精品解析：辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题

鞍山市普通高中2024—2025学年度高三第一次质量监测 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由解得或，所以； 由，得，即， 解得或，所以， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数满足，可得. 故选：B. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方的方法求得，进而求得. 【详解】由两边平方得， 化简得， 所以. 故选：D 4. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A 5. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. 【详解】的定义域是， 由于是奇函数，所以， 即， 解得，当时，， ，符合题意， 所以的值为. 故选：B 6. 若为随机事件，且，则（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件， C. 若为相互独立事件， D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件、条件概率、全概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若为互斥事件，则，A选项错误. B选项，若为互斥事件，，B选项错误. C选项，若为相互独立事件， ，所以C选项错误. D选项，， 即，解得，所以D选项正确. 故选：D 7. 已知双曲线在双曲线上，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由、恒成立列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于，所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，， 整理得①，则不同时为. ，， 则 ，则， 依题意， 即， 则恒成立， 即恒成立， 由①得，则， 所以恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知定义在上的函数，若，则取得最小值时的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的单调性，得到关于的关系式，利用构造函数法，结合导数来求得取得最小值时的值. 【详解】依题意，，， 令， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由于，所以，， 所以， 设， ， 令解得，则在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，也即取得最小值. 故选：C 【点睛】方法点睛：研究函数的单调性，可以考虑利用导数来求解，当一次求导无法解决时，可以考虑利用多次求导来进行研究.研究一个表达式的最值问题，可以利用构造函数法，然后利用导数来进行求解. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，定义域均为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 函数与的图象有相同的对称轴 C. 的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 函数的图象与的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简的解析式，然后根据周期性、对称性以及图象变换的知识求得正确答案. 【详解】， 和的最小正周期都是，所以A选项正确. 由解得，所以的对称轴是； 由解得，所以的对称轴是， 所以B选项错误. 向右平移个单位得到， 所以C选项正确. ， 所以函数的图象与的图象关于直线对称，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数满足对任意，都有，且为奇函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期是8 B. 函数为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的周期性、奇偶性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称， 所以图象关于点对称， 由于，所以的图象关于直线对称. 所以 ， 所以是周期为的周期函数，A选项正确. 对于B选项，由上述分析可知， ， 所以B选项错误. 依题意，，则， ，， ，， 所以， 根据周期性可知， 所以C选项正确. 由上述分析可知，所以， ，， 依此类推，可得： ，所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：求解周期性、奇偶性、对称性有关问题，关键是记住一些常见的结论，如，则图象关于直线对称；如，则是周期为的周期函数；如果一个函数的图象既有轴对称，也有中心对称，则可以考虑函数具有周期性. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且有，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用赋值法求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得； 令，； 令，. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系式等知识求得正确答案. 【详解】， 所以， 由于， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知四棱锥中，底面为正方形，，则__________，该四棱锥的高为__________. 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】连接，设，在中，利用余弦定理列出方程，可求得的长，过点作平面，得到点为的外心，求得外接圆的半径为，两种情讨论，结合，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为四边形为正方形且，可得， 设，在中，可得， 即，整理得， 解得或，即或， 因为，可得， 过点作平面，垂直为，由， 可得点为的外心，设外接圆的半径为，且， 设点到底面的距离为， 当时，可得，所以， 所以，且， 所以， 由，即，解得，即四棱锥的高为； 当时，可得，所以， 所以，且， 所以， 由，即，解得，即四棱锥的高为， 综上可得：四棱锥的高为或. 故答案为：或；或. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，且平面平面. （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得四棱锥的高，进而计算出四棱锥的体积； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，因为平面平面， 平面平面，平面，在等边中，， 所以平面， 由题设， 所以四棱锥的体积为. 【小问2详解】 取中点，连接，则，以为坐标原点， 分别以的方向为轴的正方向，则， ， 设为平面的法向量，则有，令，得， 取为平面的法向量，则 由图可知，二面角的大小为钝角，故二面角的余弦值为. 【点睛】 16. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级. 已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？ 附： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 能有 （2）振华选择方案一晋级的可能性更大【解析】 【分析】（1）根据已知条件补全列联表，计算的值并作出判断. （2）根据相互独立概率计算，求得两种方案晋级的概率，从而作出判断. 【小问1详解】 列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 ， 能有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关. 【小问2详解】 记这4个问题为，记振华答对的事件分别记为， 分别记按方案一､二晋级的概率为， 则 ， ， 因为，振华选择方案一晋级的可能性更大. 17. 已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为. （1）直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值； （2）求证：直线过定点. 【答案】（1）证明：由题意，可得， 所以椭圆，且 设，则，即， 可得， 所以为定值. （2）证明：解法一：设，则， 可得， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则，解得， 所以直线过定点 解法二：设，则， 直线，可知与椭圆必相交， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 同理， 直线的斜率存在时，， 则， 令，； 当的斜率不存在时，则，解得； 综上所述：直线过定点 【解析】 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程，结合斜率公式分析证明； （2）解法一：设，联立方程可得韦达定理，根据斜率关系列式求得，即可得结果；解法二：设，联立方程求坐标，进而根据直线方程分析定点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 2．求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 18. 已知函数，且定义域为. （1）求函数的单调区间； （2）若有2个零点，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，在上单调递减， 时，在上递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）由（1）先确定的一个大致范围，然后根据零点个数列不等式，结合零点存在性定理求得的取值范围. （3）构造函数，求得，对进行分类讨论，由恒成立列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 ，， ①时，恒成立，所以在上递减； ②时，恒成立，所以在上递增； ③时，令得， 单调递减，单调递增， 综上：时，在上单调递减， 时，在上递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为不是单调函数，由（1）知，，且在上单调递减， 在上单调递增，要使得有2个零点， 则必有，所以，， 又当时，， 先证：，令， 令， 令在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 所以成立，所以，，即：成立， 取则有，且， 所以时，有2个零点. 综上：. 【小问3详解】 令， 则恒成立，且， ， ①时，， 当时，，当时， ， 时，恒成立，所以，在上递增， 所以，，符合题意. ②时，，与题意不符，舍去. ③时，时， ， 由得，， 所以，存在，使， 且可使，单调递减，时，，舍去 综上： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 若数列满足如下两个条件：①和恰有一个成立；②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”， （1）若，求的可能取值； （2）已知的解集为，求证：成等比数列； （3）若数列前3项均为正项，且的解集为，设的最大值为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 证明：因为，其余项均为正项，所以或， 若时，对于，因为且，故舍去， 所以，即，所以， 因为，所以， 所以，，又， 所以，所以成等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，求得的可能取值，利用已知条件确定的值. （2）根据已知条件求得、，从而证得成等比数列. （3）利用累乘法以及数列的最值，求得. 【小问1详解】 因为，所以或，所以或5， 当时，符合题意， 当时，且，不符合题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，其余项为正项，不妨设，则， 又或，所以或， 又，可得， 所以，， 时，， 设这个因式中恰有个因式的值为，有个因式的值为1，所以， 所以， 因为，且不可能，故，同理，， 类似的，，当， 设等式右侧有恰有个因式的值为，有个因式的值为1， 则， 当时等式也成立，所以，， 其中， ， 同理， 当且仅当时取等. 综上：的最大值为 【点睛】方法点睛：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题，也即是将新定义的问题，转化为学过的知识来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鞍山市普通高中2024—2025学年度高三第一次质量监测 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 5. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 6. 若为随机事件，且，则（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件， C. 若为相互独立事件， D. 若，则 7. 已知双曲线在双曲线上，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，若，则取得最小值时的值为（ ） A. 4 B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，定义域均为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 函数与的图象有相同的对称轴 C. 的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 函数的图象与的图象关于直线对称 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 11. 已知函数满足对任意，都有，且为奇函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期是8 B. 函数为偶函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且有，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 已知四棱锥中，底面为正方形，，则__________，该四棱锥的高为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，且平面平面. （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值. 16. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级. 已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？ 附： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为. （1）直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值； （2）求证：直线过定点. 18. 已知函数，且定义域为. （1）求函数的单调区间； （2）若有2个零点，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 若数列满足如下两个条件：①和恰有一个成立；②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”， （1）若，求的可能取值； （2）已知的解集为，求证：成等比数列； （3）若数列前3项均为正项，且的解集为，设的最大值为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $