2.4 圆的方程9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.4 圆的方程9题型分类 一、圆的标准方程 1．圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 二、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心,以为半径的圆 （一） 求圆的标准方程 1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： 2．几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程． 3．求圆的标准方程的策略: 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 题型1：求圆的标准方程 1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为 . 1-2．（2024高二·江苏·假期作业）圆心在y轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为 ． 1-3．（2024高二·全国·课后作业）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为2； (3)，为直径的两个端点； (4)圆心在直线上，且过点和点． 题型2：由圆的方程求圆心或半径 2-1．（2024高二上·北京·阶段练习）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 2-2．（2024高二下·安徽宣城·期末）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2-3．【多选】（2024高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为b C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 题型3：与圆有关的对称问题 3-1．（2024高二下·四川凉山·阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是 3-2．（2024高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线l对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高二上·云南昆明·期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于x轴对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． （二） 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系： 1．代数法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． 假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内；d=r点在圆上；d＞r点在圆外. 2． 几何法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 点P（x1,y1)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系： （1）当(x1- a)²+(y1-b)²＞r²时，则点P在圆外. （2）当(x1- a)²+(y1-b)²=r²时，则点P在圆上. （3）当(x1- a)²+(y1-b)²＜r²时，则点P在圆内. 题型4：判断点与圆的位置关系 4-1．（2024高二上·吉林长春·阶段练习）若点在圆上,则实数 . 4-2．（2024高三·全国·课后作业）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4-3．（2024高二上·重庆石柱·阶段练习）若点在圆内，则实数的取值范围为 . 4-4．（2024高二上·重庆）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 4-5．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）若点在圆外，则实数a的取值范围是 . （三） 圆的一般方程的辨析 圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 圆的一般方程的辨析: (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不是圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 题型5：圆的一般方程的辨析 5-1．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高二上·黑龙江双鸭山·期中）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（    ） A．m<1 B．m>1 C．m< D．<m<1 5-3．（2024高二上·江苏盐城·期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四） 求圆的一般方程 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 题型6：求圆的一般方程 6-1．（2024高一下·湖南株洲·期末）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 6-3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 6-4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6-5．（2024高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 题型7：圆过定点问题 7-1．（2024高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 7-2．（2024高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 7-3．（2024高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7-4．（2024高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 （五） 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 题型8：与圆有关的最值问题 8-1．（2024·甘肃酒泉·三模）点在圆上，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8-2．（2024高一下·广西·阶段练习）若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．7 D． 8-3．（2024高二上·四川巴中·期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为 ． 8-4．（2024·广东佛山·模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．4 （六） 求动点的轨迹方程 1、求动点的轨迹方程常用方法“四步一回头”： 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x,y). （2）写出适合条件的点M的集合P=P{M|P(M)}. （3）将P(M)“翻译”成代数方程f(x,y)=0. （4）化简代数方程f(x,y)=0为最简形式. 一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程. 2、求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 题型9：求动点的轨迹方程 9-1．（2024高二上·山东青岛·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程. 9-2．（2024高二上·山东日照·阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 9-3．（2024高二上·江西宜春·阶段练习）已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 9-4．（2024高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆C过三个点． (1)求圆C的方程： (2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程． 一、单选题 1．（2024高二上·吉林长春·期中）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1} 2．（2024高一下·黑龙江黑河·课后作业）圆的圆心、半径是（　　） A．，4 B．，2 C．，4 D．，2 3．（2024·北京海淀·三模）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国·课后作业）如果圆关于直线对称，则有（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（    ）． A．2 B．4 C． D． 7．（2024高二上·山东潍坊·期中）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（2024高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．（2024高二上·河北保定·期末）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知点P在圆 上，则点P到x轴的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 11．（2024高二下·山东青岛·期中）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二上·广东揭阳·阶段练习）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二上·全国·课后作业）若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或-2 C．0或 D．-2或2 14．（2024高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二下·云南·阶段练习）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 16．（2024高三上·广东惠州·阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 17．（2024高二上·河南许昌·阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ） A． B．2 C．0 D． 18．（2024高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二上·北京·期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点P到点距离的最小值为（    ） A．15 B．6 C．5 D．4 21．（2024·甘肃·三模）已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（    ） A． B．2 C．4 D．16 23．（2024高二下·四川广安·阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（    ） A． B． C． D． 24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 25．（2024高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．（2024高二上·全国·课后作业）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 27．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）过点与且半径为2的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 28．（2024高二上·甘肃酒泉·期中）已知点在圆的外部，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 29．（2024高二上·全国·课后作业）下列方程不是圆的一般方程的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 30．（2024高一下·四川乐山·期末）点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 31．（2024高二下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为 ；的最小值为 . 32．（2024高二上·全国·课后作业）过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为 . 33．（2024高二下·上海徐汇·期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为 ． 34．（2024高二上·辽宁大连·期中）对于任意实数λ，曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点 . 35．（2024高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 36．（2024高二上·浙江湖州·期末）已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是 . 37．（2024高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 38．（2024高二上·湖北·期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围 . 39．（2024高二上·广东惠州·阶段练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是 . 40．（2024高二上·广东东莞·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是 ． 41．（2024高二上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是 ． 42．（2024高二下·新疆塔城·开学考试）已知定点，P是圆上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是 . 43．（2024高二下·上海宝山·期末）若表示圆，则实数的值为 . 44．（2024高二下·上海崇明·期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是 . 45．（2024高二·全国·课后作业）方程表示圆的充要条件是 ． 46．（2024高二上·全国·课后作业）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为 . 47．（2024高三下·吉林白城·阶段练习）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是 48．（2024高二上·重庆沙坪坝·期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为 . 49．（2024·广东汕头·二模）与圆关于直线对称的圆的标准方程是 . 50．（2024高二·全国·课后作业）直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ． 51．（2024高一下·江苏南京·期中）在中，，若的平面内有一点满足，则的最小值为 . 52．（2024高二下·江苏宿迁·开学考试）已知为圆上任意一点．则的最大值为 53．（2024·山东烟台·二模）已知实数满足，则的最大值为 ． 54．（2024高二·全国·课后作业）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为 ；若直线l的方程（），圆心C到直线l的距离是1，则m的值是 ． 四、解答题 55．（2024高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 56．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 57．（2024高二上·新疆克拉玛依·期中）求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线上，且过点的圆； (2)过三点的圆. 58．（2024高二·江苏·假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？ 59．（2008·江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C． （1）求实数的取值范围； （2）求圆的方程； （3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论． 60．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为. (1)求点和点的坐标： (2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 61．（2024高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 62．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 63．（2024高二上·海南·阶段练习）已知点，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 64．（2024高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点A的坐标； (2)外接圆的一般方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.4 圆的方程9题型分类 一、圆的标准方程 1．圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 二、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心,以为半径的圆 （一） 求圆的标准方程 1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： 2．几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程． 3．求圆的标准方程的策略: 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 题型1：求圆的标准方程 1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为 . 【答案】 【分析】根据圆上点坐标列方程，从而圆的方程可求，即可求出圆的圆心坐标. 【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有： ，所以， 所以圆的方程为：. 故答案为：. 1-2．（2024高二·江苏·假期作业）圆心在y轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为 ． 【答案】或. 【分析】设圆的方程为，将点代入圆的方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设圆的方程为， 因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8， 所以所求圆的方程为或. 故答案为：或. 1-3．（2024高二·全国·课后作业）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定以为直径的圆的圆心和半径，即可得答案. 【详解】由圆C：可知圆心，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故所求圆的方程为：. 故选：D 1-4．（2024高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为2； (3)，为直径的两个端点； (4)圆心在直线上，且过点和点． 【答案】(1) (2)或； (3) (4) 【分析】（1），利用两点间额距离公式即可求解； （2）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可； （3）的中点坐标为，即圆心为，由此再求半径即可求解； （4）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）由题意可得， 所以圆的标准方程为； （2）设圆的标准方程为， 因为圆过点和点， 所以，解得或， 所以圆的标准方程为或； （3）因为的中点坐标为，即圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为； （4）设圆的标准方程为， 由题意可得，解得， 所以圆的标准方程为 题型2：由圆的方程求圆心或半径 2-1．（2024高二上·北京·阶段练习）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件得到圆心为，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为， 故选：B. 2-2．（2024高二下·安徽宣城·期末）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 2-3．【多选】（2024高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为b C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】ABD 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径即可判断四个选项的正误，进而可得符合题意的选项； 【详解】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误； 对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误， 对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确； 对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误， 故选：ABD. 题型3：与圆有关的对称问题 3-1．（2024高二下·四川凉山·阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是 【答案】 【分析】由题意，先求得线段的中点坐标，再求得直线的斜率为即可. 【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为， 则线段的中点为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以， 所以直线的方程是，即， 故答案为： 3-2．（2024高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线l对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：B 3-3．（2024高二上·云南昆明·期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于x轴对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆的圆心与点关于轴对称，从而可求出圆心坐标，进而可求出圆C的方程. 【详解】因为圆与圆关于轴对称， 所以圆的圆心与点关于轴对称， 所以的坐标为， 又圆的半径为2，所以圆 半径为2， 所以圆的方程为， 故选：C. 3-4．（2024高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，即为圆的圆心坐标，进而可得圆的方程． 【详解】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称 可得，化简得，解得 又两圆半径相等，故圆的方程为 故选：B （二） 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系： 1．代数法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． 假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内；d=r点在圆上；d＞r点在圆外. 2． 几何法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 点P（x1,y1)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系： （1）当(x1- a)²+(y1-b)²＞r²时，则点P在圆外. （2）当(x1- a)²+(y1-b)²=r²时，则点P在圆上. （3）当(x1- a)²+(y1-b)²＜r²时，则点P在圆内. 题型4：判断点与圆的位置关系 4-1．（2024高二上·吉林长春·阶段练习）若点在圆上,则实数 . 【答案】或 【分析】由点在圆上,则点的坐标满足圆的方程，即 ，再求解即可. 【详解】解：因为点在圆上,则点的坐标满足圆的方程，即，得解得：或. 故答案为或. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，重点考查了运算能力，属基础题. 4-2．（2024高三·全国·课后作业）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B 4-3．（2024高二上·重庆石柱·阶段练习）若点在圆内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据点在圆内可得不等式，求解即可. 【详解】解：由题意得 点在圆内 ，解得 所以实数的取值范围为 故答案为： 4-4．（2024高二上·重庆）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【分析】计算到圆心的距离和半径作比较即可. 【详解】圆的圆心为，半径，， 故点在圆内. 故选：B 4-5．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案． 【详解】点在圆外， ，且， 解得或． 实数的取值范围为． 故答案为：. （三） 圆的一般方程的辨析 圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 圆的一般方程的辨析: (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不是圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 题型5：圆的一般方程的辨析 5-1．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般式满足的条件即可代入列不等式求解. 【详解】由题意可得故， 解得， 故选：A 5-2．（2024高二上·黑龙江双鸭山·期中）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（    ） A．m<1 B．m>1 C．m< D．<m<1 【答案】A 【分析】 根据二元二次曲线表示圆，化标准形式即可求解. 【详解】 方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式， 表示圆的条件是，解得． 故选：A 5-3．（2024高二上·江苏盐城·期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B （四） 求圆的一般方程 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 题型6：求圆的一般方程 6-1．（2024高一下·湖南株洲·期末）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方向化为标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为. 故选：D 6-2．（2024高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】 先将所求圆的方程设为，再根据所求圆过原点，将代入方程解出，即可得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 6-3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【分析】设的外接圆方程为，然后将三个点的坐标代入求解即可. 【详解】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 6-4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 6-5．（2024高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 题型7：圆过定点问题 7-1．（2024高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 7-2．（2024高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 7-3．（2024高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案. 【详解】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：. 【点睛】本题主要考查曲线过定点，属于中档题. 7-4．（2024高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. （五） 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 题型8：与圆有关的最值问题 8-1．（2024·甘肃酒泉·三模）点在圆上，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】可判断在圆外，则，计算即可． 【详解】圆的圆心，半径为， 由于在圆外， ． 故选：D. 8-2．（2024高一下·广西·阶段练习）若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】由知，复数对应的点的轨迹为圆，而的几何意义为圆上的点与的距离，再结合两点距离公式求解即可. 【详解】复数满足，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 的几何意义为圆上的点与的距离， 所以的最大值为． 故选：C. 8-3．（2024高二上·四川巴中·期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据圆的几何性质可知圆C到原点O的距离最小时，则，进而联立直线方程可得圆心坐标，即可求解. 【详解】由可得线段中点坐标为，又， 所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上， 当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为， 联立，所以圆心, 又半径,故圆的方程为： 故答案为： 8-4．（2024·广东佛山·模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由四边形是矩形，应用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案. 【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，． ，互相垂直，所以四边形为矩形． 由圆C：，可得，又， ， 所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故选：B.   （六） 求动点的轨迹方程 1、求动点的轨迹方程常用方法“四步一回头”： 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x,y). （2）写出适合条件的点M的集合P=P{M|P(M)}. （3）将P(M)“翻译”成代数方程f(x,y)=0. （4）化简代数方程f(x,y)=0为最简形式. 一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程. 2、求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 题型9：求动点的轨迹方程 9-1．（2024高二上·山东青岛·期中）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆心C的坐标为，可得，结合条件可得，进而求得圆心的坐标，半径，即得； （2）设，，进而可得，然后代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆心C的坐标为，半径为r， ∵圆心C在直线上， ∴， ∵圆C经过，两点， ∴， 即， 化简得：，又， 所以， ∴圆心C的坐标为，， 所以圆C的标准方程为：； （2）设，， ∵M为OP的中点， ∴， ∴， ∵P在圆C上， ∴，即， ∴OP的中点M的轨迹方程为. 9-2．（2024高二上·山东日照·阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即得； （2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得. 【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则 ， 解之得， 所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得， 解得, 又点E在圆C：上， 所以有， 化简得：, 故所求的轨迹方程为． 9-3．（2024高二上·江西宜春·阶段练习）已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案. 【详解】（1）方程可变为：由方程表示圆， 所以，即得， .圆心坐标为. （2）当时，圆方程为：， 设，又为线段的中点，的坐标为则， 由端点在圆上运动， 即 线段中点的轨迹方程为. 9-4．（2024高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆C过三个点． (1)求圆C的方程： (2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，将三个点代入求解； （2）设动点P的坐标为， A的坐标是，由P为线段OA的中点，得到 ，代入圆上的点求解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 因为圆过三个点， 所以，解得， 所以圆的方程为，即． （2）设动点P的坐标为， A的坐标是． 由于P为线段OA的中点，所以 ， ， 所以有 ① A是圆上的点， 所以A坐标满足：② 将①代入②整理，得， 所以P的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，方程为． 一、单选题 1．（2024高二上·吉林长春·期中）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1} 【答案】A 【分析】直接利用两点间的距离与圆的半径的关系的应用求出结果. 【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部， 所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2， 即：，整理得：﹣1＜a＜1. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据点和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力. 2．（2024高一下·黑龙江黑河·课后作业）圆的圆心、半径是（　　） A．，4 B．，2 C．，4 D．，2 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【详解】圆的圆心为半径 故选：D 3．（2024·北京海淀·三模）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，所以，解得. 故选：A 4．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为， 故选：D. 5．（2024高二·全国·课后作业）如果圆关于直线对称，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆心在直线上，代入计算得到答案. 【详解】由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即. 故选：B 6．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（    ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆的圆心和半径，再根据直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短求解． 【详解】因为，圆的标准方程为， 所以半径，圆心， 当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时， 所以． 故选：C． 7．（2024高二上·山东潍坊·期中）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】通过假设的方法判断出错误的同学. 【详解】设. 假设甲错误，乙丙丁正确， ， ，矛盾，所以甲正确. 假设乙错误，甲丙丁正确， 由甲、丙正确可知圆的方程为， 不满足上式，矛盾，所以乙正确. 假设丙错误，甲乙丁正确. 由乙丁得，与半径为矛盾，所以丙正确. 假设丁错误，甲乙丙正确， 则由甲丙可知圆的方程为， 满足上式，符合题意. 综上所述，结论错误的同学是丁. 故选：D 8．（2024高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合点在圆外条件，及表示圆的方程可得答案. 【详解】因在圆外，则，得. 又表示圆，则，得. 综上：. 故选：D 9．（2024高二上·河北保定·期末）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求圆心关于直线对称得到的圆心，列方程组可求解，从而可确定对称圆的方程. 【详解】设圆的圆心 关于直线对称的点为， 则有整理得解得， 因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2， 所以所求圆方程为， 故选:C. 10．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知点P在圆 上，则点P到x轴的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的一般方程求出圆心半径，再结合问题计算即可. 【详解】圆 ,即圆   圆心为，半径，得点P到x轴的距离的最大值为. 故选：B. 11．（2024高二下·山东青岛·期中）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径. 【详解】圆化为标准方程得， 圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为 所以圆上的点到直线的最大距离为. 故选:C. 12．（2024高二上·广东揭阳·阶段练习）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以， 又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即. 故选：D 13．（2024高二上·全国·课后作业）若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或-2 C．0或 D．-2或2 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准方程得出圆心，进而表示出圆心到直线的距离，结合已知条件，列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】将圆的方程化为标准方程为：， 所以，圆心为，半径. 因为圆心到直线的距离为， 所以，，即， 所以，所以或. 故选：A. 14．（2024高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 15．（2024高二下·云南·阶段练习）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】因为直线经过圆的圆心， 故， 所以， 当且仅当 ，即时，等号成立. 故选：D 16．（2024高三上·广东惠州·阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 17．（2024高二上·河南许昌·阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零. 【详解】由，可得， 所以， 解得或， 选项中只有符合题意. 故选：D. 18．（2024高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据圆一般方程的判断条件，解不等式即可得参数的取值范围. 【详解】因为表示圆， 所以，解得， 得的取值范围是. 故选：C 19．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 20．（2024高二上·北京·期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点P到点距离的最小值为（    ） A．15 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意得出，则点的轨迹方程为，然后用圆心到点的距离减去半径即可得出结果. 【详解】解：由圆的方程，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，且， 所以，， 所以，点的轨迹方程为， 点到点距离的最小值为， 故选：D. 21．（2024·甘肃·三模）已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为，得到，根据，得到，设，求得，得出点的轨迹，再由可知，当取最大值时，取最大值，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设的中点为，连接， 因为点在以为直径的圆上，所以， 所以， 连接，，，则，所以， 所以， 设，则，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 因为，所以当取最大值时，取最大值， 又因为， 故的最大值为. 故选：B. 22．（2024·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（    ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】C 【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，求得其最小值，即可求得答案. 【详解】因为，，动点满足， 则，整理得， 可以看成圆上动点与定直线上动点的距离， 其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即， 因此，的最小值是， 故选：C. 23．（2024高二下·四川广安·阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，动直线过圆的圆心，则，代入所给式子并变形，利用基本不等式求解. 【详解】由题意，动直线过圆的圆心， 则，又， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】设，得出的关系，结合其几何意义求解最值. 【详解】设， 因为， 所以， 因为， 所以相当于圆上的点到点距离， 所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即. 故选：C.    25．（2024高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 二、多选题 26．（2024高二上·全国·课后作业）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】由已知条件可得，即，解得. 故选：AD. 27．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）过点与且半径为2的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据圆过点与，得出圆心在线段AB的垂直平分线上，求出圆心所在的直线方程，设出圆心坐标，再代入或，求出圆心坐标，进而求出圆的方程. 【详解】因为圆过点与，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，其中，设圆心所在的直线为l，则，解得：，又因为 与的中点坐标为，所以直线l为，设圆心坐标为，因为半径为2，所以圆的方程为：，代入得：，解得：，综上圆的方程为或. 故选：BC 28．（2024高二上·甘肃酒泉·期中）已知点在圆的外部，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据点在圆外的条件，列不等式求k的取值范围. 【详解】由题意可得，解得， 故选：AC. 29．（2024高二上·全国·课后作业）下列方程不是圆的一般方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二元二次方程表示圆条件，逐项判定，即可求解。 【详解】根据二元二次方程表示圆的条件， 对于A中，方程，可得， 所以方程是圆的一般方程； 对于B中，方程，可得， 所以方程不是圆的一般方程； 对于C中，方程中，和的系数不相等， 所以方程不是圆的一般方程； 对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程. 故选：BCD. 三、填空题 30．（2024高一下·四川乐山·期末）点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内． 故答案为：在圆内 31．（2024高二下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】设出，由题意列出方程组，化简即可得到点的轨迹方程； 【详解】设，由题意可得， 整理得，故动点的运动轨迹方程为， 如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部， 所以， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：； 32．（2024高二上·全国·课后作业）过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点P的坐标为，点B为，结合中点坐标公式可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点P的坐标为，点B为， 由题意，结合中点坐标公式可得， 故，化简得. 即线段AB中点P的轨迹方程为. 故答案为： 33．（2024高二下·上海徐汇·期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果. 【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 34．（2024高二上·辽宁大连·期中）对于任意实数λ，曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点 . 【答案】(1，3)和(1，-3) 【解析】先将曲线方程整理成，可得且，从而得出答案. 【详解】曲线可化为， ∴且， 可得恒过定点(1，3)和 . 故答案为：(1，3)和 【点睛】本题考查曲线过定点问题，考查方程思想，属于基础题. 35．（2024高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 【答案】 【分析】将已知圆的方程整理得到，联立，即可求出结果. 【详解】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆. 由，解得 即定点坐标为. 故答案为 【点睛】本题主要考查圆恒过定点的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型. 36．（2024高二上·浙江湖州·期末）已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合平行线间距离的意义，求出圆C的圆心到直线的距离作答. 【详解】因为直线平分圆，于是直线过圆心， 所以的距离. 故答案为： 37．（2024高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、 【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标. 【详解】由由得，故，解得或. 故填：、. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题. 38．（2024高二上·湖北·期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意可知，方程表示圆，点在圆外，列出不等式组，求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 过点可作圆的两条切线，则点在圆外， 所以，解得：. 故答案为：. 39．（2024高二上·广东惠州·阶段练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，结合圆的特点得到过点的弦经过圆心时，弦长最长，然后利用圆心坐标、点坐标求直线方程即可. 【详解】圆可整理为，所以圆心，， 当过点的弦经过圆心时，弦长最长，所以过点的最长的弦所在的直线方程为，整理得. 故答案为：. 40．（2024高二上·广东东莞·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程，整理即可得到的轨迹方程. 【详解】设，，则由已知可得. 又是线段的中点，所以有，所以， 所以有，整理可得. 所以的轨迹方程是. 故答案为：. 41．（2024高二上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由几何性质计算即可. 【详解】    如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，， 即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上， 所以Q的轨迹方程为. 故答案为：. 42．（2024高二下·新疆塔城·开学考试）已知定点，P是圆上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】运用相关点法求轨迹方程，设出P、Q两点坐标，表示出两点横纵坐标关系式，代入点P满足的圆的方程即可. 【详解】如图所示，    设，，则，① 因为Q为AP的中点， 所以，② 所以由①②得：，即：， 所以点Q的轨迹方程为：. 故答案为：. 43．（2024高二下·上海宝山·期末）若表示圆，则实数的值为 . 【答案】 【分析】 依题意可得，解得，再代入检验. 【详解】因为表示圆，所以， 解得或， 当时方程，即，不表示任何图形，故舍去； 当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意； 故答案为： 44．（2024高二下·上海崇明·期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是 . 【答案】 【分析】根据条件求出圆心坐标及圆的半径即可. 【详解】、,的中点坐标为，即为圆心坐标， 又圆的半径为 则所求圆的方程为. 故答案为：. 45．（2024高二·全国·课后作业）方程表示圆的充要条件是 ． 【答案】或 【分析】由方程表示圆得到不等式，求解即可. 【详解】由题意知：，即，解得或. 故答案为：或. 46．（2024高二上·全国·课后作业）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为 . 【答案】6 【分析】求出圆心到点的距离加上半径即为圆上的点到点距离的最大值. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，半径, 又圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的距离的最大值为， 故答案为：6 47．（2024高三下·吉林白城·阶段练习）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是 【答案】 【分析】设圆心关于直线对称点，根据垂直和中点在对称轴上这两个条件列方程求出的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆的标准方程. 【详解】圆圆心为，半径等于1， 设圆心关于直线对称点， 则有，且， 解得，故点， 由于对称圆的半径与圆的半径相等， 故圆的方程为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 48．（2024高二上·重庆沙坪坝·期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点坐标，即可作答. 【详解】圆的圆心，半径， 设点关于直线的对称点， 则有，解得，因此所求圆的圆心，半径为， 所以所求圆的标准方程为：. 故答案为： 49．（2024·广东汕头·二模）与圆关于直线对称的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程. 【详解】圆的圆心，半径， 点关于直线对称的点坐标为 则所求圆的标准方程为 故答案为： 50．（2024高二·全国·课后作业）直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得直线过圆心，再将用表示，结合二次函数即可得解. 【详解】解：圆化为标准方程：， 圆心为， 因为直线始终平分圆的周长， 所以直线过圆心， 则，所以， 则， 当时，取得最小值. 故答案为：. 51．（2024高一下·江苏南京·期中）在中，，若的平面内有一点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立直角坐标系，运用平面向量求出点D的运动轨迹，再利用几何意义求解. 【详解】 由题意，由余弦定理得 ， ， ，即以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则 ， 由已知 ， 即点D是在以AC的中点 为圆心，半径为1的圆周上， ，即是求 的最小值， 其几何意义为圆周上的一点D到AB的中点 的距离的平方的最小值，显然当D，E，O共线时DE最小（如上图），即 ， 的最小值为 ； 故答案为： . 52．（2024高二下·江苏宿迁·开学考试）已知为圆上任意一点．则的最大值为 【答案】/ 【分析】由表示点 与点之间的距离，可转化为圆C上的点M到点的距离． 【详解】圆即， 故圆心，半径为， 又表示圆C上的点M到点的距离， 故其最大值为， 故答案为： 53．（2024·山东烟台·二模）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设点，则问题转化为圆上一点与圆外一点之间距离的最大值的平方，根据点与圆的位置关系求解即可. 【详解】方程整理得，设点，即点是圆上一点 又点在圆外，所以， 则，所以的最大值为. 故答案为：. 54．（2024高二·全国·课后作业）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为 ；若直线l的方程（），圆心C到直线l的距离是1，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合待定系数法与以及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设圆C的方程为， 由条件，得，解得， 因此圆的一般方程为， 故圆心，因此圆心到直线l的距离，解得． 故答案为：；. 四、解答题 55．（2024高二上·全国·课后作业）求圆关于直线的对称圆方程. 【答案】 【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程. 【详解】由可得， 故圆心坐标为 ，半径为1， 设点P关于直线的对称点为 ， 则有 ，解得，故 ， 所以圆关于直线的对称圆的方程为：. 56．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 【答案】 【分析】设，，由为线段的中点列关系式，根据两点距离公式表示，从而转化为关于的方程即可得的轨迹方程. 【详解】 设，线段的中点， 因为为线段的中点，， ， ，即，得. 所以点的轨迹方程是． 57．（2024高二上·新疆克拉玛依·期中）求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线上，且过点的圆； (2)过三点的圆. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程组即可. （2）首先设圆的一般方程为：，，根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为，由题知： ，解得. 所以圆的标准方程为：. （2）设圆的一般方程为：，， 由题知：， 所以圆的方程为：. 58．（2024高二·江苏·假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？ 【答案】答案见解析 【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上．根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆内. 【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是． 把点的坐标代入方程的左边, 得,左右两边相等, 点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上． 把点的坐标代入方程的左边, 得,左右两边不相等, 点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上． 又因为点到圆心A的距离． 故点在圆内．    59．（2008·江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C． （1）求实数的取值范围； （2）求圆的方程； （3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）过定点，证明见解析． 【详解】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （1） （2）设所求圆的方程为． 令 又时，从而． 所以圆的方程为． （3）整理为，过曲线 与的交点，即过定点与． 60．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为. (1)求点和点的坐标： (2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出直线的方程，联立直线和直线的方程可求得点的坐标，设点，根据点在直线上以及线段的中点在上可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标； （2）计算出、、，比较大小后可得出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】（1）解：因为边上的高线所在直线的方程为， 且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即， 联立直线和直线的方程可得，解得，即点， 设点，则线段的中点为， 由题意可得，解得，即点. （2）解：因为，， ，则， 故圆的半径为，所以，圆的方程为. 61．（2024高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得曲线与两坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求得圆的方程. （2）利用代入法求得的轨迹方程. 【详解】（1）由， 令，解得或；令，得， 所以圆过. 设圆的方程为， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，则， 将的坐标代入圆的方程得， 即. 62．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解； （2）设点，，由得，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为， 它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为； （2）设，，由，得， 所以，又点在圆上，故， 所以，化简得的轨迹方程为 63．（2024高二上·海南·阶段练习）已知点，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果； （2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解． 【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即的中点为圆心，半径， 则圆的标准方程为． （2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即， 由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是． ． 故所求圆的标准方程是． 解法二：待定系数法 设圆的标准方程为， 则 故所求圆的标准方程为． 64．（2024高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点A的坐标； (2)外接圆的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标；（2）先求出点C的坐标，利用待定系数法求出外接圆的一般方程. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：，有，解得：，所以. 经过，，可设为：, 所以，解得：, 所以外接圆的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$