精品解析：重庆市第一中学校 2024-2025学年九年级上学期暑假自主消化作业二试题

重庆一中初2025届2024—2025学年度上期暑假自主消化作业二 数学试题 （本试题共三个大题，26个小题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的主视图是(　 　) A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 5. 如图，与位似，原点O是它们的位似中心，已知点C的坐标为，点的坐标为，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形四个内角都是直角 B. 菱形对角线互相平分且相等 C. 矩形对角线互相平分且垂直 D. 平行四边形的邻边相等 7. 2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（  ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接．若 的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，过点作且 ，连接，点是的中点，连接 、．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”． 下列说法： ①只有“、对调操作”的结果与原式相等； ②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则 或； ③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝_____． 12. 若，则______． 13. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 14. 重庆被誉为“美食之都”，这座城市以其丰富多样的美食而闻名，吸引了无数食客前来品尝．甲、乙两人分别从火锅、烤鱼和辣子鸡中随机选取一个美食，他们同时选中火锅的概率是______ 15. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______ 16. 如图，在中，，为边上中线，过D作 于点E，将 沿翻折得到 ，交于点G，若，则 ______，______． 17. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 18. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 ，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是______；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是_____． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20~26每小题10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 解方程： （1）； （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作 的垂线交 于点E，交边上的高 于点P．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在锐角中，，且 ，求证：． 证明：∵ ， ， ① ． 在 与 中，， ， ∴ ③ ， ∴，即是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④ ． 22. 重庆一中是一所由“棋圣”聂卫平、古力担任教练的“全国围棋特色学校”．为了让更多的学生受益于围棋教育，学校开展了一场有关围棋的知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理，描述和分析（满分100分，得分用表示，共分成四组：A. ；B. ；C. ；D. ），其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：99，85，99，86，99，96，93，100，84，89． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，94，91． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 94.5 八年级 93 100 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）在上述图表中：______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握的围棋知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有300人参加了此次围棋知识竞赛活动．请估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数． 23. 如图1，在矩形中， ， ，动点以每秒个单位长度的速度沿 的路径运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿 的路径运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当函数 与上述函数的图像有两个交点时的取值范围． 24. 一淘宝店主购进A、B两款T恤在网上进行销售，A款T恤每件价格100元，B款T恤每件价格90元，第一批共购买600件． （1）该淘宝店主第一批购进的T恤的总费用不超过56000元，求B款T恤最少购买多少件？ （2）由于销售情况良好，该淘宝店主打算购进第二批T恤，购进的A、B两款T恤件数之比为3：2，价格保持第一批的价格不变；第三批购进A款T恤的价格在第一批购买的价格上每件减少了m元，B款T恤的价格比第一批购进的价格上每件增加了m元，A款T恤的数量比第二批增加了m%，B款T恤的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购进的T恤的总费用相同，求m的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点C，直线分别与x轴，y轴交于点B，点C，且． （1）求直线的表达式． （2）如图2，过点B的直线与线段 交于点D，，求点D的坐标． （3）如图3，在（2）问条件下，设与y轴交于点Q，在平面内找点T，使，所在直线与x轴交于M，直接写出点M的坐标． 26. 在中，，D为线段上一点（点D不与B，C重合），连接． （1）如图1，，，求的长度； （2）如图2，D为中点，E为平面内一点，连接，将线段绕D顺时针旋转得到线段，连接，，G为线段上一点， ，求证：； （3）如图3，P，H为射线上两个点，，，将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与直线交于点T．若，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2025届2024—2025学年度上期暑假自主消化作业二 数学试题 （本试题共三个大题，26个小题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转 后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，该几何体的主视图是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据主视图是从正面看到的图形，因此可知从正面看到一个长方形，但是还得包含看不到的一天线（虚线表示），因此第四个答案正确． 故选D 考点：三视图 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足解析式．据此判断逐项即可． 【详解】解：A、当时， ，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项不符合题意； B、当 时， ，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项不符合题意； C、当时， ，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项不符合题意； D、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项符合题意， 故选：D． 4. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当 时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在 与 之间， ． 故选C 5. 如图， 与位似，原点O是它们的位似中心，已知点C的坐标为，点的坐标为，则 与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，先求出相似比，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题． 【详解】∵ 与位似，原点O是它们的位似中心，点C的坐标为，点的坐标为 ∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形四个内角都是直角 B. 菱形对角线互相平分且相等 C. 矩形对角线互相平分且垂直 D. 平行四边形的邻边相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，熟知平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、正方形四个内角都是直角，原说法正确，符合题意； B、菱形对角线互相平分但不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形对角线互相平分但不一定垂直，原说法错误，不符合题意； D、平行四边形的邻边不一定相等，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里，根据甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，最终甲比乙早1小时到达，列分式方程即可． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里， 根据题意得． 故选：A． 8. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接 ．若 的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系k的几何意义，相似三角形的判定与性质．根据题意证明，由，得到，设，由 的面积为4，则，进而得到，再根据反比例函数k的几何意义即可求出． 【详解】解： 轴， ， ， ， ， 设，则，， 的面积为4， ，即， ，则， ， ， 点A是反比例函数图象上， ， 故选：D． 9. 如图，在正方形 中，点在对角线上，过点作且 ，连接，点是的中点，连接 、 ．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 连接 ，然后根据 证明，即可得到 ，，然后根据角的和差解题即可． 【详解】解：连接 ， ∵ 是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴ ，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 故选C． 10. 将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”． 下列说法： ①只有“、对调操作”的结果与原式相等； ②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则 或； ③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论． 【详解】解：， “、对调操作”的结果为 “、对调操作”的结果为，故①错误； ∵“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等， ∴， ， 解得： 或，故②正确； ∵， ∴ ∴对调后的结果为，，，共有3种不同运算结果，故③错误； 综上所述，正确的为②， 故选B 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先化简绝对值，零指数幂，然后再计算． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的运算，掌握是解题关键． 12. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先对要求的分式变形，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 14. 重庆被誉为“美食之都”，这座城市以其丰富多样的美食而闻名，吸引了无数食客前来品尝．甲、乙两人分别从火锅、烤鱼和辣子鸡中随机选取一个美食，他们同时选中火锅的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选中火锅的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示火锅、烤鱼和辣子鸡，画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选中火锅的结果数有1种， ∴他们同时选中火锅的概率为， 故答案为：． 15. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在 中，，为边上中线，过D作 于点E，将 沿翻折得到 ，交于点G，若，则 ______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过A作于点H，证明 是中位线，可得，，表示出， ， ，再在中，，可得，解方程求解；连接 ， ，、 交于点K，显得出，再证明 是等腰直角三角形，可得，即有， ，证明，即有点F、点A到直线的距离相等，可得，证明，即可作答． 【详解】解：过A作于点H，如图， ∵， ， ∴， ∵为边上中线， ∴， ∴ 是中位线， ∴，， ∵在 中，，， ∴， ∵ ， ∴在 中，， ∴， ∵在中，， ∴， 整理： 解得： (负数舍去)； 连接 ， ，、 交于点K，如图， ∵ ， ∴，，， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴，， 根据翻折有：，，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据翻折有：， ∵为边上中线， ∴， ∴， ∴点F、点A到直线的距离相等， ∴， ∵为边上中线， ∴ 为 的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质判定与性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等知识，问题的难点在于证明． 17. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，可得 且，进而得到且，问题随之得解． 【详解】解：， 解①得： ， 解②得：， 关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解， 不等式组的解集为： 其整数解为：3、2、1， ∴，解得：， 解方程，得， 关于的分式方程的解为的解为正数， 且， 解得 且， 且， 则所有满足条件的整数m的值之和是， 故答案为： ． 18. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 ，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是______；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是_____． 【答案】 ①. 30 ②. 8129 【解析】 【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被7整除，再分类讨论即可．清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵，， ∴， ， ∴，21或35， ∴，10，17， ∴满足条件的t之和是． 要使 最大，则应尽可能大，且c尽可能小， ∴，此时 ， ∵，10或17， ∴c最小为2，此时“胜利数”S是8129． 故答案为：30，8129． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20~26每小题10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和用平方根的意义解方程，熟练掌握分式方程的解法和平方根的意义是解题的关键. （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）变形后利用平方根的意义得到，解一元一次方程即可. 【小问1详解】 解： 两边都乘以得，， 解得， 当时，， ∴分式方程的解为 【小问2详解】 则 开平方得， 即或 解得或 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 21. 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作 的垂线交 于点E，交 边上的高 于点P．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在锐角 中，，且 ，求证：． 证明：∵， ， ① ． 在 与 中，， ， ∴ ③ ， ∴，即 是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④ ． 【答案】，，，这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的证明以及等腰三角形，根据，再找一条公共边，证明，得到，得到，即可得出结论； 【详解】证明：∵， ， ． 在 与 中，， ， ， ∴，即 是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么 这个三角形是等腰三角形 ． 22. 重庆一中是一所由“棋圣”聂卫平、古力担任教练的“全国围棋特色学校”．为了让更多的学生受益于围棋教育，学校开展了一场有关围棋的知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理，描述和分析（满分100分，得分用表示，共分成四组：A. ；B. ；C. ；D. ），其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：99，85，99，86，99，96，93，100，84，89． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，94，91． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 94.5 八年级 93 100 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）在上述图表中：______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握的围棋知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有300人参加了此次围棋知识竞赛活动．请估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数． 【答案】（1）40，93，99； （2） 由（1）得，答案不唯一： 答案一：此次竞赛中，八年级的学生掌握的围棋知识更好．因为两个年级的平均数均相同，都是93，且八年级的众数100大于七年级的众数99，所以八年级更好； 答案二：此次竞赛中，七年级的学生掌握的围棋知识更好．因为两个年级的平均数均相同，都是93，且七年级的中位数94.5大于八年级的中位数93，所以七年级更好； （3）195 【解析】 【分析】（1）本题考查众数，中位数及扇形统计图百分比，根据C组中的数据的个数，求出C的占比，即可得到a，将成绩由小到大排列，中间两个数的平均值是中位数即可得到，根据出现次数最多的数是众数即可得到c，由此即可得到答案； （2）本题考查根据众数，中位数，平均数做决策，根据数据大小比较，即可得到答案； （3）本题考查根据样本估计总体的大概情况，求出抽取的七、八年级的总优秀率，然后乘以总人数即可得到答案； 【小问1详解】 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，94，91，有4个数据， C的占比为 ， ． A的占比为 ，人数为 ，B的占比为 ，人数为 ，八年级共抽取了10名学生， 将10名学生的成绩从小到大排列后，中位数为第5、6名学生成绩的平均数，即在C组的数据中，C组中的数据从小到大排列为是：91，92，94，94， 八年级成绩的中位数 ． 七年级10名学生的竞赛成绩：99，85，99，86，99，96，93，100，84，89． 其中出现次数最多的数据是99， 七年级成绩的众数 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 七年级10名学生的竞赛成绩：99，85，99，86，99，96，93，100，84，89．其中成绩大于90分有6人， 八年级中成绩大于90分，即C、D占比为： ，人数为 人， 七、八年级抽取的20人中，优秀的人数占比为： ， 该校七、八年级共有300人参加，估计成绩被评为优秀的总人数为： （人） 答：估计成绩被评为优秀的总人数为195人． 23. 如图1，在矩形 中， ， ，动点以每秒个单位长度的速度沿 的路径运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿 的路径运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当函数 与上述函数的图像有两个交点时的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数的图象如图所示， 当 ，y随x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质： （1）当点P在 上，点Q在 上时，即 时，证明 ，，即可求解；当 时，利用 可以求解； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当 时，点P在 上，点Q在 上， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ，即 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； 当 时，点P，Q在BD上移动，这时 ； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结合图像可得当直线 在两条虚线之间时，与图象有两个交点， 当过 时， ，解得： ； 当过 时，，解得： ； ∴结合函数图象，当函数 与上述函数的图像有两个交点时的取值范围为 ． 24. 一淘宝店主购进A、B两款T恤在网上进行销售，A款T恤每件价格100元，B款T恤每件价格90元，第一批共购买600件． （1）该淘宝店主第一批购进的T恤的总费用不超过56000元，求B款T恤最少购买多少件？ （2）由于销售情况良好，该淘宝店主打算购进第二批T恤，购进的A、B两款T恤件数之比为3：2，价格保持第一批的价格不变；第三批购进A款T恤的价格在第一批购买的价格上每件减少了m元，B款T恤的价格比第一批购进的价格上每件增加了m元，A款T恤的数量比第二批增加了m%，B款T恤的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购进的T恤的总费用相同，求m的值． 【答案】（1）B款T恤最少购买400件；（2）m的值为50． 【解析】 【分析】（1）设B款T恤购买了x件，则A款T恤购买了（600-x）件，根据“A款T恤每件价格100元，B款T恤每件价格90元，第一批购进的T恤的总费用不超过56000元”列出关于x的一元一次不等式，解之即可； （2）设第二批购进A款T恤3y件，则购进B款T恤2y件，根据“第三批购进A款T恤的价格在第一批购买的价格上每件减少了m元，B款T恤的价格比第一批购进的价格上每件增加了m元，A款T恤的数量比第二批增加了m%，B款T恤的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购进的T恤的总费用相同”列出关于y，m的等式，整理化简后即可得到答案． 【详解】解：（1）设B款T恤购买了x件，则A款T恤购买了（600-x）件， 根据题意得：90x+100（600-x）≤56000， 解得：x≥400， 答：B款T恤最少购买400件， （2）设第二批购进A款T恤3y件，则购进B款T恤2y件， 根据题意得：300y+180y=（100-）•3y（1+m%）+（90+）•2y（1-m%）， 整理化简得：=120， 解得：m=50， 答：m的值为50． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解题的关键：（1）根据不等量关系列出不等式，（2）根据数量关系列出关于y，m的等式并化简． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点C，直线分别与x轴，y轴交于点B，点C，且． （1）求直线的表达式． （2）如图2，过点B的直线与线段 交于点D，，求点D的坐标． （3）如图3，在（2）问条件下，设与y轴交于点Q，在平面内找点T，使，所在直线与x轴交于M，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）先求出，，即有 ， ，进而可得，设直线 的解析式为：，利用待定系数法即可求解； （2）过点O作 ，交于点D，连接，即有，根据直线 的解析式为：，可得直线 的解析式为： ，联立，即可得； （3）先求出得直线的解析式为：，即可得，即可得，分情况讨论，当点T在直线 上方时，作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N，先证明四边形是矩形，即有，，，再证明∴，可得，即可得，进而有，利用待定系数法可得直线 的解析式为：，则 坐标可求；当点T在直线 下方时，先得出，即点T在y轴的左侧，同理作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N，同理可求． 【小问1详解】 当 时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴结合图象，有， 设直线 的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线 的解析式为：； 【小问2详解】 过点O作 ，交于点D，连接， ∵ ， ∴， ∵直线 的解析式为：， ∴直线 的解析式为： ， 联立， 解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴根据求解直线 解析式的方法，同理可得直线的解析式为：， 当 时，， ∴， ∴， ∴， 当点T在直线 上方时， 如图，作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N， ∴， ∴，， ∵轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴根据求解直线 解析式的方法，同理可得直线 的解析式为：， 当时，，解得：， ∴； 当点T在直线 下方时， ∵，， ∴， ∴， 即点T在y轴的左侧， 如图，作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N， 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，， ∴， 即同理可得， 综上：符合要求的点M的坐标为：和． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数，相似三角形的判定与性质，待定系数法，解直角三角形等知识，问题的难点在第三问，作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 26. 在 中，，D为线段 上一点（点D不与B，C重合），连接． （1）如图1，，，求的长度； （2）如图2，D为 中点，E为平面内一点，连接，将线段 绕D顺时针旋转得到线段，连接 ，，G为线段上一点， ，求证：； （3）如图3，P，H为射线上两个点，，，将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与直线交于点T．若，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）作 于，解 求得 ；解求得；解 求得 ，进一步得出结果； （2）可证得，从而得出，可证得，从而点、、、共圆，从而得出，从而，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上，从而，可得出 是的垂直平分线，从而，进而证得 ，从而，进一步得出结论； （3）作 于，可证得，从而得出，进而得出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，设 交 于点，可得出当点运动在处时，最小；作于 ，可求得 的面积，根据，可求得的面积，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图，作 于， ∵， ∴ ， 在 中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在 中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2， 设和交于点， 是 中点， ， ， ， ∵线段 绕顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四点共线， ， ， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3， 作 于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 设 作 于点， ∴当点运动在处时，最小，如图4， 作于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $