22.2 一元二次方程的解法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

22. 2　 一元二次方程的解法 第 1 课时　 直接开平方法和因式分解法(1) 　 　 用直接开平方法解 x2 = p( p≥0)型 方程 1. (3 分)一元二次方程 x2 -9 = 0 的根是(　 　 ) A. x= 3 　 　 　 　 　 　 B. x= -3 C. x1 = 3,x2 = -3 D. x1 = 3 ,x2 = - 3 2. (3 分)(深圳模拟)若 x1,x2 是方程 x2 = 16 的 两根,则 x1 +x2 的值是(　 　 ) A. 16　 　 　 B. 8　 　 　 C. 4　 　 　 D. 0 3. (3 分)若代数式 3x2 -6 的值为 21,则 x 的值为 (　 　 ) A. 3 B. ±3 C. -3 D. ± 3 4. (3 分)(河南淇县期中)如果 x = 2 是方程 x2 - m= 0 的一个根,则 m 的值为(　 　 ) A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 5. (6 分)用直接开平方法解下列方程: (1)2x2 -1 = 15; (2)4y2 +4y= 5y2 +4y-3. 用因式分解法解方程 6. (3 分)(河南南阳期末)方程(x-2) (x+3) = 0 的两根分别是(　 　 ) A. x1 = -2,x2 = 3 B. x1 = 2,x2 = 3 C. x1 = -2,x2 = -3 D. x1 = 2,x2 = -3 7. (3 分)一元二次方程 x2 = 3x 的根是(　 　 ) A. x1 = x2 = 3 B. x1 = x2 = -3 C. x1 = 3,x2 = 0 D. x1 = -3,x2 = 0 8. (6 分)用因式分解法解下列方程: (1)3x2 -6x= 0; (2)x(2x+3) -4x= 0. 9. (3 分) (河南邓州月考)给出一种运算:对于 函数 y= xn,规定 y′=nxn-1 . 例如:若函数 y= x4, 则有 y′= 4x3 . 已知函数 y = x3,则方程 y′ = 12 的根是(　 　 ) A. x1 = 4,x2 = -4 B. x1 = 2,x2 = -2 C. x1 = x2 = 0 D. x1 = 2 3 ,x2 = -2 3 10. (3 分) (辽宁丹东中考)若实数 k,b 是一元 二次方程(x+3)(x-1)= 0 的两个根,且 k<b, 则一次函数 y= kx+b 的图象不经过(　 　 ) 71 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. (3 分)方程-2x2 +6x= 0 的根为　 　 　 　 　 . 12. (3 分)若一元二次方程 x2 -c = 0 的一个根为 x= 3 ,则另一个根为　 　 　 　 . 13. (8 分)【教材 P23 读一读变式】等式的性质: 两数乘积等于零,必须且只需其中至少有一 个乘数等于零. 也就是说,当且仅当 a= 0 或 b = 0 时,ab= 0. (1)利用等式的性质解方程 4x2 -x= 0; (2)已知△ABC 的三边长 a,b,c 满足 a4 +b4 + 2a2b2 - a2c2 - b2c2 = 0,试判定 △ABC 的 形状. 14. (10 分)(江苏镇江月考)晓东在解一元二次 方程时,发现有这样一种解法: 如:解方程 x(x+4)= 6. 解:原方程可变形,得 [(x+2) -2][(x+2) +2] = 6, (x+2) 2 -22 = 6, (x+2) 2 = 6+22, (x+2) 2 = 10. 直接开平方并整理,得 x1 = -2+ 10 ,x2 = -2- 10 . 我们称晓东这种解法为“平均数法” . (1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x+2) (x+6)= 5 时写的解题过程. 解:原方程可变形,得 [(x+□) -○][(x+□) +○] = 5, (x+□) 2 -○2 = 5, (x+□) 2 = 5+○2, 直接开平方并整理,得 x1 =☆,x2 =△. 上述过程中的“ □” “ ○” “ ☆” “ △”表示 的数 分 别 为 　 　 　 　 、 　 　 　 　 、 　 　 　 　 、　 　 　 　 . (2) 请用“平均数法” 解方程( x- 3) ( x+ 1) = 5. 81 第 2 课时　 直接开平方法和因式分解法(2) 用直接开平方法解(mx+n) 2 = p( p≥ 0)型方程 1. (3 分)一元二次方程(x-1) 2 = 16 可以转化为 两个一元一次方程,其中一个一元一次方程 是 x-1 = 4,则另一个一元一次方程是(　 　 ) A. x-1 = 4　 　 　 　 　 B. x+1 = 4 C. x-1 = -4 D. x+1 = -4 2. (3 分)(四川南充一模)方程(9x-1) 2 = 1 的解 是(　 　 ) A. x1 = x2 = 1 3 B. x1 = x2 = 2 9 C. x1 = 0,x2 = 2 9 D. x1 = 0,x2 = - 2 9 3. (6 分)用直接开平方法解下列方程: (1)(2x-1) 2 = 16; (2)(x+3) 2 -25 = 0. 变形后用因式分解法解方程 4. ( 3 分) (河南伊川期末) 方程 x ( 2x + 1) = 3(2x+1)的根是(　 　 ) A. x= 3 B. x= - 1 2 C. x1 = 3,x2 = - 1 2 D. x1 = -3,x2 = - 1 2 5. (9 分)用因式分解法解下列方程: (1)2(x+2)= -3x2 -6x; (2)(河南桐柏期中)(2x+1) 2 = (x-1) 2; (3)3x3 -6x2 +3x= 0. 用因式分解法解方程时,方程两边同时 除以含有未知数的代数式致错 6. (8 分)【教材 P24 你知道吗? 变式】赵老师设 计了一个游戏,想让学生用合作的方式解一 元二次方程(x+1) (x+5) = 6x+30,规则是:每 人只能看到前一个人计算的步骤,并进行下 一步计算,再将结果传递给下一个人,最后得 到方程的解. (x+1)(x+5)= 6(x+5) ⇒ 小明 x+1 = 6 ⇒ 小亮　 x= 5 小敏 任务一:请帮赵老师判断,接力中,学生自己 负责的一步的解法是否正确? 若正确请在括 号内画“√”;若错误请在括号内画“ ×” . 小明(　 　 ) 　 小亮(　 　 ) 　 小敏(　 　 ) 91 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 任务二:请你写出正确的解答过程. 7. (3 分)已知代数式 3-x 与-x2 +3x 的值互为相 反数,则 x 的值是(　 　 ) A. -1 或 3 B. 1 或-3 C. 1 或 3　 　 　 D. -1 或-3 8. (3 分)已知一元二次方程(x-3) 2 = 1 的两个 解恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰 长,则△ABC 的周长为(　 　 ) A. 10 B. 10 或 8 C. 9 D. 8 9. (3 分)(河南鹤壁月考)在实数范围内定义运 算“∗”,其规则为“a∗b = a2 -b2 ”,根据这个 规则,方程(x+1)∗3 = 0 的解为　 　 　 　 . 10. (3 分)已知实数 a,b,c,d 满足 a　 b c　 d = ad- bc,若 a　 4a 2　 2a = -8,求 a= 　 　 　 　 . 11. (8 分)若菱形的两条对角线的长度恰好是一 元二次方程(x-2) ( x-3) = x-2 的两个实数 根,求该菱形的面积. 12. (8 分)(辽宁省葫芦岛期中) 【阅读材料】解 方程 x2 + 2x- 35 = 0 我们可以按下面的方法 解答: 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 分解因式 x2 +2x-35: ①竖分二次项与常数项: x2 = x·x,-35 =(-5)×(+7) . ②交叉相乘,验中项: ⇒7x-5x= 2x. ③横向写出两因式: x2 +2x-35 =(x+7)(x-5) . 根据等式的性质可以这样求解: x2 +2x-35 = 0 方程左边因式分解得(x+7) (x-5)= 0,所以 x+7 = 0 或 x-5 = 0. 得 x1 = -7,x2 = 5. 试用上述方法和原理解下列方程: (1)x2 +5x+6 = 0; (2)x2 -6x-7 = 0. 02 第 3 课时　 配方法　 　 用配方法解二次项系数为 1 的方程 1. (3 分)(浙江丽水中考)用配方法解方程 x2 + 4x+1 = 0 时,配方结果正确的是(　 　 ) A. (x-2) 2 = 5　 　 　 　 　 B. (x-2) 2 = 3 C. (x+2) 2 = 5 D. (x+2) 2 = 3 2. (3 分)用配方法解方程 x2 -8x = 3 时,方程两 边同时加上一个实数,使得方程左边配成一 个完全平方式,则这个实数是(　 　 ) A. 4　 　 　 B. 8　 　 　 C. 16　 　 　 D. 32 3. (3 分)(河南洛宁月考)若将方程 x2-4x-1= 0 转 化成(x+m)2 =n 的形式,则m+n 的值是(　 　 ) A. -1 B. 3 C. 5 D. 7 4. (3 分)已知关于 x 的方程 x2 +4x+n = 0 可以配 方成(x+m) 2 = 3,则(m-n) 2 = 　 　 　 　 . 5. (8 分)用配方法解下列方程: (1)x2 +4x= -1; (2)(甘肃兰州中考)x2 -6x-1 = 0. 用配方法解二次项系数不为 1 的 方程 6. (3 分)用配方法解方程 3x2 +2x-1 = 0,配方后 的方程是(　 　 ) A. 3(x-1) 2 = 0 B. (x+ 2 3 ) 2 = 1 3 C. (x+ 1 3 ) 2 = 1 3 D. (x+ 1 3 ) 2 = 4 9 7. (3 分) (河南西峡期中)把方程“2x2 +3x-1 = 0”转化为“(x+p) 2 = q”的形式,则(　 　 ) A. p= 3 4 ,q= 25 16 B. p= 3 4 ,q= 17 16 C. p= 3 2 ,q= 11 4 D. p= 3 4 ,q= 5 4 8. (9 分)(河南内乡期中)小明同学用配方法解 方程 6x2 -x-1 = 0 的简要步骤如下: 解:6x2 - x - 1 = 0 两边同除以 6 第一步 → x2 - 1 6 x - 1 6 = 0 移项 第二步 →x2 - 1 6 x = 1 6 配方 第三步 →(x- 1 3 ) 2 = 1 6 + 1 9 两边开平方 第四步 →x - 1 3 = ± 5 18 移项 第五步 → x1 = 1 3 + 10 6 ,x2 = 1 3 - 10 6 . (1)上述步骤,发生第一次错误是在　 　 　 　 . A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 (2)写出上述步骤中发生第一次错误的原因, 并尝试写出解方程 6x2 -x-1 = 0 的步骤. 12 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 用配方法解方程时,没有将二次项系数 化为 1 致错 9. (6 分)解方程: 1 3 x2 -4x+ 4 3 = 0. 10. (3 分)用配方法解下列方程时,下列配方正 确的是(　 　 ) A. x2 -4x-1 = 0 配方变为(x-2) 2 = 1 B. x2 -6x+4 = 0 配方变为(x-3) 2 = 5 C. 2x2 +10x+9 = 0 配方变为(2x+5) 2 = 16 D. 3x2 +2x-1 = 0 配方变为(x+ 1 3 ) 2 = 1 3 11. (3 分)(河南安阳模拟改编)已知 x 可取任何 实数,则二次三项式-3x2+12x-11 有(　 　 ) A. 最大值-1 B. 最小值-1 C. 最大值 1 D. 最小值 1 12. (3 分)规定:a☉b = (a+b) b,如:2☉3 = (2+ 3) ×3 = 15,若 2☉x= 3,则 x= 　 　 　 　 . 13. (9 分)(北京朝阳区期中)阅读下列解一元 二次方程的过程: 例:解方程:9x2 +12x-7 = 0. 解:9x2 +12x= 7. (3x) 2 +2×3x×2+22 = 7+22 . (3x+2) 2 = 11. 3x+2 = ± 11 . 3x= ± 11 -2. x= -2± 11 3 . ∴ 原 方 程 的 解 是 x1 = -2+ 11 3 , x2 = -2- 11 3 . 用上面的方法解方程 4x2 +24x+3 = 0. 14. (11 分) (山西模拟) 阅读材料,回答下列 问题: 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 几何学解一元二次方程 　 　 公 元 9 世 纪, 阿 尔·花拉子米在研究一 元二次方程解法的过程 中,他利用正方形图形 巧妙解出了一元二次方 程 x2 +2x-35 = 0 的一个解,将边长为 x 的 正方形和边长为 1 的正方形,外加两个 长方形,长为 x,宽为 1,拼合在一起面积 就是 x2 +2×1·x+1×1,即 x2 +2x+1,而由 原方程 x2 +2x-35 = 0 变形得 x2 +2x+1 = 35+ 1,即边长为 x+ 1 的正方形面积为 36,所以(x+1) 2 = 36,则 x= 5. 任务一:用配方法解方程 x2 +2x-35 = 0. 任务二:比较上述两种解一元二次方程的方 法,请反思利用几何学解一元二次 方程的不足之处. (写出一条即可) 22 第 4 课时　 公式法 用公式法解一元二次方程 1. (3 分)用公式法解一元二次方程 3x2 -2x+3 = 0 时,首先要确定 a,b,c 的值,下列叙述正确 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a= 3,b= 2,c= 3 B. a= -3,b= 2,c= 3 C. a= 3,b= 2,c= -3 D. a= 3,b= -2,c= 3 2. (3 分)(河南偃师月考)用公式法解方程-ax2 +bx - c = 0 ( a ≠ 0), 下列代入公式正确的 是(　 　 ) A. x= -b± b2 -4a×( -c) 2×( -a) B. x= b± b 2 -4ac 2a C. x= b± b 2 -4a×( -c) 2×( -a) D. x= -b± b2 -4ac 2a 3. (6 分)用公式法解下列方程: (1) 3 2 x2 +4x-1 = 0; (2)5x2 -3x= x+1. 用公式法解方程时,没有将方程化为一 般形式致错 4. (3 分)方程 x(x-1)= 2 的两根为(　 　 ) A. x1 = 0,x2 = 1 B. x1 = 0,x2 = -1 C. x1 = 1,x2 = 2 D. x1 = -1,x2 = 2 5. (3 分)若关于 x 的方程 x2 +bx+c = 0 的较小根 为 m(m≠0),则 b+ b2 -4c的值为(　 　 ) A. m B. -m C. 2m D. -2m 6. (3 分)如图,点 A 在数轴的负半轴,点 B 在数 轴的正半轴,且点 A 对应的数是 2x-1,点 B 对 应的 数 是 x2 + x, 已 知 AB = 5, 则 x 的 值 为　 　 　 　 . 7. (9 分)(北京期末)【阅读理解】方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的根是 x= -b± b2 -4ac 2a . 方程 y2 +by +ac= 0 的根是 y= -b± b2 -4ac 2 . 因此,要求 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的根,只要求方程 y2 +by+ac= 0 的根,再除以 a 就可以了. 举例:解方程 72x2 +8x+ 1 6 = 0. 解:先解方程 y2 +8y+72× 1 6 = 0, 得 y1 = -2,y2 = -6. ∴ 方程 72x2 + 8x+ 1 6 = 0 的两根是 x1 = - 2 72 ,x2 = - 6 72 . 即 x1 = - 1 36 ,x2 = - 1 12 . 请按照上述方法解方程 49x2 +6x- 1 7 = 0. 32 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 专题　 一元二次方程的解法 用直接开平方法解形如( x+m) 2 = p( p ≥0)的一元二次方程 1. (6 分)用直接开平方法解下列方程: (1)2(x+1) 2 -128 = 0; (2)(河南洛宁月考)(x-1) 2 = 4(x+1) 2 . 用因式分解法解形如(x+a)(x+b)= 0 的一元二次方程 2. (3 分)(河南偃师月考)方程 x(x+3)= x 的解 是(　 　 ) A. x= 0　 　 　 　 　 　 　 B. x= -3 C. x1 = 0,x2 = -3 D. x1 = 0,x2 = -2 3. (9 分)用因式分解法解下列方程: (1)8x2 +4x= 0; (2)2(x-1)= (x-1) 2; (3)3(2x-1) 2 -11(1-2x)= 0. 用配方法解二次项系数为 1,且一次项 系数为偶数的一元二次方程 4. (3 分)(广西桂林一模改编)已知一元二次方 程 x2 +4x-3 = 0,下列配方正确的是(　 　 ) A. (x+2) 2 = 3 B. (x-2) 2 = 3 C. (x+2) 2 = 7 D. (x-2) 2 = 7 5. (6 分)用配方法解下列方程: (1)x2 +4x-1 = 0; 42 (2) 1 3 x2 -4x+ 4 3 = 0. 用公式法解易化成一般形式的一元二 次方程 6. (3 分) (河南桐柏月考) x = 3± 3 2 +4×1×2 2×2 是 下列哪个一元二次方程的根(　 　 ) A. 2x2 -3x+1 = 0 B. 2x2 +3x+1 = 0 C. 2x2 +3x-1 = 0 D. 2x2 -3x-1 = 0 7. (9 分)用公式法解下列方程: (1)3x2 -2 = 2x; (2)x2 -12x+12 = 0; (3)3x2 -3x= x+1. 用特殊解法解一元二次方程 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 类型 1　 十字相乘法 将方程整理成 ax2 +bx+c = 0 的形式. 把二次 项系数 a 分解成两个因数 a1,a2 的积,把常 数项 c 分解成两个因数 c1,c2 的积,并使 a1c2 +a2c1 正好等于一次项的系数 b. 那么可以直 接写成结果:ax2 +bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2) . 8. (8 分)用十字相乘法解下列方程: (1)(湖南常德中考)x2 -x-2 = 0; (2) -x2 +8x-15 = 0; (3)2x2 -3x-20 = 0; (4)(3x+2)(x+4)= 7(x+4) . 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 类型 2　 换元法 先要找出相同的整体进行换元,使方程变得 更简便,解完方程后要注意记得还元. 9. (3 分)若实数 x,y 满足(x+y+3)(x+y-1)= 0, 则 x+y 的值为(　 　 ) A. 1　 　 B. -3　 　 C. 3 或-1　 　 D. -3 或 1 52 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 第 5 课时　 一元二次方程根的判别式　 　 一元二次方程根的判别式 1. (3 分)在一元二次方程 6x2 -5x = -1 中,根的 判别式的值是(　 　 ) A. 1　 　 　 B. -1　 　 　 C. 49　 　 　 D. -49 2. (3 分)如果关于 x 的方程 x2 +(2m-1) x+m2 = 0 的根的判别式的值是 5,那么 m= 　 　 　 　 . 一元二次方程根的情况 3. (3 分)(河南南阳期中)一元二次方程 4x2 +1 = 4x 的根的情况是(　 　 ) A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. (3 分)(河南社旗期中)下列一元二次方程中 没有实数根的是(　 　 ) A. x2 +2x+1 = 0 B. x2 +x+2 = 0 C. x2 -1 = 0 D. x2 -2x-1 = 0 5. (6 分)不解方程,判断下列一元二次方程的根 的情况. (1)16x2 +8x= -3; (2)3(x2 +1) -5x= 0; (3)2x2 = 5x-3. 一元二次方程根的判别式的应用 6. (3 分)(河南中考)若关于 x 的方程 x2 -2x+m = 0 没有实数根,则 m 的值可以是(　 　 ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 7. (3 分)(河南淅川期中)若关于 x 的一元二次 方程 3x-x(x+a)= 1 有两个相等的实数根,则 实数 a 的值为(　 　 ) A. -1 B. 5 或-1 C. 1 D. 5 或 1 8. (3 分)若关于 x 的一元二次方程 ax2 -bx+c= 0 (ac≠0)中,若 a 与 c 异号,则方程(　 　 ) A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 无法确定 9. (8 分)(四川泸州一模)已知关于 x 的一元二 次方程 x2 +7x+11-m= 0 有实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 为负整数时,求方程的两个根. 用根的判别式确定字母的值时忽略一 元二次方程的隐含条件 10. (3 分) (河南偃师月考)若关于 x 的一元二 次方程(k-2) x2 +4x+2 = 0 有实数根,则 k 的 取值范围是　 　 　 　 　 　 . 11. (3 分)已知关于 x 的一元二次方程(k-1) x2 -2x+ 1 = 0 有两个实数根,则 k 的取值范围 是(　 　 ) A. k≤-2 B. k≤2 C. k≥2 D. k≤2 且 k≠1 62 12. (3 分)若关于 x 的一元二次方程 x2 -2x-m= 0 无实数根,则一次函数 y = (m+ 1) x+m- 1 的图象经过(　 　 ) A. 第二、三、四象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、二、三象限 13. (3 分) (河南郸城月考)定义运算:a※b = 2ab2 -ab-1. 例如:1※2 = 2×1×22 -1×2-1 = 5. 则方程 1※x= -2 的根的情况为(　 　 ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 14. (3 分)(北京海淀区模拟)定义:如果两个一 元二次方程有且只有一个相同的实数根,我 们称这两个方程为“友好方程”,如果关于 x 的一元二次方程 x2 -2x= 0 与 x2 +3x+m-1 = 0 为“友好方程”,则 m 的值是　 　 　 　 . 15. (10 分)(北京模拟改编)关于 x 的一元二次 方程 x2+mx+n= 0. (1)若方程有两个相等的实数根,用含 m 的 代数式表示 n; (2)若方程有两个不相等的实数根,且m=-4. ①求 n 的取值范围; ②写出一个满足条件的 n 的值,并求此 时方程的根. 16. (10 分)(河南南阳期中)已知关于 x 的一元 二次方程 x2 - ( 2k + 1) x + k2 + k = 0. 若等腰 △ABC 的两边 AB,AC 的长是这个方程的两 个实数根,第三边 BC 的长为 5,求△ABC 的 周长. 17. (10 分) (河南南召期中)已知平行四边形 ABCD 的两边 AB,BC 的长是关于 x 的方程 x2 -mx+m 2 - 1 4 = 0 的两个实数根. (1)求证:无论 m 取何值,方程总有两个实 数根; (2)当 m 为何值时,四边形 ABCD 是菱形? 求出这时菱形的边长. 72 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 ∗第 6 课时　 一元二次方程的根与系数的关系　 　 一元二次方程的根与系数的关系 1. (3 分)已知一元二次方程 2x2 -5x+1 = 0 的两 个根为 x1,x2,下列结论正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x1 +x2 = - 5 2 B. x1·x2 = 1 C. x1,x2 都是有理数 D. x1,x2 都是正数 2. (3 分)已知方程 x2 -5x+3 = 0 的两个解分别为 x1,x2,则 x1 +x2 -x1x2 的值为(　 　 ) A. -8 B. -2 C. 8 D. 2 3. (3 分)(河南桐柏月考)已知 m,n 是关于 x 的 一元二次方程 x2 -3x-2 = 0 的两个根,则(m- 1)(n-1)的值为(　 　 ) A. 2 B. 0 C. -4 D. -5 4. (3 分)(河南淅川期中)若 α、β 是方程 x2 +2x- 2 005 = 0 的两个实数根,则 α2 + 3α+ β 的值 为　 　 　 　 . 5. (6 分)不解方程,求下列各方程的两根之和与 两根之积. (1)x2 +3x+1 = 0; (2)3x2 -2x-1 = 0; (3)2x2 +6x+4 = 0. 一元二次方程的根与系数的关系的 应用 6. (3 分)已知一元二次方程 x2 +bx+c = 0 的两个 根分别为 2 和 3,则 b,c 的值分别为(　 　 ) A. 5,6 B. -5,-6 C. 5,-6 D. -5,6 7. (3 分) (贵州遵义模拟)已知 x1,x2 是一元二 次方程 x2 +2ax+b= 0 的两根,且 x1 +x2 = 3,x1x2 = 1,则 a,b 的值分别是(　 　 ) A. a= -3,b= 1 B. a= 3,b= 1 C. a= - 3 2 ,b= -1 D. a= - 3 2 ,b= 1 8. (3 分)在解一元二次方程 x2 +px+q = 0 时,小 红看错了常数项,得到方程的两个根是-3,1. 小明看错了一次项系数,得到方程的两个根 是 5,-4,则原来的方程是　 　 　 　 　 　 . 9. (3 分)(湖南岳阳二模改编)若关于 x 的一元 二次方程(m-2) x2 +3x+m2 -4 = 0 有一个根为 0,则另一个根为　 　 　 　 . 10. (8 分)若 x1,x2 是一元二次方程 2x2 -3x-1 = 0 的两个根,求下列代数式的值. (1)(x1 -x2) 2; (2)(x1 + 1 x2 )(x2 + 1 x1 ) . 82 利用根与系数的关系求字母的值时,忽 视 Δ≥0 致错 11. (8 分)已知关于 x 的方程 x2 +2(m+2)x+m2 - 5 = 0 有两个实数根,且这两个根的平方和比 这两个根的积大 16,求 m 的值. 12. (3 分)关于 x 的方程 ax2 -(3a+1)x+2(a+1) = 0 有两个不相等的实数根 x1,x2,且有 x1 - x1x2 +x2 = 1-a,则 a 的值是(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 1 或-1 D. 2 13. (3 分) (湖北荆门中考)已知关于 x 的一元 二次方程 x2 +(m+3) x+m+1 = 0 的两个实数 根为 x1,x2,且 x1 2 +x2 2 = 4,则 m 的值为　 　 　 　 . 14. (8 分)是否存在 a 的值,使方程 x2 +(a-2)x+ a2 +4 = 0 的两根互为相反数? 若有,求出 a 的值;若没有,说明理由. 15. (10 分)(四川南充模拟)已知关于 x 的方程 x2 -(m+2)x+(2m-1)= 0. (1)求证:方程恒有两个不相等的实数根; (2)若此方程的一个根是 1,请求出方程的另 一个根,并求以此两根为边长的直角三 角形的面积. 16. (10 分)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2 -2x+ m+3 = 0 的两个实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)是否存在实数 m,使得等式 1 x1 + 1 x2 = m-3 成立? 如果存在,请求出 m 的值;如果不 存在,请说明理由. 92 (3)原式= 1 1 2 +1 1 6 +1 1 12 +…+1 1 9 900 = 1×99+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 +…+ 1 99 - 1 100 = 99+1- 1 100 = 99 99 100 . 第 22 章　 一元二次方程 22. 1　 一元二次方程 1. B　 2. C 3. m≠3　 【解析】由 mx2 +3x-4 = 3x2,可得(m-3)x2 + 3x-4 = 0,则 m-3≠0,m≠3. 4. 解:(1)一般形式为 5x2 -4x-1 = 0,二次项系数为 5, 一次项系数为-4,常数项为-1. (2)一般形式为 5x2 +x = 0,二次项系数为 5,一 次项系数为 1,常数项为 0. 5. C 6. B　 【解析】 x = 1 代入方程得 12 +k×1-3 = 0,则 k = 2. 故选 B. 7. B 8. 2 022　 【解析】把 x=m 代入 2x2 +3x-1 = 0,得 2m2 + 3m- 1 = 0. 则 2m2 + 3m = 1,∴ 4m2 + 6m + 2 020 = 2(2m2 +3m)+2 020 = 2+2 020 = 2 022. 9. D 10. 解:设这两年亩产量的年平均增长率为 x. 根据题意,得 460(1+x) 2 = 950, 整理可得 460x2 +920x-490 = 0. 11. C　 【解析】m2 -7 = 2,则 m= ±3;m-3≠0,m≠3,则 m= -3. 故选 C. 12. -1　 【解析】将 x= 0 代入(m-1)x2 +2x+m2 -1 = 0, 得 m2 -1 = 0,解得 m= ±1. ∵ (m-1)x2 +2x+m2 -1 = 0 是关于 x 的一元二次方程,∴ m-1≠0,则 m≠1, 即 m= -1. 13. C 14. B　 【解析】方程 7x-3 = 2x2 化为常数项为 3 的一 般形式是 2x2 -7x+3 = 0,即一次项系数为-7. 故选 B. 15. C　 【解析】当 x= -2,代入方程得 2×(-2) 2 +(-2) ×m+n= 0,则 n= 2m-8,当 x= 1,代入方程得 2×12 + m+n= 0,则 n= -m-2,则 n = -4,m = 2. nm = (-4) 2 = 16. 故选 C. 16. D　 【解析】对于一元二次方程 a( x-1) 2 +bx-b = -2,即 a(x-1) 2 +b(x-1)+2 = 0,设 t = x-1,即 at2 + bt+2 = 0. ∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+2 = 0 有一根为 x= 2 021,∴ 关于 t 的一元二次方程 at2 + bt+2 = 0 有一根 t = 2 021,则 x- 1 = 2 021,即 x = 2 022. 故选 D. 17. 8　 【解析】∵ 2x2 = x+4,∴ 2x2 -x= 4,∴ 4x2 -2x = 8, 4a2 -2a= 8. 18. -3　 【解析】一元二次方程(m-3) x2 +m2x = 9x+5 化为一般形式后为(m-3) x2 +(m2 -9) x-5 = 0. ∵ 此一元二次方程化为一般形式后不含一次项,∴ m2 -9 = 0 且 m-3≠0,解得 m= -3. 19. x(x-1)= 650(或 x2 -x-650 = 0) 20. -3　 【解析】2x-4 = 0,则 x = 2,代入方程得 22 +2m +2 = 0,则 m= -3. 21. 等腰　 【解析】把 x= -1 代入得(a+c)·(-1)2 +2b ·(-1)+(a-c)= 0,则 a=b,△ABC 是等腰三角形. 22. 解:由题意得, a -2≥0 2-a≥0{ ,∴ a= 2,∴ b= -3. ∵ x= 1 是方程的一个根,∴ a+b+c= 0,∴ c= 1, 这个方程是 2x2 -3x+1 = 0. 22. 2　 一元二次方程的解法 第 1 课时　 直接开平方法和因式分解法(1) 1. C　 2. D 3. B　 【解析】由题意得 3x2 -6 = 21,即 x2 = 9,解得 x1 = 3,x2 = -3. 故选 B. 4. D　 【解析】将 x= 2 代入方程 x2 -m = 0,得 4-m = 0, 即 m= 4. 故选 D. 5. 解:(1)移项,得 2x2 = 16. 方程两边都除以 2,得 x2 = 8. 直接开平方,得 x= ±2 2 . 即 x1 = 2 2 ,x2 = -2 2 . (2)移项,得-y2 = -3. 方程两边都除以-1,得 y2 = 3. 直接开平方,得 y= ± 3 . 即 y1 = 3 ,y2 = - 3 . 6. D　 7. C 8. 解:(1)方程左边分解因式,得 3x(x-2)= 0. ∴ 3x= 0 或 x-2 = 0. 得 x1 = 0,x2 = 2. (2)去括号、合并同类项,得 2x2 -x= 0. 方程左边分解因式,得 x(2x-1)= 0. ∴ x= 0 或 2x-1 = 0. 得 x1 = 0,x2 = 1 2 . 9. B　 【解析】由题意得 3x2 = 12,解得 x1 = 2,x2 = -2. 故选 B. 10. C　 【解析】解方程(x+3)(x-1)= 0,得 x1 = -3,x2 = 1. ∵ 实数 k,b 是方程的两个根,且 k<b,∴ k = -3,b= 1,则一次函数 y = kx+b 的图象经过第一、 二、四象限,即不经过第三象限. 故选 C. 11. x1 = 0,x2 = 3 12. x= - 3 　 【解析】将 x= 3 代入方程,得 3-c= 0,即 c= 3,∴ 此一元二次方程为 x2 -3 = 0,解得 x1 = 3 , x2 = - 3 ,即另一个根为 x= - 3 . 13. 解:(1)方程左边分解因式,得 x(4x-1)= 0. ∴ x= 0 或 4x-1 = 0,得 x1 = 0,x2 = 1 4 ; (2)△ABC 是直角三角形. 理由如下: ∵ a4 +b4 +2a2b2 -a2c2 -b2c2 = 0, ∴ a4 +2a2b2 +b4 -a2c2 -b2c2 = 0, (a2 +b2) 2 -c2(a2 +b2)= 0, (a2 +b2)(a2 +b2 -c2)= 0. ∵ a,b,c 是△ABC 的边长,∴ a>0,b>0,c> —5— 0,∴ a2 +b2 >0,∴ a2 +b2 -c2 = 0,∴ △ABC 是 直角三角形. 14. 解:(1)4　 2　 -1　 -7 (2)(x-3)(x+1)= 5; 原方程可变形,得[(x-1) -2][(x-1) +2] = 5. 整理,得(x-1) 2 -22 = 5. 即(x-1) 2 = 9. 解得 x1 = 4,x2 = -2. 第 2 课时　 直接开平方法和因式分解法(2) 1. C　 2. C 3. 解:(1)直接开平方,得 2x-1 = ±4. ∴ 2x-1 = 4 或 2x-1 = -4. ∴ x1 = 5 2 ,x2 = - 3 2 ; (2)移项,得(x+3) 2 = 25. 直接开平方,得 x+3 = ±5. ∴ x+3 = 5 或 x+3 = -5. ∴ x1 = 2,x2 = -8. 4. C 5. 解:(1)移项,得 2(x+2) +3x2 +6x= 0. 将方程左边分解因式,得(2+3x)(x+2)= 0. ∴ 2+3x= 0 或 x+2 = 0. 得 x1 = - 2 3 ,x2 = -2; (2)变形,得 3x2 +6x= 0. ∴ 3x(x+2)= 0. 得 x1 = 0,,x2 = -2; (3)将方程左边分解因式,得 3x(x-1) 2 = 0. ∴ 3x= 0 或(x-1) 2 = 0. 得 x1 = 0,x2 = 1. 6. 解:任务一:√　 ×　 √ 任务二:原方程可以变形为(x+1)(x+5) -6(x+ 5)= 0. 将方程左边分解因式,得(x+5)(x+1-6)= 0. ∴ x+5 = 0 或 x+1-6 = 0. 得 x1 = -5,x2 = 5. 7. A　 【解析】由题意得 3-x+(-x2 +3x)= 0,解得 x1 = -1,x2 = 3. 故选 A. 8. A　 【解析】解方程,得 x1 = 4,x2 = 2. ∵ 三角形任意 两边和大于第三边,∴ 腰只能为 4,即△ABC 的周 长为 4+4+2 = 10. 故选 A. 9. x1 = -4,x2 = 2 10. 2　 【解析】∵ a　 4a2　 2a = -8,∴ 2a2 -8a = -8,解得 a1 =a2 = 2. 11. 解:解方程(x-2)(x-3)= x-2,得 x1 = 2,x2 = 4. ∴ 菱形的对角线的长度分别是 2 和 4, 即菱形的面积= 1 2 ×2×4 = 4. 12. 解:(1)x2 +5x+6 = 0,方程左边因式分解得(x+2) (x+3)= 0. 所以 x+2 = 0 或 x+3 = 0. 得 x1 = -2,x2 = -3; (2)x2 -6x-7 = 0,方程左边因式分解,得(x+1) (x-7)= 0. 所以 x+1 = 0 或 x-7 = 0. 得 x1 = -1,x2 = 7. 第 3 课时　 配方法 1. D　 2. C 3. B　 【解析】方程 x2 -4x-1 = 0 配方,得(x-2) 2 = 5, 即 m= -2,n= 5,∴ m+n= -2+5 = 3. 故选 B. 4. 1　 【解析】由(x+m) 2 = 3,得 x2 +2mx+m2 -3 = 0. ∴ 2m= 4,m2 -3 =n,∴ m= 2,n= 1,∴ (m-n) 2 = 1. 5. 解:(1)配方,得 x2 +4x+4 = -1+4,即(x+2) 2 = 3. 直接开平方,得 x+2 = ± 3 . ∴ x= -2± 3 . 即 x1 = -2- 3 ,x2 = -2+ 3 ; (2)原方程可化为 x2 -6x= 1. 配方,得 x2 -6x+9 = 1+9,即(x-3) 2 = 10. 直接开平方,得 x-3 = ± 10 . ∴ x= 3± 10 . 即 x1 = 3- 10 ,x2 = 3+ 10 . 6. D　 7. B 8. 解:(1)C (2)第一次错误的原因是等式的两边应该加上 “一次项系数一半的平方”,其正确的解题 步骤为: 6x2 -x-1 = 0. x2 - 1 6 x- 1 6 = 0. x2 - 1 6 x= 1 6 . x2 - 1 6 x+( 1 12 ) 2 = 1 6 +( 1 12 ) 2 . (x- 1 12 ) 2 = 25 144 . x- 1 12 = ± 5 12 . 则 x = 1 12 ± 5 12 . 解得 x1 = 1 2 , x2 = - 1 3 . 9. 解:移项,得 1 3 x2 -4x= - 4 3 . 两边同除以 1 3 ,得 x2 -12x= -4. 配方,得 x2 -12x+36 = -4+36. 即(x-6) 2 = 32. 直接开平方,得 x-6 = ±4 2 . ∴ x= 6±4 2 . 即 x1 = 6+4 2 ,x2 = 6-4 2 . 10. B 11. C　 【解析】 - 3x2 + 12x- 11 = - 3( x2 - 4x) - 11 = - 3 (x2 -4x+4)+12-11 = -3(x-2) 2 +1,∵ (x-2) 2 ≥0, ∴ -3(x-2) 2≤0,∴ -3(x-2) 2 +1≤1,即二次三项 式-3x2 +12x-11 有最大值 1. 故选 C. 12. 1 或-3 13. 解:4x2 +24x+3 = 0. (2x) 2 +2×2x×6+62 = -3+62 . (2x+6) 2 = 33. 2x+6 = ± 33 . 2x = ± 33 -6. x = -6± 33 2 . ∴ 原方程的解是 x1 = -6+ 33 2 ,x2 = -6- 33 2 . —6— 14. 解:任务一:移项,得 x2 +2x= 35. 配方,得 x2 +2x+1 = 35+1,即(x+1) 2 = 36. 直接开平方,得 x+1 = ±6. ∴ x= -1±6, 即 x1 = 5,x2 = -7. 任务二:利用几何学解一元二次方程的不足之 处是漏解. (答案不唯一) 第 4 课时　 公式法 1. D　 2. B 3. 解:(1)∵ b2 -4ac= 22, ∴ x= -4± 22 2× 3 2 = -4± 22 3 , 即 x1 = -4+ 22 3 ,x2 = -4- 22 3 ; (2)方程整理得 5x2 -4x-1 = 0. ∵ a = 5,b = -4,c = -1, ∴ b2 -4ac= ( -4) 2 -4×5×( -1)= 36>0. ∴ x= -( -4) ± 36 2×5 = 4±6 10 . ∴ x1 = - 1 5 ,x2 = 1. 4. D　 【解析】方程移项并化简,得 x2 -x-2 = 0,a = 1,b = -1,c= -2,b2 -4ac = 1+8 = 9>0,∴ x = 1± 9 2 ,解得 x1 = -1,x2 = 2. 故选 D. 5. D　 【解析】∵ 关于 x 的方程 x2 +bx+c = 0 的较小根 为 m(m≠0),∴ -b- b2 -4ac 2a =m,即 -b- b2 -4c 2 = m,∴ -b- b2 -4c = 2m,即 b+ b2 -4c = -2m. 故选 D. 6. 1 - 17 2 　 【解析】由题意得 x2 +x-(2x-1)= 5,解得 x1 = 1- 17 2 ,x2 = 1+ 17 2 ,∵ 点 A 在数轴的负半轴, ∴ 2x-1<0,即 x< 1 2 ,∴ x= 1 - 17 2 . 7. 解:先解方程 y2 +6y-49× 1 7 = 0,得 y1 = 1,y2 = -7. ∴ 方程 49x2 + 6x- 1 7 = 0 的两根是 x1 = 1 49 ,x2 = - 7 49 . 即 x1 = 1 49 ,x2 = - 1 7 专题　 一元二次方程的解法 1. 解:(1)原方程可以变形为(x+1) 2 = 64. 直接开平方,得 x+1 = ±8. ∴ x1 = 7,x2 = -9; (2)直接开平方,得 x-1 = 2(x+1)或 x-1 = -2(x +1) . ∴ x1 = -3,x2 = - 1 3 . 2. D 3. 解:(1)原方程可以变形 4x(2x+1)= 0. ∴ 4x= 0 或 2x+1 = 0. 解得 x1 = 0,x2 = - 1 2 ; (2)移项,得(x-1) 2 -2(x-1)= 0. 将方程左边因式分解,得(x-3)(x-1)= 0. ∴ x-3 = 0 或 x-1 = 0. 解得 x1 = 3,x2 = 1; (3)方程变形得 3(2x-1) 2 +11(2x-1)= 0. 方程左边分解因式,得(2x-1)(6x+8)= 0. ∴ 2x-1 = 0,6x+8 = 0. 解得 x1 = 1 2 ,x2 = - 4 3 . 4. C 5. 解:(1)方程整理得 x2 +4x= 1. 配方,得 x2 +4x+4 = 1+4,即(x+2) 2 = 5. 直接开平方,x+2 = 5或 x+2 = - 5 . 解得 x1 = -2+ 5 ,x2 = -2- 5 ; (2)方程整理得 x2 -12x= -4. 配方,得 x2 -12x+36 = 32,即(x-6) 2 = 32. 直接开平方,x-6 = 4 2或 x-6 = -4 2 . 解得 x1 = 6+4 2 ,x2 = 6-4 2 . 6. D 　 【解析】 因为一元二次方程的求根公式 x = -b± b2 -4ac 2a ,所以 a= 2,b= -3,c= -1,所以此一元 二次方程为 2x2 -3x-1 = 0. 故选 D. 7. 解:(1)方程整理得 3x2 -2x-2 = 0. ∵ a= 3,b= -2,c= -2, ∴ b2 -4ac= ( -2) 2 -4×3×( -2)= 28>0. 则 x= 2±2 7 2×3 = 1± 7 3 . ∴ x1 = 1+ 7 3 ,x2 = 1- 7 3 . (2)∵ a= 1,b= -12,c= 12, ∴ b2 -4ac= ( -12) 2 -4×1×12 = 96>0. 则 x= 12±4 6 2 = 6±2 6 . ∴ x1 = 6+2 6 ,x2 = 6-2 6 . (3)方程整理得 3x2 -4x-1 = 0. ∵ a= 3,b= -4,c= -1, ∴ b2 -4ac= ( -4) 2 -4×3×( -1)= 28>0. 则 x= 4±2 7 2×3 = 2± 7 3 . ∴ x1 = 2+ 7 3 ,x2 = 2- 7 3 . 8. 解:(1)原方程化为(x+1)(x-2)= 0,∴ x+1 = 0 或 x -2 = 0. 解得 x1 = -1,x2 = 2; (2)原方程化为(x-3)(x-5)= 0,∴ x-3 = 0 或 x -5 = 0. 解得 x1 = 3,x2 = 5; (3)原方程化为(x-4)(2x+5)= 0,∴ x-4 = 0 或 2x+5 = 0. 解得 x1 = 4,x2 = - 5 2 ; —7— (4)原方程化为(3x-5) (x+4) = 0,∴ 3x-5 = 0 或 x+4 = 0. 解得 x1 = 5 3 ,x2 = -4; 9. D 第 5 课时　 一元二次方程根的判别式 1. A　 2. -1　 3. C　 4. B 5. 解:(1)整理得 16x2 +8x+3 = 0, ∵ Δ= 82 -4×16×3 = -128<0, ∴ 此方程没有实数根; (2)整理得 3x2 -5x+3 = 0, ∵ Δ= ( -5) 2 -4×3×3 = -11<0, ∴ 此方程没有实数根; (3)整理得 2x2 -5x+3 = 0, ∵ Δ= ( -5) 2 -4×2×3 = 1>0, ∴ 此方程有两个不相等的实数根. 6. D　 7. D　 8. A 9. 解:(1)∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +7x+11-m = 0 有实数根,∴ Δ = 72 - 4(11 -m) ≥0,∴ m≥ - 5 4 ; (2)∵ m 为负整数,∴ m= -1,此时方程为 x2 +7x +12 = 0,解得 x1 = -3,x2 = -4. 10. k≤4 且 k≠2　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 (k-2)x2 +4x+2 = 0 有实数根,∴ Δ≥0 且 k-2≠0, 即 42 -4(k-2)×2≥0 且 k-2≠0,解得 k≤4 且 k≠ 2. 11. D　 12. A 13. C　 【解析】根据题意得 1※x = 2x2 -x-1 = -2. 整 理,得 2x2 -x+1 = 0,∵ Δ = (-1) 2 -4×1×2 = -7<0, ∴ 方程无实数根. 故选 C. 14. 1 或-9　 【解析】解方程 x2 -2x = 0,得:x1 = 0,x2 = 2. ①若 x = 0 是两个方程相同的实数根. 将 x = 0 代入方程 x2 +3x+m-1 = 0,得 m-1 = 0,∴ m = 1,此 时原方程为 x2 +3x= 0. 解得 x1 = 0,x2 = -3,符合题 意,∴ m= 1;②若 x= 2 是两个方程相同的实数根. 将 x= 2 代入方程 x2 +3x+m-1 = 0,得 4+6+m-1 = 0,∴ m= -9. 此时原方程为 x2 +3x-10 = 0. 解得 x1 = 2,x2 = -5,符合题意,∴ m = -9. 综上所述:m 的 值为 1 或-9. 15. 解:(1)∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +mx+n = 0 有 两个相等的实数根,∴ Δ=m2 -4n= 0,∴ n= 1 4 m2; (2)①∵ 方程有两个不相等的实数根,且 m = -4. ∴ Δ= ( -4) 2 -4n>0,解得 n<4. ∴ n 的取值范围为 n<4; ②∵ n<4,∴ n 可以是 3,此时方程为 x2 -4x +3 = 0,(x-3) (x-1) = 0,解得 x1 = 3,x2 = 1. (答案不唯一) 16. 解:∵ Δ= (2k+1) 2 -4(k2 +k)= 1>0, ∴ x= 2k +1±1 2 ,∴ x1 = k+1,x2 = k. 当 k+1 = 5,解得 k= 4,三角形三边为 5、5、4,则 三角形的周长为 5+5+4 = 14;当 k = 5,三角形 三边为 5、5、6,则三角形的周长为 5+5+6 = 16. 综上所述,△ABC 的周长为 14 或 16. 17. (1)证明:由题意得 Δ=m2 -2m+1 = (m-1) 2, ∵ (m-1) 2≥0, ∴ 无论 m 取何值,方程总有两个实数根; (2)解:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB=BC,即(m-1) 2 = 0. ∴ m= 1,∴ 方程为 x2 -x+ 1 4 = 0, ∴ x1 = x2 = 1 2 ,即菱形的边长为 1 2 . ∗第 6 课时　 一元二次方程的根与系数的关系 1. D　 2. D 3. C　 【解析】由题意得 m+n= 3,mn= -2,则(m-1)(n -1)= mn-(m+n)+1 = -2-3+1 = -4. 故选 C. 4. 2 003　 【解析】α2 +3α+β =α2 +2α+(α+β)= 2 005+ (-2)= 2 003. 5. 解:(1)x1 +x2 = -3　 x1x2 = 1 (2)x1 +x2 = 2 3 　 x1x2 = - 1 3 (3)x1 +x2 = -3　 x1x2 = 2 6. D　 7. D 8. x2 +2x-20 = 0　 【解析】设此方程的两个根为 α,β, 由题意得 α+β= -p= -2,αβ= q= -20,则以 α、β 为根 的一元二次方程是 x2 +2x-20 = 0. 9. 3 4 10. 解:(1)(x1 -x2) 2 = (x1 +x2) 2 -4x1x2 = ( 3 2 ) 2 -4×( - 1 2 )= 9 4 +2 = 17 4 ; (2)(x1 + 1 x2 )(x2 + 1 x1 )= x1x2 +1+1+ 1 x1x2 = - 1 2 +2+ 1 ( - 1 2 ) = - 1 2 . 11. 解:根据题意,得 Δ = 4(m+2) 2 -4(m2 -5) ≥0,解 得 m≥- 9 4 . 设方程两根为 a、b,则 a+b = -2(m +2),ab =m2 -5. ∵ a2 +b2 = ab+16,∴ (a+b) 2 - 3ab-16 = 0. ∴ 4(m+2) 2 -3(m2 -5) -16 = 0. 整 理,得 m2 +16m+15 = 0,解得 m1 = -1,m2 = -15. ∴ m 的值为-1. 12. B　 【解析】∵ Δ>0,∴ (-3a-1) 2 -4a·2(a+1) > 0,(a-1) 2 >0. ∴ a≠1,∵ x1 -x1x2 +x2 = 1-a,∴ x1 + x2 -x1x2 = 3a+1 a -2(a+1) a = 1-a,∴ a2 = 1,a = ±1,∵ a≠1,∴ a= -1. 故选 B. 13. -1 或- 3 　 【解析】 x21 +x22 = ( x1 +x2) 2 - 2x1x2 = 4, (-m-3) 2 -2(m+1)= 4,(m+2) 2 = 1,∴ m1 = -1,m2 = -3. —8— 14. 解:不存在. 由题可知 x1 +x2 = 0,则 x1 +x2 = -(a-2) = 0,解 得 a= 2. ∵ b2 -4ac = (a-2) 2 -4(a2 +4) = 0-32 = -32, ∴ Δ<0,则方程无实数根,∴ 不存在 a 的值,使 方程的两根互为相反数. 15. (1)证明:∵ Δ= (m+2) 2 -4(2m-1)= (m-2) 2 +4, ∴ 在实数范围内,m 无论取何值,(m-2) 2 +4> 0,即 Δ>0. ∴ 关于 x 的方程 x2 -(m+2)x+(2m -1)= 0 恒有两个不相等的实数根; (2)解:根据题意,得 12 -1×(m+2) +(2m-1)= 0. 解得 m= 2. 则方程的另一根为 m+2-1 = 3. ①当两直角边是 1、3 时,该直角三角形的面 积为 1 2 ×1×3 = 3 2 ;②当一直角边和斜边分别 是 1、3 时,另一直角边为 2 2 ,该直角三角形 的面积为 1 2 ×1×2 2 = 2 . 综上,该直角三角 形的面积为 3 2 或 2 . 16. 解:(1)∵ x1、x2 是方程 x2 -2x+m+3 = 0 的两个实 数根,∴ Δ = b2 -4ac = ( -2) 2 -4×1×(m+3) ≥0,解得 m≤-2; (2)存在实数 m,使得等式 1 x1 + 1 x2 =m-3 成立. 理由:∵ x1、x2 是方程 x2 -2x+m+3 = 0 的两 个实数根,∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = m+3. ∵ 1 x1 + 1 x2 =m-3,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = 2 m+3 =m-3. 解 得 m= ± 11 . ∵ m≤ - 2,∴ m = - 11 (符 合),m= 11 (不符合,舍去) . 即存在实数 m,使得等式 1 x1 + 1 x2 = m-3 成立,此时 m = - 11 . 22. 3　 实践与探索 第 1 课时　 一元二次方程的应用 1. A 2. A　 【解析】由题意,得(40-2x) (28-2x)= 364. 解 得 x1 = 7,x2 = 27(舍去) . 364×7 = 2 548(cm3) . 故纸 盒的体积是 2 548cm3 . 故选 A. 3. D　 【解析】由题意,得 x(x-12)= 864. 解得 x1 = 36, x2 = -24(舍去) . 36-12 = 24(步) . 故宽为 24 步. 故 选 D. 4. 解:(1)设 AB 的长为 x 米,依题意,得 x(34+2-3x) = 96. 解得 x1 = 4,x2 = 8. 故当 AB 的长度为 4 米或 8 米时,长方形 ABCD 的面积为 96 平方米; (2)不能. 理由如下: 假设长方形 ABCD 的面积是 110 平方米, 依题意,得 x(34+2-3x)= 110. 即 3x2 -36x+ 110 = 0. ∵ Δ= ( -36) 2 -4×3×110 = -24<0, ∴ 该一元二次方程无实数根, ∴ 假设不成立,∴ 长方形 ABCD 的面积不 能为 110 平方米. 5. A　 【解析】设平均每年降低的百分率为 x,依题意, 得 200(1-x) 2 = 162. 解得 x1 = 0. 1 = 10%,x2 = 1. 9(不合题意,舍去) . 故选 A. 6. (1+x) 2 = b a 7. 20%　 【解析】设亩产量的平均增长率为 x,由题意 得 700(1 +x) 2 = 1 008,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题意,舍去) . ∴ 亩产量的平均增长率为 20%. 8. 解:设 AB= xm,则 BC= (50-4x)m, 依题意,得 x(50-4x)= 150. 整理,得 2x2 -25x+75 = 0. 解得 x1 = 5,x2 = 15 2 . 当 x= 5 时,50-4x= 50-4×5 = 30>25,不合题意, 舍去; 当 x= 15 2 时,50-4x = 50-4×15 2 = 20<25,符合题 意. 故 AB 的长为15 2 m. 9. C 10. D　 【解析】依题意得 1 2 (6+9+x)×9-x(9-x)= 1 2 (62 +92 +x2),x2 -9x+18 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 6. 故选 D. 11. 16　 【解析】∵ 宽 AB= xm,∴ 长 BC = (40-x)m. 依 题意,得 x(40-x)= 384,整理,得 x2 -40x+384 = 0, 解得 x1 = 16,x2 = 24. ∵ AB<BC,即 x<40-x,∴ x< 20,∴ x= 16. 12. 解:(1)设接待人数的月平均增长率是 x, 依题意,得 256(1+x) 2 = 576. 解得 x1 = 0. 5 = 50%,x2 = -2. 5(不合题意, 舍去) . 故接待人数的月平均增长率是 50%; (2)能,理由:576×(1+50%)= 864(人), 864<1 000,∴ 能够正常接待. 第 2 课时　 列一元二次方程解应用题 1. D　 【解析】根据题意,得 2(1+x) 2 = 128,解得 x1 = 7,x2 = -9(不合题意,舍去) . 则 x 的值为 7. 故选 D. 2. D　 【解析】设 9 个数中最小数为 x,则最大数为 x+ 16,∴ x(x+16)= 192,∴ x2 +16x-192 = 0. ∴ (x+24) (x-8)= 0,∴ x1 = 8,x2 = -24(不符合题意),则 x+ 16 = 24. ∵ 8×24 = 192,∴ 8+9+10+15+16+17+22+ 23+24 = 144. 故选 D. 3. 6 4. (1)26　 【解析】20+3×2 = 26(件) (2)解:设当每件商品降价 x 元时,该商店每天的 销售利润为 1 200 元. 则(20+2x) (40-x)= 1 200, 解方程得 x1 = 10,x2 = 20. —9—