23.2.1 中心对称-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 23. 2　 中心对称 23. 2. 1　 中心对称 　 　 中心对称 1. (3 分)关于中心对称的描述不正确的是(　 　 ) A. 把一个图形绕着某一点旋转,如果它能与 另一个图形重合,那么就说这两个图形关 于这个点对称 B. 关于中心对称的两个图形是全等的 C. 关于中心对称的两个图形,对称点的连线 必过对称中心 D. 如果两个图形关于点 O 对称,点 A 与点 A′ 是对称点,那么 OA=OA′ 2. (3 分)(湖北中考)下列各组图形中,△A′B′C′ 与△ABC 成中心对称的是(　 　 ) A 　 　 　 　 　 　 B C D 3. ( 3 分) ( 河 南 信 阳 月 考) 如图, △ABC 与 △DEF 成中心对称,则对称中心是(　 　 ) A. 点 C B. 点 D C. 线段 BC 的中点 D. 线段 FC 的中点 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图,△ABC 与△A′B′C′关于点 O 成中 心对称,下列结论中不成立的是(　 　 ) A. OC=OC′ B. OA=OA′ C. BC=B′C′ D. ∠ABC= ∠A′C′B′ 5. (3 分)如图,将△ABC 以点 O 为旋转中心旋 转 180°后得到△A′B′C′,ED = 1 2 BC,线段 ED 经旋转后变为线段 E′D′. 已知 BC = 4,则线段 E′D′的长度为(　 　 ) A. 2　 　 　 B. 3　 　 　 C. 4　 　 　 D. 1. 5 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. (3 分)如图,△ABO 与△CDO 关于 O 点成中 心对称,点 E,F 在线段 AC 上,且 AF = CE. 则 线段 DF 与 BE 的关系是　 　 　 　 　 　 　 　 . 7. (6 分)四边形 ABCD 绕某点旋转 180°后,点 A 的对应点为点 A1,找出旋转中心,并作出旋转 得到的四边形 A1B1C1D1 . 8. (6 分)(河南开封期中)如图,正方形 ABCD 与 正方形 A1B1C1D1 关于某点中心对称,已知 A, D1,D 三点坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2) . (1)求对称中心的坐标; (2)写出顶点 B,C,B1,C1 的坐标. 84 9. (3 分)下列四组图形中,左边的图形与右边的 图形成中心对称的为(　 　 ) A 　 　 B 　 　 C 　 　 D 10. ( 3 分) (河南三门峡期中) 如图所示, 在 △ABC 中, ∠B = 90°, ∠C = 30°,AB = 1,将 △ABC 绕顶点 A 旋转 180°,点 C 落在点 C′ 处,则 CC′的长为(　 　 ) A. 4 2 　 　 B. 4　 　 C. 2 3 　 　 D. 2 5 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. (3 分)如图,在平面直角坐标系中,若△ABC 与△A1B1C1 关于点 E 成中心对称,则点 E 的 坐标是(　 　 ) A. (3,-1)　 　 　 　 　 　 B. (0,0) C. (2,-1) D. (1,-3) 12. (3 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,△ABC 与 △FEC 关于点 C 成中心对称,连接 AE,BF,要 使四边形 ABFE 为矩形,则∠ACB=　 　 　 　 °. 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 学习情境·点的移动 (3 分)如图,在平面直 角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为( 1, 0),(0,1),( -1,0),一个电动玩具从坐标原 点 O 出发,第一次跳跃到点 P1,点 P1 与点 O 关于点 A 成中心对称;第二次跳跃到点 P2, 点 P2 与点 P1 关于点 B 成中心对称;第三次 跳跃到点 P3,点 P3 与点 P2 关于点 C 成中心 对称;第四次跳跃到点 P4,点 P4 与点 P3 关 于点 A 成中心对称;第五次跳跃到点 P5,点 P5 与点 P4 关于点 B 成中心对称……照此规 律重复下去,则点 P2 026 的坐标为　 　 　 　 . 14. (7 分)已知△ABC 在平面直角坐标系 xOy 中 的位置如图所示. 作△ABC 关于点 C 成中心 对称的△A1B1C. 15. (8 分) (河南许昌期末)已知:如图,△ABM 与△ACM 关于直线 AF 成轴对称,△ABE 与 △DCE 关于点 E 成中心对称,点 E,D,M 都 在线段 AF 上,BM 的延长线交 CF 于点 P. (1)求证:AC=CD; (2) 若 ∠BAC = 2 ∠MPC,请你判断 ∠F 与 ∠MCD 的数量关系,并说明理由. 94 = am,则 AE = 2am. ∴ 8a+2x = 80. ∴ a = - 1 4 x+ 10,∴ y = (2a+a) · x = 3a· x = 3· ( - 1 4 x+ 10) · x = - 3 4 x2 + 30x. ∵ a = - 1 4 x+10>0,x>0,∴ 0<x<40. 则 y = - 3 4 x2 + 30x(0<x<40) ; (2) y = - 3 4 x2 +30x = - 3 4 ( x-20) 2 +300( 0<x<40) ,∵ - 3 4 <0,∴ 当 x = 20 时,y 有最大值,最大值为 300. 第二十三章 　 旋转 23. 1　 图形的旋转 1. A　 2. D 3. A　 【解析】∵ ∠1 = 130°,∴ ∠3 = 50°,若 a∥b,则∠3 = ∠2 = 60°,∴ 此时需旋转 60°-50° = 10°. 故选 A. 4. B　 【解析】连接 BD 交 AC 于点 O,∵ 四边形 ABCD 是 菱形,∴ CD = AB = 2,∠BCD = ∠BAD = 60°,∠ACD = ∠BAC = 1 2 ∠BAD = 30°,OA = OC,AC⊥BD,∴ OB = 1 2 AB = 1,∴ OA = 3 OB = 3 ,∴ AC = 2 3 ,由旋转的性质 得:AE = AB = 2,∠EAG = ∠BAD = 60°,∴ CE = AC-AE = 2 3 -2,∵ 四边形 AEFG 是菱形,∴ EF∥AG,∴ ∠CEP = ∠EAG = 60°,∠CEP + ∠ACD = 90°,∴ ∠CPE = 90°, ∴ PE = 1 2 CE = 3 - 1,PC = 3 PE = 3 - 3 ,∴ DP = CD- PC = 2-(3- 3 )= 3 -1. 故选 B. 5. (1)点 B　 (2)90° 　 (3)垂直且相等 6. 解:根据旋转的性质得∠PAP′ = ∠BAC = 90°,AP = AP′ = 3,即 △PAP′为等腰直角三角形,根据勾股定理得 PP′= AP 2 +AP′2 = 32 +32 = 3 2 . 7. 解:(1) ∵ △ABC 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重 合,A 为顶点,∴ 旋转中心是点 A,根据旋转的性质可 知:∠CAE = ∠BAD = 180°-∠B-∠ACB = 150°,∴ 旋转 角度是 150°; (2)由(1) 可知:∠BAE = 360° - 150° × 2 = 60°,由旋转 可知:△ABC≌ △ADE, ∴ AB = AD,AC = AE,又 ∵ 点 C 为 AD 中点,∴ AC = AE = 1 2 AB = 1 2 ×4 = 2( cm) . 8. 解:如图,△ABN 即为所求 . 9. 解:△AB 1C 1 如图 . 10. C　 【解析】∵ 点 D(5,3)在边 AB 上,∴ BC = 5,BD = 5 -3 = 2,① 若顺时针旋转,则点 D′在 x 轴负半轴上, OD′= 2,所以 D′( -2,0);②若逆时针旋转,则点 D′到 x 轴的距离为 10,到 y 轴的距离为 2,在第一象限,所 以 D′(2,10) . 综上所述,点 D′的坐标为(2,10)或( - 2,0) . 故选 C. 11. D 12. D　 【解析】∵ 四边形 OABC 是正方形,且 OA = 1,∴ B (1,1),连接 OB,由勾股定理得 OB = 2 ,由旋转得 OB = OB 1 = OB 2 = OB 3 = … = 2 . ∵ 将正方形 OABC 绕 点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B 1C 1,相当于 将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45°,依次得到∠AOB = ∠BOB 1 = ∠B 1OB 2 = … = 45°,∴ B 1(0, 2 ),B 2( - 1, 1),B 3( - 2 ,0),…,8 次一循环,所以 2 026 ÷ 8 = 253 ……2,∴ 点 B 2 026 的坐标为( -1,1) . 故选 D. 13. (1)证明:∵ 将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60° 得△ADC,∴ CO = CD,∠OCD = 60°,∴ △COD 是等边 三角形; (2)解:当 α = 150°时,△AOD 是直角三角形 . 理由: ∵ 将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC, ∴ △BOC ≌ △ADC, ∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°, 又 ∵ △COD 是等边三角形, ∴ ∠ODC = 60°, ∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 90°. ∵ α = 150°, ∠AOB = 110°, ∠COD = 60°, ∴ ∠AOD = 360° - α - ∠AOB - ∠COD = 40°,∴ △AOD 不是等腰直角三角形,故△AOD 是直 角三角形 . 23. 2　 中心对称 23. 2. 1　 中心对称 1. A　 【解析】A. 一个图形绕某一点旋转 180°,如果旋转 后的图形能够与另一个图形重合,那么这两个图形关 于这个点中心对称 . 故选 A. 2. A　 3. D　 4. D 5. A　 【解析】∵ △ABC 以点 O 为旋转中心,旋转 180°后 得到△A′B′C′,∴ △ABC≌ △A′B′C′,∴ B′C′ = BC = 4, ED = E′D′. ∵ ED = 1 2 BC,∴ D′E′ = 1 2 BC = 1 2 B′C′ = 1 2 × 4 = 2. 故选 A. 6. 平行且相等 　 【解析】∵ △ABO 与△CDO 关于 O 点成 中心对称,∴ OA = OC,OB = OD. ∵ AF = CE,∴ OE = OF, 在△DOF 和△BOE 中,OF = OE,∠DOF = ∠BOE,OD = OB,∴ △DOF≌ △BOE,∴ FD = BE,∠ODF = ∠OBE, ∴ DF∥BE. 综上可得,DF 与 BE 平行且相等 . 7. 解:点 O 为旋转中心,四边形 A1B 1C 1D 1 为旋转后的 图形 . 8. 解:(1) (0,2. 5) ; (2)B( -2,4) ,C( -2,2) ,B 1(2,1) ,C 1(2,3) . 9. D —61— 10. B　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠B = 90°,∠C = 30°,AB = 1,∴ AC = 2. ∵ 将△ABC 绕顶点 A 旋转 180°,点 C 落 在 C′处,∴ AC′= AC = 2,∴ CC′= 4. 故选 B. 11. A 12. 60　 【解析】△ABC 与△FEC 关于点 C 成中心对称, ∴ CB = CE,CA = CF. ∴ 四边形 ABFE 为平行四边形 . 当 AF = BE,即 AC = BC 时,平行四边形 ABFE 为矩形 . ∵ AB = AC,∴ AB = BC = AC,∴ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠ACB = 60°. 13. (2,2) 　 【解析】观察,发现规律 P 0(0,0),P 1(2,0), P 2( - 2,2),P 3( 0,- 2),P 4( 2,2),P 5( - 2,0),P 6( 0, 0),P 7 ( 2,0),……, ∴ P 6n ( 0, 0), P 6n+ 1 ( 2, 0), P 6n+ 2 ( -2,2),P 6n+ 3(0,-2),P 6n+ 4(2,2),P 6n+ 5( - 2,0) ( n 为 自然数) . ∵ 2 026 = 6×337+4,∴ P 2 026(2,2) . 14. 解:如图所示:△A1B 1C 即为所求 . 15. ( 1) 证明: ∵ △ABM 与 △ACM 关于直线 AF 成轴对 称,∴ △ABM ≌ △ACM, ∴ AB = AC, 又 ∵ △ABE 与 △DCE 关于点 E 成中心对称,∴ △ABE≌ △DCE,∴ AB = CD,∴ AC = CD; (2) 解: ∠F = ∠MCD. 理 由: 由 ( 1 ) 可 得 ∠BAE = ∠CAE = ∠CDE, ∠CMA = ∠BMA. ∵ ∠BAC = 2 ∠MPC,∠BMA = ∠PMF,∴ 设∠MPC = α,则∠BAE = ∠CAE = ∠CDE = α,设∠BMA = β,则∠PMF = ∠CMA = β,∴ ∠F = ∠CPM-∠PMF = α-β,∠MCD = ∠CDE- ∠DMC = α-β,∴ ∠F = ∠MCD. 23. 2. 2　 中心对称图形 1. C　 2. D　 3. A　 4. C　 5. 60° 6. 3 3 　 【解析】 ∵ 在 Rt△ABC 中,∠B = 30°,AC = 3,∴ AB = 2AC = 6. 由勾股定理,得 BC = 3 3 . ∵ A 为对称中 心,∴ B′C′= BC = 3 3 . 7. 解: ( 1 ) 如甲图所示; ( 2 ) 如乙图所示; ( 3 ) 如丙图 所示 . (答案不唯一) 甲图 　 乙图 　 丙图 8. 解:(1)如图: 【解析】此时,由勾股定理得:CD = AB = 2 2 ,AD = BC = 5 . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形∴ 四边形 ABCD 是 中心对称图形 . (2)如上图,此时∠EBA = 45°,∵ AD 2 = AE 2 = 12 +22 = 5, DE 2 = 12 + 32 = 10. ∴ AD 2 +AE 2 = DE 2 . ∴ △ADE 是等腰 直角 三 角 形 . ∠EDA = 45°. ∴ ∠EDA = ∠EBA. ED = 10 . 9. 解:(1)正六边形 ABCDEF 既是中心对称图形,又是轴 对称图形,有 6 条对称轴; (2) ∵ 360°÷6 = 60°,∴ 旋转 60°的正整数倍可与自身 重合; (3)只要边数是偶数的正多边形都是中心对称图形 . 10. B　 11. A　 12. B 13. A　 【解析】如图,设图形①的长和 宽分别是 a、c,图形②的边长是 b, 图形③的边长是 d,原来大长方形 的周长是 l,则 l = 2( a+2b+c),根据 图示,可得 a = b+d(1) b = c+d(2){ ,(1) -(2),可得 a-b = b-c,∴ 2b = a+c,∴ l = 2(a+2b+c)= 2×2(a+c)= 4(a+c)或 l = 2(a+2b+c)= 2×4b = 8b,∴ 2( a+ c) = 1 2 l,4b = 1 2 l. ∵ 图形①的周长是 2(a+c),图形②的周长是 4b, 1 2 l 的 值一定,∴ 图形①②的周长是定值,不用测量就能知 道,图形③的周长不用测量无法知道 . 故选 A. 14. 解:(1) = 　 (2) (3)如图所示 . 23. 2. 3　 关于原点对称的点的坐标 1. C　 2. D 3. A　 【解析】由题可知,点 N 和点 F 关于原点对称 . ∵ 点 F 的坐标为(3,2),∴ 点 N 的坐标为 ( - 3,- 2) . 故 选 A. 4. A　 【解析】由题可知,点 P 坐标为 ( 3, 8 3 ),点 P 2 为 (3,- 8 3 ),则 a = 3,b = - 8 3 , 3 ab = 3 -8 = -2. 故选 A. 5. D　 【解析】把点 P(a,a+2)代入 y = -2x+1,得 a+2 = - 2a+1,解得 a = - 1 3 ,所以点 P 的坐标为( - 1 3 , 5 3 ),关 于原点对称的 P′的坐标为( 1 3 ,- 5 3 ) . 故选 D. 6. 10　 　 7. 解:由题意知 a- 2 = -( b+ 3) ,3 - 2b = -( 5 + 2a) ,解得 a = - 5 2 ,b = 3 2 . 又因为点 C 与点 D 关于 y 轴对称,点 C 为( - 5 2 ,- 3 2 ) ,所以 D( 5 2 ,- 3 2 ) . 8. 解:( 1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且四边形 AB- CD 关于点 O 成中心对称,A( - 2,1) ,B( - 3,- 2) ,∴ C —71—