精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校、望京学校2025届高三上学期开学检测数学试题

清华附朝阳、望京学校高三开学数学检测试题 班级______ 姓名______ 一、选择题共10题，每题4分，共40分. 1. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B= A. ｛1,4｝ B. ｛2，3｝ C. {9，16} D. ｛1,2} 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，，故 【详解】依题意，，故. 【考点定位】本题考查集合的表示以及集合的基本运算，考查学生对基本概念的理解. 2. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：， 考点：全称命题与特称命题 3. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可． 【详解】y为奇函数，不符合题意， y＝为偶函数，在区间单调递增，符合题意， 定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意， 是偶函数，且x＞0时，y＝1-x单调递减，不符合题意． 故选：B． 4. 在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列图象中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可采用排除法进行判定，再根据指数函数和三角函数的图象的特征进行判定. 【详解】，A项，∵，∴与为增函数矛盾. B项，∵，∴，∴为增函数，错误. C项，，∴，错误. D项，，∴，减函数，正确答案为D. 故选D. 【点睛】本题主要考查指数函数和三角函数的函数图像，熟练掌握指数函数、三角函数图像和性质是解决此题的关键. 5. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由数轴知 ，不妨取检验选项得解. 【详解】由数轴知 ，不妨取， 对于A， ， 不成立. 对于B，， 不成立. 对于C， ， 不成立. 对于D， ，因此成立. 故选：D． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 6. 若向量满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设与的夹角为， 由于，所以， 所以，由于，所以. 故选：C 7. 已知，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案. 【详解】解：因为函数在上单调递减，所以； ； 因为满足，即是方程的实数根， 所以是函数零点， 易知函数f(x)在定义域内是减函数， 因为，， 所以函数有唯一零点，即. 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围. 8. 已知实数“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】当时，， 且，充分性成立； 当时，未必有， 例如时，此时，但不满足. 所以实数“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 9. 函数，.若存在，使得，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，研究的单调性． 【详解】方程变形为： ， 设，则， 在上递减，在上递增， ∴， ∴的值域是， 若存在，使得， 则，，∴的最大值为8． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数，把问题转化为“存在，使得”，这样利用的值域就可以解决问题． 10. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ） A. B. C. D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意； 当时，，如下图所示： 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 由题意可得，解得； 若，则，如下图所示： 函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时无解. 综上所述，. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二.填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在第二象限，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵，∴，∴． 故答案为 12. 已知函数是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，若，则___________；__________． 【答案】 ①. -2 ②. 0 【解析】 【分析】先由奇函数求出，，再利用周期性求出. 【详解】因为函数是R上的奇函数，，所以， 因为是周期为3的周期函数，所以． 由函数是R上的奇函数，所以，， 故答案为①-2； ②0． 【点睛】（1）函数奇偶性的应用：① 利用奇偶性求函数值；②利用奇偶性画图像；③利用奇偶性求函数的解析式； （2）函数的周期性通常用于与年份有关的问题. 13. 已知，则的最小值为______，此时等于______. 【答案】 ①. 21 ②. 11 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为：； 14. 已知函数，若对任意都有，则常数的一个取值为__. 【答案】（答案不唯一，只要是即可） 【解析】 【分析】根据诱导公式求出都可满足条件. 【详解】由于对任意恒成立， ， 所以，故利用诱导公式得都可满足条件. 故答案为：（答案不唯一，只要是即可） 【点睛】思路点睛：正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到. 15. 已知，给出以下命题： ①当时，存在，有两个不同的零点 ②当时，存在，有三个不同的零点 ③当时，对任意的，的图象关于直线对称 ④当时，对任意的，有且只有两个零点 其中所有正确的命题序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】当，时，利用导数可求得在时的单调性，确定，利用导数可求得，可确定时在上有唯一零点；代回时验证，结合零点存在定理可确定在定义域内共有两个不同零点，知①正确；当，时，易知为在上的唯一零点；当时，利用导数求得单调性，取，结合零点存在定理可说明在定义域内共有三个不同零点，知②正确；根据解析式验证知，知③正确；当时，结合导数可知时，有且仅有两个零点；当时，利用导数可求得单调性，通过反例时，有三个不同零点可知④错误. 【详解】对于①，当时，，则定义域为； 当时，，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ，即当时，，则在上有唯一零点； 当，时，，， 在上单调递减， ，，，使得， 在有唯一零点； 则当，时，有两个不同的零点，①正确； 对于②，当时，，则定义域为； 当时，，； 当时，，，， 在上单调递减；又，在上有唯一零点； 当时，，； 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 不妨取，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，， ，，使得， 即在上存在两个不同零点和； 则当，时，有三个不同的零点，②正确； 对于③，当时，， ， 对于任意的，的图象关于直线对称，③正确； 对于④，当时，，则定义域为； 当时，若，，； 则恒成立，在上单调递增， 又，在上有唯一零点； 若，，； 则恒成立，在上单调递减， 又，在上有唯一零点； 当时，有且仅有两个零点； 当时，若，，； 令，解得：（舍）或， 当时，；当时，； 不妨取，则在上单调递减，在上单调递增， ； 又， ，使得，又，恒成立， 当时，有三个不同的零点，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：本题重点考查了利用导数研究函数零点个数的问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合变量的范围讨论函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定函数在区间内的零点个数，从而得到结论. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 小问2详解】 当，则， 又在区间上有且只有两个零点，所以，解得， 即的取值范围为. 17. 某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75 年利润（单位：百万元） 注：年返修率 （1）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率； （2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望； （3）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为.若，其中表示这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论） 【答案】（1） （2）见解析 （3）的最大值为13，最小值为7. 【解析】 【分析】（1）由题表知2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年和2016年，据此算出从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率； （2）由题表知，2013~2020年中，若年返修率不超过千分之一的年份只有2013年和2015年，所以的所有可能取值为1，2，3；分别算出相应概率可得分布列，然后用期望公式计算即可. （3）根据表格求出，得到的取值范围，进而求得的最大值和最小值. 【小问1详解】 由题表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年和2016年，所以从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为； 【小问2详解】 由题表知，2013~2020年中，若年返修率不超过千分之一的年份只有2013年和2015年，所以的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 所以分布列为 1 2 3 所以. 【小问3详解】 的最大值为13，最小值为7. 18. 在中，，. （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，边上的高为2 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得的长，结合题意，即可求解. 【小问1详解】 解：由中，，且， 可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：若选条件①：，， 因为，由正弦定理得， 又由余弦定理，可得， 因为，代入解得，所以， 所以存在且唯一确定，此时的面积为. 若选择条件②：， 由正弦定理且，可得， 又由余弦定理，可得， 解得， 所以， 所以存在且唯一确定，此时的面积为. 若选条件③：，边上的高为2 因为，可得， 由余弦定理，可得，解得， 此时存在但不唯一确定，不符合题意. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程为，求； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 【答案】（1）2 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程，即可求出参数的值； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （3）结合（2）及题意可得，且，从而得到，方法一：“”等价于“”，即，结合（2）即可证明；方法二：结合函数的单调性可知“”等价于“”，即，构造函数，利用函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 又切线方程为，所以； 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 与在区间上的情况如下： 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上可得：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知： ①当时，在上单调递增， 所以至多有一个实根，不符合题意. ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 若，则，所以至多有一个实根，不符合题意. 若，即，解得， 又，且在上单调递减， 所以上有唯一零点； 因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为， 所以在上的唯一零点就是. 方法一： 所以，， 所以， 所以“”等价于“”，即. 由（2）知，当时，的最小值为. 又因为，所以. 所以. 方法二： “”等价于“”. 又， 所以. 因为在上单调递减， 所以“”等价于“”， 即， 因为， 令，则， . 即等价于，即. 所以 “”等价于“”. 令，， 所以， 当时，，所以 在上单调递增， 所以，而， 所以成立， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤： （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 20. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （3）讨论函数的零点个数． 【答案】（1）； （2）； （3）时，有1个零点，时，有3个零点 【解析】 【分析】（1）由导数法求切线即可； （2）函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，由均值不等式求最小值即可； （3）当，由（2）中在区间上单调递增可得有1个零点，当，由导数法讨论的单调性，再结合零点存在定理判断即可. 【小问1详解】 ，，， 当时，，故函数在点处的切线方程为； 【小问2详解】 函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立， ∵，当且仅当即时成立，故实数a的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）得，当，函数在区间上单调递增，又，故有1个零点； 当，令，由得，，， ，， 由二次函数性质，在上，，；在上，，；在，，， ∴在，单调递增，在单调递减， 又，∴，，又，， 所以存在唯一的，使得， 即有3个零点． 【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决. 一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论. 当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式. （2）含参函数零点个数问题， i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断； ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题； 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意，，点，相关，求中元素个数的最大值． 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求. （2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值． 【详解】若点，相关，则，，而， 不妨设， 则由定义可知， 化简变形可得， （1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关. （2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点. 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 原点满足条件； 因此集合中共有个点与点相关. （）若两个不同的点，相关，其中，，，， 可知. 下面证明. 若，则，成立； 若，则， 若，则，亦成立. 由于， 因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点. 因此中元素个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清华附朝阳、望京学校高三开学数学检测试题 班级______ 姓名______ 一、选择题共10题，每题4分，共40分. 1. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B= A. ｛1,4｝ B. ｛2，3｝ C. {9，16} D. ｛1,2} 2. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列图象中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若向量满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数，.若存在，使得，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ） A. B. C. D. 无数 二.填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 如图所示，在平面直角坐标系中，角终边与单位圆交于点在第二象限，，则点的坐标为__________． 12. 已知函数是R上奇函数，并且是周期为3的周期函数，若，则___________；__________． 13. 已知，则的最小值为______，此时等于______. 14. 已知函数，若对任意都有，则常数的一个取值为__. 15. 已知，给出以下命题： ①当时，存在，有两个不同的零点 ②当时，存在，有三个不同的零点 ③当时，对任意的，的图象关于直线对称 ④当时，对任意的，有且只有两个零点 其中所有正确的命题序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求函数最小正周期和单调递增区间； （2）若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围. 17. 某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75 年利润（单位：百万元） 注：年返修率 （1）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率； （2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望； （3）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年年生产台数的方差分别为.若，其中表示这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论） 18. 在中，，. （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，边上高为2 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程为，求； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 20. 已知函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （3）讨论函数的零点个数． 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$