追梦第21章章末复习 二次根式-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(华东师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 追梦第 21 章章末复习　 二次根式 第 21 章知识汇总 二次根式的定义 二次根式的定义→形如 a (a≥0)的式子 二次根式有意义的条件→ a有意义,则 a≥0 二次根式的非负性→ a≥0 ì î í ï ïï ï ï 二次根式的性质 ( a ) 2 =a 正应用:化简 逆应用:把一个非负数或非负代数式写成完全平方形式{ a2 = | a | = a(a≥0) -a(a<0){ ì î í ï ï ï ï ï ï 二次根式的乘法及积的算术平方根 二次根式的乘法→ a· b = ab (a≥0,b≥0) 积的算术平方根→ ab = a· b (a≥0,b≥0){ 二次根式的除法 二次根式的除法→ a b = a b (a≥0,b>0) 商的算术平方根→ a b = a b (a≥0,b>0) 最简二次根式→被开方数不含分母,被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 同类二次根式 是二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同{ 二次根式的加减法→合并同类二次根式,系数相加减,根式不变 二次根式的 混合运算 运算顺序→先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的 实数运算中的运算律和乘法公式(完全平方公式、平方差公式)在二次根式混合运算 中仍然适用 ì î í ï ï ï ï 二次根式、最简二次根式、同类二次 根式 1. (3 分)下列各式一定是二次根式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2a B. x3 +1 C. 1-x2 D. x2 +1 2. (3 分) (河南郑州期中)下列各式中,不是最 简二次根式的是(　 　 ) A. 7 B. 3 C. 0. 7 D. a2 +4 3. (3 分)若最简二次根式 3 7 与- 5 x 可以合 并,则 x 的值是(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. (3 分) (河南偃师月考)已知 20-n是整数, 则自然数 n 所有可能的值有(　 　 ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 5. (4 分)把下列各式化成最简二次根式: (1) - 3 2 -1 ; (2)2 5 12a3 . 21 二次根式有意义的条件及性质 6. (3 分)代数式 3-x + 1 x-1 中 x 的取值范围在数 轴上表示为(　 　 ) A. B. C. D. 7. (3 分)(河南淅川期中)若式子 a +2 a-1 有意义, 则实数 a 的取值范围是　 　 　 　 . 8. (6 分)已知 a3 +8 + | b2 -9 | = 0,求( a2 +2b ) 2 的值. 二次根式的运算 9. (3 分)(河南桐柏期中) 下 列 运 算 正 确 的 是(　 　 ) A. 2 + 3 = 5 B. 3 3 - 3 = 3 C. 24 ÷ 6 = 4 D. 3 × 5 = 15 10. (3 分)若 6- 13 的整数部分为 x,小数部分 为 y,则(2x+ 13 )y 的值是(　 　 ) A. 5-3 13 B. 3 C. 3 13 -5 D. -3 11. (6 分)计算: (1) 1 2 12 -(3 1 3 + 2 ); (2) 1 2 × ( 3 -1) 2 + 1 2 -1 + 3 -( 2 2 ) -1 . 12. ( 8 分) 化简 ( 2x 2 +2x x2 -1 - x 2 -x x2 -2x+1 ) ÷ x x+1 , 并 解答: (1)当 x= 1+ 2时,求原代数式的值; (2)原代数式的值能等于-1 吗? 为什么? 13. (8 分)已知非零实数 m,n 满足 | 2m- 5 | + | n+2 | + (m-3)n2 +5 = 2m,求 m-n 的值. 14. (8 分)(河南洛宁月考)学习了二次根式后, 李老师给同学们出了这样一道题:已知 a = 2 -1,求 a 2 -2a+1 a2 -1 的值. 小明想了想,很快 就算出来了,下面是他的解题过程: 解: 原式 = (a -1) 2 (a+1)(a-1) = a-1 (a+1)(a-1) = 31 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 华师版·九年级数学上册 1 a+1 . 当 a= 2 -1 时,原式= 1 2 -1+1 = 2 2 . 李老师看了之后说小明错误地运用了二次 根式的性质,请你指出小明错误地运用二次 根式的哪条性质? 并写出正确的解题过程. 二次根式的应用 15. (8 分)(河南南阳期中) 【阅读与计算】求三 边长分别为 a,b,c 的三角形的面积 S. 古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出 了“ 海伦公式”: S = p(p-a)(p-b)(p-c) (其中 p=a +b+c 2 ); 我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提 出了 “ 秦九韶公式” ( 三斜求积术): S = 1 2 a2b2 -(a 2 +b2 -c2 2 ) 2 . 若一个三角形的三边长分别是 5 ,3,2 5 ,请 选择一种方法求这个三角形的面积. 二次根式的规律探究 16. (8 分)先观察下列等式,再回答问题: ① 1+ 1 12 + 1 22 = 1+ 1 1 - 1 1+1 = 1 1 2 ② 1+ 1 22 + 1 32 = 1+ 1 2 - 1 2+1 = 1 1 6 ③ 1+ 1 32 + 1 42 = 1+ 1 3 - 1 3+1 = 1 1 12 (1)根据上面三个等式提供的信息,请你猜 想 1+ 1 52 + 1 62 的结果; (2)请用含 n 的式子表示上面等式反映的 规律; (3 ) 利 用 上 面 的 规 律 计 算: 1+ 1 12 + 1 22 + 1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1+ 1 992 + 1 1002 . 41 三边长为 2,2,3,周长为 7;当 a 为底时,三角形的 三边长为 2,3,3,周长为 8. ∴ 等腰三角形的周长为 7 或 8. 故选 D. 2. 解:由题意,得 x -8≥0 8-x≥0{ ,解得 x= 8,则 y= 18. 原式= 8 - 18 = 2 2 -3 2 = - 2 . 3. C　 【解析】原式 = (3-x) 2 -( 2-x ) 2 . ∵ 为了使 二次根式有意义,∴ 2-x≥0,解得 x≤2,即原式 = 3 -x-(2-x)= 1. 故选 C. 4. -1　 【解析】由图可得-3<n<-2,0<m<1,即 m-1< 0,n+2<0,m+n<0,∴ 原式= 1-m-n-2+m+n= -1. 5. 解:∵ a,b,c 为三角形的三边, ∴ b+c-a>0,a+c-b>0,a+b-c>0, ∴ 原式= b+c-a+a+c-b-a-b+c= 3c-a-b. 6. 8 2 　 【解析】原式= xy(y-x)= ( 6 - 2 )( 6 + 2 ) ×[( 6 + 2 )-( 6 - 2 )] =[( 6 ) 2 -( 2 ) 2]×( 6 + 2 - 6 + 2 )= 4×2 2 = 8 2 . 7. 5 +2　 【解析】原式 = ( 5 -2) 2 022( 5 +2) 2 022( 5 + 2)= [( 5 - 2) ( 5 + 2)] 2 022( 5 + 2) = [( 5 ) 2 - 22] 2 022( 5 +2)= 5 +2. 8. 解:(1)原式= (2 3 ) 2 -4 3 +1+( 3 ) 2 -22 = 12-4 3 +1+3-4 = 12-4 3 ; (2)原式= [( 5 - 2 ) + 6 ][( 5 - 2 ) - 6 ] = ( 5 - 2 ) 2 -( 6 ) 2 = 1-2 10 . 9. 解:a2 -b2 = (a+b)(a-b) = ( 2 +1+ 2 -1) ×[( 2 + 1) -( 2 -1)] = 2 2 ×2 = 4 2 . a b + b a =a 2 +b2 ab = ( 2 +1) 2 +( 2 -1) 2 ( 2 +1)( 2 -1) = 6. 追梦第 21 章章末复习　 二次根式 1. D　 2. C　 3. D 4. D　 【解析】由于 20-n≥0 且 n≥0,∴ 0≤n≤20. 由 于 20-n是整数,∴ 20-n = 0 或 1 或 4 或 9 或 16. 解得 n= 20 或 19 或 16 或 11 或 4,一共 5 个. 故选 D. 5. 解:(1)原式= - 3( 2 +1) ( 2 +1)( 2 -1) = -3 2 +3 2-1 = -3 2 - 3; (2)原式= 2 5 2 3a3 = 15 3a a = 15a 3a2 . 6. A　 【解析】3-x≥0,x-1≠0,则 x≤3 且 x≠1. 故选 A. 7. a≥-2 且 a≠1　 【解析】由题意,得 a +2≥0 a-1≠0{ ,解得 a≥-2 且 a≠1. 8. 解:由题意,得 a3 +8 = 0 b2 -9 = 0{ ,解得 a= -2,b= ±3. ∵ a2 +2b≥0,即 b≥-2,∴ b = 3,原式 = a2 +2b = ( -2) 2 +2×3 = 10. 9. D 10. B　 【解析】∵ 3 < 13 < 4,∴ 2 < 6 - 13 < 3. ∵ 6 - 13 的整数部分为 x,小数部分为 y,∴ x= 2,y= 4- 13 ,即 原 式 = ( 4 + 13 ) ( 4 - 13 ) = 42 - ( 13 ) 2 = 3. 故选 B. 11. 解:(1)原式= 1 2 ×2 3 -( 3 + 2 )= - 2 ; (2)原式= 1 2 ×(3-2 3 +1) + ( 2 +1) ( 2 -1)( 2 +1) + 3 - 2 = 2- 3 + 2 +1+ 3 - 2 = 3. 12. 解:原式= [ 2x(x +1) (x+1)(x-1) -x(x-1) (x-1) 2 ]·x +1 x = 2x-x x-1 ·x +1 x = x+1 x-1 . (1)当 x= 1+ 2时,原式= 1 + 2 +1 1+ 2 -1 = 2+ 2 2 = 1+ 2 ; (2)不能,理由如下:x +1 x-1 = -1,解得 x= 0, ∵ 当 x= 0 时,原式中除数 x x+1 = 0,不成立, ∴ 原代数式的值不能等于-1. 13. 解:由题意,得(m-3)n2 ≥0,∴ m-3≥0. ∴ m≥3, ∴ 2m-5>0. 原式= 2m-5+ | n+2 | + (m-3)n2 + 5 = 2m,即 | n+2 | + (m-3)n2 = 0. ∴ n+2 = 0, (m-3)n2 = 0,∴ n = - 2,m = 3. ∴ m-n = 3 - ( -2)= 5. 14. 解:小明错误运用了 a2 = | a |这条性质. 正确解法为: 原式= (a -1) 2 (a+1)(a-1) = | a-1 | (a+1)(a-1) . ∵ a= 2 -1,∴ a-1<0. ∴ 原式 = - (a -1) (a+1)(a-1) = - 1 a+1 = - 1 2 -1+1 = - 2 2 . 15. 解:由题意,得 a= 5 ,b= 3,c= 2 5 , ∴ p= 5 +3+2 5 2 = 3 5 +3 2 . ∴ 这个三角形的面积 S= p(p-a)(p-b)(p-c) = 3 5 +3 2 ×(3 5 +3 2 - 5)×(3 5 +3 2 -3)×(3 5 +3 2 -2 5) = 3 5 +3 2 × 5 +3 2 ×3 5 -3 2 ×3- 5 2 = 36 4 = 3. 16. 解:(1)1 1 30 (2) 1+ 1 n2 + 1 (n+1) 2 = 1+ 1 n(n+1) ; —4— (3)原式= 1 1 2 +1 1 6 +1 1 12 +…+1 1 9 900 = 1×99+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 +…+ 1 99 - 1 100 = 99+1- 1 100 = 99 99 100 . 第 22 章　 一元二次方程 22. 1　 一元二次方程 1. B　 2. C 3. m≠3　 【解析】由 mx2 +3x-4 = 3x2,可得(m-3)x2 + 3x-4 = 0,则 m-3≠0,m≠3. 4. 解:(1)一般形式为 5x2 -4x-1 = 0,二次项系数为 5, 一次项系数为-4,常数项为-1. (2)一般形式为 5x2 +x = 0,二次项系数为 5,一 次项系数为 1,常数项为 0. 5. C 6. B　 【解析】 x = 1 代入方程得 12 +k×1-3 = 0,则 k = 2. 故选 B. 7. B 8. 2 022　 【解析】把 x=m 代入 2x2 +3x-1 = 0,得 2m2 + 3m- 1 = 0. 则 2m2 + 3m = 1,∴ 4m2 + 6m + 2 020 = 2(2m2 +3m)+2 020 = 2+2 020 = 2 022. 9. D 10. 解:设这两年亩产量的年平均增长率为 x. 根据题意,得 460(1+x) 2 = 950, 整理可得 460x2 +920x-490 = 0. 11. C　 【解析】m2 -7 = 2,则 m= ±3;m-3≠0,m≠3,则 m= -3. 故选 C. 12. -1　 【解析】将 x= 0 代入(m-1)x2 +2x+m2 -1 = 0, 得 m2 -1 = 0,解得 m= ±1. ∵ (m-1)x2 +2x+m2 -1 = 0 是关于 x 的一元二次方程,∴ m-1≠0,则 m≠1, 即 m= -1. 13. C 14. B　 【解析】方程 7x-3 = 2x2 化为常数项为 3 的一 般形式是 2x2 -7x+3 = 0,即一次项系数为-7. 故选 B. 15. C　 【解析】当 x= -2,代入方程得 2×(-2) 2 +(-2) ×m+n= 0,则 n= 2m-8,当 x= 1,代入方程得 2×12 + m+n= 0,则 n= -m-2,则 n = -4,m = 2. nm = (-4) 2 = 16. 故选 C. 16. D　 【解析】对于一元二次方程 a( x-1) 2 +bx-b = -2,即 a(x-1) 2 +b(x-1)+2 = 0,设 t = x-1,即 at2 + bt+2 = 0. ∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+2 = 0 有一根为 x= 2 021,∴ 关于 t 的一元二次方程 at2 + bt+2 = 0 有一根 t = 2 021,则 x- 1 = 2 021,即 x = 2 022. 故选 D. 17. 8　 【解析】∵ 2x2 = x+4,∴ 2x2 -x= 4,∴ 4x2 -2x = 8, 4a2 -2a= 8. 18. -3　 【解析】一元二次方程(m-3) x2 +m2x = 9x+5 化为一般形式后为(m-3) x2 +(m2 -9) x-5 = 0. ∵ 此一元二次方程化为一般形式后不含一次项,∴ m2 -9 = 0 且 m-3≠0,解得 m= -3. 19. x(x-1)= 650(或 x2 -x-650 = 0) 20. -3　 【解析】2x-4 = 0,则 x = 2,代入方程得 22 +2m +2 = 0,则 m= -3. 21. 等腰　 【解析】把 x= -1 代入得(a+c)·(-1)2 +2b ·(-1)+(a-c)= 0,则 a=b,△ABC 是等腰三角形. 22. 解:由题意得, a -2≥0 2-a≥0{ ,∴ a= 2,∴ b= -3. ∵ x= 1 是方程的一个根,∴ a+b+c= 0,∴ c= 1, 这个方程是 2x2 -3x+1 = 0. 22. 2　 一元二次方程的解法 第 1 课时　 直接开平方法和因式分解法(1) 1. C　 2. D 3. B　 【解析】由题意得 3x2 -6 = 21,即 x2 = 9,解得 x1 = 3,x2 = -3. 故选 B. 4. D　 【解析】将 x= 2 代入方程 x2 -m = 0,得 4-m = 0, 即 m= 4. 故选 D. 5. 解:(1)移项,得 2x2 = 16. 方程两边都除以 2,得 x2 = 8. 直接开平方,得 x= ±2 2 . 即 x1 = 2 2 ,x2 = -2 2 . (2)移项,得-y2 = -3. 方程两边都除以-1,得 y2 = 3. 直接开平方,得 y= ± 3 . 即 y1 = 3 ,y2 = - 3 . 6. D　 7. C 8. 解:(1)方程左边分解因式,得 3x(x-2)= 0. ∴ 3x= 0 或 x-2 = 0. 得 x1 = 0,x2 = 2. (2)去括号、合并同类项,得 2x2 -x= 0. 方程左边分解因式,得 x(2x-1)= 0. ∴ x= 0 或 2x-1 = 0. 得 x1 = 0,x2 = 1 2 . 9. B　 【解析】由题意得 3x2 = 12,解得 x1 = 2,x2 = -2. 故选 B. 10. C　 【解析】解方程(x+3)(x-1)= 0,得 x1 = -3,x2 = 1. ∵ 实数 k,b 是方程的两个根,且 k<b,∴ k = -3,b= 1,则一次函数 y = kx+b 的图象经过第一、 二、四象限,即不经过第三象限. 故选 C. 11. x1 = 0,x2 = 3 12. x= - 3 　 【解析】将 x= 3 代入方程,得 3-c= 0,即 c= 3,∴ 此一元二次方程为 x2 -3 = 0,解得 x1 = 3 , x2 = - 3 ,即另一个根为 x= - 3 . 13. 解:(1)方程左边分解因式,得 x(4x-1)= 0. ∴ x= 0 或 4x-1 = 0,得 x1 = 0,x2 = 1 4 ; (2)△ABC 是直角三角形. 理由如下: ∵ a4 +b4 +2a2b2 -a2c2 -b2c2 = 0, ∴ a4 +2a2b2 +b4 -a2c2 -b2c2 = 0, (a2 +b2) 2 -c2(a2 +b2)= 0, (a2 +b2)(a2 +b2 -c2)= 0. ∵ a,b,c 是△ABC 的边长,∴ a>0,b>0,c> —5—