第一章 空间向量与立体几何单元综合测试卷-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在长方体中，若，，，则向量在标准正交基下的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 5．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 6．已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 7．已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 10．在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（    ） A． B．夹角的余弦值为 C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是 11．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 13．如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    14．已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．          图1                         图2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 16．（15分） 已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 18．（17分） 如图，平面，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中.    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求点到平面的距离； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 第2页，共7页 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在长方体中，若，，，则向量在标准正交基下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 长方体中，若，，， 则， 所以向量在标准正交基下的坐标是． 故选：A． 2．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 3．已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，三点不共线，点与，，三点共面， 又， 所以，解得. 故选：A. 4．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【解析】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 5．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】D 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 6．已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意以为基底表示出可得： ，， 又棱两两的夹角均为，不妨取，则； 所以； ； 又 ； 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7．已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 取，，为基底，则，， 所以. 又，. 所以. 故选：C 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 【答案】C 【解析】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 10．在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（    ） A． B．夹角的余弦值为 C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是 【答案】ACD 【解析】因为，所以，A正确； 夹角的余弦值为，所以B错误； 因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确； 因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确． 故选:ACD． 11．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 【答案】1 【解析】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 13．如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    【答案】 【解析】过点作,垂足于点，如图所示： 因为，，所以. 又，. 因为，， 所以， 则的长为. 故答案为：. 14．已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．          图1                         图2 【答案】/ 【解析】如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴ 则， 若是平面的一个法向量， 则 可得， 若是平面的一个法向量， 则可得 由平面平面，得， 即， 解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 16．（15分） 已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 【解析】（1）设向量的夹角为， 由空间三点，，，可得，， ，， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为． （2）因为，所以，其中， 因为，可得，即， 所以， 即或． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面； （2）由于平面， 所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则,1,，,1,，,0,，,0,，,0,， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为， 又平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 18．（17分） 如图，平面，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【解析】（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得，. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. （3）设，即，则. 从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中.    (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求点到平面的距离； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【解析】（1）根据离散曲率的定义得 ， ， ， 所以. （2）①因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，即， 又， 即，所以， 过点作于点，因为平面，平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为线段的长， 在中， 即点到平面的距离为； ②过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，，， 所以，， 设，,, 在中，， 又，所以， 所以， 所以，解得或（舍去），故. 答案第18页，共18页 答案第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$