2.3 直线的交点坐标与距离公式14题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类 一、两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0. (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 二、两点间的距离公式 1．两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关． 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 三、点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在平行直线间公垂线段的长 图示 公式 点P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝ （一） 求相交直线的交点坐标 1、两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解. 2、求两相交直线的交点坐标． (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 题型1：求相交直线的交点 1-1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 1-2．（2024高二·江苏·假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 1-3．（2024高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 题型2：求过两条直线的交点的直线方程 2-1．（2024高二上·天津·期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 2-2．（2024高二下·河北张家口·开学考试）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ． 2-3．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 题型3：由两条直线交点的个数或位置求参数 3-1．（广东省广州市第一一三中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考数学试题）直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．且 3-2．（2024·上海崇明·一模）若关于、的方程组无解，则实数 3-3．（2024高二·全国·课后作业）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4：三条直线能否构成三角形问题 4-1．（2024高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 4-2．（2024高二·江苏·假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    4-3．（2024高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （二） 两点间的距离 1、两点间的距离公式： (1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. (2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2、计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 题型5：求两点间的距离 5-1．（2024高二·江苏·假期作业）直线和直线分别过定点和，则| ． 5-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高二上·江苏南通·阶段练习）已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且AB线段的中点为，则线段AB的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 题型6：由两点间的距离求参数 6-1．（2024高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 6-2．（2024高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 6-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 题型7：运用两点间的距离公式求最值 7-1．（2024高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 7-2．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 7-3．（2024高二上·甘肃武威·期中）函数的最小值是 . （三） 运用坐标法解决平面几何问题 1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为形． 2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 题型8：用坐标法解决平面几何问题 8-1．（2024高二上·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 8-2．（2024高二上·安徽马鞍山·期中）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 8-3．（2024高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． （四） 点到直线的距离 点到直线的距离的求解方法： (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 题型9：求点到直线的距离 9-1．（2024高二·重庆·学业考试）点(1,1)到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． 9-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 9-3．（2024高二下·辽宁·阶段练习）已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 9-4.（2024高二下·上海浦东新·期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 9-5．（2024高二上·广东广州·期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 9-6．（2024·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10：直线围成的图形面积问题 10-1．（2024高二上·江苏·专题练习）射线所在直线的方向向量为，点在内，于点. (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值. 10-2．（2024高二上·广东湛江·期中）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 10-3．（2024高二下·全国·课堂例题）已知的顶点，，.求的面积. 题型11：点到直线距离公式的应用 11-1．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为 . 11-2．（2024·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 11-3．（2024高二·全国·课后作业）已知点，到直线l的距离都等于2，求直线l的方程． （五） 两平行线间的距离 求两条平行直线间距离的两种方法： (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 题型12：求两平行线间的距离 12-1．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 12-2．（2024高二上·全国·课后作业）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．2 C．14 D． 12-3．（2024高二上·福建宁德·期中）若两条平行直线与之间的距离是，则 ． 12-4．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型13：距离公式的综合应用 13-1．【多选】（2024高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 13-2．【多选】（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 13-3．【多选】（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 （六） 直线的对称问题 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称： ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称： ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　　　　 题型14：直线的对称问题 14-1．（2024高二上·河北张家口·期中）点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）． A． B． C． D． 14-2．（2024高二上·湖南郴州·阶段练习）已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 14-3．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 14-4．（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 2．（2024高二上·江苏连云港·期中）若三条直线和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 3．（2024高二上·新疆·期中）直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·浙江·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·广东广州·期末）已知点到直线的距离为1，则m的值为（    ） A．或 B．或15 C．5或 D．5或15 6．（2024高二上·河北唐山·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 8．（2024高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 10．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 11．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）两直线和的交点在y轴上，则k的值是（    ） A．-24 B．6 C．±6 D．24 12．（2024高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 13．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 14．（2024·全国）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二下·贵州）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 16．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 17．（2024高二上·广西河池·期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二上·江苏淮安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 19．（2024高一下·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（2024高三下·河北石家庄·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 23．（2024高二上·全国·课后作业）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 三、填空题 24．（2024高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 25．（2024高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 26．（2024高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ． 27．（2024高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程是 ． 28．（2024高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 29．（2024高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 30．（2024高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是 . 31．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 32．（2024高二·全国·课后作业）如果直线l与直线关于y轴对称，那么直线l的方程是 ． 33．（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 34．（2024高三·全国·对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是 ． 35．（2024高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 36．（2024高三·全国·中职高考）点关于直线的对称点的坐标为 ． 37．（2024高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 38．（2024高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 39．（2024高二上·全国·课后作业）若点关于直线对称，则 ； ． 40．（2024高二上·云南曲靖·阶段练习）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，求得的最小值为 ． 41．（2024高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 ． 42．（2024高二下·上海闵行·阶段练习）函数的值域为 . 43．（2024高二上·上海·课后作业）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 44．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为 四、解答题 45．（2024高二·江苏·假期作业）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 46．（2024高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 47．（2024高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 48．（2024高二·全国·课后作业）若点关于直线对称的点是，求a、b的值． 49．（2024高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 50．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程： (1)经过直线,的交点P，且经过点； (2)与直线垂直，且点到直线的距离为． 51．（2024高一·全国·课后作业）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 52．（2024高二·全国·课后作业）求直线关于直线对称的直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类 一、两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0. (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 二、两点间的距离公式 1．两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关． 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 三、点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在平行直线间公垂线段的长 图示 公式 点P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝ （一） 求相交直线的交点坐标 1、两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解. 2、求两相交直线的交点坐标． (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 题型1：求相交直线的交点 1-1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 1-2．（2024高二·江苏·假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【答案】C 【分析】解方程组即可得解. 【详解】解方程组得， 即直线与直线的交点坐标是(0,2)． 故选：C. 1-3．（2024高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1) (2)相交，交点为 (3) (4)重合 【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，，所以与相交． ，解得，所以交点为. （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，，所以与重合． 题型2：求过两条直线的交点的直线方程 2-1．（2024高二上·天津·期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：B. 2-2．（2024高二下·河北张家口·开学考试）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ． 【答案】 【分析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用直线垂直的充要条件求出直线的方程． 【详解】过直线与的交点， 故，解得，故交点坐标为； 故过点且与直线垂直的直线方程为，整理得． 故答案为：． 2-3．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 【答案】或 【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线是否过原点分类求解即可. 【详解】由，解得，即直线过点， 当直线过原点时，直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 题型3：由两条直线交点的个数或位置求参数 3-1．（广东省广州市第一一三中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考数学试题）直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答. 【详解】因直线与直线相交，则， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 3-2．（2024·上海崇明·一模）若关于、的方程组无解，则实数 【答案】 【解析】先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可. 【详解】由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以， 此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数. 故答案为：-2. 3-3．（2024高二·全国·课后作业）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线相交求k的取值范围，再联立方程求出交点坐标列式求解即可. 【详解】若直线与直线平行或重合，则，解得， 若直线与直线相交，可得且，则有： 联立方程，解得，即交点坐标， 由题意可得：，解得； 综上所述：k的取值范围为. 故选：C. 3-4．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程组，解得， 即两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 题型4：三条直线能否构成三角形问题 4-1．（2024高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 4-2．（2024高二·江苏·假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    【答案】且 【分析】由题意可分直线、、、直线经过同一点讨论，不能构成三角形从而可求出的值再求其补集可得答案. 【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若，则由，得； ②若，则由，得； ③若，则由，得， 当时，与三线重合，当时，平行． ④若三条直线交于一点，由，解得， 将的交点的坐标代入的方程， 解得 (舍去)，或， 所以要使三条直线能构成三角形，需且． 4-3．（2024高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B （二） 两点间的距离 1、两点间的距离公式： (1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. (2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2、计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 题型5：求两点间的距离 5-1．（2024高二·江苏·假期作业）直线和直线分别过定点和，则| ． 【答案】 【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点， 将直线的方程变形为， 由，可得，即点， 所以，. 故答案为：. 5-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，因为，由两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点C在x轴上，设点，则， 所以， 化简可得：，所以. 故选：D. 5-3．（2024高二上·江苏南通·阶段练习）已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且AB线段的中点为，则线段AB的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】由题意可知，，得，可得线段AB的中点为，设，利用中点坐标公式可得，求出，再利用两点间的距离公式可求得结果 【详解】因为直线和互相垂直， 所以，解得， 所以线段AB的中点为， 所以设，则，解得， 所以， 所以， 故选：B 题型6：由两点间的距离求参数 6-1．（2024高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 6-2．（2024高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 6-3．（2024高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 题型7：运用两点间的距离公式求最值 7-1．（2024高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案. 【详解】, 可以看作点到点的距离之和， 作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值， 最小值为间的距离. 故选：D. 7-2．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值. 【详解】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值， 因为，， ， 所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，， 取的中点，连接，与交于点，连接，故，， 因为，所以，故，则， 故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值， 因为，所以，同理得：，， ， 故的最小值为. 故选：B 7-3．（2024高二上·甘肃武威·期中）函数的最小值是 . 【答案】5 【分析】依题意可得，设，，，则问题转化为求点到点，两点的距离之和的最小值，求出关于轴的对称点的坐标，则，再根据距离公式求解即可. 【详解】解：因为 ， 设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即， 点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则， 所以，所以的最小值是. 故答案为： （三） 运用坐标法解决平面几何问题 1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为形． 2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 题型8：用坐标法解决平面几何问题 8-1．（2024高二上·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）先分离参数，再令参数的系数等于 ，求得、 的值，可得直线 恒过定点； （2）先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后解出即可. 【详解】（1）解：由题， 可化为， 由于，令，可得， 所以，解得， 即直线 恒过定点． 所以直线 恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点， 所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以， 解得 ，所以， 将代入直线方程，解得． 所以 的值为 . 8-2．（2024高二上·安徽马鞍山·期中）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及已知直线的斜率可求直线的斜率，进而可求直线的方程； （2）先设，进而表示的坐标，再由点在直线及中点坐标公式可求． 【详解】（1）设边上的高为， ，且直线的方程为，故斜率为， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即；    （2）设，则， 由题意得， 解得，，． 8-3．（2024高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线和直线，即可求解交点坐标； （2）首先由题意可知，点是线段的中点，利用对称和直线方程，即可求解. 【详解】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， 在直线上任取一点， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入 方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. （四） 点到直线的距离 点到直线的距离的求解方法： (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 题型9：求点到直线的距离 9-1．（2024高二·重庆·学业考试）点(1,1)到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． 【答案】A 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】， 故选：A 9-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】 由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，，即解得或. 故选：C 9-3．（2024高二下·辽宁·阶段练习）已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆心C的轨迹方程，再利用点到直线距离公式求解作答. 【详解】设，依题意，，则， 整理得，点到的距离， 所以点到圆心的距离的最小值． 故选：C 9-4.（2024高二下·上海浦东新·期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 9-5．（2024高二上·广东广州·期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 【答案】D 【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,再求出的值. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以,解得或5. 故选:D. 9-6．（2024·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得原点O到直线l的距离小于等于1，利用点到直线的距离公式可得关于k的不等式，即可求解k的范围. 【详解】因为直线上存在一点P，使得， 所以原点O到直线l的距离小于等于1，即，解得：， 即k的取值范围是. 故选：C 题型10：直线围成的图形面积问题 10-1．（2024高二上·江苏·专题练习）射线所在直线的方向向量为，点在内，于点. (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值； （2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值. 【详解】（1）解：因为，则， 因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 所以，. （2）解：因为直线的一个方向向量为， 所以，直线的方程为，即. 点到直线的距离为，， ，可得或， 即或，因为，解得或. 10-2．（2024高二上·广东湛江·期中）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）直线l的方程可化为，由即可求出直线l过定点，从而证得直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，利用两点间距离公式求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出k的值，得到直线l的方程，再求出点A，B的坐标，从而求出△PAB的面积． 【详解】（1）直线l方程，可化为， 令，解得， 则直线l经过定点， 故直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且， 此时，所以直线l的斜率为， 即，则l：， 则，，， 故的面积为． 10-3．（2024高二下·全国·课堂例题）已知的顶点，，.求的面积. 【答案】5 【分析】求出直线的斜率，直接利用点斜式得到直线的方程，然后求出点到直线的距离和，再结合三角形面积公式即可得结果. 【详解】直线的斜率， 由直线方程的点斜式可得， 化简可得. 所以点到直线的距离， 且， 则. 题型11：点到直线距离公式的应用 11-1．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】根据直线过中点或与直线平行求得正确答案. 【详解】依题意，到直线的距离相等. 的中点为， 当过以及时， 直线的方程为. 直线的斜率为， 当直线过并与平行时， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或 11-2．（2024·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 11-3．（2024高二·全国·课后作业）已知点，到直线l的距离都等于2，求直线l的方程． 【答案】 或，，． 【分析】根据直线与直线平行，过线段的中点或斜率不存在分类讨论． 【详解】①当时，因为直线的方程为，所以可设直线l的方程为． 由或，即直线l的方程为或． ②当l过线段的中点时，设l的方程为，即．点到l的距离，即．又当轴时，斜率不存在，此时也符合题意． 综上直线的方程为：或，，． （五） 两平行线间的距离 求两条平行直线间距离的两种方法： (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 题型12：求两平行线间的距离 12-1．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】依题意，将直线变为， 又， 所以两平行线间的距离为. 故选：A. 12-2．（2024高二上·全国·课后作业）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．2 C．14 D． 【答案】D 【分析】由距离公式求解即可. 【详解】由距离公式可知，所求距离为. 故选：D 12-3．（2024高二上·福建宁德·期中）若两条平行直线与之间的距离是，则 ． 【答案】3 【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得且， 所以直线为， 直线化为， 因为两平行线间的距离为， 所以，得， 因为 所以，得， 所以， 故答案为：3 12-4．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C． 题型13：距离公式的综合应用 13-1．【多选】（2024高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 13-2．【多选】（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 13-3．【多选】（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项. 【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合， 若，则，得，检验符合，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. （六） 直线的对称问题 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称： ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称： ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　　　　 题型14：直线的对称问题 14-1．（2024高二上·河北张家口·期中）点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点和斜率来求得点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得． 所以点Q的坐标为. 故选：A 14-2．（2024高二上·湖南郴州·阶段练习）已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】 根据对称性可求得关于直线l的对称点的坐标，再利用直线的两点式方程即可求得结果. 【详解】由题意可知，反射光线经过点关于直线的对称点， 如图所示： 直线的方程即为反射光线所在的直线方程， 又，可得， 根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为， 整理得，即反射光线所在直线的方程为. 故答案为：. 14-3．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】在对称的直线方程上任取一点，根据点对称性可得在直线上，代入即可求解. 【详解】设直线关于点对称的直线方程为， 在上任取一点， 则点关于点对称的点的坐标为， 由题意可知点在直线上， 故，整理可得. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14-4．（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【答案】B 【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项. 【详解】设对称直线方程为， ，解得或（舍去）. 所以所求直线方程为. 故选：B 2．（2024高二上·江苏连云港·期中）若三条直线和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先求出直线和的交点，再把交点坐标代入即得解. 【详解】解：联立得. 把代入得. 故选：C 3．（2024高二上·新疆·期中）直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性质可得原直线上的点关于轴的对称点，代入对称点，即可得到答案. 【详解】设点是所求直线上任意一点，则关于轴的对称点为，且在直线上，代入可得，即. 故选：C. 4．（2024高二上·浙江·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案. 【详解】解：由题意得． 解得或．，． 故选：C. 5．（2024高二上·广东广州·期末）已知点到直线的距离为1，则m的值为（    ） A．或 B．或15 C．5或 D．5或15 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式即可得出. 【详解】解：点到直线的距离为1， 解得：m=15或5． 故选：D. 6．（2024高二上·河北唐山·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点，则为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对称点即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点． 根据题意，为最短距离，先求出的坐标． 的中点为，直线的斜率为1， 故直线的方程为，即． 由，联立得，， ，则， 故， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：转化为点关于直线的对称点与原点的距离求解是解题关键. 7．（2024高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 8．（2024高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【详解】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 10．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 【答案】A 【分析】根据直线平行，求得的值，结合两平行线的距离公式，即可求解. 【详解】因为两直线：，：平行， 可得且，解得或， 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，符合题意； 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去. 故选：A. 11．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）两直线和的交点在y轴上，则k的值是（    ） A．-24 B．6 C．±6 D．24 【答案】C 【解析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解即可． 【详解】因为两条直线和的交点在轴上， 所以设交点为， 所以，消去，可得． 故选：． 【点睛】本题考查两条直线的交点坐标的求法与应用，考查计算能力，属于基础题． 12．（2024高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 13．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线的对称点，，利用轴对称的性质列出方程组解出用、表示、的式子，再由点在直线上代入，化简即得所求对称直线方程； 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，， 则，解出 点在直线上， 将式代入，得， 化简得，即为关于对称的直线方程． 故选：C 14．（2024·全国）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出. 【详解】在上取一点， 则由题意可得其关于直线的对称点在上， 所以，得， 在上取一点， 则其关于直线的对称点在上， 所以，得， 综上， 故选：A 15．（2024高二下·贵州）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两直线的交点坐标，再根据题意列出不等式组，求解即可. 【详解】联立得， 因为直线与直线的交点位于第一象限， 所以，解得. 故选：D 16．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用垂线段的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】原点到直线的距离为， 根据垂线段的性质可知的最小值是， 故选：A 17．（2024高二上·广西河池·期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线，相互平行， 所以，解得， 所以，即， 所以、之间的距离. 故选：A. 18．（2024高二上·江苏淮安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】由关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：D 19．（2024高一下·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点的对称点，即可求出的方程. 【详解】由题意得，故设， 在l上取点，则点关于点的对称点是， 所以，即， 故直线的方程为. 故选：C 20．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为. 故选：C 21．（2024高二上·江苏连云港·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为， 记点、、，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为. 故选：C. 22．（2024高三下·河北石家庄·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得的几何意义为点到点的距离之和的最小值.此时点为费马点,再根据求解的坐标,进而求得最小值即可. 【详解】由题的几何意义为点到点的距离之和的最小值. 由题可知,此时,且在轴上. 故.,. 故的最小值为 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据距离公式数形结合求解最小值的问题,需要根据题意画出坐标系,再结合所给费马点的定义求解.属于中档题. 二、多选题 23．（2024高二上·全国·课后作业）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 【答案】AC 【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行. 【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以． 故选：AC. 三、填空题 24．（2024高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据点关于点对称的坐标关系，即可将关于点对称的点代入已知直线中求解. 【详解】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即， 故答案为： 25．（2024高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 【答案】 【分析】根据特殊点求得的值. 【详解】直线过点， 点关于直线对称点为， 依题意可知点在直线上， 所以. 故答案为： 26．（2024高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ． 【答案】9或 【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 27．（2024高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有， 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中 故答案为： 28．（2024高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求. 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 29．（2024高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 【答案】 6 【分析】根据特殊点求得、的值. 【详解】解：直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得， 直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得. 故答案为：； 30．（2024高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得直线与坐标轴的交点坐标，代入的坐标，求得的值，结合题意，即可求解. 【详解】由题意，直线， 令，可得；令，可得，即， 如图所示， 当直线过点，可得； 当直线过点，可得， 要使得直线与直线的交点在第一象限，则， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 31．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】设点，根据中点公式和斜率关系可得，代入即可. 【详解】设所求直线上任意一点， 点P关于的对称点为, 如图所示： 则有，得 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 故答案为： 32．（2024高二·全国·课后作业）如果直线l与直线关于y轴对称，那么直线l的方程是 ． 【答案】 【分析】若直线关于y轴对称，则斜率互为相反数，结合交点坐标即可求解. 【详解】解：∵直线的斜率为-1，且与y轴交于（0，1）点， 又∵直线l与直线关于y轴对称， ∴直线l的斜率为1，且过（0，1）点， 则直线l的方程为， 故答案为： 33．（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 34．（2024高三·全国·对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是 ． 【答案】或 【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件； 若斜率存在时，设过点的直线，即． 根据题意，可得，解得或， 当时，直线方程为， 当时，直线方程为 综上可得，直线方程为或． 故答案为：或 35．（2024高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 【答案】-35 【解析】由x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解. 【详解】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 36．（2024高三·全国·中职高考）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据对称性直接列式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则 ，解得， 即点关于直线的对称点的坐标为. 故答案为：. 37．（2024高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点，由题意可得，求解即可. 【详解】解：设点， 因为直线的斜率为， 则有， 解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 38．（2024高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 39．（2024高二上·全国·课后作业）若点关于直线对称，则 ； ． 【答案】 4 2 【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答. 【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点， 于是，整理得，解得， 所以. 故答案为：4；2 40．（2024高二上·云南曲靖·阶段练习）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，求得的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据变形后函数表示的几何意义：到两定点的距离之和，即可知的最小值. 【详解】由变形所得函数知：表示x轴上的动点到两定点的距离之和，    ∴当且仅当与重合时，有最小值为. 故答案为： 41．（2024高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故答案为：. 42．（2024高二下·上海闵行·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】将其看作是动点到定点的距离之和，利用两点之间线段最短即可求解最小值. 【详解】原式为，即可看作是动点到定点的距离之和， 设关于轴的对称点为，连接交轴于 ，此时最小，且最小值为，故函数的值域为， 故答案为： 43．（2024高二上·上海·课后作业）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 【答案】 【分析】根据两直线重合的条件，求得的值即可. 【详解】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或. 当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意. 当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 44．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为 【答案】 【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程. 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 四、解答题 45．（2024高二·江苏·假期作业）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交 (3)不相交 【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，交点坐标为． （2）解方程组，方程组无解， 所以与无公共点，即与不相交． （3）解方程组， 因为方程可化为， 所以方程组有无数组解， 所以与有无数个公共点，即与不相交． 46．（2024高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【分析】求得关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求得的最小值. 【详解】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以. 47．（2024高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 48．（2024高二·全国·课后作业）若点关于直线对称的点是，求a、b的值． 【答案】，. 【分析】根据点关于线对称的性质，结合斜率公式、中点坐标公式进行求解即可. 【详解】因为点关于直线对称的点是， 所以有，解得，. 49．（2024高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【答案】(1)相交，交点是 (2)答案见解析 【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系； （2）分类讨论，解方程组可得答案. 【详解】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. 50．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程： (1)经过直线,的交点P，且经过点； (2)与直线垂直，且点到直线的距离为． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）解方程组得交点坐标，再根据两点式可求出结果； （2）根据垂直得斜率，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】（1）联立，得，即， 由两点式得，即. （2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线，即， 依题意得，解得或， 所以直线的方程为或. 51．（2024高一·全国·课后作业）已知三条直线，，. （1）若直线，，交于一点，求实数的值； （2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值. 【答案】（1）或；（2）或或4或. 【分析】（1）联立方程组即可求出； （2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解. 【详解】（1）∵直线，，交于一点， ∴与不平行，∴， 由，得， 即与的交点为， 代入的方程，得， 解得或. （2）若，，交于一点，则或； 若，则； 若，则； 若，则不存在满足条件的实数. 综上，可得或或4或. 52．（2024高二·全国·课后作业）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】联立方程求两条直线的交点P，取直线上一点A，求其关于直线对称的对称点，则过P，的直线即为所求直线. 【详解】联立两直线方程，解得，即两直线的交点为， 取直线：上一点，设其关于直线：的对称点， 则，解得，即， 因为所求直线过，，方程为， 即. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$