第二讲 矩形的性质与判定基础讲义（十二个考点详细梳理）-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二讲 矩形的性质与判定 目录 【知识清单】 2 1．矩形的定义： 2 2．矩形的性质： 2 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 2 4．矩形的判定： 3 【考点一】矩形性质相关概念 4 【考点二】利用矩形的性质求角度 4 【考点三】利用矩形的性质求长度 5 【考点四】直角三角形斜边上的中线 6 【考点五】利用矩形的性质证明与求值 8 【考点六】有一个角是直角的平行四边形是矩形 10 【考点七】对角线相等的平行四边形是矩形 11 【考点八】有三个角是直角的四边形是矩形 12 【考点九】添条件判定矩形 13 【考点十】矩形中的垂直平分线与角平分线 15 【考点十一】矩形中翻折与勾股定理 16 【考点十二】矩形性质与判定的综合运用 18 【课堂过关检测】 20 【综合达标训练】 26 【知识清单】 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质： ①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． ⑤矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 4．矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路 （2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 【考点归纳】 【考点一】矩形性质相关概念 【例1】（2023秋•二道区校级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　 A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 【针对训练】1、（2024春•泗阳县期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是　　 A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【针对训练】2、（2024春•吐鲁番市期末）菱形具有而矩形不具有的性质是　　 A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．两组对角分别相等 D．对角线互相平分 【针对训练】3、（2024春•许昌期末）关于矩形的性质，以下说法不正确的是　　 A．四个角都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【考点二】利用矩形的性质求角度 【例2】（2024春•仓山区校级期末）如图，在矩形中，已知，则的度数是　　 A． B． C． D． 【针对训练】1、（2024•新城区校级开学）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，则的度数为 　　． 【针对训练】2、（2024春•乳山市期末）如图，矩形的对角线交于点，，若，则　　． 【针对训练】3、（2024•甘肃模拟）点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则　　． 【考点三】利用矩形的性质求长度 【例3】（2024•府谷县三模）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为　　 A．5 B． C． D．10 【针对训练】1、（2024春•怀仁市期末）如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为　　 A．26 B．24 C．22 D．20 【针对训练】2、（2024春•路南区期末）如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为 　　． 【针对训练】3、（2024春•献县期末）如图，在矩形中，，分别是，上的点，、分别是、的中点，，，则线段的长为 　　． 【考点四】直角三角形斜边上的中线 【例4】（2024春•互助县期末）如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 　　． 【针对训练】1、（2024春•南沙区期末）如图，在中，，，点是的中点，，则的度数为 　　． 【针对训练】2、（2024春•丰润区期末）如图，中，于，是的中点．若，，求． 【针对训练】3、（2024•北京模拟）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，连接，求的面积． 【考点五】利用矩形的性质证明与求值 【例5】（2024春•黄陂区月考）如图，矩形中，点为边上任意一点，连结，点为线段的中点，过点作．与、分别相交于点、，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【针对训练】1、（2024•民勤县校级三模）如图，在矩形中，，相交于点，过点，分别作，，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【针对训练】2、（2024春•扬州校级期末）如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，当　　时，四边形是菱形． 【针对训练】3、（2024春•泗阳县期末）如图，在矩形中，点在上，且平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【考点六】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【例6】（2024春•西华县月考）要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【针对训练】1、（2024春•石景山区期末）如图，中，于，为上一点，请添加一个条件，使得四边形是矩形，这个条件可以为 　　． 【针对训练】2、（2024•二道区校级开学）如图，在菱形中，，相交于点，，．求证：四边形是矩形． 【针对训练】3、（2024•新疆二模）如图，已知平行四边形． （1）若，是上两点，且，求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【考点七】对角线相等的平行四边形是矩形 【例7】（2023秋•凤城市期末）如图，四边形的对角线与相交于点，下列条件中，能判定四边形是矩形的是　　 A． ， B．， C．， D． 【针对训练】1、（2024春•武冈市期末）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线、的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　　． 【针对训练】2、（2024•绿园区校级开学）如图，中，点是上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）求证：； （2）若，，则的长　　； （3）当点运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论． 【针对训练】3、（2024春•南阳期末）如图，在中，是的中点，连接，，的延长线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求证：四边形是矩形． 【考点八】有三个角是直角的四边形是矩形 【例8】（2024•历下区校级开学）下列条件中，不能判定四边形是矩形的是　　 A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 【针对训练】1、（2023春•句容市校级期中）下列条件中，不能判定四边形为矩形的是　　 A．，， B． C．，，且 D．，， 【针对训练】2、（2023春•南昌期末）两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是　　 A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【针对训练】3、（2024春•响水县期末）如图，在中，点，分别在边，上，且，连接，，分别过点，作于点，于点．求证：四边形是矩形． 【考点九】添条件判定矩形 【例9】（2024春•德清县期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 　　（只要写出一个条件即可） 【针对训练】1、（2024春•蒙阴县期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【针对训练】2、（2024春•定陶区期末）如图，在四边形中，，点是的中点，连接、，交于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明． 【针对训练】3、（2024•武昌区模拟）如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，且，． （1）求证：； （2）请添加一个条件，使四边形为矩形（不需说明理由）． 【考点十】矩形中的垂直平分线与角平分线 【例10】（2023•灞桥区校级模拟）如图，在矩形中，，，平分交于点，点、分别是、的中点，则的长为　　 A． B．5 C．4 D． 【针对训练】1、（2023秋•新城区校级期中）如图，四边形是矩形、对角线的垂直平分线交的延长线于点，交的延长线于点，交于点．且与交于点． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，求菱形的边长． 【针对训练】2、（2023秋•东港市期中）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，过点作交于点，则的长为　　 A． B．1.5 C．1 D． 【针对训练】3、（2024春•武威期中）如图，在矩形中，为的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，是的中点，且，有下列结论： ①； ②； ③连结，，四边形为菱形； ④； 其中正确的是　　 A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④ 【考点十一】矩形中翻折与勾股定理 【例11】（2024春•肇源县月考）如图，将矩形沿对角线折叠，使与交于点．若，，求的面积． 【针对训练】1、（2023•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则点的坐标是 　　． 【针对训练】2、（2023秋•揭西县校级期末）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【针对训练】3、（2023•三水区模拟）如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 【考点十二】矩形性质与判定的综合运用 【例12】（2024•渝北区开学）如图，在中，过点、作，，分别交、的延长线于点和． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，点是线段的中点，若，，求矩形的周长． 【针对训练】1、（2024•建始县一模）如图，在△中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点的运动过程中： ①当　　时，四边形是矩形； ②当　　时，四边形是菱形． 【针对训练】2、（2024春•承德县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，已知，． （1）判断四边形的形状，并说理由； （2）求的最小值． 【针对训练】3、（2024春•大连期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，平行四边形的面积为48，求的长度． 【课堂过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•桂林期末）下列条件中，能判定四边形是矩形的是　　 A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等 2．（2024•献县模拟）将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•邢台三模）如图，矩形的对角线交于点，交的延长线于点，若，，则　　 A． B． C． D．4 4．（2024•宣州区校级三模）将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•南平期末）如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，点为的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时，的长　　 A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小 6．（2024春•路桥区期末）如图，在中，是斜边的中点，作于点，于点，连接．若，，则的长为　　 A．4 B．5 C．5.5 D．6.5 7．（2024•榕江县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是　　 A．4 B． C．5 D． 8．（2024春•大英县期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若．则的度数是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•鄞州区校级开学）如图，在△中，，，△的周长是8，于点，于点，且点是的中点，则等于 　　． 10．（2024春•兰山区期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点．则　　． 11．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，在矩形中，，，矩形外一点满足，点为对角线的中点，则的长度为 　　． 12．（2024春•淮安区校级月考）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为 　　． 13．（2024春•西城区校级期中）如图，矩形中，对角线，相交于点，点在边上且，连结，则的值是 　　． 14．（2024春•西乡塘区校级期末）如图，矩形内有一点，连接，，，延长交于点，若，，，则的长是 　　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•建邺区期末）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 16．（2024•广南县模拟）如图，四边形是平行四边形，延长至点，点是的中点．连接、，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点，连接，若，，求的长． 17．（2024春•永定区期末）如图，在矩形中，点为对角线中点，过作，交于点，交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 18．（2024春•惠山区校级期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 19．（2024春•固始县期末）如图，已知平行四边形． （1）若，是上两点，且，，求证：四边形是矩形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 20．（2024春•利通区期末）如图，在中，，是中点，过点作，使． （1）求证：四边形是矩形； （2）取中点，作，交于点，若，，求的长． 【综合达标训练】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•楚雄州期末）菱形具有而矩形不具有的性质是　　 A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻角互补 2．（2024春•丰泽区期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•丰满区校级期末）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是　　 A．2 B． C．4 D． 4．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，矩形中，若于，则与的度数比为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•新城区校级期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是　　 A．6 B． C． D． 6．（2024•灞桥区校级四模）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为　　 A．5 B．6 C．7 D． 7．（2024春•清河县校级期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024•防城港二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接与相交于点，作，则的长是　　 A．2 B．3 C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•凉州区校级期末）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为 　　． 10．（2024春•昌平区期末）如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为 　　． 11．（2024•道里区校级模拟）如图，在矩形中，点为边上一点，连接，作的平分线，交于点，连接，若，，且，则　　． 12．（2024春•安溪县期末）如图，矩形中，对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为 　　． 13．（2024春•凉州区校级期末）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，于点，于点，则的最小值为 　　． 14．（2024春•南阳期末）如图，矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 　　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•禹城市期末）如图，矩形的对角线交于点，点是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：； （3）若，连接交于于点，连接，求证：平分． 16．（2024春•淮安区校级月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点．过点作，过点作交于点．，，求四边形的面积． 17．（2024春•淄川区期末）如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 18．（2024•东莞市校级一模）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 19．（2024•长春模拟）如图，在菱形中，点，分别在、上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则　　． 20．（2024春•武城县月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①对角线，满足 　　时，四边形是矩形； ②对角线，满足 　　时，四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 矩形的性质与判定 目录 【知识清单】 2 1．矩形的定义： 2 2．矩形的性质： 2 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 2 4．矩形的判定： 3 【考点一】矩形性质相关概念 4 【考点二】利用矩形的性质求角度 5 【考点三】利用矩形的性质求长度 7 【考点四】直角三角形斜边上的中线 9 【考点五】利用矩形的性质证明与求值 12 【考点六】有一个角是直角的平行四边形是矩形 17 【考点七】对角线相等的平行四边形是矩形 19 【考点八】有三个角是直角的四边形是矩形 22 【考点九】添条件判定矩形 25 【考点十】矩形中的垂直平分线与角平分线 28 【考点十一】矩形中翻折与勾股定理 33 【考点十二】矩形性质与判定的综合运用 36 【课堂过关检测】 41 【综合达标训练】 58 【知识清单】 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质： ①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． ⑤矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 4．矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路 （2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 【考点归纳】 【考点一】矩形性质相关概念 【例1】（2023秋•二道区校级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　 A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】 【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：． 【针对训练】1、（2024春•泗阳县期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是　　 A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】 【解答】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等， 故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等． 故选：． 【针对训练】2、（2024春•吐鲁番市期末）菱形具有而矩形不具有的性质是　　 A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．两组对角分别相等 D．对角线互相平分 【解答】解：、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故不符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直；故符合题意； 、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故不符合题意； 、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故不符合题意； 故选：． 【针对训练】3、（2024春•许昌期末）关于矩形的性质，以下说法不正确的是　　 A．四个角都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【答案】 【解答】解：矩形的性质有四个角都相等，对角线互相平分且相等，是轴对称图形， 故选：． 【考点二】利用矩形的性质求角度 【例2】（2024春•仓山区校级期末）如图，在矩形中，已知，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 故选：． 【针对训练】1、（2024•新城区校级开学）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，则的度数为 　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是△的中位线， ， ， ． 故答案为：． 【针对训练】2、（2024春•乳山市期末）如图，矩形的对角线交于点，，若，则　22.5　． 【答案】22.5． 【解答】解：，， ， 矩形的对角线交于点， ， ， ， ． 故答案为：22.5． 【针对训练】3、（2024•甘肃模拟）点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点三】利用矩形的性质求长度 【例3】（2024•府谷县三模）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为　　 A．5 B． C． D．10 【答案】 【解答】解：四边形是矩形， ， 垂直平分， ， ， △是等边三角形， ， ， 故选：． 【针对训练】1、（2024春•怀仁市期末）如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向平移得到，则四边形的周长为　　 A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】 【解答】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， 由题意可知：， ，， ， 四边形的周长为：， 故选：． 【针对训练】2、（2024春•路南区期末）如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为 　1　． 【解答】解：平分， ， 四边形是矩形，，， ，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 【针对训练】3、（2024春•献县期末）如图，在矩形中，，分别是，上的点，、分别是、的中点，，，则线段的长为 　6.5　． 【答案】6.5． 【解答】解：连接，如图， 四边形是矩形，，， ，， 在中，， 、分别是、的中点， ． 故答案为：6.5． 【考点四】直角三角形斜边上的中线 【例4】（2024春•互助县期末）如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：， ， 是的中线，， 是斜边上的中线， ， ，是的中点， ， ， 由勾股定理得． 故答案为：． 【针对训练】1、（2024春•南沙区期末）如图，在中，，，点是的中点，，则的度数为 　　． 【答案】． 【解答】解：，是的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 【针对训练】2、（2024春•丰润区期末）如图，中，于，是的中点．若，，求． 【解答】解：中，于，是的中点，， ， ． 在直角中，，，， 则根据勾股定理，得 ． 【针对训练】3、（2024•北京模拟）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，连接，求的面积． 【解答】（1）证明：连接， 在中，点是的中点， ， ， ，又， ． （2）解：作于， ，， ， ，， ， ， 的面积． 【考点五】利用矩形的性质证明与求值 【例5】（2024春•黄陂区月考）如图，矩形中，点为边上任意一点，连结，点为线段的中点，过点作．与、分别相交于点、，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可知四边形是菱形， ， 设， 四边形是矩形， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 的长为． 【针对训练】1、（2024•民勤县校级三模）如图，在矩形中，，相交于点，过点，分别作，，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：，， ，， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ， 四边形是菱形． （2）解：，且四边形是菱形， ， ． ，， 是等边三角形， ． 在中，，， ． 【针对训练】2、（2024春•扬州校级期末）如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，当　3　时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）3． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 即， ，即， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形， ， 设，则， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 即， 故答案为：3． 【针对训练】3、（2024春•泗阳县期末）如图，在矩形中，点在上，且平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 由（1）知：， ． 【考点六】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【例6】（2024春•西华县月考）要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、当时，不可判断平行四边形成为矩形； 、当时，不可判断平行四边形成为矩形； 、当时，不可判定平行四边形是矩形； 、当时，，可判断平行四边形是矩形； 故选：． 【针对训练】1、（2024春•石景山区期末）如图，中，于，为上一点，请添加一个条件，使得四边形是矩形，这个条件可以为 　　． 【答案】． 【解答】解：添加， 理由：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 【针对训练】2、（2024•二道区校级开学）如图，在菱形中，，相交于点，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． 【针对训练】3、（2024•新疆二模）如图，已知平行四边形． （1）若，是上两点，且，求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 【考点七】对角线相等的平行四边形是矩形 【例7】（2023秋•凤城市期末）如图，四边形的对角线与相交于点，下列条件中，能判定四边形是矩形的是　　 A．， B．， C．， D． 【解答】解：、，，得出四边形是平行四边形，无法判断四边形是矩形．故错误； 、，，得出四边形是平行四边形，无法判断四边形是矩形．故错误； 、，，无法判断四边形是矩形．故错误； 、可以判断四边形是矩形．正确； 故选：． 【针对训练】1、（2024春•武冈市期末）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线、的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　对角线相等的平行四边形为矩形　． 【答案】对角线相等的平行四边形为矩形， 【解答】解：依题意，两组对边分别相等， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 则只要测量出对角线、的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 【针对训练】2、（2024•绿园区校级开学）如图，中，点是上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）求证：； （2）若，，则的长　5　； （3）当点运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）当运动到中点时，四边形是矩形，见解析． 【解答】（1）证明：，平分，平分， ，， ，， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． 故答案为：5； （3）解：当运动到中点时，四边形是矩形， 理由：，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【针对训练】3、（2024春•南阳期末）如图，在中，是的中点，连接，，的延长线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）详见解析； （2）详见解析． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ． ，， ， ， ． 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形是矩形． 【考点八】有三个角是直角的四边形是矩形 【例8】（2024•历下区校级开学）下列条件中，不能判定四边形是矩形的是　　 A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】 【解答】解：．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； ．有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； ．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故不符合题意； ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故符合题意． 故选：． 【针对训练】1、（2023春•句容市校级期中）下列条件中，不能判定四边形为矩形的是　　 A．，， B． C．，，且 D．，， 【解答】解： 、，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形，正确，故本选项错误； 、， 平行四边形是矩形，正确，故本选项错误； 、根据，，不能推出平行四边形是矩形，错误，故本选项正确； 、，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形，正确，故本选项错误； 故选：． 【针对训练】2、（2023春•南昌期末）两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是　　 A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【解答】解：已知直线，分别与，相交于， 两组内错角的平分线分别相交于， 则有， ，则 即 同理 四边形为平行四边形 平行四边形有一个内角为 四边形为矩形． 故选：． 【针对训练】3、（2024春•响水县期末）如图，在中，点，分别在边，上，且，连接，，分别过点，作于点，于点．求证：四边形是矩形． 【解答】证明：在中，，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ． ，， ， 四边形为矩形． 【考点九】添条件判定矩形 【例9】（2024春•德清县期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 　或或　（只要写出一个条件即可） 【答案】或或． 【解答】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 为矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：或或． 【针对训练】1、（2024春•蒙阴县期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：是的中点， ， 又，， ． ，， ， 为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【针对训练】2、（2024春•定陶区期末）如图，在四边形中，，点是的中点，连接、，交于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知条件：①；②；③平分，请从这三个条件中选择1个，使得四边形是矩形，并加以证明． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， 选择②， ，点是的中点， ， ， 是矩形． 【针对训练】3、（2024•武昌区模拟）如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，且，． （1）求证：； （2）请添加一个条件，使四边形为矩形（不需说明理由）． 【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形是矩形． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：当时，四边形是矩形． 理由：由（1）知， 同理：， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【考点十】矩形中的垂直平分线与角平分线 【例10】（2023•灞桥区校级模拟）如图，在矩形中，，，平分交于点，点、分别是、的中点，则的长为　　 A． B．5 C．4 D． 【答案】 【解答】解：连接， 四边形是矩形， ，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ． 故选：． 【针对训练】1、（2023秋•新城区校级期中）如图，四边形是矩形、对角线的垂直平分线交的延长线于点，交的延长线于点，交于点．且与交于点． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析； （2）10． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，如图， 由垂直平分线性质得． ，， ， ， 设菱形的边长为，则，， ， ， 解得， 菱形的边长为10． 【针对训练】2、（2023秋•东港市期中）如图，在矩形中，，，对角线，交于点，过点作交于点，则的长为　　 A． B．1.5 C．1 D． 【答案】 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：． 【针对训练】3、（2024春•武威期中）如图，在矩形中，为的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，是的中点，且，有下列结论： ①； ②； ③连结，，四边形为菱形； ④； 其中正确的是　　 A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】 【解答】解：连接，，如图， 是的中点，为的中点， ，故②错误， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ，， 矩形， ，， ， 在中，，， ，故①正确， ，，， ， ， 为的中点，， ，，即：， 四边形为菱形，故③正确， ，， ，故④正确， 综上所述：①③④正确， 故选：． 【考点十一】矩形中翻折与勾股定理 【例11】（2024春•肇源县月考）如图，将矩形沿对角线折叠，使与交于点．若，，求的面积． 【答案】． 【解答】解：设，则， 在直角中，， 即， 解得：， 则，， 则． 故的面积为：． 【针对训练】1、（2023•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则点的坐标是 　　． 【答案】． 【解答】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， 将该长方形沿折叠，点恰好落在边上的处． ，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在 中， ， 解得， ， 故答案为：． 【针对训练】2、（2023秋•揭西县校级期末）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【解答】解：（1）如图，为等腰三角形；理由如下： ， ； 由题意得：， ， ，为等腰三角形． （2）四边形为矩形， ，； 由题意得：（设为，则； 由勾股定理得：， 解得：， 即的长为5． 【针对训练】3、（2023•三水区模拟）如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图所示，过作于， 将沿折叠，使点落在矩形内点处，点为的中点， ， 是等腰三角形， 是中点，平分，且平分， ， ，即， ， ， ， ， 根据题意，矩形中，，，点为的中点，即， 在中，， ，即， ， ， ． 故选：． 【考点十二】矩形性质与判定的综合运用 【例12】（2024•渝北区开学）如图，在中，过点、作，，分别交、的延长线于点和． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点，点是线段的中点，若，，求矩形的周长． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 点是线段的中点， ， 是△的中位线， ， ， ， 矩形的周长为． 【针对训练】1、（2024•建始县一模）如图，在△中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点的运动过程中： ①当　2　时，四边形是矩形； ②当　　时，四边形是菱形． 【解答】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：①； 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：2； ②， 四边形是菱形， ， ， ， △是等边三角形， ． 故答案为：4． 【针对训练】2、（2024春•承德县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，已知，． （1）判断四边形的形状，并说理由； （2）求的最小值． 【答案】（1）四边形的形状是矩形，理由见解析； （2）． 【解答】解：（1）四边形是矩形，理由如下： 四边形是菱形， ， ， 、， ， ， 四边形是矩形； （2）如图，连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ， 当取最小值时，的值最小， 当时，最小， 此时，， ， 的最小值为． 【针对训练】3、（2024春•大连期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，平行四边形的面积为48，求的长度． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 又， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ． ，， ． 由题意可知， ， ， 在 中，． 在平行四边形中，， 为的中位线， 【课堂过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•桂林期末）下列条件中，能判定四边形是矩形的是　　 A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等 【答案】 【解答】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项不能判定四边形是矩形； 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项不能判定四边形是矩形； 、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故选项能判定四边形是矩形； 、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故选项不能判定四边形是矩形； 故选：． 2．（2024•献县模拟）将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是矩形，四边形是菱形， ，的面积菱形的面积矩形的面积， 矩形的面积，菱形的面积， ， ， 故选：． 3．（2024•邢台三模）如图，矩形的对角线交于点，交的延长线于点，若，，则　　 A． B． C． D．4 【答案】 【解答】解：作于点， 四边形是平行四边形， ，，，，， ， 作于点， 则， 是的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：． 4．（2024•宣州区校级三模）将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 两张完全相同的矩形纸片， ，， 四边形是平行四边形， 重叠部分图形的面积． 故选：． 5．（2024春•南平期末）如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，点为的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时，的长　　 A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小 【答案】 【解答】解：连接， ，点在上， ， 点为的中点， ， 的长不变， 故选：． 6．（2024春•路桥区期末）如图，在中，是斜边的中点，作于点，于点，连接．若，，则的长为　　 A．4 B．5 C．5.5 D．6.5 【答案】 【解答】解：连接， 于点，于点，， 四边形是矩形， ， ，，， ， 是的中点， ． ． 故选：． 7．（2024•榕江县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是　　 A．4 B． C．5 D． 【答案】 【解答】解：连接， 点，点， ， 四边形是矩形， ， 点的横坐标为5， 故选：． 8．（2024春•大英县期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若．则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：连接交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•鄞州区校级开学）如图，在△中，，，△的周长是8，于点，于点，且点是的中点，则等于 　　． 【答案】． 【解答】解：，， 是△的中线，， 是的中点，， ， 设， ， ，点是的中点，点是的中点， ，， △的周长为8， ， ， ， 由勾股定理可知：， 故答案为：． 10．（2024春•兰山区期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点．则　54　． 【答案】54． 【解答】解：，， ，， ， ， 是的中点，， ， ， ， 故答案为：54． 11．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，在矩形中，，，矩形外一点满足，点为对角线的中点，则的长度为 　　． 【答案】． 【解答】解：连接， 四边形是矩形，点为对角线的中点， 过点，， 设，交于， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 12．（2024春•淮安区校级月考）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：连接，设，则， 是的中垂线， ， 在中，， ， ． 13．（2024春•西城区校级期中）如图，矩形中，对角线，相交于点，点在边上且，连结，则的值是 　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积， ． 故答案为：． 14．（2024春•西乡塘区校级期末）如图，矩形内有一点，连接，，，延长交于点，若，，，则的长是 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，延长交于， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•建邺区期末）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ． （2），平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 16．（2024•广南县模拟）如图，四边形是平行四边形，延长至点，点是的中点．连接、，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，，，，， 在中，由勾股定理得：， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 17．（2024春•永定区期末）如图，在矩形中，点为对角线中点，过作，交于点，交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形为菱形，理由见解析； （2）的长度为13． 【解答】解：（1）四边形为菱形，理由如下： 四边形为矩形， ， ， 为中点 ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）设的长度为， 由（1）得四边形为菱形， ， 四边形为矩形， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 的长度为13． 18．（2024春•惠山区校级期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）2.4． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ， ，， ， 是直角三角形， 的面积， ， ． 19．（2024春•固始县期末）如图，已知平行四边形． （1）若，是上两点，且，，求证：四边形是矩形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见详解； （2）． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 对角线上的两点、满足， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积． 20．（2024春•利通区期末）如图，在中，，是中点，过点作，使． （1）求证：四边形是矩形； （2）取中点，作，交于点，若，，求的长． 【解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，是中点， ， ， 四边形是矩形； （2）解：连接， 是的中点，， ， 四边形是矩形，，， ，， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， ， 即． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/5 21:42:16；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【综合达标训练】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•楚雄州期末）菱形具有而矩形不具有的性质是　　 A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻角互补 【答案】 【解答】解：、四边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项符合题意； 、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故本选项不符合题意； 、对角相等，菱形具有，矩形具有，故本选项不符合题意； 、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（2024春•丰泽区期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是矩形， ，， 在中， ， ． 故选：． 3．（2024春•丰满区校级期末）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是　　 A．2 B． C．4 D． 【答案】 【解答】解：连接，过作轴于， 点的坐标是， ，，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ， ， 故选：． 4．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，矩形中，若于，则与的度数比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 则与的度数比为， 故选：． 5．（2024春•新城区校级期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是　　 A．6 B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ． 故选：． 6．（2024•灞桥区校级四模）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为　　 A．5 B．6 C．7 D． 【答案】 【解答】解：连接， 四边形是矩形，对角线、相交于点， ，， ， 垂直平分，， ， ，， ， ， 故选：． 7．（2024春•清河县校级期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：是直角三角形，，， ， ， 在中，， 同理，在中，， 点是中点， ，即， ， ， 故选：． 8．（2024•防城港二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接与相交于点，作，则的长是　　 A．2 B．3 C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是矩形， ，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•凉州区校级期末）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为 　　． 【答案】． 【解答】解：平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 矩形中， 是等边三角形， ，， ， ， 故答案为：． 10．（2024春•昌平区期末）如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为 　10　． 【答案】10． 【解答】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 11．（2024•道里区校级模拟）如图，在矩形中，点为边上一点，连接，作的平分线，交于点，连接，若，，且，则　10　． 【答案】10． 【解答】解：在上截取，使，连接， 平分， ， 又，， ， ，， ， ， 又， ， 又， ， ，， 四边形是矩形， ，， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：10． 12．（2024春•安溪县期末）如图，矩形中，对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为 　20　． 【答案】20． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是菱形， ， ， 四边形的周长为：， 故答案为：20． 13．（2024春•凉州区校级期末）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，于点，于点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：在中，，，， ， 于点，于点，， 四边形为矩形， 连接，则， 最小时，最小， 垂线段最短， 时，最小， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 14．（2024春•南阳期末）如图，矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 　15或　． 【答案】15或． 【解答】解：如图，若点在线段上时，过点作， 四边形是矩形， ，， 把沿直线折叠，当点对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ，，， ， ， ， ， ， 如图，点在线段的延长线上，过点作， 同理可求：，， ， ， ， ， 故答案为：15或． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•禹城市期末）如图，矩形的对角线交于点，点是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：； （3）若，连接交于于点，连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程； （3）见解析过程． 【解答】证明：（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ； （3）， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 平分． 16．（2024春•淮安区校级月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点．过点作，过点作交于点．，，求四边形的面积． 【答案】． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，，，，， ， 平行四边形为矩形； ， 是等边三角形， ， ， ， ． 17．（2024春•淄川区期末）如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解答；（2）． 【解答】（1）证明：在矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ． 18．（2024•东莞市校级一模）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解答；（2）20． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ． （2），点、点分别在、上， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，，， ，， ， 解得， ， 四边形的周长为20． 19．（2024•长春模拟）如图，在菱形中，点，分别在、上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则　10　． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）10． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：连接，交于点， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ，即， 故答案为：10． 20．（2024春•武城县月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）①对角线，满足 　　时，四边形是矩形； ②对角线，满足 　　时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）①；②． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别为、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：①当时，平行四边形是矩形；理由如下： ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 故答案为：． ②当时，平行四边形是菱形；理由如下： ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/5 21:50:24；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 学科网（北京）股份有限公司 $$