精品解析：辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题

鞍山市普通高中2024—2025学年度高三第一次质量监测 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由解得或，所以； 由，得，即， 解得或，所以， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数满足，可得. 故选：B. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方的方法求得，进而求得. 【详解】由两边平方得， 化简得， 所以. 故选：D 4. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A 5. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. 【详解】的定义域是， 由于是奇函数，所以， 即， 解得，当时，， ，符合题意， 所以的值为. 故选：B 6. 若为随机事件，且，则（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件， C. 若为相互独立事件， D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件、条件概率、全概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若为互斥事件，则，A选项错误. B选项，若为互斥事件，，B选项错误. C选项，若为相互独立事件， ，所以C选项错误. D选项，， 即，解得，所以D选项正确. 故选：D 7. 已知双曲线在双曲线上，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由、恒成立列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于，所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，， 整理得①，则不同时为. ，， 则 ，则， 依题意， 即， 则恒成立， 即恒成立， 由①得，则， 所以恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知定义在上的函数，若，则取得最小值时的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的单调性，得到关于的关系式，利用构造函数法，结合导数来求得取得最小值时的值. 【详解】依题意，，， 令， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由于，所以，， 所以， 设， ， 令解得，则在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，也即取得最小值. 故选：C 【点睛】方法点睛：研究函数的单调性，可以考虑利用导数来求解，当一次求导无法解决时，可以考虑利用多次求导来进行研究.研究一个表达式的最值问题，可以利用构造函数法，然后利用导数来进行求解. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，定义域均为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 函数与的图象有相同的对称轴 C. 的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 函数的图象与的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简的解析式，然后根据周期性、对称性以及图象变换的知识求得正确答案. 【详解】， 和的最小正周期都是，所以A选项正确. 由解得，所以的对称轴是； 由解得，所以的对称轴是， 所以B选项错误. 向右平移个单位得到， 所以C选项正确. ， 所以函数的图象与的图象关于直线对称，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数满足对任意，都有，且为奇函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期是8 B. 函数为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的周期性、奇偶性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称， 所以图象关于点对称， 由于，所以的图象关于直线对称. 所以 ， 所以是周期为的周期函数，A选项正确. 对于B选项，由上述分析可知， ， 所以B选项错误. 依题意，，则， ，， ，， 所以， 根据周期性可知， 所以C选项正确. 由上述分析可知，所以， ，， 依此类推，可得： ，所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：求解周期性、奇偶性、对称性有关问题，关键是记住一些常见的结论，如，则图象关于直线对称；如，则是周期为的周期函数；如果一个函数的图象既有轴对称，也有中心对称，则可以考虑函数具有周期性. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且有，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用赋值法求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得； 令，； 令，. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系式等知识求得正确答案. 【详解】， 所以， 由于， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知四棱锥中，底面为正方形，，则__________，该四棱锥的高为__________. 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】连接，设，在中，利用余弦定理列出方程，可求得的长，过点作平面，得到点为的外心，求得外接圆的半径为，两种情讨论，结合，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为四边形为正方形且，可得， 设，在中，可得， 即，整理得， 解得或，即或， 因为，可得， 过点作平面，垂直为，由， 可得点为的外心，设外接圆的半径为，且， 设点到底面的距离为， 当时，可得，所以， 所以，且， 所以， 由，即，解得，即四棱锥的高为； 当时，可得，所以， 所以，且， 所以， 由，即，解得，即四棱锥的高为， 综上可得：四棱锥的高为或. 故答案为：或；或. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，且平面平面. （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得四棱锥的高，进而计算出四棱锥的体积； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，因为平面平面， 平面平面，平面，在等边中，， 所以平面， 由题设， 所以四棱锥的体积为. 【小问2详解】 取中点，连接，则，以为坐标原点， 分别以的方向为轴的正方向，则， ， 设为平面的法向量，则有，令，得， 取为平面的法向量，则 由图可知，二面角的大小为钝角，故二面角的余弦值为. 【点睛】 16. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级. 已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？ 附： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，能有 （2）振华选择方案一晋级的可能性更大 【解析】 【分析】（1）根据已知条件补全列联表，计算的值并作出判断. （2）根据相互独立概率计算，求得两种方案晋级的概率，从而作出判断. 【小问1详解】 列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 ， 能有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关. 【小问2详解】 记这4个问题为，记振华答对的事件分别记为， 分别记按方案一､二晋级的概率为， 则 ， ， 因为，振华选择方案一晋级的可能性更大. 17. 已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为. （1）直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值； （2）求证：直线过定点. 【答案】（1）证明：由题意，可得， 所以椭圆，且 设，则，即， 可得， 所以为定值. （2）证明：解法一：设，则， 可得， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则，解得， 所以直线过定点 解法二：设，则， 直线，可知与椭圆必相交， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 同理， 直线的斜率存在时，， 则， 令，； 当的斜率不存在时，则，解得； 综上所述：直线过定点 【解析】 【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程，结合斜率公式分析证明； （2）解法一：设，联立方程可得韦达定理，根据斜率关系列式求得，即可得结果；解法二：设，联立方程求坐标，进而根据直线方程分析定点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 2．求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 18. 已知函数，且定义域为. （1）求函数的单调区间； （2）若有2个零点，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，在上单调递减， 时，在上递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）由（1）先确定的一个大致范围，然后根据零点个数列不等式，结合零点存在性定理求得的取值范围. （3）构造函数，求得，对进行分类讨论，由恒成立列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 ，， ①时，恒成立，所以在上递减； ②时，恒成立，所以在上递增； ③时，令得， 单调递减，单调递增， 综上：时，在上单调递减， 时，在上递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为不是单调函数，由（1）知，，且在上单调递减， 在上单调递增，要使得有2个零点， 则必有，所以，， 又当时，， 先证：，令， 令， 令在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 所以成立，所以，，即：成立， 取则有，且， 所以时，有2个零点. 综上：. 【小问3详解】 令， 则恒成立，且， ， ①时，， 当时，，当时， ， 时，恒成立，所以，在上递增， 所以，，符合题意. ②时，，与题意不符，舍去. ③时，时， ， 由得，， 所以，存在，使， 且可使，单调递减，时，，舍去 综上： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 若数列满足如下两个条件：①和恰有一个成立；②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”， （1）若，求的可能取值； （2）已知的解集为，求证：成等比数列； （3）若数列前3项均为正项，且的解集为，设的最大值为，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，求得的可能取值，利用已知条件确定的值. （2）根据已知条件求得、，从而证得成等比数列. （3）利用累乘法以及数列的最值，求得. 【小问1详解】 因为，所以或，所以或5， 当时，符合题意， 当时，且，不符合题意， 所以. 【小问2详解】 因为，其余项均为正项，所以或， 若时，对于，因为且，故舍去， 所以，即，所以， 因为，所以， 所以，，又， 所以，所以成等比数列. 【小问3详解】 由题意，其余项为正项，不妨设，则， 又或，所以或， 又，可得， 所以，， 时，， 设这个因式中恰有个因式的值为，有个因式的值为1，所以， 所以， 因为，且不可能，故，同理，， 类似的，，当， 设等式右侧有恰有个因式的值为，有个因式的值为1， 则， 当时等式也成立，所以，， 其中， ， 同理， 当且仅当时取等. 综上：的最大值为 【点睛】方法点睛：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题，也即是将新定义的问题，转化为学过的知识来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鞍山市普通高中2024—2025学年度高三第一次质量监测 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 5. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 6. 若为随机事件，且，则（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件， C. 若为相互独立事件， D. 若，则 7. 已知双曲线在双曲线上，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，若，则取得最小值时的值为（ ） A. 4 B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，定义域均为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 函数与的图象有相同的对称轴 C. 的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 函数的图象与的图象关于直线对称 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 11. 已知函数满足对任意，都有，且为奇函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期是8 B. 函数为偶函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且有，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 已知四棱锥中，底面为正方形，，则__________，该四棱锥的高为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，且平面平面. （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值. 16. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级. 已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？ 附： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为. （1）直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值； （2）求证：直线过定点. 18. 已知函数，且定义域为. （1）求函数的单调区间； （2）若有2个零点，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 若数列满足如下两个条件：①和恰有一个成立；②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”， （1）若，求的可能取值； （2）已知的解集为，求证：成等比数列； （3）若数列前3项均为正项，且的解集为，设的最大值为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $