精品解析：湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 一．选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 7，9，11 C. 6，9，12 D. 2. 在平面直角坐标系中，点M(3，2)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. ＞2 B. ≥2 C. ≤2 D. ＜2 4. 有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（ ） A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组 5. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题是（ ） A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 四个角都相等的平行四边形是正方形 D. 有一个角是直角四边形是矩形 8. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 10. 如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形→菱形→平行四边形 B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 二．填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 边形的外角和等于_________． 12. 若点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 13. 已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为_____． 14. 从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为_______________． 15. 如图，在中，，高，，若，则__________． 16. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______． 17. 若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为_________． 18. 如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为______． 三．解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22，23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． （1）求小路的长； （2）求小路长． 21. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出C、D两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：AE＝DE． 23. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 24. 某校七年级学生参加60秒跳绳测试，从七年级学生中随机抽取了部分同学的成绩，并绘制了如下不完整的统计表和统计图，请解答下列问题： 次数分组 频数 百分比 3 4 19 m 8 n 2 合计 （1） ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳120次及以上的学生有多少人？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值． 26. 如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形是平行四边形时，求t的值； （2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； （3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 一．选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 7，9，11 C. 6，9，12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A，，故5，12，13是勾股数； B，，故7，9，11不是勾股数； C，，故6，9，12不是勾股数； D，不是整数，故不是勾股数． 故选A． 2. 在平面直角坐标系中，点M(3，2)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的坐标与点所在的象限的关系，即可得到答案. 【详解】∵3>0，2>0， ∴点M(3，2)在第一象限， 故选A. 【点睛】本题主要考查点的坐标与点所在象限的关系，掌握点的坐标的正负性与所在象限的关系，是解题的关键. 3. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. ＞2 B. ≥2 C. ≤2 D. ＜2 【答案】A 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可． 【详解】根据题意得，x-2＞0， 解得，x＞2. 故选A. 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4. 有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（ ） A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表的意义和制作方法，分组应注意包含最大值、最小值，且起始值和结束值均要比最大值要大一些，比最小值要小一些． 一般分组的起始数据、结束时间均要比最大值大一些，比最小值小一些，而，为使数据统计更客观分6组较好． 【详解】解：，为使数据统计更客观，一般分组的起始数据、结束时间均要比最大值大一些，比最小值小一些， 故分为6组比较合适． 故选：C． 5. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 6. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据 即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y 随着 x 的增大而增大 ∵点是一次函数 图象上的两个点，， ∴ 故选：A． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有两边相等平行四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 四个角都相等的平行四边形是正方形 D. 有一个角是直角的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：邻边相等的平行四边形是菱形，故A是假命题，不符合题意； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B是真命题，符合题意； 四个角都相等的平行四边形是矩形，故C是假命题，不符合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据题意可得平分，可求得，利用平行线的性质，即可解答，熟知角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得平分，又，， ， ， ， 故选：A． 9. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形与翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，再证明四边形是菱形，再由，再结合正方形的判定即可证明， 【详解】如图， 将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合， ，，， 又， ， ， ， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， 故选：A 10. 如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形→菱形→平行四边形 B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线，得到，，，进而得到四边形是平行四边形，当时，平行四边形是矩形，，进而得到，此时平行四边形是菱形，由，， ，得到，平行四边形不可能是矩形或正方形，即可求解， 本题考查了，三角形的中位线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握先关判定定理． 【详解】解：连接、、、， ∵点E，F，G，H分别是、、、的中点， ∴，，，，，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，平行四边形矩形，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ， ∴， ∴平行四边形不可能是矩形或正方形， 故选：． 二．填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 边形的外角和等于_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和为是解题的关键，根据多边形外角和定理即可求解． 【详解】解：多边形外角和为， ∴边形的外角和等于， 故答案为： ． 12. 若点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：． 13. 已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可． 【详解】∵=2， ∴，，0是有理数，，π是无理数， ∴无理数出现的频率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键． 14. 从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图求出和为正数的概率，根据一次函数图象经过一、三象限得到，由此即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，结果两数的和为正数的结果有6种， ∴从四个数中随机取两个数的和为正数的概率为， ∵一次函数的图象经过一、三象限， ∴， ∴从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，一次函数图象与系数的关系等等，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 15. 如图，在中，，是高，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，据此可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：图中五边形为正六边形， ， ， 正方形中， ， ， 故答案为：． 17. 若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，先判断轴，结合矩形的性质有轴，轴，轴，问题即可作答． 【详解】∵、、， ∴轴， ∴在矩形中，轴，轴，轴， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标及勾股定理．根据题意，由，，求出，然后求，再用勾股定理求即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 三．解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22，23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，乘方运算，原式分别化简，，，再计算乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，公园有一块三角形空地，过点A修垂直于的小路，过点D修垂直于的小路（小路宽度忽略不计），经测量，米，米，米． （1）求小路的长； （2）求小路的长． 【答案】（1）小路的长为12米 （2）小路的长为7.2米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及三角形面积，根据勾股定理求出AD、AC的长是解题的关键． （1）由勾股定理求出AD的长即可； （2）由勾股定理求出AC的长，再由三角形面积求出DE的长即可． 【小问1详解】 ， ， （米）， 答：小路的长为12米； 【小问2详解】 在中，由勾股定理得：（米）， ， ， （米）， 答：小路长为7.2米． 21. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出C、D两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用，得出原点的位置进而得出答案； （2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案； （3）根据点的坐标的定义可得． 【小问1详解】 平面直角坐标系如图： 【小问2详解】 由平面直角坐标系可得，； 【小问3详解】 E点如图所示； 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：AE＝DE． 【答案】（1）56°；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形中位线定理得到E是AC的中点，根据直角三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝34°， ∴∠BAD＝90°﹣34°＝56°； （2）证明：∵D是BC的中点，DE//AB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴E是AC的中点， ∴AE＝AC. 在Rt△ADC中，E是AC的中点， ∴DE＝AC， ∴AC＝AE． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 23. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，进而解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 24. 某校七年级学生参加60秒跳绳测试，从七年级学生中随机抽取了部分同学的成绩，并绘制了如下不完整的统计表和统计图，请解答下列问题： 次数分组 频数 百分比 3 4 19 m 8 n 2 合计 （1） ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳120次及以上学生有多少人？ 【答案】（1）10， （2）补全频数分布直方图见解析 （3）估计60秒能跳绳120次及以上的学生有144人 【解析】 【分析】（1）利用的频数除以其百分比求出总数，再乘以组的百分比即可求出m；根据总数求出组的频数，再除以总次数，即可求出n； （2）根据（1）中数据补全图形即可； （3）利用样本中60秒能跳120次及以上学生占比乘以七年级总人数即可作答． 【小问1详解】 （人）， 组的频数为：（人）， 即， 故答案为：10，； 【小问2详解】 如图，补全图形如下： 【小问3详解】 （人） 答：60秒能跳绳120次及以上的学生有144人． 【点睛】本题主要考查了频数统计表，条形统计图，用样本所占百分比估计总体等知识，掌握频数统计表所含数据信息是解答本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在轴上找一点使最大，求的最大值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题； （2）求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：一次函数的解析式为，令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， ， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键． 26. 如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形是平行四边形时，求t的值； （2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； （3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】（1） （2）7；4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【小问1详解】 解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； 【小问3详解】 解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$