第二章 一元二次方程 情境测试卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

第 5 页 第 6 页 第二章情境测试卷 测试时间:100 分钟　 测试分数:120 分　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列方程中,一元二次方程共有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①3x2 +x= 20;　 ②2x2 -3xy+4 = 0; ③x2 -x= 1;　 ④x2 = 1. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 一元二次方程 5x2 - 18 = 9x 化成一般形式 后,一次项系数是(　 　 ) A. 5 B. 9 C. -9 D. 1 3. 方程 x2 = 3x 的解是(　 　 ) A. x= 3 B. x= 0 C. x1 = 3,x2 = 0 D. x1 = -3,x2 = 0 4. 不解方程 x2 -4x+3 = 0 判定方程根的情况是 (　 　 ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 5. 若 x=m 是方程 x2 +x-1 = 0 的根,则 m2 +m+ 2 027 的值为(　 　 ) A. 2 029 B. 2 028 C. 2 012 D. 2 011 6. 用配方法解一元二次方程 x2 +8x-3 = 0,下列 变形中正确的是(　 　 ) A. (x-4) 2 = 16+3 B. (x+4) 2 = 16+3 C. (x+8) 2 = -3+64 D. (x-8) 2 = 3+64 7. 如果关于 x 的一元二次方程 k2x2 -(2k+1) x +1 = 0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取 值范围是(　 　 ) A. k>- 1 4 B. k>- 1 4 且 k≠0 C. k<- 1 4 D. k≥- 1 4 且 k≠0 8. 若一个等腰三角形的一边为 4,另外两边为 x2 -12x+m= 0 的两根,则 m 的值为(　 　 ) A. 32 B. 36 C. 32 或 36 D. 不存在 9. 若关于 x 的一元二次方程(a-1)x2 +(2a-4)x +a+1= 0 有实数解,且关于 x 的分式方程 a x-1 +x+2a 1-x = -3 有正数解,则符合条件的整数 a 的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图是一张长 12 cm,宽 10 cm 的矩形铁 皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全 等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底 面积是 24 cm2 的有盖的长方体铁盒,则剪 去的正方形的边长为(　 　 ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 关于 x 的方程(m+2) x |m | +2mx+2 = 0 是一 元二次方程,则 m 的值为　 　 　 　 . 12. 用配方法解方程 1 2 x2 +x- 5 2 = 0 时,可配方 为 1 2 [(x+1) 2 +k] = 0,其中 k= 　 　 　 　 . 13. 生活情境·抢红包 “国庆节” 和“中秋节” 双节期间,某微信群规定,群内的每个人都 要发一个红包,并保证群内其他人都能抢 到且自己不能抢自己发的红包,若此次活 动,群内所有人共收到 156 个红包,则该群 一共有　 　 　 　 人. 14. 跨学科试题·语文 《念奴娇·赤壁怀古》在 苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿 英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才, 英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东 去浪淘尽,千古风流数人物. 而立之年督东 吴,早逝英年两位数. 十位恰小个位三,个 位平方与寿符. ”则这位风流人物去世的年 龄是　 　 岁. 15. 中考新趋势·新定义 对于实数 p、q,我们用 符号 min{p,q} ( p≠q)表示 p、q 两数中较 小的数,如 min{1,2} = 1,若 min{(x-1) 2, x2} = 1,则 x= 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)解方程: (1)x2 -x-2 = 0; (2)x2 +2x-399 = 0. 17. (8 分)关于 x 的一元二次方程 (a+c) x2 + 2bx+(a-c) = 0 中 a、b、c 分别为△ABC 三 边的长. (1)如果方程有两个相等的实数根,试判 断△ABC 的形状,并说明理由; (2)如果△ABC 是等边三角形,试求这个 一元二次方程的根. 18. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - (m+2)x+2 = 0(m≠0) . (1)求证:方程一定有两个实数根; (2)若此方程的两根为不相等的整数,求 整数 m 的值. 19. 生产劳动情境·农副产品养殖 (10 分)某养 殖场今年起采用“场内+农户” 养殖模式, 同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋 率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分 别是 2. 5 万 kg 与 3. 6 万 kg,现假定该养殖 场蛋鸡产蛋量的月增长率相同. (1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长 率; (2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全 第 7 页 第 8 页 部销售出去,且每个销售点每月平均销售 量最多为 0. 32 万 kg. 如果要完成六月份的 鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已 有的销售点的基础上至少再增加多少个销 售点? 20. 生产劳动情境·修建场地 (10 分)如图,某 农户准备建一个长方形养鸡场,养鸡场的 一边靠墙,若墙长为 18 m,墙对面有一个 2 m 宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长 33 m,围成长方形的养鸡场除门之外四周 不能有空隙. (1)要围成养鸡场的面积为 150 m2,则养 鸡场的长和宽各为多少? (2)围成养鸡场的面积能否达到 200 m2, 请说明理由. 21. (10 分)阅读下面的例题: 解方程:x2 - | x | -2 = 0 当 x≥0 时,原方程化为 x2 -x-2 = 0,解得: x1 = 2 或 x2 = -1(不合题意舍去); 当 x<0 时,原方程化为 x2 +x-2 = 0,解得:x1 = -2 或 x2 = 1(不合题意舍去); 所以,原方程的根是 x1 = 2 或 x2 = -2. 请参照例题解方程: (1)x2 - | x | -6 = 0; (2)x2 - | x-5 | -5 = 0. 22. 社会发展情境·惠民停车场 (10 分)社区利 用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车 场,其布局如图所示,已知停车场的长为 52 米,宽为 28 米,阴影部分设计为停车 区,要铺花砖,其余部分是通道,且宽度相 等. 已知铺花砖的面积为 640 平方米. (1)求通道的宽是多少米? (2)该停车场共有车位 64 个,据调查分析, 当每个车位的月租金为 200 元时,可全部租 出;当每个车位的月租金每上涨 10 元,就会 少租出 1 个车位. 为了维护消费者利益,物 价部门规定,每个车位租金不得超过 500 元,要想让停车场的月租金收入为 14 400 元,每个车位的月租金应上涨多少元? 23. (10 分)阅读材料,解答问题. 材料一:已知实数 a,b(a≠b)满足 a2 +5a- 1 = 0,b2 +5b-1 = 0,则可将 a,b 看作一元二 次方程 x2 +5x-1 = 0 的两个不等实数根. 材料二:已知 x2 +5x-2 = 0,求 x- 2 x 的值. 某同学的解答思路如下: 由 x2 +5x-2 = 0 可得 x+5- 2 x = 0, 所以 x- 2 x = -5. (1)直接应用:已知实数 a,b(a≠b)满足 a2 -7a-2 = 0,b2 -7b-2 = 0,求 a+b-ab 的值; (2)间接运用:已知实数 m,n 满足 3m2 -7m -2 = 0,2n2 +7n-3 = 0 且 mn≠1,求 mn +1 mn+m+1 的值. CF,∴ EF=AE+CF. (2)EF2 =AE2 +CF2 ,理由如下:将△CDF 绕点 D 顺时 针旋转 90°,可得△ADN,连接 NE. 由旋转的性质可 得 DN =DF,AN =CF,∠DAN = ∠DCF = 45°,∠CDF = ∠ADN,∴ ∠CAN= ∠CAD+∠DAN = 90°,∴ EN2 = AE2 +AN2 =AE2 +CF2 . ∵ ∠EDF = 45°,∴ ∠CDF+∠ADE = 45°,∴ ∠ADE + ∠ADN = 45° = ∠NDE = ∠EDF, 在 △EDF 和△EDN 中, DF=DN ∠FDE= ∠NDE DE=DE { , ∴ △EDF≌ △EDN,∴ EF=EN,∴ EF2 =AE2 +CF2 . 第二章情境测试卷 一、选择题 1. C　 2. C　 3. C　 4. C 5. B　 【解析】∵ x=m 是方程 x2 +x-1 = 0 的根,∴ m2 +m-1 = 0,∴ m2 +m= 1,∴ m2 +m+2 027 = 1+2 027 = 2 028. 故选 B. 6. B 7. B　 【解析】Δ=(2k+1) 2 -4k2 >0 且 k2 ≠0,解得 k>- 1 4 且 k ≠0. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的根的判别 式 Δ= b2 -4ac:当 Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当 Δ = 0,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0,方程没有实数根. 8. B　 【解析】利用一元二次方程的根与系数的关系得 x1 + x2 = 12,x1x2 =m,若 x1 = 4,则 x2 = 8,不成立(根据三角形两 边之和大于第三边),所以 x1 = x2 = 6,则 m= 36. 故选 B. 9. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a-1)x2 +(2a-4)x +a+1 = 0 有实数解,∴ a-1≠0 且 Δ=(2a-4) 2 -4(a-1)(a +1)≥0,解得 a≤ 5 4 且 a≠1. 解关于 x 的分式方程 a x-1 + x+2a 1-x = -3 得 x=a +3 2 ,∵ 方程有正数解,∴ a +3 2 >0 且a +3 2 ≠ 1,解得 a>-3 且 a≠-1,∴ a 的取值范围为-3<a≤ 5 4 且 a ≠±1,∴ 符合条件的整数 a 的值是- 2,0,即符合条件的 整数 a 有 2 个. 故选 B. 10. B　 【解析】设剪去正方形的边长为 xcm,则底面的长为 (10-2x)cm,宽为12 -2x 2 = 6-x,由题意,得(10- 2x) (6- x)= 24,整理,得 x2 - 11x+ 18 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 9(舍 去),故剪去的正方形的边长为 2cm. 故选 B. 二、填空题 11. 2 12. -6　 【解析】∵ 1 2 x2 +x- 5 2 = 0,∴ 1 2 (x2 +2x-5)= 0,∴ 1 2 [(x+1) 2 -6] = 0. ∵ 可配方为 1 2 [(x+1) 2 +k] = 0,∴ k = - 6. 13. 13　 【解析】设该群一共有 x 人,依题意得 x( x- 1) = 156,解得 x1 = - 12(舍去),x2 = 13,即这个群一共有 13 人. 14. 36　 【解析】设这位风流人物去世时的年龄个位上的数 是 x,则十位上的数是 x- 3,由题意得,10(x- 3) +x = x2, 解得 x1 = 5,x2 = 6,当 x= 5 时,这位风流人物的年龄为 25 岁,不符合而立之年,舍去,当 x = 6 时,这位风流人物的 年龄为 36 岁,符合题意. 15. 2 或-1　 【解析】分两种情况:①当(x-1) 2 <x2 即 x> 1 2 时,∴ (x-1) 2 = 1,解得 x = 2 或 0. ∵ x = 0 时,不符合题 意,∴ x= 2;②当(x-1) 2 >x2,即 x< 1 2 时,x2 = 1,解得 x = 1 或-1,∵ x= 1 不符合题意,∴ x= -1. 综上,x= 2 或-1. 三、16. 解:(1)方程整理得(x-2)(x+1)= 0,∴ x-2 = 0 或 x+ 1 = 0,解得 x1 = 2,x2 = -1. (2) 方程整理得:x2 + 2x = 399,配方得:x2 + 2x+ 1 = 400,即(x+1) 2 = 400,开方得:x+1 = ± 20,解得 x1 = - 21,x2 = 19. 17. 解:(1)△ABC 是直角三角形. 理由:∵ 方程有两个相 等的实数根,∴ (2b) 2 -4(a+c) (a-c)= 0,∴ 4b2 -4a2 +4c2 = 0,∴ a2 = b2 +c2 ,∴ △ABC 是直角三角形; (2)当△ABC 是等边三角形时,a = b = c,∵ (a+c) x2 + 2bx+(a-c)= 0,∴ 2ax2 +2ax= 0,∵ a>0,∴ x2 +x = 0. 解 得 x1 = 0,x2 = -1. 18. (1)证明:由题意可知:当 m≠0 时,Δ = (m+2) 2 -8m =m2 +4m+4-8m=m2 -4m+4 = (m-2) 2 ,∴ Δ≥0,故不 论 m 为何值时,方程一定有两个实数根; (2)解:由题意可知:Δ>0,∴ m≠2. ∵ mx2 -(m+2)x+ 2 = 0,∴ (x-1) (mx-2)= 0,∴ x = 1 或 x = 2 m . ∵ 方程 有两个不相等的整数根,∴ m = ±1 或 m = -2,∴ 整数 m 的值为 1 或-1 或-2. 19. 解:(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 x,根据题意得 2. 5(1+x) 2 = 3. 6,解得 x1 = 0. 2 = 20%, x2 = -2. 2(不合题意舍去),故该养殖场蛋鸡产蛋量 的月平均增长率为 20%. (2)3. 6×(1+20%)= 4. 32 万(kg),4. 32÷0. 32 = 13. 5 ≈14(个),3. 6÷0. 32 = 11. 25≈12(个),∴ 14-12 = 2 (个),故至少再增加 2 个销售点. 20. 解:(1)设养鸡场的宽为 x m,根据题意得:x(33-2x+ 2)= 150,解得 x1 = 10,x2 = 7. 5,当 x1 = 10 时,33-2x+ 2 = 15<18,当 x2 = 7. 5 时,33-2x+2 = 20>18(舍去), 则养鸡场的宽是 10 m,长为 15 m. (2)根据题意得 x(33-2x+2)= 200. 整理得:2x2 -35x +200 = 0,Δ= (-35) 2 -4×2×200 = 1 225-1 600 = -375 <0,因为方程没有实数根,所以围成养鸡场的面积不 能达到 200 m2 . 21. 解:(1)当 x≥0 时,原方程化为:x2 -x-6 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -2(舍去);当 x<0 时,原方程化为:x 2 +x- 6 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 2(舍去) . 所以,原方程的根是 x1 = 3 或 x2 = -3. (2)当 x-5≥0 即 x≥5 时,原方程化为 x2 -(x-5) -5 = 0 即 x2 -x= 0,解得 x1 = 0(舍去),x2 = 1(舍去);当 x -5<0 即 x<5 时,原方程化为 x2 +(x-5)-5 = 0 即 x2 + x-10 = 0,解得 x1 = -1+ 41 2 ,x2 = -1- 41 2 ,∴ 原方程 的根为 x1 = -1+ 41 2 或 x2 = -1- 41 2 . —72— 22. 解:(1) 设通道的宽为 x 米,根据题意,得(52- 2x) (28-2x)= 640,∴ x2 - 40x+ 204 = 0,∴ (x- 6) (x- 34) = 0,∴ x1 = 6,x2 = 34(不符合实际,舍去),故通道的 宽是 6 米; (2)设每个车位的月租金上涨 a 元,停车场的月租金 收入为 14 400 元. 根据题意,得(200+a) (64- a 10 ) = 14 400,整理,得 a2 -440a+16 000 = 0,解得 a1 = 400, a2 = 40. ∵ 400 + 200 > 500,∴ a = 400 不符合题意,舍 去,∴ a= 40. 故每个车位的月租金应上涨 40 元时, 停车场的月租金收入为 14 400 元. 23. 解:(1)∵ 实数 a,b,(a≠b)满足 a2 -7a-2 = 0,b2 -7b- 2 = 0,∴ 可将 a,b 看作一元二次方程 x2 -7x-2 = 0 的 两个不等实数根,∴ a+b = 7,ab = - 2,∴ a+b-ab = 7- (-2)= 9; (2)在方程 2n2 + 7n- 3 = 0 的两边同时除以-n2 得 3 ( 1 n ) 2 -7× 1 n -2 = 0,又∵ 实数 m 满足 3m2 - 7m- 2 = 0,且 mn≠1,∴ 可将 m, 1 n 看作一元二次方程 3x2 -7x -2 = 0 的两个不等实数根,∴ m+ 1 n = 7 3 , m n = - 2 3 ,∴ mn+1 mn+m+1 = m+ 1 n m+ 1 n + m n = 7 3 7 3 - 2 3 = 7 5 . 第三章情境测试卷 一、选择题 1. D　 2. C　 3. B　 4. D　 5. B 6. B　 【解析】画树状图如下: 由树状图知,共有 9 种等可能的结果,其中两次摸出的小 球所标数字之和为 4 的有 3 种结果,所以两次记录的数 字之和为 4 的概率是 P= 3 9 = 1 3 . 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨:本题考查的是用列表法或树状图法求概率. 列 表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果,适合于 两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的 事件;解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验. 7. D　 【解析】画树状图如图: 共有 6 种等可能的结果,其中该点在坐标轴上的结果有 4 种,∴ 该点在坐标轴上的概率为 P= 4 6 = 2 3 .故选 D. 8. B　 【解析】画树状图得: 共有 6 种等可能的结果,能让灯泡 L1 发光的有 2 种,∴ 能 让灯泡 L1 发光的概率为 P= 2 6 = 1 3 . 故选 B. 9. C　 【解析】五种图形中,属于中心对称图形的有:平行四 边形、菱形、线段,将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、 线段分别记作 A,B,C,D,E,列表可得: A B C D E A AB AC AD AE B BA BC BD BE C CA CB CD CE D DA DB DC DE E EA EB EC ED 共有 20 种等可能的结果,其中抽取的两个都是中心对称 图形的有 6 种,∴ P(抽取的两个都是中心对称图形)= 6 20 = 3 10 . 故选 C. 10. D 二、填空题 11. 1 6 12. 1 9 　 【解析】画树状图如图: 由树状图知,共有 9 种等可能的结果,其中小明到两个 路口时都遇到红灯的结果为 1 种,∴ 小明在上学路上到 两路口时都遇到红灯的概率为 1 9 . 13. 1 6 　 【解析】画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中他们选取的诗句恰好出 自同一首诗的结果有 2 种,则他们选取的诗句恰好出自 同一首诗的概率为 2 12 = 1 6 . 14. 不公平　 15. 0. 94 三、16. 解:(1)列表如下: 帽子　 　 围巾 E F A (A,E) (A,F) B (B,E) (B,F) C (C,E) (C,F) (2)由(1)得:共有 6 种等可能的结果,小赵恰好选 中她所喜欢的 B 款帽子和 F 款围巾的结果有 1 种, ∴ 小赵恰好选中她所喜欢的 B 款帽子和 F 款围巾的 概率为 1 6 . —82—