精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第二中学2022-2023学年高一下学期期末（B卷）数学试题

湖南省衡阳市衡阳县第二中学2022-2023学年高一数学下学期期末达标测评卷（B卷） 【满分：150分】 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则实数= A. B. 0 C. 3 D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（ ） A 34 B. 46 C. 50 D. 70 4. 为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．顾名思义，它是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形(1600种以上)．七巧板的完整图案为一正方形，其是由如图的七块板组成的，即五块等腰直角三角形(两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)，一块正方形和一块平行四边形．现从这七块板中任取两块，则这两块板可以拼成梯形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 8. 在三棱锥中，，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ） A. B. 事件B与事件相互独立 C. 事件B与事件相互独立 D. ，互斥 10. 如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是 A. B. C. D. 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为6 12. 在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，点在线段上，且，是与的交点，若面，则（ ） A. B. 为的中点 C. D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若复数满足，则______． 14. 从某项综合能力测试中抽取100人成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_________. 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 15. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________. 16. 已知三棱锥底面是边长为的等边三角形.若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积的取值范围为______. 四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 平面给定三个向量，， （1）若，求的值； （2）若向量与向量共线，求实数k的值. 18. 已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F. （1）若△CDE的面积为，求DE的长； （2）若CF＝4DF，求sin∠DFC. 19. 如图，在多面体中，已知四边形是菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 20. 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图． 注：分组区间为，，， （1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率． 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AB上一点，. （1）若CD平分，求a； （2）若，，求c. 22. 如图，已知四棱锥底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． （1）线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； （2）求四面体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省衡阳市衡阳县第二中学2022-2023学年高一数学下学期期末达标测评卷（B卷） 【满分：150分】 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则实数= A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C. 考点：向量的坐标运算. 2 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算可得，结合共轭复数可得，进而可求模长. 【详解】由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 3. 某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（ ） A. 34 B. 46 C. 50 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的扇形统计图求出购买的侧柏数量，再按各年级报名人数比求解作答. 【详解】由扇形统计图知，购买的1200棵树苗中，侧柏的数量为， 依题意，高一、高二、高三分到的侧柏的棵数比为：， 所以高三年级应分得侧柏的数量为. 故选：C 4. 为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】 设山的高度为，在中，根据题意，可表示出AO，在中，可表示出BO，在中，利用余弦定理，即可求得答案. 【详解】设山的高度为，在中，，， 在中，，， 在中，， 由余弦定理得，； 即，化简得； 又，所以解得； 即山的高度为（米）. 故选：C 5. 在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，在中，由求解. 【详解】解：如图所示 设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE， 因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形， 所以， 在中，，即， 解得，所以外接球的体积为， 故选：C 6. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．顾名思义，它是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形(1600种以上)．七巧板的完整图案为一正方形，其是由如图的七块板组成的，即五块等腰直角三角形(两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)，一块正方形和一块平行四边形．现从这七块板中任取两块，则这两块板可以拼成梯形的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对七块板进行编号，然后用列举法写出基本事件，计数并计算出概率． 【详解】如图，对七块板进行编号，分别编号为1，2，3，4，5，6，7，则基本事件为，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，，共21个． 而两块板可以拼成梯形的基本事件为，，，，，，，，，共9个， 所以两块板可以拼成梯形的概率． 故选：D． 7. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D. 【详解】，解得，故A正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误； 由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确. 故选: 8. 在三棱锥中，，记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三余弦定理判定，再根据已知线段长及余弦定理得出，利用等体积法计算比较的关系即可. 【详解】 假设B在底面的投影为E，过A作，作， 则， 显然，则． 因为， 所以由余弦定理知：， 同理， 所以， 因为， 所以． 点B到平面ACD的距离为，设点C到平面ABD的距离为， 则由，得． 又， 所以．所以． 故选：A． 【点睛】关键点睛：利用最小角定理可判定，根据线段关系及余弦定理得出，结合线面角的定义及等体积法计算可比较. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ） A. B. 事件B与事件相互独立 C. 事件B与事件相互独立 D. ，互斥 【答案】AD 【解析】 【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确. 【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数： 因此，，，A正确； 又，因此，B错误； 同理可以求得，C错误； ，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确， 故选：AD． 【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题. 10. 如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A，，故A错误； 对B，∵，，由正六边形性质知，∴，故B正确； 对C，设正六边形的边长为1，则，， ∴，式子显然成立，故C正确； 对D，设正六边形的边长为1，，，故D错误； 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点. 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为6 【答案】AD 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得的值，根据，利用正弦定理边化角，可求得的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及的面积，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，故A正确； 因为，利用正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 即 因为，所以， 所以，又， 所以，故B不正确； 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：AD 12. 在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，点在线段上，且，是与的交点，若面，则（ ） A. B. 为的中点 C. D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接交交于点，连接，利用线面平行的性质定理判断A； 根据三角形相似判断B；由线面垂直的判定定理及性质定理判断C；由计算可得，从而判断D； 【详解】解：对于选项A：连接交交于点，连接， 则由，，可得必过点，且，因为面，面，面面，所以，故A正确； 对于选项B：，，， ，即， 为靠近的三等分点，故B错误； 对于选项C：，，面， 面，面，，故C正确； 对于选项D：，且，是矩形， ，故D正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定及线面平行的判定和锥体的体积的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数，根据复数模的计算即可求得答案. 【详解】由复数满足可得， 所以, 故答案为：. 14. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_________. 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 【答案】## 【解析】 【分析】利用标准差的计算公式，求解即可 【详解】因为， 所以 ，所以. 故答案为： 15. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是________；的最大值____________. 【答案】 1,1 【解析】 【详解】根据平面向量的点乘公式,由图可知，, 因此=; ,而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1. 【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法． 16. 已知三棱锥的底面是边长为的等边三角形.若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出外接球的半径及外接圆的半径，从而得到球心到底面的距离，即可求出三棱锥底面上的高的取值范围，再根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为三棱锥的外接球的体积为，设外接球的半径为， 则，解得， 又底面是边长为的等边三角形，设外接圆的半径为，则，即， 所以球心到底面的距离， 设三棱锥底面上的高为， 所以三棱锥底面上的高的最大值为， 即，又， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 平面给定三个向量，， （1）若，求的值； （2）若向量与向量共线，求实数k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量加、减、数乘运算即可求得结果. （2）运用向量共线的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由题知，， 所以， 又因为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由题知，， 又因为与共线， 所以，解得：. 18. 已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F. （1）若△CDE的面积为，求DE的长； （2）若CF＝4DF，求sin∠DFC. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由△CDE的面积求得，再由余弦定理可得； （2）结合已知由正弦定理可得，再由诱导公式与两角和的正弦公式可得结论． 【详解】（1）依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°. 因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝， 所以，解得CE＝1. 在△CDE中，由余弦定理，得 DE＝＝＝. （2）依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°， 设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°. 在△CDF中，由正弦定理，得＝， 因为CF＝4DF，所以sinθ＝＝， 所以cosθ＝， 所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式与两角和的正弦公式，属于中档题． 19. 如图，在多面体中，已知四边形是菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，利用线面垂直的性质及判定证明即可； （2）根据条件先判定即为与平面所成的角，由其正弦值计算得出是等边三角形，再根据线面平行的性质及等体积法计算即可. 【小问1详解】 如图，设与交于点O． 因为四边形是菱形，所以． 因为平面平面， 所以． 因为平面， 所以平面． 又因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又因为平面BDE， 所以平面． 连接即为与平面所成的角， 所以． 因为， 所以， 所以，所以， 所以是等边三角形． 因为平面平面， 所以平面， 所以． 20. 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图． 注：分组区间为，，， （1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率． 【答案】（1）男生优秀人数30，女生优秀人数为45 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合频数、频率以及样本容量的关系，即可求得答案； （2）确定抽取5人中男女生的人数，列举出任意选取2人的所有可能情况，确定至少有一名男生的的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，男生优秀人数为， 女生优秀人数为． 【小问2详解】 因为样本容量与总体中的个体数的比是， 所以样本中包含男生人数为，女生人数为， 设两名男生为，，三名女生为，，， 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为： ，，，，， ，，，，共10个， 每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”， 则事件C包含的基本事件有： ，，，，，，共7个， 所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为. 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边AB上一点，. （1）若CD平分，求a； （2）若，，求c. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）分别对和由正弦定理得，，结合即可求； （2）由得，由二倍角公式可求，再对由余弦定理可求c. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为，， 所以，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 在中，，， 所以由余弦定理得，， 即，得， 因为，所以. 22. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． （1）线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； （2）求四面体的体积． 【答案】（1）在上存在一点，且F为的中点，使得平面PAD （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，可说明四边形是平行四边形，即可解决问题； （2）取AD的中点H，先证得平面ABCD．再通过等体积即可求解. 【小问1详解】 在上存在一点，且为的中点，使得平面． 理由如下：取的中点，的中点，连接． 为的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ． 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 如图，取的中点，连接． 为等腰直角三角形，， ． 平面平面， 平面平面，平面， 平面． 又为的中点， 点到平面的距离等于的一半， 又， ，， 点到平面的距离等于． 在菱形中，， ． ， ， ， 四面体的体积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$