精品解析：安徽省淮南市高新区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题

九年级数学作业反馈 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是：（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线满足，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 4. 如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线y＝2x和y＝kx＋b相交于点P（2，4），则不等式（2－k）x≤b的解集为（ ）． A. x≥4 B. x≤4 C. x≥2 D. x≤2 6. 如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 7. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 8. 如图直线上有三个正方形，若面积分别为5和11，则的面积为（　　） A. 16 B. 6 C. 4 D. 5 9. 如图，菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，若，，则的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 1或4 B. 或9 C. 1或9 D. 或1 二、填空题（本大题共6题，每小题5分，共30分） 11. 某校规定学生的学期体育成绩由三部分组成：体育课外活动成绩占学期成绩的，理论测试占，体育技能测试占，一名同学上述的三项成绩依次为、、，则该同学这学期的体育成绩为_____． 12. 一次函数与轴的交点坐标是___________． 13. “黄金1号”玉米种子的价格为5元，如果一次购买以上的种子，超过部分的种子的价格打8折，若购买种子数量为，付款金额为元．当时，与的函数解析式为__________；当时与的函数解析式为__________． 14. 已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24 cm2，则菱形的周长是________cm． 15. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 16. 如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为___________． 三、解答题（本大题共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 图①，图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点（又称为“格点”）上． （1）请在图①中画一个以，为顶点，面积为6的平行四边形，另外两顶点，在格点上． （2）请在图②中画一个以，为顶点的菱形，另外两顶点，在格点上，并求出此菱形的边长． 19. 如图，强大台风使得一根旗杆在离地面的点处折断倒下，旗杆顶部点落在离旗杆底部点处，旗杆折断之前有多高？ 20. 【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠．同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各8件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：（记，） 种类 1 2 3 4 5 6 7 8 1.218 1.217 1.208 1.212 1.214 1.212 1.211 1.215 1.174 1.171 1.172 1.175 1168 1.167 1.167 1.166 【实践探究】分析数据如下： 种类 平均数 中位数 众数 1.213 m 1.212 1.170 1.170 n 【问题解决】 （1）上述表格中，______，______． （2）现有1个瓷器烧制前的高度为0.94米，烧制后的高度为0.8米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由． （3）小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%．”这位同学的说法是否合理？请说明理由． 21. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知A类图书每本的进价36元，B类图书每本的进价45元． （1）该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．求y关于x的关系式； （2）进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 22. 氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画函数图象如下： 注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量． （1）时，氯化钾的溶解度是_____； （2）求y关于x函数解析式； （3）当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由． 23. 已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上. （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； （3）如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业反馈 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，则A选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，则B选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，则C选项不符合题意； D、是最简二次根式，则D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）是解决此类问题的关键． 2. 已知直线满足，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象与系数的关系．根据，的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系． 【详解】解：，直线经过一、三象限； ，图象与轴的负半轴相交． 故此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、若AC=BD，则▱ABCD是矩形，故本选项符合题意； D、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C 4. 如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连结EF，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出AE，EF，AF的长度，继而可得出∠EAF的度数． 【详解】如图，连接. 根据勾股定理，得，. 因为，所以， 所以是等腰直角三角形，所以. 故选B. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△AEF是等腰直角三角形是解决本题的关键． 5. 如图，直线y＝2x和y＝kx＋b相交于点P（2，4），则不等式（2－k）x≤b的解集为（ ）． A. x≥4 B. x≤4 C. x≥2 D. x≤2 【答案】D 【解析】 【分析】先对所求不等式进行整理，然后根据函数图象找出不等式解集． 【详解】解：整理不等式（2－k）x≤b得：2x≤kx＋b， 由函数图象可得：不等式2x≤kx＋b的解集为：x≤2， 即不等式（2－k）x≤b的解集为x≤2， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 6. 如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象的知识点，根据圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式，正确理解函数的图象是解题的关键． 【详解】由于圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的，可知， 只有选项适合均匀升高这个条件， 故选：． 7. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，勾股定理的逆定理等知识点．掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键． 通过三角形内角和定理可判断A和D；通过勾股定理逆定理可判断B和C． 【详解】解：A．∵， ∴设，则． ∵， ∴，解得：， ∴，故此三角形不是直角三角形，符合题意； B．∵， ∴设，则． ∵， ∴， ∴此时直角三角形，不符合题意； C．∵，，， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意； D．∵， ∴， ∴此时是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 8. 如图直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（　　） A. 16 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【详解】解：标记字母如图， 由于都是正方形，所以； ∵， 即， 在和中，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即 故选A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证明． 9. 如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出的长是解题关键． 根据勾股定理求得的长，进而根据菱形的性质可得，进而求解； 【详解】解：，， ， 在中， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 1或4 B. 或9 C. 1或9 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当E点在线段DC上时，如图所示： ∵△AD'E≌△ADE， ∴∠AD'E=∠D=90°， ∵∠AD'B=90°， ∴∠AD'B+∠AD'E=180°， ∴B、D'、E三点共线， ∵△ABE的面积=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD， ∴BE=AB=5， ∵BD'==4， ∴DE=D'E=5-4=1； ②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如图所示： ∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°， ∴∠CBE=∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中， ， ∴△ABD″≌△BEC（ASA）， ∴BE=AB=5， ∵BD''==4， ∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9； 综上所知，DE的长为1或9， 故选C． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度． 二、填空题（本大题共6题，每小题5分，共30分） 11. 某校规定学生的学期体育成绩由三部分组成：体育课外活动成绩占学期成绩的，理论测试占，体育技能测试占，一名同学上述的三项成绩依次为、、，则该同学这学期的体育成绩为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算．因为体育课外活动成绩占学期成绩的，理论测试占，体育技能测试占，利用加权平均数的公式即可求出答案． 【详解】解：该同学这学期的体育成绩为， 故答案为：． 12. 一次函数与轴的交点坐标是___________． 【答案】（，0） 【解析】 【分析】令纵坐标y=0，解得x的值即为函数与x轴交点横坐标． 【详解】解：令纵坐标y=0，则，解得x=． 故答案为（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图像与x坐标轴的交点的求解方法是解答本题的关键． 13. “黄金1号”玉米种子的价格为5元，如果一次购买以上的种子，超过部分的种子的价格打8折，若购买种子数量为，付款金额为元．当时，与的函数解析式为__________；当时与的函数解析式为__________． 【答案】 ①. y＝5x ②. y＝4x＋2 【解析】 【分析】根据单价乘以数量，可得价格，可得相应的函数解析式． 【详解】当0≤x≤2时，y与x的函数解析式为：y＝5x； 当x＞2时，y与x的函数解析式为：y＝2×5＋5×0.8（x－2）＝10＋4x－8＝4x＋2． 故答案为：y＝5x；y＝4x＋2． 【点睛】此题主要考查了函数关系式，注意超过部分打折计算是解题关键． 14. 已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24 cm2，则菱形的周长是________cm． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，从而就不难求得周长． 【详解】解：∵菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm， ∴另一对角线长为24×2÷6＝8cm， ∴菱形的两条对角线长度的一半为3cm，4cm， ∴菱形的边长为：＝5cm， 则菱形的周长为：5×4＝20cm． 故答案为：20． 【点睛】主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理． 15. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 16. 如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为___________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】延长交于点D，证明得到，，求出|长，然后利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】延长交于点D， ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵是边上的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据乘法分配律进行运算，在进行二次根式乘法运算以及将化成最简二次根式，然后进行加减运算即可； （2）首先将化成最简二次根式，并进行二次根式除法运算，然后进行减法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 图①，图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点（又称为“格点”）上． （1）请在图①中画一个以，为顶点，面积为6的平行四边形，另外两顶点，在格点上． （2）请在图②中画一个以，为顶点的菱形，另外两顶点，在格点上，并求出此菱形的边长． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析，菱形的边长为 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）作一个底为3，高为2的平行四边形即可； （2）作出的垂直平分线，即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点． 【小问1详解】 解：四边形面积为， 平行四边形的底可为3，高可为2， 如图所示 【小问2详解】 解：四边形为菱形， 四边形对角线垂直平分， 作出的垂直平分线， 即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点， 如图所示， 在直角中， ， 菱形的边长为． 19. 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面的点处折断倒下，旗杆顶部点落在离旗杆底部点处，旗杆折断之前有多高？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 20. 【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠．同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各8件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：（记，） 种类 1 2 3 4 5 6 7 8 1.218 1.217 1.208 1.212 1.214 1.212 1.211 1.215 1.174 1.171 1.172 1.175 1.168 1.167 1.167 1.166 【实践探究】分析数据如下： 种类 平均数 中位数 众数 1.213 m 1.212 1.170 1.170 n 【问题解决】 （1）上述表格中，______，______． （2）现有1个瓷器烧制前的高度为0.94米，烧制后的高度为0.8米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由． （3）小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%．”这位同学的说法是否合理？请说明理由． 【答案】（1），；（2）这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成，理由见解析；（3）小明同学说法合理，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． （1）根据众数和中位数的定义求解； （2）根据计算烧制前与烧制后高度比解答即可； （3）根据平均数，中位数，众数解答即可． 【详解】（1）解：在中这8个数据中，1.167出现了2次，出现的次数最多，即这组数据的众数是； 中将这8个数据按从小到大的顺序排列，其中第4个数是1.212，第5个数是1.214， ∴这组数据的中位数是． 故答案为：1.213，1.167； （2）这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成． 理由：因为．而1.175更接近紫沙瓷土烧制前与紫沙瓷土烧制后的高度比，所以这种瓷器更可能由紫沙瓷土烧制而成． （3）小明同学说法合理． 理由：若瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为至，则瓷坯烧制前与烧制后的高度比就约为至，而， 所以此时瓷坏烧制前与烧制后的高度比约为1.205至1.220， 故从白瓷瓷土烧制前与白瓷瓷土烧制后的高度比的平均数，中位数，众数来看，刚好均与之相近，所以小明同学的说法合理． 21. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知A类图书每本的进价36元，B类图书每本的进价45元． （1）该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．求y关于x的关系式； （2）进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）y＝﹣x+100； （2）Ｗ＝﹣2x+500，当购进A类图书60本，B类图书52本时，该书店所获利润最大，380元 【解析】 【分析】（1）根据单价乘以数量得到每种图书的书款，相加即得总书款； （2）根据利润乘以数量得到函数解析式，利用一次函数的性质得到最值及各自的数量． 【小问1详解】 解：根据题意得： 36x+45y＝4500， ∴y＝﹣x+100； 【小问2详解】 根据题意得： W＝（38﹣36）x+（50﹣45）y＝2x+5y＝2x+5×（﹣x+100）＝﹣2x+500， ∵﹣2＜0， ∴W随x的增大而减小． ∵x≥60，且x为整数， ∴当x＝60时，W有最大值，最大值为﹣2×60+500＝380， ∴y＝﹣x+100＝52． ∴当购进A类图书60本，B类图书52本时，该书店所获利润最大，为380元． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，列函数解析式，一次函数的最值问题，正确掌握一次函数的知识是解题的关键． 22. 氯化钾的溶解度随温度的升高而增大，在条件下，氯化钾的溶解度与温度之间近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画函数图象如下： 注：氯化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量． （1）时，氯化钾的溶解度是_____； （2）求y关于x函数解析式； （3）当温度是时，在水中加入氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由． 【答案】（1）40 （2） （3）能完全溶解，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）从函数图像上可得出答案． （2）用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）求出当时，对应的y的值，然后和比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：从函数图像上可以得出当时，氯化钾的溶解度是， 故答案为：40． 【小问2详解】 设y关于x的函数解析式为． 因为的图象过点与， 所以， 解得． 所以y关于x的函数解析式为． 【小问3详解】 能完全溶解． 当时，． 因为， 所以能完全溶解． 23. 已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上. （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； （3）如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 【答案】（1） （2）是定值40 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得°，在中可求出的度数； （2）延长到点K，使，连接，构造全等三角形，证明，即可求得的周长； （3）过点D作，交于点L，作，交于点M，连接，运用（2）中的结论和勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图2，延长到点K，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的周长为40，的周长是定值； 【小问3详解】 如图3，作，交于点L，交于点P，作，交于点M，交于点Q，连接， ∵，， ∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $