精品解析：广东省汕头市潮阳启声学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

潮阳启声学校2023—2024学年度第二学期第一次月考 高一年级数学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，且为第四象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，向量，则向量( ) A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. -3 D. 3 4. 已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. 0 C. D. 7. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果，，都是非零向量.下列判断正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 13. 已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__. 14. 若、是关于的方程的两个根，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求该函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 17. 已知，，且与的夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳启声学校2023—2024学年度第二学期第一次月考 高一年级数学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，且为第四象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由于，且为第四象限角， 所以， . 故选：D 2. 已知点，，向量，则向量( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，选A. 3. 若，则（ ） A. B. C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，弦化切进行计算. 【详解】， 分子分母同除以， ， 解得： 故选：C 4. 已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得. 【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误. 故选：C. 5. 已知，则的最小值为（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】∵，∴， ∴≥＝6， 当且仅当即时， 取最小值6， 故选：A． 6. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数定义求得，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由角的终边过点，则，所以， 所以. 故选：B 7. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算 【详解】. 故选：B 8. 已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，根据题意结合图象，则有，解出即可. 【详解】因为，则， 所以由题意得：，解得. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理进行判断可得答案． 【详解】∵4－6＝－2(3－2)，∴3－2与4－6共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.A、C、D选项均可 故选：ACD 10. 如果，，都是非零向量.下列判断正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平行向量的定义可判断AD，利用数量积的概念及性质可判断BC. 【详解】∵，，都是非零向量， ∴若，，则，故A正确； 若，，则，但不一定等于，故B错误； 由，可得，整理可得，所以，故C正确； 若，则，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，然后结合正弦函数的性质逐个分析判断. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于A：最小正周期为，故A正确； 对于B：由，得，得， 因为在上递减，在上递增， 所以在区间上不单调递增，所以B错误； 对于C：因为， 所以的图象不关于直线对称，所以C错误； 对于D：因为，所以 的图象关于点对称，所以D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及幂的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__. 【答案】 【解析】 【分析】由向量投影的定义即可求得则在方向上的投影向量. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 若、是关于的方程的两个根，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意得，，则或， 又，即，解得或（舍去）， 则， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，即可求解； （2），从而即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ①， 因为菱形，且，， 故，. 所以. 故①式. 故. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求该函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1） （2） （3）最小值为0，最大值为3 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式求出函数的解析式，即可求最小正周期； （2）利用三角函数的单调区间的求法求解； （3）根据三角函数的图象性质求区间上的最值. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 令，则， 故该函数的单调递增区间. 【小问3详解】 因为，所以， 当，即时，； 当，即时，， 故函数在区间上的最小值为0，最大值为3. 17. 已知，，且与的夹角为，求： （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入向量模的公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解； （3）代入向量共线定理，即可求解. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 ， ， ， 即，所以与的夹角为； 【小问3详解】 若向量与平行， 则，， 得或， 所以的值为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1） （2） 函数在上为增函数； 证明如下：任意且， 则 因为，所以，又因为， 所以，所以， 即，所以函数在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可. （2）利用函数单调性定义证明即可. （3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， ，解得：， ，而，解得， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，不等式可化为， 即解不等式，所以， 所以，解得 所以该不等式的解集为 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案； （2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案. 【小问1详解】 由图象可知，周期， ， 因为点在函数图象上， 所以，即， 又， ， 则，即， 因为点在函数图象上，所以，即， 故函数的解析式为. 【小问2详解】 由题意可得， 设 ，当时，恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 在区间上单调递减， 令，解得， 因为，所以，则， 故，解得， 所以最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $