2.5.2圆与圆的位置关系7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.5.2 圆与圆的位置关系7题型分类 一、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 二、圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 三、圆与圆的公切线 1．公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2．公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离d=r求解. （一） 圆与圆位置关系的判断 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 题型1：判断两圆的位置关系 1-1．（2024高二下·江苏扬州·开学考试）圆与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 1-2．（2024高二下·安徽·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 1-3．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 题型2：由圆的位置关系求参数 2-1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为 . 2-2．（2024高三下·福建宁德·阶段练习）已知圆与圆内切，则的最小值为 2-3．（2024高二上·全国·课后作业）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2-4．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （二） 圆与圆相交有关的问题 1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程． 题型3：求两圆公共弦方程及公共弦长 3-1．（2024高二下·全国·阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为 . 3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则 3-3．（2024·河南·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高二上·湖南张家界·期末）已知两圆，． (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． （三） 圆与圆的位置关系的应用 1．公切线的条数：由圆与圆的位置关系求解. 2．公切线的方程：由圆心到切线的距离d=r求解. 3.与圆有关的最值问题：利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 题型4：两圆的公切线的条数 4-1．（2024高二上·山东青岛·期末）圆与圆的公切线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4-2．（2024高二上·四川遂宁·期末）若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（    ） A．14 B．28 C．9 D． 4-3．（2024·广西北海·一模）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024·山西·模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 4-5．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆：与圆：公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5：两圆的公切线方程 5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为 ；此时公切线的方程为 . 5-2．（2024高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024·陕西渭南·二模）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 题型6：两圆的公切线长 6-1．（2024高一·全国·课后作业）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 6-2．（2024高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 题型7：与圆有关的最值问题 7-1．（2023秋·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校考阶段练习）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 7-2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ） A．1 B． C． D．2 7-3．【多选】（2023秋·江西萍乡·高二统考期中）已知圆：与圆：相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．直线的一般式方程为 B．公共弦长 C．过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为 D．同时与圆和圆相内切的最大圆的方程为 7-4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设圆O，直线，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（    ） A．直线l与圆O相交 B．直线AB恒过定点 C．当P的坐标为时，最大 D．当最小时，直线AB的方程为 7-5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（    ） A．过点P的任意直线与圆M都相交 B．若圆M与直线无交点，则 C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线 D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分 7-6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 一、单选题 1．（2024高二上·贵州黔东南·期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·湖南郴州·期末）与两圆和都相切的直线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·山西·模拟预测）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆，圆，则圆，的位置（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 5．（2024高二上·全国·课后作业）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·浙江丽水·期末）若圆与圆外切，则实数（    ） A．－1 B．1 C．1或4 D．4 7．（2024高二上·福建宁德·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 8．（2024高二上·安徽滁州·期末）已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·河南洛阳·期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 10．（2024高二上·广西河池·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·全国·模拟预测）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 12．（2024高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 13．（2024高二上·河北保定·期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 15．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 16．（2024高二上·贵州遵义·期末）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 18．（2024·广东茂名·二模）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·北京通州·模拟预测）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·北京海淀·二模）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（    ） A． B．1 C． D．2 21．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高二上·陕西西安·期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 23．（2024高二上·云南大理·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 24．（2024高二·全国·课后作业）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D． 25．（2024高二下·河南·阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆外切 B．直线与圆相切 C．直线被圆所截得的弦长为2 D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10 三、填空题 26．（2024高一·全国·课后作业）圆与圆的交点坐标为 . 27．（2024高二·全国·课后作业）圆与的交点坐标为 . 28．（2024·广西玉林·二模）写出一个半径为1，且与圆外切的圆的标准方程： ． 29．（2024高二上·四川资阳·期中）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围 ． 30．（2024高三·天津·专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 ． 31．（2024·天津和平·二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ． 32．（2024·河南郑州·一模）经过点以及圆与交点的圆的方程为 ． 33．（2024高三下·河南濮阳·开学考试）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为 ． 34．（2024高二上·贵州遵义·阶段练习）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是 . 35．（2024高二下·广东广州·期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 36．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为 . 37．（2024高三下·安徽池州·阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 . 38．（2024·河北衡水·三模）若圆和有且仅有一条公切线，则 ；此公切线的方程为 四、解答题 39．（2024高二上·河北保定·期末）已知圆与圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 40．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知点A、B的坐标分别是，点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.    41．（2024高二·全国·课后作业）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程． 42．（2024高一下·山东临沂·期末）已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 43．（2024高二上·全国·单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程. 44．（2024高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 45．（2024高一下·江苏无锡·期中）已知圆C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数． (1)当a＝m＝n＝3时，判断直线AB与圆C的位置关系； (2)当a＝4时，若对于圆C上任意一点P均有PA＝λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值； (3)当m＝2，n＝4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围． 46．（2024高二下·上海黄浦·阶段练习）已知圆和圆 (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值 47．（2024高二下·上海黄浦·期中）已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.5.2 圆与圆的位置关系7题型分类 一、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 二、圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 三、圆与圆的公切线 1．公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2．公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离d=r求解. （一） 圆与圆位置关系的判断 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 题型1：判断两圆的位置关系 1-1．（2024高二下·江苏扬州·开学考试）圆与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意可得， 故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则， 易知，故两圆内切. 故选：B 1-2．（2024高二下·安徽·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可. 【详解】两圆化为标准形式，可得与圆， 可知半径，，于是， 而，故两圆相交， 故选：. 1-3．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用两圆外切的定义判断即可. 【详解】圆是以为圆心，半径的圆， 圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆， 则，=3，所以两圆外切， 故选：. 题型2：由圆的位置关系求参数 2-1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程. 【详解】如图所示： 过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为. 由得，则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为： 2-2．（2024高三下·福建宁德·阶段练习）已知圆与圆内切，则的最小值为 【答案】2 【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可． 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距， 两圆内切，，可得， 所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2． 故答案为：2． 2-3．（2024高二上·全国·课后作业）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】圆与圆相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式． 【详解】圆与圆相交， 两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和， 即，所以. 解得或. 故选：B 2-4．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，再解不等式即可. 【详解】由题知：，，，， . 因为和有公共点，所以， 解得. 故选：C （二） 圆与圆相交有关的问题 1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程． 题型3：求两圆公共弦方程及公共弦长 3-1．（2024高二下·全国·阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为 . 【答案】 【分析】求出，得到圆，两圆相减得到相交弦方程. 【详解】圆：的圆心坐标为， 因为圆过圆的圆心，所以， 所以，所以：， 两圆的方程相减可得相交弦方程为. 故答案为：. 3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则 【答案】 【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解. 【详解】圆的方程为，即①， 又圆：②， ②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为 圆的圆心到直线的距离， 所以． 故答案为: . 3-3．（2024·河南·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解. 【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为， 即， 因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为， 则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：D. 3-4．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一般方程表示圆以及两圆相交可得出关于的不等式组，求出直线的方程，分析可知直线经过圆心，将圆心的坐标代入直线的方程，可求得实数的值，再进行检验即可. 【详解】对于圆，有，可得， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，且， 因为两圆有两个公共点、，则， 即， 将两圆方程作差可得， 因为，则直线过圆心，所以，，解得， 满足. 因此，. 故选：C. 3-5．（2024高二上·湖南张家界·期末）已知两圆，． (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】(1) (2)两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为 【分析】（1）两圆相外切，则两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得答案； （2）将两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，后可得弦长所在直线与圆圆心距离，后可得弦长. 【详解】（1）因为圆的标准方程为， 所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，. 当两圆外切时，圆心距为半径之和，则，结合， 解得； （2）当时，圆的一般方程为 两圆一般方程相减得：， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 圆圆心到的距离为 故两圆的公共弦的长为． （三） 圆与圆的位置关系的应用 1．公切线的条数：由圆与圆的位置关系求解. 2．公切线的方程：由圆心到切线的距离d=r求解. 3.与圆有关的最值问题：利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 题型4：两圆的公切线的条数 4-1．（2024高二上·山东青岛·期末）圆与圆的公切线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆相交，即可得出答案. 【详解】由圆方程，可得圆心，半径； 由圆方程，可得圆心，半径. 所以，，且， 所以两圆相交，公切线条数为2. 故选：C. 4-2．（2024高二上·四川遂宁·期末）若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（    ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆与圆有且仅有3条公切线，可得两圆外切，则，从而可得答案. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆有且仅有3条公切线， 所以两圆外切， 则， 即，解得. 故选：A. 4-3．（2024·广西北海·一模）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得的取值范围. 【详解】因为圆：与：恰好有4条公切线，所以圆与外离，所以，解得或，即实数的取值范围是. 故选：D. 4-4．（2024·山西·模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条. 【详解】圆：的圆心为，半径为a， 所以圆心到直线的距离为，解得或． 因为，所以. 所以圆：的圆心为，半径为． 圆：的标准方程为， 圆心坐标为，半径， 圆心距，所以两圆相内切． 所以两圆的公切线只有1条. 故选：B． 4-5．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆：与圆：公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案. 【详解】根据题意，圆：，即， 其圆心为，半径； 圆：，即， 其圆心为，半径， 两圆的圆心距，所以两圆相外切， 其公切线条数有3条． 故选：C． 题型5：两圆的公切线方程 5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为 ；此时公切线的方程为 . 【答案】 5（答案不唯一） 和（答案与前空的答案有关联） 【分析】根据两圆相交，求出圆半径的取值范围；再根据圆心到直线切线的距离等于半径求出切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为5. 因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交.即. 又，所以， 所以可取(答案不唯一.满即可). 此时. 因为的圆心为，半径为5，的圆心为，半径为5， 所以可设公切线的方程为，且与两圆圆心所在的直线平行，解得， 又因为是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得. 所以当时，公切线的方程为和. 故答案为: 5；和. 5-2．（2024高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 5-3．（2024·陕西渭南·二模）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（三条中任写一条即可） 【分析】根据两圆公切线的知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 与的距离为，所以两圆外切. 过与的直线方程为. 由图可知，直线是两圆的公切线， 由解得，设， 设两圆的一条公切线方程为， 到直线的距离为， 即，解得， 所以两圆的一条公切线方程为，即. 由两式相减并化简得， 所以两圆的公切线方程为或或. 故答案为：或或（三条中任写一条即可） 题型6：两圆的公切线长 6-1．（2024高一·全国·课后作业）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【答案】或，8 【分析】利用两圆的圆心在轴得到内公切线的交点也在轴上，再利用几何性质可求的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程. 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率. 6-2．（2024高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 题型7：与圆有关的最值问题 7-1．（2023秋·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校考阶段练习）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 【答案】4 【分析】利用两圆的外切关系先计算，再根据圆上一动点到定直线的距离的最值计算即可. 【详解】圆化为标准方程为， 可得，其半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以，解得， 可得圆的半径为， 因为圆心到直线的距离为， 则点P到直线的距离的最大值为. 故答案为：4. 7-2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答. 【详解】依题意，在中，，如图， 显然，是锐角，，又函数在上递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，所以. 故选：D 7-3．【多选】（2023秋·江西萍乡·高二统考期中）已知圆：与圆：相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．直线的一般式方程为 B．公共弦长 C．过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为 D．同时与圆和圆相内切的最大圆的方程为 【答案】ABC 【分析】两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于即可求得弦长；设过，两点的圆的方程将代入，即可求解；同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，可判断. 【详解】将圆：与圆：相减得， 所以直线的一般式方程为，正确； 圆心，半径等于，圆心到直线的距离为， ，正确； 过，两点的圆的方程可设为， 将代入，可得， 所以过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为，正确； 同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，错误． 故选：． 7-4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设圆O，直线，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（    ） A．直线l与圆O相交 B．直线AB恒过定点 C．当P的坐标为时，最大 D．当最小时，直线AB的方程为 【答案】BCD 【分析】求出圆心O到直线的距离.对于A：由直接判断；对于B：设.求出以为直径的圆D的方程，得到直线AB：.证明直线AB恒过定点.对于C：先判断出 要使最大，只需最大.在直角中，由.求出最小时P ，即可判断；对于D：利用面积相等得到要使最小，只需最小，即时，得到P的坐标为，求出直线AB. 【详解】圆O的半径. 设圆心O到直线的距离为d，则. 对于A：因为，所以直线l与圆O相离.故A错误； 对于B：P为上的动点，可设. 因为PA，PB为过点P作圆O的两条切线，所以. 所以四点共圆，其中为直径. 设的中点为,则, 所以圆D为，即. 所以直线AB为圆D和圆O的相交弦，两圆方程相减得：. 即直线AB：. 由解得：，所以直线AB恒过定点.故B正确； 对于C：因为和为直角三角形，且,所以， 所以，所以. 要使最大，只需最大. 在直角中，. 要使最大,只需最小，所以当时，最小，此时，所以，所以直线. 由，解得：，即当P的坐标为时，最大.故C正确； 对于D：因为直线AB为圆D和圆O的相交弦，所以，且被平分. 所以四边形的面积为. 而四边形的面积还可以表示为 所以. 要使最小，只需最小，即时，得到P的坐标为. 所以圆, 两圆相减得到直线AB：.故D正确. 故选：BCD. 7-5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（    ） A．过点P的任意直线与圆M都相交 B．若圆M与直线无交点，则 C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线 D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分 【答案】ACD 【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断D选项. 【详解】因为点代入入圆的方程得,所以在圆M内， 所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确; 圆M圆心,直线, 若圆M与直线无交点， , ,,,,B选项错误; 圆,当时，圆M半径最小则面积最小, 圆Q：,, , 圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确; 无论a为何值， ,,所以圆M都有弦长为的弦, ,, ,, 因为垂直弦平分弦, 圆M都有弦长为的弦，且被点P平分,故D选项正确. 故选:ACD. 7-6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为3 【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解； （2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值. 【详解】（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切， 且， 故， 即. （2）作于点H，连接PQ， 在中，， 其中， 故， 又，当且仅当时取等号， 故， 即的最大值为3. 一、单选题 1．（2024高二上·贵州黔东南·期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆相交的性质直接得出. 【详解】由题意知，圆心与圆心， 则圆心距， 因为圆与圆有两个交点， 则圆与圆相交， 则， 解得． 故选：B. 2．（2024高二上·湖南郴州·期末）与两圆和都相切的直线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解. 【详解】由题意知，， 所以圆心距, 所以两圆相离，公切线有4条. 故选：D. 3．（2024·山西·模拟预测）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得. 【详解】 将和相减得直线， 点到直线的距离， 所以． 故选：B 4．（2024高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆，圆，则圆，的位置（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程化为标准方程得出其圆心与半径，根据两圆圆心距离与两半径和与差的比较即可得出答案. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为； 两圆心距离为：， ， 圆与外离， 故选：D. 5．（2024高二上·全国·课后作业）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程. 【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0. 故选：D. 6．（2024高二上·浙江丽水·期末）若圆与圆外切，则实数（    ） A．－1 B．1 C．1或4 D．4 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】由条件化简得，即两圆圆心为， 设其半径分别为，，所以有. 故选：D 7．（2024高二上·福建宁德·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 于是， 所以两圆相交. 故选：B 8．（2024高二上·安徽滁州·期末）已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先根据题意得到当时，此时取得最小值，求出以为直径的圆的方程为，再求两圆的公共弦方程即可. 【详解】 由圆的知识可知，，，，四点共圆，且， 所以， 又，当时，此时取得最小值， 此时直线的方程为，即， ，解得，即. 所以的中点为， 所以以为直径的圆的方程为， 又圆：，即， 两圆的方程相减可得：，即直线的方程为． 故选：D 9．（2024高二下·河南洛阳·期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合图象，得，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 可得圆心距， 如图，， 所以， 当共线时，取得最小值， 故的最小值为.    故选：B 10．（2024高二上·广西河池·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当 共线且点在之间时，最小，由勾股定理即可求解. 【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时， 最小，由于,所以min， 所以. 故选：.    11．（2024·全国·模拟预测）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 【答案】B 【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径； 由圆，整理可得，则圆心，半径； 由，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条. 故选：B. 12．（2024高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】A 【分析】将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得. 【详解】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径； 圆的方程可化为，圆心为，半径. 因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切. 所以有，即，所以. 又，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：A. 13．（2024高二上·河北保定·期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆的公切线性质，结合两圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由， 所以，半径， 由，所以，半径为， 因为圆与圆恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交， 于是有，而， 所以m的取值范围为， 故选：A 14．（2024高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 15．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】算出两圆圆心的距离，然后与两圆半径之和、差比较即可. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以 所以圆与的位置关系是相交. 故选: C. 16．（2024高二上·贵州遵义·期末）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为5； 圆的圆心坐标为，半径为3， 所以两圆的圆心距为， 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公切线有2条. 故选：B. 17．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】D 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案. 【详解】与两式相减得，即公共弦所在直线方程. 圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为， 半弦长为，则有，解得或（舍），此时 故选：. 18．（2024·广东茂名·二模）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可分析出点P在：，问题转化为两圆上两动点距离的取值范围即可得解. 【详解】由原点到直线：的距离为， 可知直线是：的切线，又动直线始终没有经过点，所以点在该圆内， 因为点为：上的动点，且，， ∴，又， 即的取值范围为， 故选：D 19．（2024·北京通州·模拟预测）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得A为圆任意一点，设圆的圆心为M，从而得到为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，进而即可求解． 【详解】由，则， 又，且A为线段中点，则， 所以A为圆任意一点， 设圆的圆心为M，则， 又，所以圆O与圆M相离， 所以的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离， 所以， ， 所以的取值范围为． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：依题意得的几何意义为圆与圆这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键． 20．（2024·北京海淀·二模）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意当动直线经过圆的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段的中点为，从而得到动直线在圆上做切线运动，当动直线与轴垂直且点的坐标为时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解． 【详解】由题意可知圆的圆心在圆上， 则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1， 此时弦长取得最大值，且最大值为； 设线段的中点为， 在中，由，且，则， 则动直线在圆上做切线运动， 所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2， 此时弦长取得最小值，且最小值为， 所以的最大值与最小值之差为2． 故选：D． 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法： ①几何法：求圆的半径，弦心距，则弦长为； ②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式． 21．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围. 【详解】圆C：的圆心，半径， ∵圆C上至少存在一点P，使得， ∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示， 又圆O：的圆心，半径， 则，即，∴． 故选：B．    22．（2024高二上·陕西西安·期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，即，圆心，； ，即，圆心，半径； 两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故， 即， . 当且仅当，即，时等号成立. 故选：A 二、多选题 23．（2024高二上·云南大理·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【分析】根据圆心距结合两圆半径可判断两圆的位置关系，故可判断D的正误，求出的最值后可判断AB的正误，利用公式可求连心线的斜率，故可判断C的正误. 【详解】根据题意，圆：，其圆心，半径， 圆：，即，其圆心，半径， 则圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确； 的最小值为，最大值为， 故A正确，B不正确； 对于C，圆心，圆心， 则两个圆心所在直线斜率，故C正确， 故选：AC. 24．（2024高二·全国·课后作业）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出． 【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，． 故选：ACD． 25．（2024高二下·河南·阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆外切 B．直线与圆相切 C．直线被圆所截得的弦长为2 D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10 【答案】ACD 【分析】利用配方法，根据两圆相切、圆的切线性质、垂径定理、两圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆化为，圆心坐标为，半径为2， 圆化为，圆心坐标为，半径为3. 因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确. 圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误. 圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确. 若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确. 故选：ACD 三、填空题 26．（2024高一·全国·课后作业）圆与圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程联立，解方程组求解即可. 【详解】联立两个圆的方程：，方程带入，先得到 ，在联立，得到，解得或，对应的值为或，于是得到两圆交点：. 故答案为：. 27．（2024高二·全国·课后作业）圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【分析】联立两圆的方程即可求解. 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 28．（2024·广西玉林·二模）写出一个半径为1，且与圆外切的圆的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一，方程满足且即可） 【分析】设所求圆的方程为，根据两圆外切可得a，b关系，随意取一组值即可. 【详解】依题意可设所求圆的方程为，根据两圆外切得两圆的圆心距为，即． 令，则，所求圆的方程可以为. 故答案为：（答案不唯一） 29．（2024高二上·四川资阳·期中）已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果. 【详解】由，即， 可知圆的圆心为，半径为； 因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交， 则，∵， 解得：，即的取值范围是. 故答案为：. 30．（2024高三·天津·专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 ． 【答案】 【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由题意可得：， 即圆的圆心为，半径为， 即圆心到直线的距离为， 故所截弦长为． 故答案为： 31．（2024·天津和平·二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】联立，两式相减得. 故答案为： 32．（2024·河南郑州·一模）经过点以及圆与交点的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案. 【详解】联立，整理得， 代入，得，解得或， 则圆与交点坐标为， 设经过点以及的圆的方程为, 则，解得， 故经过点以及圆与交点的圆的方程为， 故答案为： 33．（2024高三下·河南濮阳·开学考试）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】依题意求出圆心的横坐标与半径，即可得解. 【详解】解：依题意可知圆心的横坐标为，半径为， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 34．（2024高二上·贵州遵义·阶段练习）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是 . 【答案】 【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程， 【详解】圆方程为，圆方程为， 则圆心分别为，，两圆相交于两点，则线段AB的垂直平分线即为直线， ，则直线的方程为，即， 故答案为： 35．（2024高二下·广东广州·期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，易得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为或或. 故答案为：（答案不唯一，或均可以） 36．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线的方程，利用直线与圆相交弦长公式，求得满足的等式关系，根据方程有解，即可得的取值范围. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径 若两圆相交，则，所以，即， 又两圆相交弦所在直线方程为：即 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， 则弦长，所以，则，所以， 若存在，使得，则，即，所以的取值范围为. 故答案为：. 37．（2024高三下·安徽池州·阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意分析可得，当直线时，最小，此时求出以为直径的圆的方程，两圆方程联立即可求得直线的方程. 【详解】圆的方程可化为，则圆心，半径， 可得点到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 依圆的知识可知，四点四点共圆，且， 所以， 原题意等价于取到最小值， 当直线时，，此时最小. 的直线方程为：， 与联立，解得：，即， 则的中点为， 所以以为直径的圆的方程为，即， 两圆的方程相减可得：， 即直线的方程为. 故答案为：. 38．（2024·河北衡水·三模）若圆和有且仅有一条公切线，则 ；此公切线的方程为 【答案】 1 【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解. 【详解】如图，    由题意得与相内切，又， 所以， 所以，解得， 所以，． 联立，解得 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 故答案为：1； 四、解答题 39．（2024高二上·河北保定·期末）已知圆与圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆与圆圆心距与两半径关系证明； （2）两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程； （3）设出经过两圆交点的圆系方程，圆心坐标代入所在直线即可求解. 【详解】（1）圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆心距，，所以圆与圆相交. （2）两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为. （3）设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为 40．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知点A、B的坐标分别是，点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.    【答案】 【分析】作出两圆的内公切线，由圆的知识，内公切线与外公切线的交点，即为PQ的中点，再利用切线长的性质建立几何关系，化简即可求出轨迹方程. 【详解】过C作，交于点，则是两圆的内公切线， 因为直线为两圆的外公切线， 由切线长知识可得，，， 所以是线段PQ的中点， 设，则，，， 连接，，，，则 又因为，，，, 所以，， 所以，， 从而可得，所以， 所以， 所以， 因为点是线段上任一点，和为直径， 所以， 所以线段PQ的中点的轨迹方程为.    41．（2024高二·全国·课后作业）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】 【分析】设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆，联立两圆，求得公共弦方程，再求得两圆圆心连线的方程，即可求得圆心坐标，根据弦长公式，求得弦AB的长，可得圆的半径，即可得答案. 【详解】设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆． 联立，可得直线AB的方程为． 又圆M的圆心，圆N的圆心 所以两圆圆心连线的方程为． 解方程组，可得圆心坐标为． 圆心到直线AB的距离为，圆M的半径为， 弦AB的长为，则所求圆的半径为， 所以所求圆的方程为． 42．（2024高一下·山东临沂·期末）已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解， （2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解. 【详解】（1）圆 化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为 ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为即 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 所以，即， 解得，所以直线方程为 综上，所求直线的方程为或 （2）依题意，设 又已知圆C的圆心为，半径为2， 由两圆外切，可知， 所以， 解得或所以或， 所以所求圆D的方程为或 【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题． 先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程． 设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程． 43．（2024高二上·全国·单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】 【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程，从而求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入得，解得， 所以所求圆的方程为． 44．（2024高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用半径、到的距离、公共弦长的一半构成的直角三角形可得答案； （2）由图象、方程特征可知一条公切线为：；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离解得，可得答案. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 两圆方程、相减可得公共弦直线方程为 ，所以点到的距离为， 所以公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，也即， 则点到此公切线的距离，解得：， 所以另一条公切线的方程为：， 综上，两圆的公切线方程为和． 45．（2024高一下·江苏无锡·期中）已知圆C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数． (1)当a＝m＝n＝3时，判断直线AB与圆C的位置关系； (2)当a＝4时，若对于圆C上任意一点P均有PA＝λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值； (3)当m＝2，n＝4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)相离 (2)m＝3，λ＝2 (3) 【分析】（1）把a＝m＝n＝3分别代入圆与直线方程，由圆心到直线的距离,即可判断直线与圆的位置关系； （2）设点P（x，y），由PA＝λPO，得，结合，化简得，由P为圆C上任意一点，列式求得实数m，λ的值； （3）求出直线方程，由点的坐标得到点的坐标，将点M，N的坐标代入圆C的方程，利用方程有解，以及直线与圆相离，即可求解a的范围． 【详解】（1）当a＝3时，圆心为，半径为， 当m＝n＝3时，直线AB方程为， ∴圆心到直线距离为， ∵，∴直线与圆相离； （2）设点P（x，y），则，， ∵PA＝λPO，∴， 即， 由得，，∴， 代入得，， 化简得， ∵P为圆C上任意一点，∴， 又m，λ＞0，解得m＝3，λ＝2； （3）直线AB的方程为，设，N（x，y）， ∵点M是线段PN的中点，， 又M，N都在圆C：（x+1）2+y2＝a上，， 即． ∵关于x，y的方程组有解，即以（﹣1，0）为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， ∴， 又P为线段AB上的任意一点，∴对所有成立． 而在[0，2]上的值域为， ∴，即． 根据题意可知线段AB与圆C无公共点，∴，则． 故实数a的取值范围为． 46．（2024高二下·上海黄浦·阶段练习）已知圆和圆 (1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示） (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据两圆相交，得到，求出的取值范围，两圆相减得到相交弦即直线的方程； （2）联立直线与圆，得到两根之和，两根之积，利用求出的值，并结合根的判别式舍去不合要求的根. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相交于两点，则， 解得， 与相减得， 直线的方程为； （2）设，则联立， 得， 则， 则， ， ， 解得，或， 其中不满足，舍去，满足要去， 则实数的值为. 47．（2024高二下·上海黄浦·期中）已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)Q，A，B，C四点共圆的证明见解析，点Q恒在直线上，理由见解析 【分析】（1）求出直线恒过的定点，利用点与圆的位置关系判断即可； （2）求出圆的圆心坐标，设出M的坐标，利用垂径定理，转化求解轨迹方程即可； （3）设点，证明Q，A，B，C四点共圆，求出圆的方程，求出与圆相交弦的方程，即为直线l的方程，可求点坐标的特征． 【详解】（1）证明：如图所示， 圆，化成标准方程为，圆心，半径为2， 直线过定点，定点到圆心距离为1，即在圆内，故直线l与圆C相交； （2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M， 设点，由垂径定理得，即，整理得， 直线l不过圆心C，则， 所以点M的轨迹方程为； （3）依题意有，， 四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径， 设，则圆心坐标为， 半径为， 则圆的标准方程为 ， 整理得，与圆C的方程联立， 消去二次项得∶，即为直线l的方程， 因为直线过定点，所以，解得：， 所以当m变化时，点Q恒在直线上． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$