精品解析：广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷 一、选择题 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 2. 下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 3. 已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 4. 小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：， ， ，，， ①______， 又，， （②______）， ， 四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为 A. B. C. D. 7. 在中，，过点A作，连接与交于点F，E是边的中点，，若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 4 8. 如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 分解因式：______． 10. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 11. 如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为______． 12. 如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为_____． 13. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 三、解答题 14. 解方程：． 15. 先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称图形； （2）画出绕点逆时针旋转所得到图形，并写出的坐标． 17. 端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． （1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； （2）在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 18. 如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点， 作于点，于点 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 19. 如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题： （1）__________，___________； （2）如图①，若点沿折线向运动， ①为何值时，，请说明理由； ②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为_______． 20. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，点O是边的中点，连接．保持不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究． （1）初步思考：如图2，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论； （2）操作探究：如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论； （3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省深圳市福田区外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷 一、选择题 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据此定义即可解答． 【详解】解：A、从左到右的变形是整式的乘法，故本选项不符合题意； B、不是多项式，故本选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积． 3. 已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 【详解】解：点在第三象限， ，解得， 此不等式组的解集为：， 故选：B 4. 小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，，由此方程有增根无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵此方程有增根无解， ∴， 解得，， 故选：A． 5. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：， ， ，，， ①______， 又，， （②______）， ， 四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形外角性质，即可得①的答案，根据判断全等三角形的方法，即得②的答案． 【详解】证明：， ， ，，， ， 又，， （）， ， 四边形是平行四边形． 故选D． 6. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包装箱数量=所用A型包装箱的数量-12，由此可得到所求的方程． 【详解】解：根据题意，得：， 故选：A． 【点睛】此题考查分式方程的问题，关键是根据公式：包装箱的个数与文具的总个数÷每个包装箱装的文具个数是等量关系解答． 7. 在中，，过点A作，连接与交于点F，E是边的中点，，若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解答该题的关键是掌握以上知识点． 利用直角三角形的性质得出，利用等边对等角、三角形外角的性质可得出，利用等角对等边可得出，然后在利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∵是边的中点，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握四边形内角和、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角函数这四者知识点的综合应用，其中把 绕顺时针旋转 得到是解题关键. 把绕顺时针旋转得到， 过作垂足为，得， ，再根据四边形内角和为得从而得点三点在同一条直线上，再通过等量代换得 进一步得，再根据三角函数求出对角线的长. 【详解】把绕顺时针旋转得到 过作垂足为， ∴ ∴， ∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点在同一条直线上， ∵， ， ， ， ， 在中， ， ， 故选A 二、填空题 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件、二次根式有意义的条件分析得出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，正确掌握分式“有意义的条件：分母不等于0；二次根式有意义的条件：被开方数是非负数”是解题关键． 11. 如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解数形结合思想是解题的关键．根据一次函数与一元一次不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：不等式的解集为：， 故答案为：． 12. 如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，由题意又知，最后根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长、交于点，如图： 为中的外角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的运动路线是解答的关键． 连接，取的中点O，连接，证明是等边三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，证明得到，则点Q在射线上运动，由已知得到，过Q作于M，于N，，则，，利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到， ，在中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，则， 在矩形中，，，， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， 连接并延长交于E， 由旋转性质得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴由得 解得，则 ∴点Q在射线上运动， ∵ ∴， 过Q作于M，于N，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， 由得， 解得，则， ∴， 在中，由得， 整理，得，即， ∴，又， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14. 解方程：． 【答案】原方程无解． 【解析】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能把分式方程转化成整式方程进行求解． 15. 先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式为；当时，原式为． 【解析】 【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果． 【详解】解： ， 当a取，1，2时分式没有意义， 所以或0， 当时，原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点逆时针旋转所得到的图形，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，解题的关键是： （1）根据中心对称的性质找到对应点，作图即可． （2）根据旋转的性质找到对应点，依次连接作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 如图所示，其中，． 17. 端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． （1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； （2）在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元； （2）购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，（1）设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，根据用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，根据购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式得出，再设总费用为w元，列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元； 【小问2详解】 解：设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒， 由题意得：， 解得：， 设总费用为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小， 此时，， 答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少． 18. 如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点， 作于点，于点 请回答下列问题： （1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明； （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 【答案】（1）选择方案及证明见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，所以，则，所以． 【小问1详解】 解：选甲方案， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 选乙方案， 证明：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； 小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是32． 19. 如图①②，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．请回答下列问题： （1）__________，___________； （2）如图①，若点沿折线向运动， ①为何值时，，请说明理由； ②为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图②，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为_______． 【答案】（1）； （2）①，理由见解析；②的值为或或2；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据勾股定理求出，根据点与点纵坐标相同，所以的长为横坐标之差的绝对值，进而作答即可； （2）①由题意知点运动过程中的坐标为，推出是直角三角形，则，，，即可求出； ②由题得当时，点在上运动，若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，三种情况满足条件，分别计算，即可作答； （3）求出直线的解析式，利用解析式设出点的坐标，由被平分，表示出的中点，在线段上，则点纵坐标为，代入即可作答． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：①由题意可得点运动过程中的坐标为， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即或， 解得：或（舍去） ∴时，； ②由题意，分两种情况，当时，时， 由题得当时，点在上运动， 若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，， 即且， ，， ， ； 当时， 根据题意，， ， ，， ， ； 当时， ， ； 故的值为或或2； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，代入，两点： ，解得：， ∴， ∴，， ∵被平分， ∴的中点， ∵在线段上， ∴点纵坐标为， ∴， 解得：， ∴代入可得：， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了坐标与图形，中点坐标，待定系数法求解析式，平行四边形性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识． 20. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，点O是边的中点，连接．保持不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究． （1）初步思考：如图2，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论； （2）操作探究：如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论； （3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）线段的长度为1或或． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，证明，得到，证明是线段的垂直平分线，得到是的中位线，据此证明即可； （2）延长交于点，先证明，求得，利用等腰三角形的性质即可证明结论成立； （3）分当、和，三种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质或勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接交于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴点是线段的中点， ∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 证明：延长交于点， 由（1），是线段的垂直平分线， ∴， 由题意得， ∴， ∵，， ∴， ∴垂直平分； 【小问3详解】 解；当时，则点在线段的垂直平分线上，作于点，如图， 由题意得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，如图， 由题意得， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴在同一直线上， 设， ∴，， 中，，即， 解得， ∴； 综上，线段的长度为1或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线、分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$