2.2直线的方程9题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.2直线的方程9题型分类 一、直线的点斜式方程 直线的点斜式方程和斜截式方程： 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 二、直线的两点式方程 直线的两点式方程和截距式方程： 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b (a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 三、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．直线的五种形式的方程： 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 3．直线各种形式方程的互化： （一） 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程： 过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程：y－y0＝k(x－x0). 2．两种特殊的直线： (1)垂直于x轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. (2)平行于x轴（或与x轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 题型1：求直线的点斜式方程 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）过点且与过点和的直线平行的直线方程为 ． 1-2．（2024高二下·安徽池州·阶段练习）过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高二上·全国·课后作业）点在直线l上的射影为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高二·全国·课后作业）已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程． (1)P（2，3），； (2)P（-2，-1），； (3)P（-5，-1），． （二） 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程: 斜率为k且在y轴上的截距为b的直线方程：y＝kx＋b. 2．(1)直线的斜截式是直线点斜式的特例. (2)一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距. 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程. 3.求直线的斜截式方程的策略: (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 题型2：求直线的斜截式方程 2-1．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2-2．（2024高二上·全国·课前预习）写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角为，在轴上的截距是． 2-3．（2024高二·江苏·假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 2-4．（2024高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 2-5．（2024高二·全国·课后作业）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2-6．（2024高二·全国·课后作业）已知直线l与直线互相垂直，直线l与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为 . 2-7．（2024高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． （三） 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程：＝. 2．(1)与坐标轴垂直的直线没有两点式方程. (2)两点式变形为,其可以表示任何直线. 3.利用两点式求直线的方程： (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 题型3：求直线的两点式方程 3-1．（2024高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二上·浙江）已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 3-3．（2024高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 3-4．（2024高一·全国·课后作业）已知点A(3,2)，B(－1,4)，则过点C(2,5)且过线段AB的中点的直线方程为 （四） 直线的截距式方程 1． 直线的截距式方程：在x，y轴上的截距分别为a，b（其中a≠0，b≠0）的直线方程： ＋＝1. 2．截距的概念： (1)横截距：直线与x轴交点的横坐标；在直线方程中，令y=0，解出x； (2)纵截距：直线与y轴交点的横坐标；在直线方程中，令x=0，解出y. 3.截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 题型4：求直线的截距式方程 4-1．（2024高三·全国·专题练习）过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为 . 4-2．（2024高二上·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．D．或 4-3．（2024高二·全国·课后作业）求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程． （五） 直线的一般式方程 1.直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 3.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 4.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型5：求直线的一般式方程 5-1．（2024高一·全国·课后作业）△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0). (1)分别求边AC和AB所在直线的方程； (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； (3)求AC边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程． 5-2．（2024高二上·辽宁锦州·阶段练习）根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，且经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是和； (3)经过点，； (4)经过点，且一个方向向量为． 5-3．（2024高二下·上海宝山·期末）若，，则直线不经过第象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 5-4．（2024高二下·上海）如果且，那么直线不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（    ） A． B． C． D． 题型6：由一般式方程判断直线的平行、垂直 6-1．（湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2023-2024学年高二上学期期中理科数学试题）若直线和直线平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 6-2．（2024高二下·海南·学业考试）若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高二下·湖北孝感·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6-4．（2024高二上·福建福州·期末）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 6-5．（2024高二上·福建）“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6-6．（2024高二下·上海黄浦·阶段练习）直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 6-7．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A． B． C． D． 题型7：由两条直线平行、垂直求直线方程 7-1．（2024高二·贵州贵阳·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7-2．（2024高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线平行的直线方程为 . 7-3．（2024高二上·四川凉山·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7-4．（2024高二下·新疆伊犁·期中）过点且垂直于直线 的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型8：直线与坐标轴围成三角形的面积问题 8-1．（2024高二·全国·课后作业）求过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线的方程． 8-2．（2024高一下·江苏扬州·期中）如图所示，已知是以AB为底边的等腰三角形，点，，点C在直线：上． （1）求AB边上的高CE所在直线的方程； （2）设直线CD与y轴交于点，求的面积． 8-3．（2024高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为 ． 8-4．（2024高一下·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8-5．（2024高三·全国·对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． （六） 直线过定点问题 解决直线过定点问题的思路，把平面上过定点的直线的全体称为中心直线系.定点的确定方法：把含参直线方程化为直线系过定点问题: 解含参数的直线恒过定点问题的策略: (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． ,求解，即可得出定点坐标. 题型9：直线的恒过定点问题 9-1．（2024高一下·浙江宁波·期中）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 9-2．（2024高二上·全国·课后作业）不论m取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高二上·全国·课后作业）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 9-4．（2024·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 9-5．（2024高二上·福建福州·期中）已知直线方程：，若不经过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9-6．（2024高一上·河南周口·阶段练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二上·全国·课后作业）过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 2．（2024高二上·广西河池·阶段练习）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2024高二上·湖南·阶段练习）已知直线过点，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·江苏·课后作业）过两点和的直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国·课后作业）过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·全国·课后作业）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·山东枣庄·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·湖北·阶段练习）直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（广西南宁市第二十六中学等3校2023-2024学年高二下学期开学联合调研测试数学试题）直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二上·全国·课后作业）经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二下·天津北辰·阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（    ） A．B． C． D． 12．（2024高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 13．（2024高二上·广东肇庆·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024高二上·河北唐山·期中）直线l：的斜率和在x轴上的截距分别为（    ） A．，3 B．， C．，3 D．， 15．（2024高二上·江苏苏州·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二下·新疆塔城·开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 17．（2024高二上·广东江门·期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 18．（2024高二上·全国·课后作业）经过点，且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·北京丰台·二模）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2024高二上·上海宝山·期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 二、多选题 21．（2024高一下·江苏盐城·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 22．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程 B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 23．（2024高二上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 24．（2024高二上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．过、两点的直线方程为 C．直线与直线相互垂直． D．直线在轴上的截距为 三、填空题 25．（2024高三·全国·课后作业）经过点和点的直线方程是 . 26．（2024高二·江苏·假期作业）不论取何值时，直线恒过第 象限． 27．（2024高二上·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 28．（2024高二上·全国·专题练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条. 29．（2024高二·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为 . 30．（2024高一上·广东广州·期末）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ． 31．（2024高二下·上海闵行·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是 ． 32．（2024高二下·上海普陀·期中）若，且，则经过的直线的一般方程为 33．（2024高二上·重庆长寿·期末）经过点且与直线垂直的直线方程是 ．（用一般式表示） 34．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 . 四、解答题 35．（2024高二·全国·专题练习）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：在轴上的截距分别为，. 36．（2024高二上·山东济宁·期中）已知的顶点分别为，求： (1)直线AB的方程 (2)AB边上的高所在直线的方程 37．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距. 38．（2024高二下·湖北宜昌·阶段练习）设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值. 39．（2024高二下·上海·课后作业）直线过点，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线的方程. 40．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程． 41．（2024高一下·安徽·阶段练习）已知点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）. (1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程； (2)求△ABC的面积. 42．（2024高二·全国·专题练习）的三个顶点是，，，求：边BC上的中线所在直线的方程； 43．（2024高二上·湖北·阶段练习）已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程. 44．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 45．（2024高一下·山东滨州·阶段练习）已知直线与垂直，求. 46．（2024高二上·福建福州·期中）已知直线过点． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值． 47．（2024高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 48．（2024高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 49．（2024高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 50．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 51．（2024高二·全国·课后作业）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点. (1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程. 52．（2024高二下·上海金山·期中）已知直线l：， （1）直线过定点P，求点P坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程． 53．（2024高二下·湖南常德·期中）已知直线的方程为． (1)求直线过的定点P 的坐标； (2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程； 54．（2024高二上·全国·课后作业）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)只与x轴相交； (4)是x轴所在直线； (5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成． 55．（2024高二·江苏·假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 2.2直线的方程9题型分类 一、直线的点斜式方程 直线的点斜式方程和斜截式方程： 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 二、直线的两点式方程 直线的两点式方程和截距式方程： 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b (a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 三、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．直线的五种形式的方程： 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 3．直线各种形式方程的互化： （一） 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程： 过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程：y－y0＝k(x－x0). 2．两种特殊的直线： (1)垂直于x轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. (2)平行于x轴（或与x轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 题型1：求直线的点斜式方程 1-1．（2024高二上·全国·课后作业）过点且与过点和的直线平行的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求出斜率，再由点斜式可得结果. 【详解】， 由点斜式得，即. 故答案为：. 1-2．（2024高二下·安徽池州·阶段练习）过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】依题意，直线l的斜率， 故直线l的方程为， 即， 故选：B. 1-3．（2024高二上·全国·课后作业）点在直线l上的射影为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求出直线l的斜率，再运用点斜式直线方程求解. 【详解】由题意，，， 由点斜式直线方程得直线l的方程为：，即； 故选：C. 1-4．（2024高二·全国·课后作业）已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程． (1)P（2，3），； (2)P（-2，-1），； (3)P（-5，-1），． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由直线倾斜角求斜率，点斜式求直线方程. 【详解】（1）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. （2）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. （3）直线倾斜角，直线斜率不存在，直线l经过点，直线l的方程为. （二） 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程: 斜率为k且在y轴上的截距为b的直线方程：y＝kx＋b. 2．(1)直线的斜截式是直线点斜式的特例. (2)一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距. 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程. 3.求直线的斜截式方程的策略: (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 题型2：求直线的斜截式方程 2-1．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得； 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为； 故选：C 2-2．（2024高二上·全国·课前预习）写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角为，在轴上的截距是． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直线方程的斜截式，即得解； （2）利用倾斜角和斜率的关系，求解斜率，再结合直线方程的斜截式，即得解； （3）利用倾斜角和斜率的关系，求解斜率，再结合直线方程的斜截式，即得解 【详解】（1） （2）因为，所以． （3）因为，所以． 2-3．（2024高二·江苏·假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1)y＝2x＋5 (2)y＝－x－2 (3)y＝x＋3或y＝x－3 【分析】（1）由直线的斜截式可得直线方程； （2）由已知求得直线的斜率，再由直线的斜截式可得直线方程． （3）由已知求得直线的斜率和直线在y轴上的截距，再由直线的斜截式求得直线的方程. 【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. （2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2. （3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝． 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 2-4．（2024高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【答案】 【分析】先找到直线的斜率，再由直线过点求出直线方程. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线， 故答案为：. 2-5．（2024高二·全国·课后作业）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线的斜率及截距即可求解. 【详解】由，，， 知直线斜率，在轴上截距为， 所以此直线必不经过第三象限. 故选：C 2-6．（2024高二·全国·课后作业）已知直线l与直线互相垂直，直线l与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】由两条直线垂直，斜率之积为-1，可得直线l的斜率.再由直线在y轴上的截距为6，可得直线l截距为6，由斜截式可得结果. 【详解】因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率. 又因为直线在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6， 所以直线l的方程为. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式，考查了运算求解能力，属于基础题目. 2-7．（2024高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B （三） 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程：＝. 2．(1)与坐标轴垂直的直线没有两点式方程. (2)两点式变形为,其可以表示任何直线. 3.利用两点式求直线的方程： (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 题型3：求直线的两点式方程 3-1．（2024高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【详解】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 3-2．（2024高二上·浙江）已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)2x＋5y＋10＝0 (2)10x＋11y＋8＝0 【分析】（1）根据两点式求解即可； （2）根据中点坐标公式可得BC的中点，再根据两点式可得BC边上的中线所在直线的方程． 【详解】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0． （2）设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3，所以， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0． 3-3．（2024高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】根据直线的两点式方程的求法即可求得答案. 【详解】（1）直线的两点式方程为. （2）直线的两点式方程为. （3）直线的两点式方程为. 3-4．（2024高一·全国·课后作业）已知点A(3,2)，B(－1,4)，则过点C(2,5)且过线段AB的中点的直线方程为 【答案】 【分析】由两点的坐标可求出中点坐标，与点C横纵坐标均不相同，所以代入两点式，求出直线方程. 【详解】A、B中点坐标为，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得：， 化简得：. 【点睛】本题考查中点坐标的求法以及两点式方程的求法，代入时注意符号不要出错，注意两点式求直线方程的约束条件. （四） 直线的截距式方程 1． 直线的截距式方程：在x，y轴上的截距分别为a，b（其中a≠0，b≠0）的直线方程： ＋＝1. 2．截距的概念： (1)横截距：直线与x轴交点的横坐标；在直线方程中，令y=0，解出x； (2)纵截距：直线与y轴交点的横坐标；在直线方程中，令x=0，解出y. 3.截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 题型4：求直线的截距式方程 4-1．（2024高三·全国·专题练习）过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为 . 【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 【分析】直线的斜率存在且不为0，设出直线截距式方程，利用已知条件求出截距就能得到直线方程. 【详解】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 则有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2. 直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0. 故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 4-2．（2024高二上·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．D．或 【答案】D 【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0. 【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为； 若，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或. 故选：D. 4-3．（2024高二·全国·课后作业）求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】或． 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y=kx，代入点(5,2)求得k的值，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点(5,2)求解. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点， 所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线在轴上的截距为， 则在轴上的截距为，则直线的方程为， 又直线过点， ∴， 解得， ∴直线的方程为． 综上;直线的方程为或． 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程和截距式方程，属于基础题. （五） 直线的一般式方程 1.直线的一般式方程： 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 3.含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 4.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型5：求直线的一般式方程 5-1．（2024高一·全国·课后作业）△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0). (1)分别求边AC和AB所在直线的方程； (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； (3)求AC边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程． 【答案】（1）x－2y＋8＝0. x＋y－4＝0.（2）2x－y＋10＝0.（3）2x＋y＋6＝0.（4）2x＋y－2＝0.（5）x－y＋6＝0 【详解】试题分析：（1）利用截距式得AC方程，利用两点式得AB方程；（2）先确定AC边中点坐标，再由两点式得BD的方程；（3）由中垂线几何性质可知：AC的中垂线斜率及AC的中点的坐标，再由点斜式得直线方程；（4）由高的定义得高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程；（5）得到两边的中点坐标，再由两点式得直线的方程. 试题解析： (1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1， 即x－2y＋8＝0. 由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0. (3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)， 所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)， 即2x＋y＋6＝0. (4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0. (5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)， ∴直线DM方程为＝， 即x－y＋6＝0. 点睛：直线方程共五种形式，合理选择方程形式求直线方程． 当知道定点或斜率时一般选择点斜式，注意点斜式的局限性，不包含过此点垂直x轴的情况；当知道两点时，一般选择两点式，当知道直线的两个截距或求与x，y轴围成三角形面积时，一般选择截距式. 5-2．（2024高二上·辽宁锦州·阶段练习）根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，且经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是和； (3)经过点，； (4)经过点，且一个方向向量为． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据直线方程的点斜式即可得解； （2）根据直线方程的截距式即可得解； （3）根据直线方程的两点式即可得解； （4）首先根据方向方程可得直线斜率，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）根据点斜式可得直线方程为：， 化简可得； （2）根据截距式可得：， 化简可得； （3）根据两点式可得：， 整理可得； （4）由直线的方向向量为可得直线的斜率， 所以所求直线方程为即. 5-3．（2024高二下·上海宝山·期末）若，，则直线不经过第象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可. 【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为， 因为，，所以，， 所以直线的斜率为正，纵截距为正， 即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限. 故选：D 5-4．（2024高二下·上海）如果且，那么直线不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】由且，确定直线的斜率以及它在y轴上的截距的符号，即可得结论． 【详解】∵且，则 ∴，， ∴直线，即直线的斜率小于零，在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 5-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案. 【详解】由已知， 令得直线在y轴的截距为， 令得直线在x轴的截距为， 由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得， 即. 故选：D. 题型6：由一般式方程判断直线的平行、垂直 6-1．（湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2023-2024学年高二上学期期中理科数学试题）若直线和直线平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得 【详解】直线和直线平行， 可得，得. 故选：A. 【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题. 6-2．（2024高二下·海南·学业考试）若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得的值. 【详解】由可知，其斜率为， 又两直线平行，所以可得，解得. 故选：B 6-3．（2024高二下·湖北孝感·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求的值. 【详解】若直线与直线互相垂直， 则，解得. 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C. 【点睛】如果直线，， （1）若，则； （2）若，则且或； （2）若重合，则，，. 6-4．（2024高二上·福建福州·期末）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】B 【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m的值，验证直线是否重合，即得答案. 【详解】由题意知直线与直线平行， 而直线的斜率为， 则直线必有斜率，即，则， 故，解得或， 当时，直线与直线重合，不合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意， 故， 故选：B 6-5．（2024高二上·福建）“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】分充分性和必要性两方面计算可得. 【详解】当时，两直线分别为：，， ∴两直线斜率相等且， ∴两条直线平行且不重合； 若两直线平行且不重合，则，∴，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C. 【点晴】此题考充要条件的判断方法和直线平行的条件和结论，属于基础题. 6-6．（2024高二下·上海黄浦·阶段练习）直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：B. 6-7．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案. 【详解】由两直线垂直得，解得， 所以原直线直线可写为， 又因为垂足为同时满足两直线方程， 所以代入得， 解得， 所以， 故选:D 题型7：由两条直线平行、垂直求直线方程 7-1．（2024高二·贵州贵阳·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设垂直于直线的直线为，代入点得的值，即得解. 【详解】设垂直于直线的直线为， 代入点得， 则所求直线为. 故选：A. 7-2．（2024高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据直线平行，设所求直线为，由点在直线上求参数，即可得直线方程. 【详解】令所求直线为，且在直线上， 所以，即，故所求直线为. 故答案为： 7-3．（2024高二上·四川凉山·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平行可设直线l的方程为，再把点代入即可解得即可求出结果 【详解】设与直线即平行的直线l的方程为， 把点代入可得，解得． 因此直线l的方程为 故选：D 7-4．（2024高二下·新疆伊犁·期中）过点且垂直于直线 的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入，即可求解. 【详解】设所求的直线方程为， 代入方程解得， 所求的直线方程为. 故选：B. 题型8：直线与坐标轴围成三角形的面积问题 8-1．（2024高二·全国·课后作业）求过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线的方程． 【答案】或． 【分析】由题可设直线的方程，故有，解方程得得或，进而可得直线的方程. 【详解】解：由题意知直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在， 设其方程为． 由题意得，即或， 对于方程组，该方程组无解； 对于方程组，解得或 ∴直线的方程为或． 【点睛】本题考查直线的截距式方程，考查运算能力，是基础题. 8-2．（2024高一下·江苏扬州·期中）如图所示，已知是以AB为底边的等腰三角形，点，，点C在直线：上． （1）求AB边上的高CE所在直线的方程； （2）设直线CD与y轴交于点，求的面积． 【答案】（1）；（2）1． 【分析】（1）根据中点坐标公式求出点坐标，根据得出直线斜率，最后根据点斜式可得直线方程； （2）联立直线方程求出点坐标，通过两点式得出的方程，求出点到的距离以及的长，最后求面积即可. 【详解】（1）因为是以AB为底边的等腰三角形， 所以E为AB的中点，所以， 因为，所以 所以直线CE：，即 所以AB边上的高CE所在直线的方程为； （2），解得，所以， 所以直线AC：，即， 又因为，所以点D到直线AC的距离， 又，所以. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 8-3．（2024高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为 ． 【答案】12 【分析】设直线的方程，由过点可得，然后结合基本不等式即可得出答案. 【详解】设直线的方程，由过点可得，则有；；； 解得：，当且仅当：时，，时取等号； 所以 故答案为：12 8-4．（2024高一下·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由题意设直线的方程为，然后求出直线与坐标轴的交点坐标，再由直线与两坐标轴相交所得三角形面积为1，列方程可求出的值，从而可得直线的条数 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为， 令，解得；令，解得. ， 化为，即①，②， 由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解. 因此直线共有2条. 故选：B. 8-5．（2024高三·全国·对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线为，计算与两坐标交点，根据面积公式求即可. 【详解】    由题意可设方程为：， 令，得， 令，得， 由题意知：， 得， 故直线方程为：， 故答案为： （六） 直线过定点问题 解决直线过定点问题的思路，把平面上过定点的直线的全体称为中心直线系.定点的确定方法：把含参直线方程化为直线系过定点问题: 解含参数的直线恒过定点问题的策略: (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． ,求解，即可得出定点坐标. 题型9：直线的恒过定点问题 9-1．（2024高一下·浙江宁波·期中）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点坐标,设定点是,求出斜率,由图形可得结论. 【详解】由已知直线恒过定点, 如图所示,若与线段相交,则,    因为, 所以. 故选:D. 9-2．（2024高二上·全国·课后作业）不论m取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理得，令，求解即可得定点. 【详解】因为，整理得， 令，解得， 所以直线过定点. 故选：B. 9-3．（2024高二上·全国·课后作业）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整理所得直线方程为，根据题意，即可求得结果. 【详解】把直线方程整理为， 令，故，所以直线恒过定点为. 故选：C. 9-4．（2024·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 令，解得， 即直线恒过点. 又因为点A也在直线上，则， 可得，且， 则，即，当且仅当时，等号成立 所以的最大值为. 故选：B. 9-5．（2024高二上·福建福州·期中）已知直线方程：，若不经过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把直线的方程化为斜截式，分和两类讨论.当时，符合直线不经过第二象限；当时，则满足斜率大于0且截距大于或等于0，解出值，结合两类的结果即可得到的取值范围. 【详解】由得. 当时，，此时不经过第二象限， 所以. 当时，若不经过第二象限，则，解得. 所以，的取值范围为. 故选：C 9-6．（2024高一上·河南周口·阶段练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线恒过定点，即与参数k无关，原直线方程整理为，令k的系数为0，解方程即可得解. 【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知， ，解得，所以直线恒过定点 故选：B 一、单选题 1．（2024高二上·全国·课后作业）过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为， 又由直线的点斜式方程，可得，即. 故选：B. 2．（2024高二上·广西河池·阶段练习）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程 【详解】当截距时，设直线方程为， 将，代入得，∴方程为 当截距时，过原点和点的直线方程为 又且在两坐标轴上的截距相等， ∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和 故选：D. 3．（2024高二上·湖南·阶段练习）已知直线过点，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可. 【详解】由直线的两点式方程可得， 直线l的方程为，即． 故选：C． 4．（2024高二·江苏·课后作业）过两点和的直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距. 【详解】由题可知直线方程为：，即， 令x=0，则，故直线在y轴上的截距为. 故选：C. 5．（2024高二·全国·课后作业）过两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程运算求解. 【详解】由题意可知：直线在x，y轴上的截距分别为， 根据直线的截距式可知直线方程为：. 故选：C. 6．（2024高二上·全国·课后作业）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的两点式方程运算求解. 【详解】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为. 故选：D. 7．（2024高二上·山东枣庄·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解. 【详解】设过点且与直线平行的直线方程是， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 8．（2024高二下·湖北·阶段练习）直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面内两直线垂直，得，解之即可． 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B 9．（广西南宁市第二十六中学等3校2023-2024学年高二下学期开学联合调研测试数学试题）直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：C. 10．（2024高二上·全国·课后作业）经过点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设出所求的直线方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】设与直线垂直的直线方程为，于是，解得， 所以所求的直线方程为. 故选：A 11．（2024高二下·天津北辰·阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出平行于直线的直线系方程，再将点代入方程，进而求得所求直线的方程. 【详解】平行于直线的直线方程可设为 又所求直线过点 则，解之得， 则所求直线为 故选：A 12．（2024高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可. 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 13．（2024高二上·广东肇庆·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或. 故选：A 14．（2024高二上·河北唐山·期中）直线l：的斜率和在x轴上的截距分别为（    ） A．，3 B．， C．，3 D．， 【答案】B 【分析】由可得，据此可得答案. 【详解】，则直线斜率为， 又令，则，故直线在x轴上的截距分别为. 故选：B 15．（2024高二上·江苏苏州·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得. 【详解】解：直线的方程可化为，可知倾斜角，满足，因此. 故选：B. 16．（2024高二下·新疆塔城·开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可. 【详解】过点且斜率为的直线的方程是， 即. 故选：C 17．（2024高二上·广东江门·期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【答案】D 【分析】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误； 对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误； 对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误； 对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确. 故选：D 18．（2024高二上·全国·课后作业）经过点，且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出平行于直线的直线系方程，再将点代入方程，进而求得所求直线的方程. 【详解】平行于直线的直线方程可设为， 又所求直线过点， 则，解之得， 则所求直线为. 故选：A 19．（2024·北京丰台·二模）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线与直线相互垂直， 所以， 所以. 所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件； 当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件. 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 20．（2024高二上·上海宝山·期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【答案】A 【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项. 【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以即， 故既在直线上，也在直线上. 因为与是两个不同的点，故、不重合， 故无论，，如何，总有唯一交点. 故选：A. 二、多选题 21．（2024高一下·江苏盐城·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 【答案】ABD 【解析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示；截距为零的直线不能用截距式表示；从而可得结果. 【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确； 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确； C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确； 故选：ABD. 22．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程 B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 【答案】AD 【分析】由直线方程的意义判断A．由直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确； 在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误； 直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线 当时，直线方程为，变形为， 当时，直线方程为，也适合方程， 所以D正确． 故选：AD． 23．（2024高二上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 【答案】AD 【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断. 【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确； B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误； C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误； D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确； 故选：AD. 24．（2024高二上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．过、两点的直线方程为 C．直线与直线相互垂直． D．直线在轴上的截距为 【答案】CD 【分析】利用点斜式方程可判断A选项；利用两点式方程可判断B选项；利用两直线垂直的斜率关系可判断C选项；利用截距的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，点斜式不表示与轴垂直的直线，A错； 对于B选项，过、两点且斜率不为零的直线方程为，B错； 对于C选项，直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，，故直线与直线相互垂直，C对； 对于D选项，直线在轴上的截距为，D对. 故选：CD. 三、填空题 25．（2024高三·全国·课后作业）经过点和点的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据两点式求得直线方程. 【详解】经过点和点的直线方程是：， 整理得. 故答案为： 26．（2024高二·江苏·假期作业）不论取何值时，直线恒过第 象限． 【答案】四 【分析】化简直线方程为，列方程组，进而求解即可. 【详解】直线可化为， 由，得， 所以直线恒过定点， 因为在第四象限， 故直线恒过第四象限． 故答案为：四. 27．（2024高二上·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 28．（2024高二上·全国·专题练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条. 【答案】 【分析】设直线的截距式为，即可得到，解得即可. 【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为， ∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为， ∴，解得，或，或， 所以直线的条数为条． 故答案为： 29．（2024高二·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解. 【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0. 设直线方程为，则. 因为，即，所以， 所以时，，当时，， 所以直线方程为或. 故答案为: 或. 30．（2024高一上·广东广州·期末）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ． 【答案】或 【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点P的坐标代入即可得出． 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 31．（2024高二下·上海闵行·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是 ． 【答案】或 【分析】由题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线方程. 【详解】解：由题意，当直线过原点时，此时所求直线方程的斜率， 所以直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点， 可得，所以直线方程为， 故答案为：或. 32．（2024高二下·上海普陀·期中）若，且，则经过的直线的一般方程为 【答案】 【分析】根据、都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方程. 【详解】若, 则点在直线上, 点在直线上 即、都在同一直线上 因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为 故答案为: 33．（2024高二上·重庆长寿·期末）经过点且与直线垂直的直线方程是 ．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 于是，解得， 所以所求的直线方程为. 故答案为： 34．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 ；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 . 【答案】 或； . 【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出的值；先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围. 【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以， 在中， 令，得，令，得， 依题意可得，即， 解得或； 直线的方程可化为，所以， 所以，所以直线过定点， 所以，由直线可得：， 若不经过第三象限，则， 故答案为：或；. 四、解答题 35．（2024高二·全国·专题练习）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：在轴上的截距分别为，. 【答案】 【分析】根据直线的截距式方程运算求解即可. 【详解】由直线的截距式方程可知，所求直线方程， 化为一般式方程为. 36．（2024高二上·山东济宁·期中）已知的顶点分别为，求： (1)直线AB的方程 (2)AB边上的高所在直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由AB的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可； （2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点C，同（1）可得. 【详解】（1），， 由点斜式方程可得， 化为一般式可得 （2）由（1）可知， 故AB边上的高线所在直线的斜率为， 又AB边上的高线所在直线过点， 所以方程为， 化为一般式可得.    37．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距. 【答案】，. 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线点斜式方程求解作答. 【详解】依题意，直线的斜率， 直线的方程为，即，当时，， 所以直线的方程为，直线l在y轴上的截距为. 38．（2024高二下·湖北宜昌·阶段练习）设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值. 【答案】（1）或（2） 【分析】（1）讨论截距是否为0：当截距为0时，过原点，代入可得，进而得直线方程；当截距不为0时，使得截距相等，求得，进而得直线方程； （2）先求得直线在轴，轴上的截距，结合面积为1，即可解方程求得a的值. 【详解】（1）由题意知， 当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0， 此时，直线的方程为； 当直线不过原点时，由截距相等，得，则， 直线的方程为， 综上所述，所求直线的方程为或. （2）由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为、， ， 解得. 【点睛】本题考查了直线方程截距的概念，直线方程的求法，由直线围成图形面积的应用，属于基础题. 39．（2024高二下·上海·课后作业）直线过点，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线的方程. 【答案】或 【分析】由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线.求出直线与轴、轴的交点，在根据面积公式计算得，即，再分类讨论计算可得； 【详解】解：由题意知，直线的斜率存在且不为0.设直线. 设此直线与轴、轴的交点分别为，则点的坐标分别为 因此面积为， 即. 若，得，无解； 若，得. 解方程，得或. 所以，直线，即； 或直线，即. 【点睛】本题考查点斜式求直线方程，三角形面积公式的应用，属于基础题. 40．（2024高二上·全国·课后作业）已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程． 【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1． 【分析】先根据题意按点斜式写出直线方程，再分别令，得与坐标轴的交点坐标，根据直角三角形面积公式可得方程，即可求出直线的方程． 【详解】解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|， 故其面积为， 由，解得b＝±1， 故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1． 41．（2024高一下·安徽·阶段练习）已知点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），关于原点的对称点为C（x2，y2）. (1)求△ABC中过AB，BC边上中点的直线方程； (2)求△ABC的面积. 【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0 (2)10 【分析】（1）先求出点的对称点的坐标，再用两点式求出直线的方程． （2）先判断求出AB和BC的值，判断AB⊥BC，从而求出△ABC的面积． 【详解】（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），∴B（5，﹣1）， 又∵点A（5，1）关于原点的对称点为C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1）， ∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，﹣1）． 过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是， 整理得x﹣5y﹣5＝0． （2）由题意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC， ∴△ABC的面积． 42．（2024高二·全国·专题练习）的三个顶点是，，，求：边BC上的中线所在直线的方程； 【答案】 【分析】先求出的中点，从而可求出边上的中线的斜率，进而可求出边上的中线所在的直线方程 【详解】由，，得的中点为， 所以边上的中线的斜率为， 所以边BC上的中线所在直线的方程为，即； 43．（2024高二上·湖北·阶段练习）已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据方程可得直线l恒过定点，然后可得答案； （2）可得，然后利用基本不等式可求出其最小值； （3）当时，d最大，然后可求出答案. 【详解】（1）直线l的方程为，直线l恒过定点， ∴若直线l不经过第四象限，则， （2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以 取，，，， 所以，当且仅当时等号成立. （3）当时，d最大，，可得直线的斜率为， 则直线的方程，即. 44．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，. (1)证明直线过定点，并求出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程； (3)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决. 【详解】（1）证明：整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组， 解得， 所以直线过定点，点的坐标为. （2）当截距为0时，直线的方程为，即， 当截距不为0时，设直线的方程为， 则， 解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或. （3）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，不符合题意； 当，且时，， 所以 解得或， 综上所述，当直线不经过第四象限时， 的取值范围是：. 45．（2024高一下·山东滨州·阶段练习）已知直线与垂直，求. 【答案】m=1或m=3 【分析】由直线垂直的性质求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得m=1或m=3. 46．（2024高二上·福建福州·期中）已知直线过点． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)12 【分析】（1）分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解； （2）利用三角面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为12． 47．（2024高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)面积的最小值为，此时直线的方程为. 【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值； （2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意可得. （2）解：在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 48．（2024高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2)存在，且直线方程为. 【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标； （2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解. 【详解】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）解：设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 49．（2024高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 【答案】x＋2y－4＝0 【分析】方法一：设直线的方程为，则，然后表示出的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线的方程，方法二：设直线：，则，然后利用基本不等式可得，从而可求出其最小值，进而可求出直线的方程. 【详解】方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 故直线的方程为， 即. 方法二：设直线：， 因为直线l过点， 所以， 则，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 此时，故直线的方程为， 即. 50．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：直线的方程为： 提参整理可得：． 令，可得， 不论为何值，直线必过定点. （2）设直线的方程为． 令 则， 令．则， 直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 此时的方程为． 51．（2024高二·全国·课后作业）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点. (1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程. 【答案】(1)8， (2)4， 【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为，代入点结合基本不等式可求出结果. （2）由（1）可得，则可推出，结合基本不等式可求出结果. 【详解】（1）根据题意可设直线l的方程为，则，， 因为直线l过点，所以， 又（当且仅当，即，时取等号）， 所以，即， 所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为. （2）由（1）可知， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为. 52．（2024高二下·上海金山·期中）已知直线l：， （1）直线过定点P，求点P坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）将变形为，列方程可得直线所过的定点； （2）求出点，点的坐标，代入三角形的面积，解方程可得. 【详解】解：（1）由，可得， ∴直线：必过直线，的交点， ∴； （2）∵直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， ∴， 令，得；令，得， 三角形的面积为， 解得， ∴直线方程为：.    【点睛】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题. 53．（2024高二下·湖南常德·期中）已知直线的方程为． (1)求直线过的定点P 的坐标； (2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解； （2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程可化为， 联立方程组解得， 所以直线过的定点． （2）设直线 ，则， 由 （1） 知，直线 过的定点，可得， 因为， 所以，解得， 当且仅当且即时，等号成立， 所以面积为 ， 此时对应的直线方程为，即． 54．（2024高二上·全国·课后作业）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？ (1)过坐标原点； (2)与两条坐标轴都相交； (3)只与x轴相交； (4)是x轴所在直线； (5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成． 【答案】(1)且不同为 (2)都不为0 (3)且 (4) (5)证明见解析 【分析】（1）将代入可得答案； （2）分、讨论，可得答案； （3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，根据直线方程可化成形式可得答案； （4）将直线方程化为可得答案； （5）将代入直线方程得，再代入直线方程化简可得答案. 【详解】（1）将代入得， 当且不同为方程表示过坐标原点的直线； （2）直线与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在， 当且时直线过原点满足条件， 当时，令时，令时， 所以都不为0， 综上所述，时直线与两条坐标轴都相交； （3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可， 因此直线方程可化成形式， 故且； （4）x轴的方程为，因此方程中时 方程表示的直线是x轴所在直线； （5）因为为直线上一点，所以， 所以， 所以方程可化为， 即， 所以这条直线的方程可以写成． 55．（2024高二·江苏·假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程. 【答案】 【分析】由题意可得，求出过点和点的直线的方程代入化简即可得出答案. 【详解】把坐标代入直线和直线， 得,， ∴， 过点和点的直线的方程是：， ∴，则， ∵， ∴， ∴所求直线方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$