精品解析：云南省昆明市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考（8月）数学试题

机密★启用前【考试时间：8月29日 14：30-16：30】 昆明市第一中学郑重声明：严禁提前考试、发放及网络传播试卷，违反此规定者取消其联考资格，并追究经济和法律责任；对于首位举报者，经核实奖励2000元．举报电话：0871-65325731 昆明市第一中学2025届高三年级第一次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 孙思应 吕文芬 蔺书琴 崔锦 杨耕耘 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，结合条件求出集合,再求交集即得. 【详解】由可得，因，则，, 故. 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，再利用复数除法运算和复数相等得到方程，解出即可. 【详解】设，， 则， 即， 则，解得，则. 故选：C. 3. 已知向量．则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及坐标表示计算即得. 【详解】向量，则， 所以. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知式展开化简得，化弦为切得，利用倍角公式与同角的三角函数关系式将所求式整理成齐次式，化弦为切，代入计算即得. 【详解】由展开可得，， 整理得，，即. 则. 故选：B. 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再由表面积公式圆锥的表面积. 【详解】圆锥的底面半径为，侧面展开图的弧长为， 又侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长， 则圆锥的表面积. 故选：D. 6. 已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得椭圆经过点，代入椭圆方程化简，利用将其化成关于的齐次方程，即可求得椭圆离心率. 【详解】 如图，不妨设直线经过椭圆的右焦点，因垂直于轴，由图形对称性知，椭圆经过点， 代入椭圆方程可得，，整理得，， 把代入整理得，， 两边同除以，即得，，解得或， 因，故得，. 故选：C. 7. 函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦型函数极佳点的意义列出不等式组求解即可. 【详解】由且，得，显然， 由函数在区间内只有一个极值点，则，解得， 结合选项，所以函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是. 故选：A 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，构造函数并求出最小值即可得解. 【详解】令，则，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即得. 【详解】随机变量服从正态分布，则， 对于A，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，由，得， 因此，C正确； 对于D，，则，D错误. 故选：ABC 10. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A. 的图象的一条对称轴是直线 B. 当时， C. 函数有3个零点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件结合奇函数的性质和偶函数的性质列关系式，得对称性判断选项A；由函数单调性判断选项B；利用函数图象交点个数得零点个数判断选项C；由周期性结合对称性求函数值判断选项D；周期性结合函数的性质求函数值的和判断选项D. 【详解】对于A：由于是偶函数，因此可以得到， 用替换可以得到，则的对称轴为， 选项A正确； 对于B：当时，显然是一个增函数，此时，因此， 选项B错误； 对于C：由于是奇函数，因此可以得到， 则，因此，故， 因此，则，则4是函数的周期. 当时，是一个向下凹的曲线，在的下方， 容易知道是两者一个交点的横坐标，由于是的对称轴， 因此当时，， 由于，因此当时，， 而4是函数的周期，因此当时，和无交点. 由于，且4是函数的周期，因此， 进一步得到，因此， 故是奇函数，而也是奇函数，因此当时两者也只有一个交点， 显然是它们一个交点的横坐标，故总共有三个交点，即有三个零点， 选项C正确. 对于D：由于，因此，有. 则，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知拋物线上的动点到焦点的距离最小值是2，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于两点，则（ ） A. B. 抛物线的准线方程为 C. D. 满足条件的直线有2条 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意求出p的值，判断A；根据准线方程，判断B；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合应用弦长公式计算判断C；设直线联立方程组根据判别式判断直线个数及特殊斜率不存在直线结合即可判断D. 【详解】对于A，由题意拋物线的动点到焦点的距离最小值是2，即，A错误； 对于B，抛物线的准线方程为，B正确； 对于C，由题设, 为，联立，可得， 则，故， C正确. 对于D，因为在外，令过P的直线与相切， 所以，若，， 可得有两个根 故与相切直线有两条，又与只有一个交点， 所以过与有且仅有一个公共点的直线共有三条，D错误； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用的关系求出通项公式. 【详解】数列的前项和，当时，， 而不满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 13. 已知分别是曲线和直线上的点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】平移直线与曲线相切，求出切点坐标，再利用点到直线距离公式计算即得. 【详解】平移直线与曲线相切，设切点坐标为， 由，求导得，依题意，即， 而，解得，因此切点坐标为， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组分配求出试验的基本事件总数，再求出甲乙安排在同一路口的事件含有的基本事件数，然后用对立事件概率公式计算即得. 【详解】6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为， 甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排数为， 因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是， 所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求得角，再由另一式和正弦定理化简求得角; （2）利用正弦定理将三边用角表示，由题设条件建立方程求出三边，再运用三角形面积公式求解即得. 【小问1详解】 由可得，，因，则. 由和正弦定理，， 因，代入得，， 因，则得，，又，且，故； 【小问2详解】 由（1），, 由正弦定理，，又， 设比值为，则， 因的周长为，即， 即，则， 故的面积为：. 16. 已知和为双曲线上两点． （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点，且的面积为12，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组求出，即得离心率； （2）由（1）写出椭圆方程，求出的长和直线方程，设点，根据面积和题设条件列出方程组，分情况求解方程组即可得到点坐标. 【小问1详解】 由题意可得，，解得， 故，则的离心率为； 【小问2详解】 由（1）可得双曲线方程为：， 如图，依题意，, 直线的方程为，即， 设点，则点到直线的距离为：， 于是，的面积为，即①， 又在双曲线上，故得，②， 由①知，当时，将代入②整理得，， 解得或， 此时点坐标为或； 当时，将代入②整理得，， 解得或， 此时点坐标为或. 经验证，以上四点均符合题意，故点的坐标为或或或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面在线段上且是的中点，点在线段上，且． （1）当时，证明：平面平面； （2）当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积． 【答案】（1） 连接，作交于点，则四边形为平行四边形， ，在中，，，， 由余弦定理得，有，则， 由题设，在中，分别是，的中点，则，， 由，得，由平面，平面， 得，又，且都在面内，则平面， 又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）接，作交于点，则四边形为平行四边形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中，，分别是，的中点，结合中位线及平行的传递性可得，即可得平面，由线面平行判定定理可得结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系求得值，再由棱锥的体积公式求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，得， 由平面与平面所成的二面角的正弦值为，得， 于是，解得，， 所以四棱锥的体积. 18. 已知. （1）求的极值； （2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） （3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，进而得到函数的单调区间和极值； （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，结合函数的变化趋势，得出函数的图象； 令，可得；令，可得， （2）令，根据题意，转化为的图像与直线至多有一个交点，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，且， 令，可得 列表如下： 2 - - 0 + 极小值 由上表知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 令，可得；令，可得， 当时，；当时，； 当时，，由指数爆炸增长得，； 当时，； 结合（1）可画出函数的大致图象如图所示； 【小问3详解】 令，可得， 则函数至多有一个零点等价于函数的图象与直线至多有一个交点， 结合（1）（2）知，当时，即时，函数的图象与直线至多有一个交点，即函数至多有一个零点时，所以， 即实数的取值范围为. 19. 设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到子集中元素的最大值和最小值． （1）若的概率为，求； （2）若，求且的概率； （3）已知：对于随机变量，有．求随机变量的期望． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质来计算概率即可. （2）利用组合数思想，来计算这六个数中选取不同个数的组合数的和，就能计算该事件的概率。 （3）利用两个随机变量的分布列来分别计算它们的期望，再利用加法原理，来对它们求和即可. 【小问1详解】 的非空子集个数为， 则， 解得，所以. 【小问2详解】 当集合中的最大元素和最小元素分别为9，2时， 集合元素个数最少时，；集合元素个数最多时，， 而集合的可能情况有种， 当时，集合的非空子集个数为个， 所以． 【小问3详解】 集合的非空子集个数为， 最大值为的子集可视为的子集与集合的并集，共计个， 同理为的子集共计个，为的子集共计个，…，为1的子集共计个， 因此， 最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共计个， 同理为2的子集共计个，为3的子集共计个，…，为的子集共计个， 因此， 于是 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：首先从第一问和第二问找到解决问题的办法，其实就是研究包含某些元素的子集个数的研究，只有特殊的弄清楚了计算原理，对于后面的就是写清楚概率通项公式，即可求期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前【考试时间：8月29日 14：30-16：30】 昆明市第一中学郑重声明：严禁提前考试、发放及网络传播试卷，违反此规定者取消其联考资格，并追究经济和法律责任；对于首位举报者，经核实奖励2000元．举报电话：0871-65325731 昆明市第一中学2025届高三年级第一次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 孙思应 吕文芬 蔺书琴 崔锦 杨耕耘 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量．则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A. 的图象的一条对称轴是直线 B. 当时， C. 函数有3个零点 D. 11. 已知拋物线上的动点到焦点的距离最小值是2，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于两点，则（ ） A. B. 抛物线的准线方程为 C. D. 满足条件的直线有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和满足，则的通项公式为______． 13. 已知分别是曲线和直线上的点，则的最小值为______． 14. 在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 16. 已知和为双曲线上两点． （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点，且的面积为12，求点的坐标． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面在线段上且是的中点，点在线段上，且． （1）当时，证明：平面平面； （2）当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积． 18. 已知. （1）求的极值； （2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） （3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 19. 设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到子集中元素的最大值和最小值． （1）若的概率为，求； （2）若，求且的概率； （3）已知：对于随机变量，有．求随机变量的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $