 分)杨倩在东京奥运女子 10 米气步枪决赛 中夺得冠军,为中国代表团揽入首枚金牌,随 后杨倩同款“小黄鸭” 发卡在电商平台上爆 单,该款发卡在某电商平台上 7 月 24 日的销 量为 5 000 个,7 月 25 日和 7 月 26 日的总销 量是 30 000 个. 若 7 月 25 日和 26 日较前一天 的增长率均为 x,则可列方程为(　 　 ) A. 5 000(1+x)= 30 000　 　 　 　 B. 5 000(1+x) 2 = 30 000　 C. 5 000(1+x) +5 000(1+x) 2 = 30 000 D. 5 000+5 000(1+x) +5 000(1+x) 2 = 30 000 10. (3 分)如图是由三个边长分别为 6,9 和 x 的 正方形所组成的图形,若直线 AB 将它分成 面积相等的两部分,则 x 的值是(　 　 ) A. 1 或 9 B. 3 或 5 C. 4 或 6 D. 3 或 6 11. (3 分)如图所示,某小区想借助互相垂直的 两面墙(墙体足够长),在墙角区域用 40 m 长的篱笆围成一个面积为 384 m2 矩形花园. 设宽 AB= x m,且 AB<BC,则 x= 　 　 　 　 m. 12. (8 分)(山东德州中考改编)读书可以让人 保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋 养浩然之气. 所以学校图书馆周六面向社会 开放. 据统计,某校图书馆第一个月接待 256 人,第三个月接待 576 人,假设接待人数的月 平均增长率相同. (1)求接待人数的月平均增长率; (2) 因学校图书馆较小,每月接待不超过 1 000 人时,能正常接待读者,在月平均 增长率不变的条件下,图书馆第四个月 能否正常接待读者? 请说明理由. 13 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 2 课时　 列一元二次方程解应用题 一元二次方程的实际应用 1. (3 分)早期,甲肝流行,传染性很强,曾有 2 人 同时患上甲肝,在一天内,一人平均能传染 x 人,经过两天传染后,128 人患上甲肝,则 x 的 值为(　 　 ) A. 10　 　 　 B. 9　 　 　 C. 8　 　 　 D. 7 2. (3 分) (四川绵阳一模)如图是某月的日历 表,在此日历表上可以用一个矩形圈出 3 × 3 个位置相邻的 9 个数(如 6,7,8,13,14,15, 20,21,22) . 若圈出的 9 个数中,最大数与最 小数的积为 192,则这 9 个数的和为(　 　 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A. 32 B. 126 C. 135 D. 144 3. (3 分)在学校举行的图书共享仪式上互赠图 书,每个同学都把自己的图书向本组其他成 员赠送一本,某小组成员之间共互赠了 30 本 图书,则该组共有　 　 　 　 名同学. 4. (8 分)一商店销售某种商品,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元. 为了扩大销售、增加盈 利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于 25 元的前提下,经过一段时间销售,发现销售 单价每降低 1 元,平均每天可多售出 2 件. (1)若降价 3 元,则平均每天销售的数量为 　 　 　 件; (2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的 销售利润为 1 200 元? 5. (3 分)(河南南阳一模)某种衬衫平均每天销 售 40 件,每件盈利 20 元,若每降低 1 元,则每 天可多售 10 件. 在每件盈利不低于 10 元的情 况下,若每天要盈利 1 080 元,则每件应降 价(　 　 ) A. 2 元或 14 元 B. 14 元 C. 2 元 D. 8 元 6. (3 分) (河南南阳模拟)已知一个两位数,个 位上的数字比十位上的数字小 4,且个位上的 数字与十位上的数字的平方和比这个两位数 小 4,则这个两位数是　 　 　 　 . 7. (7 分) (湖北宜昌模拟)为了响应“践行核心 价值观,传递青春正能量”的号召,小颖决定 走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服 务者”活动. 假定从一个人开始号召,每一个 人每周能够号召相同的 m 个人参加,被号召 参加的人下一周会继续号召,两周后,将有 121 人被号召成为“传递正能量志愿服务者” . 求出 m 的值. 23 14. 解:不存在. 由题可知 x1 +x2 = 0,则 x1 +x2 = -(a-2) = 0,解 得 a= 2. ∵ b2 -4ac = (a-2) 2 -4(a2 +4) = 0-32 = -32, ∴ Δ<0,则方程无实数根,∴ 不存在 a 的值,使 方程的两根互为相反数. 15. (1)证明:∵ Δ= (m+2) 2 -4(2m-1)= (m-2) 2 +4, ∴ 在实数范围内,m 无论取何值,(m-2) 2 +4> 0,即 Δ>0. ∴ 关于 x 的方程 x2 -(m+2)x+(2m -1)= 0 恒有两个不相等的实数根; (2)解:根据题意,得 12 -1×(m+2) +(2m-1)= 0. 解得 m= 2. 则方程的另一根为 m+2-1 = 3. ①当两直角边是 1、3 时,该直角三角形的面 积为 1 2 ×1×3 = 3 2 ;②当一直角边和斜边分别 是 1、3 时,另一直角边为 2 2 ,该直角三角形 的面积为 1 2 ×1×2 2 = 2 . 综上,该直角三角 形的面积为 3 2 或 2 . 16. 解:(1)∵ x1、x2 是方程 x2 -2x+m+3 = 0 的两个实 数根,∴ Δ = b2 -4ac = ( -2) 2 -4×1×(m+3) ≥0,解得 m≤-2; (2)存在实数 m,使得等式 1 x1 + 1 x2 =m-3 成立. 理由:∵ x1、x2 是方程 x2 -2x+m+3 = 0 的两 个实数根,∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = m+3. ∵ 1 x1 + 1 x2 =m-3,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = 2 m+3 =m-3. 解 得 m= ± 11 . ∵ m≤ - 2,∴ m = - 11 (符 合),m= 11 (不符合,舍去) . 即存在实数 m,使得等式 1 x1 + 1 x2 = m-3 成立,此时 m = - 11 . 22. 3　 实践与探索 第 1 课时　 一元二次方程的应用 1. A 2. A　 【解析】由题意,得(40-2x) (28-2x)= 364. 解 得 x1 = 7,x2 = 27(舍去) . 364×7 = 2 548(cm3) . 故纸 盒的体积是 2 548cm3 . 故选 A. 3. D　 【解析】由题意,得 x(x-12)= 864. 解得 x1 = 36, x2 = -24(舍去) . 36-12 = 24(步) . 故宽为 24 步. 故 选 D. 4. 解:(1)设 AB 的长为 x 米,依题意,得 x(34+2-3x) = 96. 解得 x1 = 4,x2 = 8. 故当 AB 的长度为 4 米或 8 米时,长方形 ABCD 的面积为 96 平方米; (2)不能. 理由如下: 假设长方形 ABCD 的面积是 110 平方米, 依题意,得 x(34+2-3x)= 110. 即 3x2 -36x+ 110 = 0. ∵ Δ= ( -36) 2 -4×3×110 = -24<0, ∴ 该一元二次方程无实数根, ∴ 假设不成立,∴ 长方形 ABCD 的面积不 能为 110 平方米. 5. A　 【解析】设平均每年降低的百分率为 x,依题意, 得 200(1-x) 2 = 162. 解得 x1 = 0. 1 = 10%,x2 = 1. 9(不合题意,舍去) . 故选 A. 6. (1+x) 2 = b a 7. 20%　 【解析】设亩产量的平均增长率为 x,由题意 得 700(1 +x) 2 = 1 008,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题意,舍去) . ∴ 亩产量的平均增长率为 20%. 8. 解:设 AB= xm,则 BC= (50-4x)m, 依题意,得 x(50-4x)= 150. 整理,得 2x2 -25x+75 = 0. 解得 x1 = 5,x2 = 15 2 . 当 x= 5 时,50-4x= 50-4×5 = 30>25,不合题意, 舍去; 当 x= 15 2 时,50-4x = 50-4×15 2 = 20<25,符合题 意. 故 AB 的长为15 2 m. 9. C 10. D　 【解析】依题意得 1 2 (6+9+x)×9-x(9-x)= 1 2 (62 +92 +x2),x2 -9x+18 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 6. 故选 D. 11. 16　 【解析】∵ 宽 AB= xm,∴ 长 BC = (40-x)m. 依 题意,得 x(40-x)= 384,整理,得 x2 -40x+384 = 0, 解得 x1 = 16,x2 = 24. ∵ AB<BC,即 x<40-x,∴ x< 20,∴ x= 16. 12. 解:(1)设接待人数的月平均增长率是 x, 依题意,得 256(1+x) 2 = 576. 解得 x1 = 0. 5 = 50%,x2 = -2. 5(不合题意, 舍去) . 故接待人数的月平均增长率是 50%; (2)能,理由:576×(1+50%)= 864(人), 864<1 000,∴ 能够正常接待. 第 2 课时　 列一元二次方程解应用题 1. D　 【解析】根据题意,得 2(1+x) 2 = 128,解得 x1 = 7,x2 = -9(不合题意,舍去) . 则 x 的值为 7. 故选 D. 2. D　 【解析】设 9 个数中最小数为 x,则最大数为 x+ 16,∴ x(x+16)= 192,∴ x2 +16x-192 = 0. ∴ (x+24) (x-8)= 0,∴ x1 = 8,x2 = -24(不符合题意),则 x+ 16 = 24. ∵ 8×24 = 192,∴ 8+9+10+15+16+17+22+ 23+24 = 144. 故选 D. 3. 6 4. (1)26　 【解析】20+3×2 = 26(件) (2)解:设当每件商品降价 x 元时,该商店每天的 销售利润为 1 200 元. 则(20+2x) (40-x)= 1 200, 解方程得 x1 = 10,x2 = 20. —9— ∵ 40-x>25,∴ x<15,则 0<x<15,∴ x= 10. 即每件商品应降价 10 元时,该商店每天销 售利润为 1 200 元. 5. C　 【解析】设每件应降价 x 元. 由题可知(20-x) (40+10x)= 1 080. 整理可得 x2 -16x+28 = 0,(x-2) (x-14) = 0,x1 = 2,x2 = 14. ∵ 每件盈利不低于 10 元,即 20-x≥10,∴ x≤10,∴ x2 = 14 不合题意,应 舍去,∴ x= 2. 故选 C. 6. 84　 【解析】设这个两位数的个位数字为 x,则十位 数字为(x+4),依题意,得 x2 +(x+4) 2 -[10(x+4)+ x] = -4. 解得 x1 = 4,x2 = - 5 2 . 又∵ x 为非负整数,∴ x= 4,∴ 10(x+4)+x= 10×(4+4)+4 = 84. 7. 解:根据题意,得 m(m+1) +m+1 = 121,即(m+1) 2 = 121,∴ m+1 = ±11,∴ m1 = 10,m2 = -12(舍去) . 故 m 的值为 10. 追梦第 22 章章末复习　 一元二次方程 1. D 2. D　 【解析】∵ m-3≠0 且 m+2≥0,∴ m≥-2 且 m ≠3. 故选 D. 3. A　 【解析】将 x=m 代入方程 x2 -x-1 = 0,得 m2 -m -1 = 0,即 m2 -m= 1. ∴ 原式= 1+2 022 = 2 023. 故选 A. 4. x1 = 0,x2 = 5　 【解析】把方程 a(x-2) 2 +b(x-2)+2 = 0 看作关于(x-2)的一元二次方程. ∵ 关于 x 的 方程 ax2 +bx+2 = 0 的两根为 x1 = -2,x2 = 3,∴ x-2 = -2 或 x-2 = 3. 解得 x= 0 或 x= 5. ∴ 方程 a(x-2) 2 + b(x-2)+2 = 0 的两根分别为 x1 = 0,x2 = 5. 5. 解:设这两个方程的根分别为 a 和-a. 把 x=a 代入方程 x2 -2 016x+m2 -3m= 0, 得 a2 -2 016a+m2 -3m= 0①. 把 x= -a 代入方程 x2 +2 016x-m2 +3m= 0, 得 a2 -2 016a-m2 +3m= 0②. ①-②,得 2m2 -6m= 0,解得 m= 3 或 m= 0. 6. 解:(1)变形得,( t-3) 2 = 9 4 ,t-3 = ± 3 2 ,t1 = 9 2 ,t2 = 3 2 ; (2)变形得,x2 - 7 2 x+( 7 4 ) 2 = 2+( 7 4 ) 2,(x- 7 4 ) 2 = 81 16 , x- 7 4 = ± 9 4 ,x1 = 4,x2 = - 1 2 ; (3)变形得,3x2 +10x+5 = 0, x= -10± 102 -4×3×5 2×3 = -5± 10 3 ; x1 = -5+ 10 3 ,x2 = -5- 10 3 ; (4)变形得,3(x-5) 2 +2(x-5) = 0,(x-5) (3x- 15+2)= 0,(x-5)(3x-13)= 0,x1 = 5,x2 = 13 3 . 7. A 8. B　 【解析】∵ b2 -4ac= 32 -(-1)·4k = 9+4k≥0,∴ k≥- 9 4 且 k≠0. 故选 B. 9. D 10. 解:(1)Δ= (2k+1) 2 -4×1×4(k- 1 2 )= 4(k- 3 2 ) 2 ≥ 0. ∴ 无论 k 取何值,此方程总有实数根; (2)若 x= 1 是这个方程的一个根,则 1-(2k+ 1) +4(k- 1 2 )= 0,解得 k= 1. ∴ 关于 x 的方程 x2 -3x+2 = 0. 解方程得 x1 = 1,x2 = 2. ∴ 方程的另一根是 2. 11. A　 【解析】设平均每个月的增长率为 x,根据题 意,得 1 000(1+x) 2 = 1 440. 解得 x1 = 0. 2, x2 = -2. 2(舍去) . 第四季度实现生活垃圾分类的社区 达到 1 440×(1+0. 2)= 1 728(个) . 故选 A. 12. C 13. 10x+(x+3)= (x+3) 2 14. 8　 【解析】每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台 电脑,列方程得 1+x+x(1+x)= 81,解得 x1 = -10 (舍去),x2 = 8. 故每轮感染中平均一台电脑会感 染 8 台电脑. 15. 2 米　 【解析】设道路的宽为 x 米,根据题意得(62 -x)(42-x)= 2 400. 解得 x1 = 2,x2 = 102(舍去) . 故道路的宽为 2 米. 16. 解:设动点 P,Q 运动 t 秒后,能使四边形 APQC 的 面积为 9cm2,则 BP 为(8-t) cm,BQ 为 2t cm. ∵ 6÷2 = 3(s),∴ 1 2 ×(8-t) ×2t = 1 2 ×8×6-9,解 得 t1 = 3,t2 = 5(舍去) . ∴ 动点 P,Q 运动 3 秒 时,能使四边形 APQC 的面积为 9cm2 . 17. 解:(1)(20+2x)　 (40-x) (2)由题意得:(90-x-50)(20+2x)= 1 200, 解得 x1 = 20,x2 = 10. ∵ 20>10,∴ 当 x 取 20 时,平均每天销售 盈利 1 200 元,同时又要使顾客得到较多 的实惠; (3)不可能,理由如下: 依题意得(90-x-50)(20+2x)= 2 000, 整理,得 x2 -30x+600 = 0. Δ= ( -30) 2 -4×600 = 900-2 400 = -1 500< 0, 则原方程无实数解. 则不可能每天盈利 2 000 元. 第 23 章　 图形的相似 23. 1　 成比例线段 第 1 课时　 成比例线段 1. A　 【解析】CA= 3AB,CA ∶CB=CA ∶(AB+CA)= 3AB ∶ 4AB= 3 ∶4. 故选 A. 2. B　 3. A 4. 解:(1)∵ a b = 0. 4 0. 8 = 1 2 , d c = 0. 3 0. 6 = 1 2 ,∴ a b = d c , —01—