精品解析：福建省福州第十二中学2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

福州第十二中学2024—2025学年第一学期 九年级数学开学适应性训练 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 甲、乙、丙、丁四名同学进行1分钟跳绳测试，每人5次1分钟跳绳成绩的平均数都是188个，方差分别是，则这四名同学1分钟跳绳成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 9、3 B. 9、 C. 、 D. 、3 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 8. 如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着值的增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第二、三、四象限 10. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 12. 一组数据为2，1，3，2，则这组数据的方差是____________． 13. 如图，周长为16的菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．则的长为______． 14. 方程 两个实数根分别是，，则 的值是_______________． 15. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是________． 16. 如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为____________． 三、解答题（共10小题） 17. 计算： 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在矩形中，E，F分别是上的点，连接，若，求证：． 20. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 21. 已知：如图，在矩形中，是边上点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 22. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的电视机进行销售．知商店购进甲型电视机1台，乙型电视机2台，需要花费4700元．购进甲型电视机2台，乙型电视机1台，需要花费4900元． （1）求该商店购进甲、乙两种型号的电视机的单价分别为多少元？ （2）该商店购进甲、乙两种型号的电视机共60台，且购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍．甲型电视机的售价为2300元/台，乙型电视机的售价为2000元/台，全部卖出，问：应购进甲种型号的电视机多少台？才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是多少？ 23. 综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图①，一块锐角三角形木料，现要测量边上高． 工具：如图②，一把刻度尺（宽度为，两端受损，可测量长度大于的各边长）． 小明的测量过程如下： 步骤一：如图③，测得； 步骤二：在边上测得； 步骤三：测得（点E在边上）；步骤四：测得． 小颖的测量过程如下： 步骤一：如图④，将刻度尺的一边与边重叠，另一边与边交点为D，与的交点为E： 步骤二：测得；测得． （1）小明的测量方法是通过测量操作得到，由此判定就是边上的高．用你所学的知识说明小明如何判定是边上的高． （2）请根据小颖的测量方法和所得到的数据，求出边上的高（结果用含字母t，a，b的式子表示）． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数与（m为常数，且）图象相交于点． （1）当时，求点C的坐标； （2）y与x的关系式记作函数F，函数F满足：当时，；当时，． ①若函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，求m的取值范围； ②在①的条件下，当时，y的最大值与最小值的差为，求m的值． 25. 如图1，在正方形中，点在边上（不与点，重合），交对角线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，连接，，若，求正方形与的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州第十二中学2024—2025学年第一学期 九年级数学开学适应性训练 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题） 1. 化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A． 不能合并，所以A选项不符合题意； B． 不能合并，所以B选项不符合题意； C．32，所以C选项不符合题意； D． ，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 3. 在中，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，直接根据勾股定理即可得出答案． 【详解】如图所示， ， ，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容并能灵活运用． 4. 由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】只要验证较小两边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边的平方和等于最大边的平方才能做出判断． 5. 甲、乙、丙、丁四名同学进行1分钟跳绳测试，每人5次1分钟跳绳成绩的平均数都是188个，方差分别是，则这四名同学1分钟跳绳成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义可作出判断． 【详解】解：∵方差分别是2， ∴， ∴最小， ∴四人中成绩最稳定的是丙； 故选：C． 6. 将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 9、3 B. 9、 C. 、 D. 、3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可． 【详解】解：方程整理得：， 则一次项系数、常数项分别为，3； 故选：D． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，且， 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质可得是等边三角形，得出，，根据勾股定理求得，进而根据面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，，则， ∴，， ∴， ∴菱形的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着值的增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：一次函数的函数图像如图， A、∵k=-4＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，故选项A不正确，不符合题意； B、当x=0时，y=-2，函数图象与y轴的交点坐标为（0，-2），故选项B不正确，不符合题意； C、当x＞0时，，故选项C不正确，不符合题意； D、∵k＜0，b＜0，图象经过第二、三、四象限，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 10. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．解题的关键在于熟练掌握、两点间的距离公式为，完全平方式的最小值为0的性质． 根据直角坐标系中两点间的距离公式，非负数的最小值，求解即可． 【详解】∵点A坐标为，点坐标为， ∴， ∴有最小值是． 故选：D． 二、填空题（共6小题） 11. 二次根式有意义，则取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案：． 12. 一组数据为2，1，3，2，则这组数据的方差是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，先求出这组数据的平均数，然后再根据方差计算公式进行计算即可． 【详解】解：2，1，3，2的平均数为：， 这组数据的方差为：， 故答案为：． 13. 如图，周长为16的菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质．根据菱形性质求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得． 【详解】解：四边形是菱形， ， 是的中点， ， 菱形周长为16， ， ， 故答案为：2． 14. 方程 的两个实数根分别是，，则 的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 15. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围． 【详解】解：由图象可知时，一次函数的值大于0， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16. 如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题（共10小题） 17. 计算： 【答案】1- 【解析】 【分析】先算乘法，算术平方根，取绝对值，再合并； 【详解】原式 ＝1-； 【点睛】本题考查二次根式的运算和绝对值的运算，解题的关键是掌握绝对值的运算及二次根式运算的相关法则． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， 开方得， 解得：； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得：． 19. 如图，在矩形中，E，F分别是上的点，连接，若，求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】先利用四边形ABCD是矩形，得出AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，然后证明△ABE≌△CDF即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴． 【点睛】考查矩形的性质以及直角三角形全等的判定，关键是对知识的综合运用． 20. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 【答案】（1）80，72 （2）160000元 【解析】 【分析】本题考查求平均数和总位数，利用样本平均数计算总体： （1）根据平均数和中位数的确定方法，进行求解即可； （2）利用样本估计总体，进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 中位数是第10，11两个数的平均数， 故； 【小问2详解】 （元）． 故甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额事160000元． 21. 已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接． （1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 【答案】（1）作图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （）由矩形得到，，，，再证明得到，进而得到，即可求证； 本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形为平行四边形． 22. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的电视机进行销售．知商店购进甲型电视机1台，乙型电视机2台，需要花费4700元．购进甲型电视机2台，乙型电视机1台，需要花费4900元． （1）求该商店购进甲、乙两种型号的电视机的单价分别为多少元？ （2）该商店购进甲、乙两种型号的电视机共60台，且购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍．甲型电视机的售价为2300元/台，乙型电视机的售价为2000元/台，全部卖出，问：应购进甲种型号的电视机多少台？才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1）甲型号的电视机的单价为1700元/台，乙型号的电视机单价为1500元/台 （2）甲种型号的电视机台时，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设甲型号的电视机的单价为元/台，乙型号的电视机单价为元/台，根据题意列出关于的二元一次方程组，求解即可； （2）设商店购进甲型号的电视机台，则购进乙型号的电视机台，总利润为，根据购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍得出的取值范围，然后根据总利润＝甲单台的利润×甲的数量＋乙单台的利润×乙的数量，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型号的电视机的单价为元/台，乙型号的电视机单价为元/台， 则根据题意得：， 解得：， 答：甲型号的电视机的单价为1700元/台，乙型号的电视机单价为1500元/台； 【小问2详解】 设商店购进甲型号的电视机台，则购进乙型号的电视机台，总利润为， 根据题意可得：， 解得：， 总利润， ∵， ∴当时，最大利润元， 答：甲种型号的电视机台时，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的实际应用，读懂题意，根据题意列出相应的代数式是解本题的关键． 23. 综合实践：阅读下列材料，解答问题． 任务：如图①，一块锐角三角形木料，现要测量边上的高． 工具：如图②，一把刻度尺（宽度为，两端受损，可测量长度大于的各边长）． 小明的测量过程如下： 步骤一：如图③，测得； 步骤二：在边上测得； 步骤三：测得（点E在边上）；步骤四：测得． 小颖的测量过程如下： 步骤一：如图④，将刻度尺的一边与边重叠，另一边与边交点为D，与的交点为E： 步骤二：测得；测得． （1）小明测量方法是通过测量操作得到，由此判定就是边上的高．用你所学的知识说明小明如何判定是边上的高． （2）请根据小颖的测量方法和所得到的数据，求出边上的高（结果用含字母t，a，b的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，，利用等边对等角，三角形内角和定理，高线的定义证明即可． （2）过点A作于点M，交于点N，根据题意，得，结合已知条件，得到，列比例式解答即可． 本题考查了直角三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：根据题意，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是边上的高． 【小问2详解】 解：过点A作于点M，交于点N， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数与（m为常数，且）的图象相交于点． （1）当时，求点C的坐标； （2）y与x的关系式记作函数F，函数F满足：当时，；当时，． ①若函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，求m的取值范围； ②在①的条件下，当时，y的最大值与最小值的差为，求m的值． 【答案】（1）（1，0） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入两个解析式，把两个解析式联立方程组，解方程组即可； （2）①把两个函数解析式联立方程组，可求出a、b的值，根据图象可知，当时，函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，列不等式求解即可； ②由①得点C坐标为，即，且，分两种情况计算，当时，即当时和当时，即，分别计算出最大值和最小值，根据差为，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入两个解析式得，，，联立方程组得， ，解得； 则点C的坐标为（1，0）． 【小问2详解】 解：①把两个函数解析式联立方程组得， 解得； 画出函数图象如图，该函数的最高点为C点，坐标为（1，m-1）； 当m-1>0时，函数与x轴总有两个不同的交点， 解得； ②由①得，交点C的横坐标为1，即， ∴，， ∴由图象可知，当时，即当，且时，即， ∴时，， ∴时，， ∴时，， ∵， ∴时，， ∵当时，y的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（符合题意）， 当时，即， ∴时，函数F的解析式为， ∵， ∴y随着x的增大而减小， ∴时，， ∴时，， ∵当时，y的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为2． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，解题关键是熟练利用一次函数图象与性质，求出交点坐标，利用数形结合思想解题． 25. 如图1，在正方形中，点在边上（不与点，重合），交对角线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，连接，，若，求正方形与的面积之比． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用“”证明，可得，，由四边形内角和定理可证，可得，即可证明； （2）过点作于，利用勾股定理求解出的长，即可得出的长； （3）在上截取，连接，利用“”证明，推出，则，可得，，根据正方形与的面积之比，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作于， ∵，，， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，（负值已舍去）， ∴； 【小问3详解】 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与的面积之比． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、作辅助线推理证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$