精品解析：广东省惠州市惠城区翠竹学校2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题

广东省惠州市惠城区翠竹学校2024－2025学年八年级上学期数学开学考试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 14，4，9 D. 7，2，4 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 6. 分式方程的解是（ ） A B. C. D. 7. 下列各式中，运算结果是的是 （ ） A. B. C. D. 8. 若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大9倍 D. 不确定 9. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：_______． 12. 计算____________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是__________． 14. 如图，平分，，如果，那么点到的距离等于______ 15. 一元一次不等式组的所有整数解的和为 _____________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 一个多边形内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 17. 如图，已知．求证：． 18. 把下列各式因式分解： （1）x2+2xy+y2﹣c2； （2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）． 19. 如图，已知，，． 求证： （1）； （2），． 20. 钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，被誉为中国“五大名瓷”之首．某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用．经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同． （1）求茶壶和茶杯的单价． （2）学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5），某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案．方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售．问学校选择哪种方案购买才更省钱？ 21. 如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE． （1）求证：BD=CE； （2）连接DC．如果CD=CE，试说明直线AD垂直平分线段BC． 22 阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“友好点”．例如：点，令，得，，所以不是“友好点”，点，令，得，，所以是“友好点”． （1）请判断点，是否为“友好点”，并说明理由． （2）以关于，的方程组的解为坐标的点是“友好点”，求的值． 23. 已知直线与直线分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． （1）求证：； （2）如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数； （3）如图3，若，延长线段得射线，延长线段得射线，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时开始旋转，当射线时，求满足条件的t的值为多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省惠州市惠城区翠竹学校2024－2025学年八年级上学期数学开学考试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义，确定图形的对称轴即可得出答案．即将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形. 【详解】解：选项A、B、D中的图形找不到这样的一条直线，对折后直线两旁的部分能够完全重合， 所以不是轴对称图形，不符合题意； 选项C中的图形能够找到这样的一条直线，沿直线对折后，图形两旁的部分能够完全重合， 是轴对称图形，符合题意； 故选 ：C． 2. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 14，4，9 D. 7，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键．利用三角形三边关系进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； B、，成立，符合题意； C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意知，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：C． 5. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】解：两边同乘，得， 整理、解得：． 检验：将代入， 方程的解为． 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 7. 下列各式中，运算结果是的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，对9a2-16b2利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】9a2-16b2， =（3a+4b）（3a-4b）， =（-3a+4b）（-3a-4b）． 故选C． 【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式是解题的关键． 8. 若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大9倍 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】按照题意把分式中，x、y都扩大到原来的3倍计算化简即可得解． 【详解】解：，所以分式的值不变． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的性质，解决这类题目的关键是正确地代入，并根据分式的性质进行分式的化简． 9. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【详解】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的减法运算，熟知运算法则及分式性质是正确解决本题的关键． 先把分母不变，分子相减再约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算乘方运算，求解立方根，算术平方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ； 13. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图，平分，，如果，那么点到的距离等于______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出． 过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6． 【详解】解：过作于， 平分，， ， 点到的距离等于6． 故答案为：6． 15. 一元一次不等式组的所有整数解的和为 _____________． 【答案】2 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：x＞−2， 解不等式②得：x≤2， 则不等式组的解集为−2＜x≤2， 所以不等式组整数解为−1，0，1，2，则−1＋0＋1＋2＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为8 【解析】 【分析】运用方程思想，设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和与边数的关系和任意多边形的外角和等于，得，求得，进而解决此题． 【详解】解：设这个多边形的边数为n． 由题意得，． ∴． ∴这个多边形的边数为8． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与边数的关系、任意多边形的外角和为是解决本题的关键． 17. 如图，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 18. 把下列各式因式分解： （1）x2+2xy+y2﹣c2； （2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）． 【答案】（1）（x+y+c）（x+y﹣c）；（2）b（a﹣2）（b﹣1）． 【解析】 【分析】（1）先分组，然后再运用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），然后再运用提公因式法分解即可． 【详解】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2 ＝（x+y）2﹣c2 ＝（x+y+c）（x+y﹣c）； （2）b2（a﹣2）+b（2﹣a） ＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2） ＝b（a﹣2）（b﹣1）． 【点睛】本题主要考查了因式分解法，灵活运用完全平方公式、平方差公式是解答本题的关键． 19. 如图，已知，，． 求证： （1）； （2），． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据，得出，，根据平行线的判定方法即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． 【小问2详解】 证明：由（1）可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 20. 钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，被誉为中国“五大名瓷”之首．某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用．经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同． （1）求茶壶和茶杯的单价． （2）学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5），某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案．方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售．问学校选择哪种方案购买才更省钱？ 【答案】（1）茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元 （2）当购买茶杯的数量x满足时，选择方案一购买更省钱；当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同；当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式的应用． （1）设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个．根据三种情况列出不等式和方程，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元． 【小问2详解】 设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个． 由题意，得； ． 令，即，解得； 令，即，解得； 令，即，解得． 综上所述，当购买茶杯数量x满足时，选择方案一购买更省钱； 当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同； 当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱． 21. 如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE． （1）求证：BD=CE； （2）连接DC．如果CD=CE，试说明直线AD垂直平分线段BC． 【答案】(1)证明见解析；（2）说明见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）由△ABC和△ADE都是等腰三角形且∠BAC=∠DAE知AB=AC、AD=AE、∠BAD=∠CAE，证△ABD≌△ACE即可得证； （2）由（1）知BD=CE，结合CD=CE知CD=BD，据此可得点D在BC的中垂线上，根据AB=AC知点A在BC的中垂线上，从而得出AD垂直平分线段BC． 详解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE． （2）由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD=CE． ∵CD=CE，∴CD=BD，∴点D在BC的中垂线上． ∵AB=AC，∴点A在BC的中垂线上，∴AD垂直平分线段BC． 点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质、线段的中垂线的性质． 22. 阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“友好点”．例如：点，令，得，，所以不是“友好点”，点，令，得，，所以是“友好点”． （1）请判断点，是否为“友好点”，并说明理由． （2）以关于，的方程组的解为坐标的点是“友好点”，求的值． 【答案】（1）不是“友好点”， 是“友好点”；理由见解析 （2）t的值为10 【解析】 【分析】（1）根据“友好点”的定义分别判断即可； （2）直接利用“友好点”的定义得出的值进而得出答案． 【小问1详解】 解：点，令， 得， ， 不是“友好点”， 点，令， 得， ， 是“友好点”； 【小问2详解】 解：方程组的解为， 点，是“友好点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力． 23. 已知直线与直线分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． （1）求证：； （2）如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数； （3）如图3，若，延长线段得射线，延长线段得射线，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时开始旋转，当射线时，求满足条件的t的值为多少． 【答案】（1）见解析 （2） （3）5或15 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出； (3) 分两种情况讨论：时，，，则；时，，，则，分别求出t即可． 【小问1详解】 证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示： 由题意可得：，， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，解得：； 如图所示： 由题意可得：，， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，的值为5或15． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练两直线平行角之间的关系，根据射线的运动情况画出符合题意的图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$