精品解析：湖南省邵阳市洞口县思源实验学校等校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024年秋九年级上数学入学测试题 考试范围：八下+九上1-3章 时间：110分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形图 C. 斐波那契螺旋线 D. 杨辉三角图 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 2. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即， 故选：D． 3. 若、都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴函数图象两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴、都在第一象限， ∴ ， 故选：C． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是直角平行四边形是矩形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据矩形、菱形、平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项正确，符合题意； D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 已知，并且，则函数图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】当时，将的每一部分都加上1，可得，要使等式成立，分子相等，分母也要相等．则，可求出p得值，当时，可得 再根据一次函数的图像的性质即可作答． 【详解】解∵， ∴ ∴， ①当a+b+c不等于0时，， ∴3=p+1解得： 则， 直线经过一、二、三象限（如图）． ②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1， 则y=-x-1， 直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图）， 综上：的图像一定经过二、三象限； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等式的性质以及一次函数的图像和性质，熟练地掌握等式的性质以及一次函数的图像和性质是解题的关键．一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，图像经过一三象限，当k<0时，图像经过二四象限；当b>0时，图像与有y轴交于正半轴，当b<0时，图像与y轴交于负半轴． 6. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(    ) A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 矩形 D. 对角线互相垂直的四边 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等． 【详解】解：四边形是菱形， ， 故AC． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形性质与三角形中位线的性质．解决本题的关键是要注意掌握数形结合思想的应用． 7. 把方程配方，化为的形式应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边同时除以3变形后，将常数项移动方程右边，方程左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项． 【详解】解：3x2-12x-18=0， 二次项化为1得：x2-4x=6， 配方得：x2-4x+4=10，即（x-2）2=10． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法解方程时，首先将方程的二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方后转化为两个一元一次方程来求解． 8. 反比例函数和一次函数在同一坐标系的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在二，四象限，一次函数的图象过二、三、四象限，选项C符合； 当时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、三象限，无符合选项． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题． 二、多选题（共4个小题，每小题4分，漏选记2分，错选记0分，共16分） 9. 如图，在中，点D，E分别为边，的中点．下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明是的中位线，得出，再根据相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：A、点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，故此选项符合题意； B、， ，故此选项符合题意；故此选项不符合题意 C、是的中位线， ∴．故此选项符合题意； D、是的中位线， ，， ， ，则，故此选项不符合题意． 故选：ABC． 10. 如果两不相等实数分别满足则的值是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式方程，解题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．利用根与系数的关系求出，，再把变成，然后把前面的关系式代入即可求出代数式的值． 【详解】解：实数分别满足， 实数是方程的两根， 故选：A. 11. 如图，点P在函数（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交，当点P在（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时（ ） A. ODB与OCA的面积相等 B. 四边形PAOB的面积不会发生变化 C. PA与PB始终相等 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由反比例函数k的几何意义可判断出各个结论的正误． 【详解】解：A.∵点A，B在函数的图象上， ∴,故选项A正确； B.∵矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；故此选项正确． C. PA与PB不一定相等，只有当四边形OCPD是正方形时满足PA=PB，故此选项不正确； D. ∵A、B在上， ∴S△AOC=S△BOE， ∴•OC•AC=•OD•BD， ∴OC•AC=OD•BD， ∵OC=PD，OD=PC， ∴PD•AC=DB•PC， ∴．故此选项不正确． 故选AB 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 12. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． 根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，于是得到，可判定A；根据等腰直角三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，可判定B；由相似三角形的性质得到，推出得到，于是得到，可判定C；证明，根据相似三角形的性质即可得到结论，可判定D． 【详解】解：A、在等腰和等腰中， ， ， ，故此选项符合题意； B、∵等腰和等腰， ∴，， ， ， ， ， ， ，故此选项符合题意； C、， ， ， ， ， ，故此选项符合题意； D、由③知，， ， ， ， ， ∴， ， ， ，故此选项符合题意； 故选：ABCD． 二、填空题（每小题3分，共21分） 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查内角和与外角和的知识，任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的倍则内角和是，边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．关键在于设立未知数，转化为方程的问题来解决．属于基础题． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为： 14. 将方程化为一般形式为_________． 【答案】 【解析】 分析】去括号，移项，再合并同类项即可． 【详解】去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数，且），能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解本题的关键．注意移项时符合的变化． 15. 如图，点M是反比例函数y＝（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=8，则此反比例函数解析式为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|a|＝8，再根据图象在二、四象限可确定a＝−8，进而得到解析式． 【详解】∵S阴影＝8， ∴|a|＝8， ∵图象在二、四象限， ∴a＜0， ∴a＝−8， ∴反比例函数解析式为y＝−． 故答案为：y＝−． 【点睛】此题主要考查了反比例函数k的几何意义，关键是掌握y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 16. 如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 __米． 【答案】##() 【解析】 【分析】由题意得，即可得出答案． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比， ， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 17. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=2，BD=8，那么CD=_________． 【答案】4 【解析】 【分析】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．根据射影定理列出等积式，代入已知数据计算即可． 【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴CD2=AD•BD=16， 则CD=4， 故答案为4． 【点睛】此题考查射影定理的应用，解题关键在于掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 18. 如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的知识，将的最小值转化为的最小值，再利用勾股定理求出MC的长度，即可求解； 【详解】过点A作且，连接MP， ∴四边形是平行四边形， ∴， 将的最小值转化为的最小值，当M、P、C三点共线时，的最小， ∵，， ∴， 在中，； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键． 19. 如图，点，点，…，点在函数的图象上，，，，…，都是等腰直角三角形，斜边，、，…，都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，根据，，，都是等腰直角三角形，从而总结出规律即可求解． 【详解】解：过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∵是等腰直角三角形， 设点的坐标为 将点代入得 ∴ 则 设点的坐标为，将点代入得 ∴ 同理可得： …… 总结规律可得：坐标为 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是关键． 三、解答题（共7小题，59分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）方程变形后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， 即或， 解得，； 【小问2详解】 ∴， 因式分解得，， 即或， 解得， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 21. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法． 先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）先根据方程有两个不相等的实数根知，据此求出的范围，再结合一元二次方程定义和二次根式有意义的条件可得答案； （2）由方程有两个相等实数根知，据此求出的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：方程整理为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 又，， 解得， 且； 【小问2详解】 解：根据题意知， 解得， 则方程为，即， 则， ， 解得． 23. 直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件． （1）若每件售价为元，则日销量是______件 （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每件售价应定为元 【解析】 【分析】（1）利用日销售量每件售价降低的钱数，即可求出结论； （2）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： 件， 若每件售价为元，则日销量是件． 故答案为：； 【小问2详解】 设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定25元，这样日销量大. 答：每件售价应定元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）能， （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可知； （3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得的值，继而可得，可得答案． 【小问1详解】 四边形能够成为菱形，理由如下： ∵中，，， ． 在中，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即，解得：， 即当时，四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形不能为正方形，理由如下： 当时，． ， ， ， ， 时， 但， 四边形不可能为正方形． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式： （2）根据图象直接写出时，x的取值范围： （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）根据图象可得结论； （3）求出点的坐标，根据即可求解． 【小问1详解】 ，在的图象上， ， 反比例函数的解析式是． ． ，在函数的图象上， ， 解得：． 则一次函数的解析式是． 所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是； 【小问2详解】 由图象得：当或时，； 【小问3详解】 直线与轴相交于点， 的坐标是． ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，利用证明即可； （2）根据同角的余角的相等，得，证明，则； （3）过点A作，延长交于点G，首先根据，可得，则，再由（2）同理得，得，进而解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图1，设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，过点A作，延长交于点G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋九年级上数学入学测试题 考试范围：八下+九上1-3章 时间：110分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形图 C. 斐波那契螺旋线 D. 杨辉三角图 2. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若、都在函数图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 5. 已知，并且，则函数图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、四象限 6. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(    ) A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 矩形 D. 对角线互相垂直的四边 7. 把方程配方，化为的形式应为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数和一次函数在同一坐标系的图象可以是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4个小题，每小题4分，漏选记2分，错选记0分，共16分） 9. 如图，在中，点D，E分别为边，的中点．下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果两不相等实数分别满足则的值是（　　） A. 1 B. C. D. 11. 如图，点P在函数（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC⊥x轴交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交，当点P在（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时（ ） A. ODB与OCA的面积相等 B. 四边形PAOB的面积不会发生变化 C. PA与PB始终相等 D. 12. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共21分） 13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为__________． 14. 将方程化为一般形式为_________． 15. 如图，点M是反比例函数y＝（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=8，则此反比例函数解析式为_______ 16. 如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 __米． 17. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=2，BD=8，那么CD=_________． 18. 如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________． 19. 如图，点，点，…，点在函数的图象上，，，，…，都是等腰直角三角形，斜边，、，…，都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是______． 三、解答题（共7小题，59分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 23. 直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件． （1）若每件售价为元，则日销量______件 （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 24. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 25. 如图，一次函数与反比例函数图像交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式： （2）根据图象直接写出时，x的取值范围： （3）求的面积． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，延长线交边于点F．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$