12.3一次函数与二元一次方程导学案 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

12.3一次函数与二元一次方程 一次函数与二元一次方程 求二元一次方程3x+2y=6的解。 解这个方程，两个未知数，一次方。我们发现有无数组解： x … 2 3 4 5 … y … 0 -1.5 -3 -4.5 … 每一组解如同坐标的有序实数对。观察发现，方程3x+2y=6可以转化为y与x之间的解析式：y= 。这是一次函数解析式的形式。 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的形式。所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。 直线上的每一个点都是方程的解。 1、一次函数y=+3，任意给出自变量x的一些值，求出对应的y的值。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … Y= … 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 … 2、二元一次方程kx－y+b=0的解与一次函数y=kx+b图象上的点有什么关系？你认为应如何表述？ 以二元一次方程kx－y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b图象上；一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y+b=0的一个解。 表格中每一对x、y的值代入方程3x+2y=6都成立，所以每组有序实数对都是方程3x+2y=6的解。 二元一次方程3x+2y=6有无数多组解，解得全体叫做二元一次方程的解集。 3、二元一次方程与一次函数的关系是什么？ 一个二元一次方程可以转化成一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式。二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标一一对应。 4、方程x－y=1有一个解是 ，则一次函数y=x－1的图象上必有一个点的坐标为 （2,1） 。 二元一次方程与一次函数的区别 二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； 二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数是用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量的关系。 5、 如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2的解得是（ ） 解：因为二元一次方程x-2y=2有解 与 ，故直线x-2y=2与两轴的交点坐标是（0，-1），（2,0），对照四个选项中直线的位置，可知选C。 6、如图，其中直线上每一个点的坐标都是二元一次方程2x－3y=m的解，则m的值为 。 解：二元一次方程2x-3y=m转化为一次函数是y=；图中直线经过点（0，-2），可以看做直线y=向下移两个长度单位，即 ，m=6. 7、一次函数y=2x+1图象与y=kx+b的图象相交于点A，则方程组 的解是 A、B、C、 D、 解：一次函数y=2x+1图象与y=kx+b的图象相交于点A，A点的纵坐标是3，代入y=2x+1，得，3=2x+1，x=1； 所以，选B。 8、如图，直线L1 :y=x+2与直线L2：y=kx+b相较于点P（m，4），则方程组的解是 。 解 直线L1 :y=x+2与直线L2：y=kx+b相较于点P（m，4），则4=m+2，m=2；点P的坐标是（2,4）。方程组的解是： 9、如图，过点A（-2,0）的直线L1 :y=kx+b与直线L2：y=－x+1相较于点P（－1，a）。 （1）求直线L1对应的表达式； （2）直接写出方程组的解； （3）求三角形ABP的面积。 解：（1）过点A（-2,0）的直线L1 :y=kx+b与直线L2：y=－x+1相较于点P（－1，a）；直线L1 :y=kx+b经过点A（-2,0）点P（－1，a）： 则 解得k=a； 则 解得b=2a 直线L1对应的表达式：y=ax+2a。 （2）P点坐标（—1，a） 方程组的解为 （3）点A（-2,0），横坐标是－2；直线L2：y=－x+1与x轴交于B点，B点的坐标为（1,0）。则AB=3， 三角形ABP的面积=3×a×= 10、若以二元一次方程x+2y－b=0的解为坐标的点（x,y）都在直线y=上，则常数b= 。 解 因为以二元一次方程x+2y－b=0的解为坐标的点（x,y）都在直线y=上，直线表达式的等号两边同时乘2， 得：2y=－x+2b－2，变形为x+2y－2b+2=0， 所以－b+2=0,解得b=2，故答案为2. 11、如下图，一次函数y1= -2x+m与正比例函数y2=kx的图象交于点A(2，1)； （1）求出m，k的值. （2）若y1> y2，请直接写出x的取值范围。 解：（1）一次函数y1= -2x+m与正比例函数y2=kx的图象交于点A(2，1) 则有 -4+m=1， 2k=1 m=5， ； （2）y1> y2 -2x+5>x 12、 已知一次函数的图象与直线 平行，且过点 ，求该一次函数的表达式． 解：设该一次函数的表达式为 因为函数的图象与直线 平行 所以 把点 代入 得： ，解得： ． 所以该一次函数的表达式为： 。 13、已知一次函数的图象经过，。 （1）求一次函数解析式； （2）若正比例函数与线段有公共点，直接写出的取值范围． 解：（1）设一次函数解析式为， 将，两点坐标代入函数解析式得， ， ， 所以一次函数解析式为． （2）将点坐标代入得 4=－2m m=－2 将点坐标代入得， ， 又正比例函数的图象与线段有公共点， 所以或． y Y=X Y=－2X B A · · （13题图） 14．一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，如图表示两车行驶时间 （小时）与到甲地的距离 （千米）的函数图象，已知其中一个函数的表达式为 . （1）求另一个函数表达式. （2）求两车相遇的时间. 解： （1） 设 （ ）， 把 ， 分别代入得： ，解得 ， 另一个函数表达式为 . （2）当两车相遇时，即有 ，解得 . 两车相遇的时间为 小时. 15．若正比例函数y=﹣2x的图象与一次函数y=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣3． （1）求该一次函数的解析式； （2）直接写出方程组 的解． 解：（1）将x=﹣3代入y=﹣2x，得y=6， 则点A坐标为（﹣3，6）． 将A（﹣3，6）代入y=x+m，得﹣3+m=6， 解得m=9， 所以一次函数的解析式为y=x+9 （2）解：方程组 的解为 16．如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）若 ，求 的取值范围； （3）点 为 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线分别交 和 于点 ， ，当 时，求 的值． 解：（1）把 代入 ：y=x+1 解析式得： ， ． （2）把 代入 解析式得： ， ， ： ， 当 时， ， 当 时 0 x+1-(-2x+4)0 x1 -2x+40 x2 的取值范围为 ． （3）解：把 分别代入 解析式得： 和 ， 点坐标 ， 当 时， ， ， 当 时， ， 一次函数与二元一次方程组 公共解 直线L1：y=与直线L2：y=2x+6相较于点P（－2,2）； 直线L1：y=上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解； 直线L2：y=2x+6上任意一点的坐标都是方程2x－y=－6的解； 所以直线L1与L2的交点P的坐标是方程x+2y=2与方程2x－y=－6的公共解，也就是说，是一次方程组 的解。 17．阅读下列材料，并完成任务． 以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把每一组解用有序实数对表示，就可以描出无数个以方程的解为坐标的点，这无数个点组成一条直线，反过来，这条直线上任意一点的坐标是方程的解． （1）任务一：填空 ①如图1，在平面直角坐标系中，点是方程的图象上一点，点的坐标为，则方程　 　方程的解．（填“是”或“不是”） ②在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点　 　方程的图象上．（填“在”或“不在”） 点的坐标为，则点　 　方程的图象上．（填“在”或“不在”） （2）任务二：如图2，在平面直角坐标系中，方程的图象与方程的图象交于点，则二元一次方程组的解为　 　． （3）任务三：上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是____．（填出下列选项的字母代号即可） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 答案（1）是；在；不在 （2） （3）B 用函数图像解方程组（图像法解方程组） 18、利用函数图像解方程组： 解 对于方程 ，有 x 0 2 y -2 3 过点A（0，-2）和B（2,3）画出方程所对应的直线L：y= 同样地，A（0，-2）和B（2,3）也在方程所对应的直线上。 所以方程所对应的直线都是通过A（0，-2）和B（2,3）两点的直线L，如图，就是说，这两条直线重合。显然，直线L上每一个点的坐标都是原方程的解，所以原方程有无穷多组解。 y 19、利用函数图象解方程组： 解 方程3x+2y=-2对应直线y=； 方程6x+4y=4对应直线y=； 两条直线自变量x的系数相同，两条直线平行。 故方程组无解。 20、如图，已知函数和的图象交于点P，点P的横坐标为2，则关于x，y的方程组的解是　 　． 解 函数和的图象交于点P， 点P的横坐标为2，则y=2+3=5。 所以关于x，y的方程组的解是。 21、如图，直线L1：y1=；与轴交于点A（0,6），直线L2分别与x轴交于点B(-2,0)，与y轴交于点C（0,1）两条直线相交于点D，连接AB．    (1)求直线L2的表达式； (2)求两直线交点D的坐标； (3)根据图象直接写出y1>y2时自变量x的取值范围． 解（1）设L2的表达式为y2=kx+b， 将B（-2,0）、C（0,1）代入y2=kx+b得， 解得 所以L2的表达式为y2= （2）将A（0,6）代入y1=得，m=6 所以直线L1的表达式为y1= 联立 解得 故D点坐标为（4,3）。 （3）由图象可知，在D点左侧时，y1>y2，即x<4时，y1>y2 22、在直角坐标系内，已知直线y=ax+b，请画出直线2x+y=5，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式ax+b>-2x+5的解集． 解 （1） 2x+y=5 当x=0时，y=5；当x=2时，y=1; 故直线过点（0,5），（2,1） 作图如下 由图可知，两条直线交于（2,1） 所以方程组的解为 （2）由图可知：当x>2时，直线y=ax+b在直线2x+y=5的上方，所以不等式ax+b>-2x+5的解集为：x>2 学科网（北京）股份有限公司 $$