专题03 等腰三角形【六大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题03 等腰三角形 考点类型 知识串讲 （一）等腰三角形 （1）等腰三角形性质： ①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） （2）等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. （二）解题方法 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[来源: 考点训练 考点1：等腰三角形的性质——求角度 典例1：如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数为（　　） A． B． C．°或 D．或 【变式1】如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，．点是上一点，过点作，交的延长线于点，连接，若， 度．    【变式3】如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交 于点F，则 的度数为 ． 考点2：等腰三角形的性质——求线段 典例2：如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 【变式1】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 【变式2】如图，已知平分，平分且过点O，设，则的周长是 ． 【变式3】如图，，为，的中点，，，则的长为 ． 考点3：等腰三角形的性质——三线合一 典例3：如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式1】在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【变式2】如图，在中，，，平分，D是的中点，E是上一点，连接交于点O．    (1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长； (2)若，，，连接． ①求证：O点在线段的垂直平分线上； ②求的度数（用含的式子表示）． 【变式3】如图，在中，，，G为的中点，交的平分线于D，于E，于F交的延长线于F． (1)求证：； (2)求的长． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质； 考点4：等腰三角形的判定 典例4：证明题：如图所示，在的边上取点D，使得，，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【变式1】如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【变式2】如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【变式3】如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的周长． 考点5：等腰三角形的个数问题 典例5：已知：如图，线段 直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 【变式1】在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【变式2】如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，O为原点，OB在x轴上，∠AOB＝60°，点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），点D在第二象限，且△ABO≌△DCO． （1）请直接写出点D的坐标 ； （2）点P在直线BC上，且△PCD是等腰直角三角形，请画出图形并求点P的坐标． 【变式3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 考点6：等腰三角形尺规问题 典例6：在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【变式1】如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式2】数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使． 下面是小路设计的尺规作图过程． 作法：作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求． 根据小路设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：连接， ∵直线l为线段的垂直平分线， ∴　 　，（ 　 　）（填推理的依据） ∴， ∴（ 　 　）（填推理的依据） (3)能否在射线上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形． 【变式3】如图，已知直线a、b及点P．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．（尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明） (1)当时，在图①、②中画出，使得两个三角形不全等； (2)当a与b不平行时，在图③、④中画出，使得两个三角形不全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等腰三角形 考点类型 知识串讲 （一）等腰三角形 （1）等腰三角形性质： ①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） （2）等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. （二）解题方法 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[来源: 考点训练 考点1：等腰三角形的性质——求角度 典例1：如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数为（　　） A． B． C．°或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键． 分两种情况分析：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：①当点P在的延长线上时，如图 ∵，， ∴ ∴ ∵以点C为圆心，长为半径作弧，交直线于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点P在的延长线上时，如图 由①得，， ∵， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或， 故选：C． 【变式1】如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据可得，，结合三角形外角性质即可得到，代入的值整理即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：， 故选：D． 【变式2】如图，在中，，．点是上一点，过点作，交的延长线于点，连接，若， 度．    【答案】112.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．延长、交于点，由等腰三角形的性质得，，再证，得，则，然后证，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长、交于点，   ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：112.5． 【变式3】如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交 于点F，则 的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】题目主要考查垂线的作法，三角形内角和定理及等边对等角，根据题意得出，，结合图形及各角之间的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图痕迹得：， ∴， ∴， 故答案为：． 考点2：等腰三角形的性质——求线段 典例2：如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M，     平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，关键是推出． 根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，已知平分，平分且过点O，设，则的周长是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，证明出，是解题的关键．先根据角平分线的性质得到，进而根据平行线的性质证明，则，同理可证，即可推出的周长． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可证， 的周长 ； 故答案为：30． 【变式3】如图，，为，的中点，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解：∵为，的中点， ∴,，又， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴，解得， ∴， 故答案为：2． 考点3：等腰三角形的性质——三线合一 典例3：如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质， （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点 ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在三角形中，， ， ∴． 【变式1】在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明； （2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：连接，在上截取， ∵，，E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，在中，，，平分，D是的中点，E是上一点，连接交于点O．    (1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长； (2)若，，，连接． ①求证：O点在线段的垂直平分线上； ②求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)8 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等： （1）根据的周长与四边形的周长相等，可得，即可求解； （2）①连接，根据线段垂直平分线的性质可得，然后等腰三角形的性质可得垂直平分，从而得到，进而得到，即可求证；②根据直角三角形的两锐角互余可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵的周长与四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，    ∵，D是的中点， ∴， ∵平分，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴O点在线段的垂直平分线上； ②∵，即， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，，，G为的中点，交的平分线于D，于E，于F交的延长线于F． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质； （1）连接，，根据等腰三角形三线合一得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明，进而可得结论； （2）证明，得到，证明，求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵G是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：在和中，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 考点4：等腰三角形的判定 典例4：证明题：如图所示，在的边上取点D，使得，，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，关键是根据证明和全等解答．根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ， ． 【变式1】如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证； （2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】如图，为等腰直角三角形，是上一点．于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，即可得到，然后解题即可； （2）过点A作于点G，可以得到，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点A作于点G， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． （1）根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得； （2）同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， 平分， ， ， ， ， ， 的周长， ， ， ， ，， 的周长． 考点5：等腰三角形的个数问题 典例5：已知：如图，线段 直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图，熟悉基本几何图形的性质是解题的关键． （1），（2）以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点； （3）个等腰三角形中的周长最小． 【详解】（1）解：满足条件的点一共是个； （2）解：以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点． ； （3）解：由图可知，的周长最小， 故使得的周长最小的点是． 【变式1】在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)8 (2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论； （2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解． 【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和； ②当AB=AC时，如图，和； ③当BC=AC时，如图和． 综上可知满足条件的点C有个， 故答案为：； （2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)； 当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【变式2】如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，O为原点，OB在x轴上，∠AOB＝60°，点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），点D在第二象限，且△ABO≌△DCO． （1）请直接写出点D的坐标 ； （2）点P在直线BC上，且△PCD是等腰直角三角形，请画出图形并求点P的坐标． 【答案】（1）D（﹣3，3）；（2）画图形见解析，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（，3+），（，）． 【分析】（1）由△ABO≌△DCO，利用全等三角形的性质可得CD＝BA，由点A坐标为（3，3 ），点C的坐标为（0，3），可得D点的坐标； （2）首先利用全等三角形的性质可得OC＝OB＝3，∠BOC＝90°，易得∠OBC＝45°，分类讨论当CD为直角边时，过点D作P1D⊥CD，交BC于点P1，由DC∥OB，可得 △P1DC为等腰直角三角形，易得 ，可得P1点的坐标；当CD为斜边时，过D点作DP2⊥BC交BC于点P2，易得△CDP2是等腰直角三角形，作P2E⊥CD，可得CE＝DE＝，易得P2点的坐标． 【详解】（1）点D在第二象限，正确画出△COD如图所示， ∵△ABO≌△DCO， ∴CD＝BA， ∵点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3）， ∴D（﹣3，3）， 故答案为（﹣3，3）； （2）∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝45°， ①当CD为直角边时，如图，过点D作P1D⊥CD，交BC于点P1， ∵DC∥OB， ∴∠DCP1＝∠OBC＝45°， ∴△P1DC为等腰直角三角形， ∴， ∴P1（﹣3 ，3）； ②当CD为斜边时，过D点作DP2⊥BC交BC于点P2， 易得△CDP2是等腰直角三角形，作P2E⊥CD， ∵CP2＝DP2， ∴CE＝DE＝， ∴P2（，）．． 综上所述，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（ ，3 ），（，）．． 【点睛】本题考查了平面角坐标系与等腰三角形的存在性问题，解题的关键是根据题干的意思，找出正确的等腰直角三角形并求解点的坐标 【变式3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)7 【分析】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案． 【详解】（1）如图所示：和即为所求, （2）(2)如上图所示：作的对称点，连接和与轴的交点即可，点即为所求； （3）如图所示：即为所求，共个点 故答案为. 【点睛】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键． 考点6：等腰三角形尺规问题 典例6：在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，而，，所以，而可得，故； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得，从而可得． 【详解】（1）如图①，点为所作； （2）如图②，点、即为所求， 【变式1】如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，尺规作图， （1）根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定即可得出结果； （2）利用垂直平分线的性质作图即可； 熟记等腰三角形的两腰相等，两底角相等，作已知直线的中垂线是解题关键． 【详解】（1）解：连接，如图 ，， ． 由作图得：， ， ， ， ， 和均为等腰三角形； （2）如图2，点D即为所求． 【变式2】数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使． 下面是小路设计的尺规作图过程． 作法：作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求． 根据小路设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：连接， ∵直线l为线段的垂直平分线， ∴　 　，（ 　 　）（填推理的依据） ∴， ∴（ 　 　）（填推理的依据） (3)能否在射线上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形． 【答案】(1)见解析 (2)；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)能，作法与图形见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法：分别以点、点为圆心，以大于长为半径，在线段两侧画弧，交线段两侧于两点，连接两交点，交于点，据此作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形外角的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论； （3）以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求；根据等边对等角，得出，进而即可得出． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示； （2）证明：连接， ∵直线l为线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， ∴， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴． 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 （3）解：能．以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求． ∵， 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了尺规作图能力以及线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解本题的关键． 【变式3】如图，已知直线a、b及点P．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．（尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明） (1)当时，在图①、②中画出，使得两个三角形不全等； (2)当a与b不平行时，在图③、④中画出，使得两个三角形不全等． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分两种情况，过点P分别作直线a，b的垂线，再以垂足为圆心，P到a、b的距离为圆心画弧，再过弧与直线的交点作垂线，与另一直线的交点为点B，分别以点P为圆心，以线段为半径画圆，找出点A，最后连接即可； （2）分两种情况，过点P做直线a、b的垂线，再分别以交点为圆心，点P到a、b的距离为圆心画弧，再过弧与直线的交点作垂线，与另一直线的交点为点B，分别以点P为圆心，以线段为半径画圆，找出点A，最后连接即可； 【详解】（1）解：过点P做直线a的垂线，交直线a于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线a于点N，过点N做直线b的垂线，交直线b于点B，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线a于点A，连接，，，即得到等腰直角三角形，如图所示： 过点P做直线b的垂线，交直线b于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线b于点N，过点N做直线a的垂线，交直线a于点A，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线b于点B，连接，，即得到等腰直角三角形，如图所示： （2）过点P做直线a的垂线，交直线a于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线a于点N，过点N做直线b的垂线，交直线b于点B，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线a于点A，连接，，，即得到等腰直角三角形，如图所示： 过点P做直线b的垂线，交直线b于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线b于点N，过点N做直线a的垂线，交直线a于点A，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线b于点B，连接，，，即得到等腰直角三角形，如图所示： 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和尺规作图，解题的关键是掌握等腰直角三角形的相关知识． 学科网（北京）股份有限公司 $$