第一章 特殊平行四边形 情境测试卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

第 1 页 第 2 页 第一章情境测试卷 测试时间:100 分钟　 测试分数:120 分　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列说法正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线互相垂直且相等 D. 平行四边形的对角线相等 2. 若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得四 边形是矩形,则四边形 ABCD 必然是(　 　 ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 3. 如图,在菱形 ABCD 中,AB = 5,AC+BD = 14, 则菱形 ABCD 的面积为(　 　 ) A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,P 是边长为 2 的正方形 ABCD 的对角 线 BD 上的一点,点 E 是 AB 的中点,则 PA+ PE 的最小值是(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 1+ 2 D. 2 2 5. 生活情境·猫捉老鼠 如图,有一架梯子斜靠 在与地面(OM) 垂直的墙(ON) 上,在墙角 (点 O 处) 有一只猫紧紧盯住位于梯子 (AB)正中间(点 P 处)的老鼠,等待与老鼠 距离最小时扑捉,把梯子、猫和老鼠都理想 化为同一平面内的线或点,模型如图,若梯 子 A 端沿墙下滑,且梯子 B 端沿地面向右滑 行. 在 此 滑 动 过 程 中, 猫 与 老 鼠 的 距 离(　 　 ) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 无法判断 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 点 O,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,连接 OH, 若 OA= 6,OH= 4,则菱形 ABCD 的面积为 (　 　 ) A. 24 7 B. 48 C. 72 D. 96 7. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交 于点 O,DF 垂直平分 OC,交 AC 于点 E,交 BC 于点 F,连接 AF. 若 AB = 3 ,则 AF 的长 为(　 　 ) A. 7 B. 2 2 C. 3 D. 10 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,由两个长为 8、宽为 4 的全等矩形叠合 而得到四边形 ABCD,则四边形 ABCD 面积 的最大值是(　 　 ) A. 15 B. 16 C. 19 D. 20 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 10 cm,点 E 在 边 AD 上,且 AE = 6 cm,动点 P 在边 AB 上, 从点 A 出发以 2 cm / s 的速度向点 B 运动, 同时点 Q 在边 BC 上,以 v cm / s 的速度由点 B 向点 C 运动. 当△EAP 与△PBQ 全等时,v 的值为(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 4 或 6 5 D. 2 或12 5 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC,CD 上,△AEF 是等边三角形,连接 AC 交 EF 于点 G. 下列结论: ①BE = DF; ② ∠DAF= 15°;③AC 垂直平分 EF;④BE+DF =EF;⑤S△CEF = 2S△ABE . 其中正确的结论有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相 交于点 O,∠OAD= 63°,则∠OBA 的度数为 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. 如图,P 为 AB 上任意一点,分别以 AP、PB 为边在 AB 同侧作正方形 APCD、正方形 PBEF,设∠CBE = 25°,则∠AFP 的度数为 　 　 　 　 . 13. 如图,矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O, 过点 O 作 AC 的垂线 EF,分别交 AD、BC 于 点 E、F,连接 CE. 已知△CDE 的周长为 24 cm,则矩形 ABCD 的周长是　 　 　 　 cm. 第 13 题图 　 　 第 14 题图 14. 如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方 形,以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第 二个正方形 ACEF,再以第二个正方形的对 角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此 下去……,记正方形 ABCD 的边长 a1 = 1, 依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4,……,则 an = 　 　 　 　 . 15. 学习情境·叠纸游戏 小明和同学玩纸条重 叠游戏,他将两个宽度都为 2 厘米的足够 长纸条重叠在一起,得到了四边形 ABCD, 即直线 AB 与 CD 的距离为 2 厘米,直线 AD 与 BC 的距离为 2 厘米,如图所示,则四 边形 ABCD 面积的最小值为　 　 　 　 平方 厘米. 三、解答题(本大题 8 小题,共 75 分) 16. (9 分)如图,在菱形 ABCD 中,过点 D 分别 作 DE⊥AB 于点 E,作 DF⊥BC 于点 F. 求 证:AE=CF. 17. 中考新趋势·开放性试题 (8 分)数学课上, 王老师出示了一道例题:如图,在平行四边 形 ABCD 中,O 为对角线 AC 的中点,过点 O 的直线 EF 分别交 BC,AD 于 E,F 两点,连 接 AE,CF.求证:四边形 AECF 是菱形. 全班同学经过分组讨论后认为:四边形 AECF 一定是平行四边形,要想证明该四边 形是菱形还应当添加一个条件. 小明认为: 应当添加 AE =AF. 小刚认为:应当添加 EF ⊥AC. 请你从小明和小刚添加的条件中选 第 3 页 第 4 页 一个完成该题的证明. (1)添加的条件是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)证明: 18. (9 分)如图,在△ABC 中,D、E 分别为边 AB、AC 的中点,连接 DE,并延长 DE 到点 F,使 EF=DE,连接 AF、CF、CD. (1)求证:DE∥BC,DE= 1 2 BC. (2)用“矩形、菱形、正方形”填空: ①当 BC⊥AC 时,四边形 ADCF 是 　 　 　 　 　 　 ; ②当 BC=AC 时,四边形 ADCF 是　 　 　 　 　 　 ; ③当 BC=AC,且 BC⊥AC 时,四边形 ADCF 是　 　 　 　 . 19. (9 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC⊥ BC,过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E,点 M 为 AB 的中点,连接 CM. (1)求证:四边形 ADEC 是矩形; (2)若 CM = 5,且 AC = 8,求四边形 ADEB 的面积. 20. (9 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,E、F 分 别是边 AB,CD 上的点,AE = CF,连接 EF、 BF,EF 与对角线 AC 交于点 O,且 BE=BF, ∠BEF= 2∠BAC. (1)求证:OE=OF; (2)若 AC= 6 3 ,求 AB 的长. 21. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,D 是 BC 上任一点,AD=AE,且∠BAC= ∠DAE. (1)若 ED 平分∠AEC,求证:CE∥AD; (2)若∠BAC = 90°,且 D 在 BC 中点时,试 判断四边形 ADCE 的形状,并说明你的理 由. 22. (10 分)如图,矩形 ABCD 中,EF 垂直平分 对角线 BD,垂足为 O,点 E 和 F 分别在边 AD,BC 上,连接 BE,DF. (1)求证:四边形 BFDE 是菱形; (2)若 AE=OF,求∠BDC 的度数. 23. (11 分)(1)如图①,点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 AB、BC 上,∠EDF = 45°,连接 EF,求证:EF=AE+FC; (2)如图②,点 E,F 在正方形 ABCD 的对 角线 AC 上,∠EDF = 45°,猜想 EF、AE、FC 的数量关系,并说明理由. 图① 　 　 　 图② 长度,得到直线 y= x+k,∴ 把 C( 1 3 ,3)代入得 3 = 1 3 +k,解 得 k= 8 3 . 故选 D. 6. ( 5 4 ,4)　 【解析】∵ C 为 AD 中点,C(0,-2),∴ yA = -4. ∵ 点 A、B 关于原点 O 对称,∴ B 点的纵坐标为 4,∵ S△ABD = | k | = 5,k>0,∴ k= 5,∴ 4 = 5 x ,∴ x= 5 4 ,∴ B( 5 4 ,4) . 7. 解:(1) ∵ 反比例函数 y = k2 x (k2 ≠0)的图象过点 A( - 1, 3),∴ k2 = -1×3 = -3,∴ 反比例函数的表达式为:y = - 3 x . ∵ 反比例函数 y= - 3 x 的图象过点 B(n,- 3 2 ),∴ - 3 2 n = -3,解得 n= 2. ∵ 一次函数 y = k1x+b(k1 ≠0)过点 A( -1, 3),B(2,- 3 2 ),∴ -k1 +b= 3 2k1 +b= - 3 2 { ,解得 k1 = - 3 2 b= 3 2 ì î í ï ï ï ï ,∴ 一次函 数的表达式为:y= - 3 2 x+ 3 2 ; (2)∵ 一次函数 y= - 3 2 x+ 3 2 与 x 轴交于点 C,∴ C(1,0) . 设点 P 的坐标为( t,0),∴ CP = | t- 1 | ,∴ S△APB = S△ACP + S△PBC = 1 2 · | t-1 | ·yA+ 1 2 · | t-1 | · | yB | = 1 2 · | t-1 | · 9 2 = 9, | t- 1 | = 4. 解得 t = - 3 或 t = 5,∴ 点 P 的坐标为 (-3,0)或(5,0) . 8. D 9. 解:(1)12 (2)图象如图所示: (3)根据图象可设解析式为:F = k L (L>0),把(10,30)代 入解析式可得:k= 300,∴ F 与 L 的函数关系式为:F = 300 L (L>0) . 􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 􀦸 􀦸 􀦸􀦸《情境测试卷》答案 第一章情境测试卷 一、选择题 1. C　 2. B　 3. C 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ 点 A 与点 C 关 于 BD 对称,连接 CE 交 BD 于点 P,此时 PA+PE=PC+PE =EC. ∴ 此时 PA+PE 的值最小,最小值为线段 CE 的长. ∵ AB=BC= 2,点 E 是 AB 的中点,∴ BE = 1 2 AB = 1. ∴ CE = BC2 +BE2 = 22 +12 = 5 . 故选 A. 5. A　 【解析】连接 OP,根据题意知,点 P 是直角△AOB 斜 边的中点,则 OP 是直角△AOB 斜边上的中线,则 OP= 1 2 AB,由于 AB 的长度不变,则 OP 的长度不变. 故选 A. 6. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OA = OC = 6,OB = OD,AC⊥BD. ∴ AC= 12. ∵ DH⊥AB,∴ ∠BHD= 90°. ∴ BD = 2OH= 2×4 = 8. ∴ 菱形 ABCD 的面积 = 1 2 AC·BD = 1 2 × 12×8 = 48. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　技巧点拨:本题主要考查菱形的性质、直角三角形斜边中 线定理及求菱形面积等知识,求出 BD 长是解题关键. 由 菱形性质可求得 AC= 12,根据直角三角形斜边中线定理 求出 BD 的长,再由菱形面积公式求解即可. 7. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB =CD = 3,AO = CO=BO=DO. ∵ DF 垂直平分 OC,∴ OD =DC,∴ OD =DC =OC = 3,∴ △ODC 是等边三角形,∴ ∠ACD = 60°. ∴ ∠CAD= 30°. ∴ AC = 2 3,∴ BC = AC2 -AB2 = 12-3 = 3. ∵ DE⊥AC,∴ ∠CDE = ∠ODE = 30°,∴ DF = 2CF,∵ CF2 +CD2 =DF2,∴ CF = 1,∴ BF = 2,∴ AF = AB2 +BF2 = 3+4 = 7 . 故选 A. 8. D　 【解析】作 BE⊥DC 于点 E,AF⊥ BF 于点 F. ∵ AD∥BC,AB∥CD,∴ 四 边形 ABCD 是平行四边形. ∵ 两个矩 形的宽 都 是 4, ∴ BE = BF = 4. ∵ S四边形ABCD =BF·BC = BE·CD,∴ BC = CD,∴ 平行四边形 ABCD 是菱形. 如图,当菱形的一条对角线为矩形的对角 线时,四边形 ABCD 的面积最大,设 AB =BC = x,则 CE = 8 -x. ∵ BC2 =CE2 +BE2,∴ x2 = (8-x) 2 +42,解得 x = 5,∴ 四 边形 ABCD 面积的最大值是 5×4 = 20. 故选 D. 9. D　 【解析】当△EAP 与△PBQ 全等时有两种情况:①当 △APE≌△BQP 时,AP=BQ,AE =BP = 6,∴ AP = 10-BP = 4,运动时间为 4÷ 2 = 2( s),则 v = 4÷ 2 = 2( cm / s);②当 △APE≌△BPQ 时,AP=BP= 5,AE=QB= 6,运动时间为 5 ÷2 = 2. 5(s),则 v = 6÷ 2. 5 = 12 5 ( cm / s) . 综上,v 的值为 2 或 12 5 . 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定 与性质等知识点,数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性 质及定理是解题的关键. 10. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC =CD = AD,∠B = ∠BCD = ∠D = ∠BAD = 90°. ∵ △AEF 等边三 角形,∴ AE = EF = AF,∠EAF = 60°. ∴ ∠BAE+ ∠DAF = 30°. 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中, AE=AF AB=AD{ ,∴ Rt△ABE≌ Rt△ADF,∴ BE=DF. 故①正确. ∴ ∠BAE= ∠DAF = 15°. 故②正确. ∵ BC=CD,∴ BC-BE=CD-DF,即 CE=CF. ∵ AE=AF,∴ AC 垂直平分 EF. 故③正确. 设 EC = x,则 CF = x. 由勾股定理,得 AE =EF = 2 x,CG = 2 2 x = EG,∴ AG = AE2 -EG2 = 6 2 x,∴ AC = 6 2 x+ 2 2 x,∴ AB = 3 x +x 2 ,∴ —52— BE= 3 x +x 2 -x= 3 x -x 2 ,∴ BE+DF= 3 x-x≠ 2 x. 故④错 误. ∵ S△CEF = x2 2 , S△ABE = 3 x-x 2 · 3 x +x 2 × 1 2 = x 2 4 ,∴ 2S△ABE = x2 2 =S△CEF,故⑤正确. 综上所述,正确的有 4 个. 故选 D. 二、填空题 11. 27° 12. 65°　 【解析】∵ 四边形 PBEF 为正方形,∴ ∠PBE = 90°. ∵ ∠CBE = 25°,∴ ∠PBC = 90° - 25° = 65°. ∵ 四边形 APCD、PBEF 是正方形,∴ AP = CP,∠APF = ∠CPB = 90°,PF = PB. ∴ △APF ≌ △CPB ( SAS ) . ∴ ∠AFP = ∠PBC= 65°. 13. 48　 14. ( 2 ) n-1 15. 4　 【解析】作 AE⊥BC 于点 E,AF⊥DC 于点 F,∵ AB∥ CD,AD∥CB,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ 直线 AB 与 CD 的距离为 2 厘米,直线 AD 与 BC 的距离为 2 厘 米,∴ AE=AF= 2. ∵ S四边形ABCD =BC·AE=CD·AF,∴ 2BC = 2CD,∴ BC = CD,∴ 四边形 ABCD 是菱形,∴ BC = AB. ∵ AB≥AE,∴ AB≥2,∴ AB 的最小值为 2,∴ BC 的最小 值为 2. ∵ S四边形ABCD = BC·AE = 2BC,∴ 当 BC = 2 时, S四边形ABCD 最小= 2×2 = 4. 三、16. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD =CD,∠A = ∠C. ∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ BC, ∴ ∠AED = ∠CFD = 90°, 在 △ADE 和 △CDF 中 ∠AED=∠CFD ∠A=∠C AD=CD { , ∴ △ADE ≌ △CDF,∴ AE=CF. 17. 证明:(1)AE=AF (2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,OA = OC, ∴ ∠FAO = ∠ECO, 在 △AOF 与 △COE 中, ∠AOF= ∠COE OA=OC ∠FAO= ∠ECO { ,∴ △AOF≌△COE( ASA),∴ AF = CE,∴ 四边形 AECF 是平行四边形, ∵ AE = AF, ∴ ▱AECF 是菱形. (答案不唯一) 18. (1)证明:∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点,∴ AD = DB,AE=EC. ∵ EF = DE = 1 2 DF,∴ 四边形 ADCF 是 平行四边形,∴ AD∥CF,AD = CF,∴ BD = CF,BD∥ CF,∴ 四边形 DBCF 是平行四边形,∴ FD =CB,FD∥ CB,∴ DE∥BC,DE= 1 2 BC; (2)①菱形　 ②矩形　 ③正方形 19. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 在 BC 的延长线上,∴ DA∥CB,即 DA∥CE. ∵ DE∥AC,∴ 四 边形 ADEC 是平行四边形. ∵ AC⊥BC,∴ ∠ACB = ∠ACE= 90°,∴ 平行四边形 ADEC 是矩形. (2)解:∵ 点 M 为斜边 AB 的中点,且 CM = 5,AC = 8, ∴ AB = 2CM = 2 × 5 = 10, ∴ BC = AB2 -AC2 = 102 -82 = 6. 由( 1) 可知,平行四边形 ADEC 是矩 形,∴ AC=DE= 8,AD =CE =BC = 6,BE = 6+6 = 12,∴ S四边形ADEB = (AD+BE)·AC 2 = (6+12)×8 2 = 72. 20. ( 1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB∥CD, ∴ ∠CAE= ∠ACF,∠CFO = ∠AEO,在△AOE 和△COF 中, ∠CAE= ∠ACF AE=CF ∠AEO= ∠CFO { ,∴ △AOE≌△COF. ∴ OE=OF. (2)解:连接 OB,∵ BF =BE,OE =OF,∴ BO⊥EF. 由 (1)知△AOE≌△COF,∴ OA=OC. ∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ ∠ABC = 90°,∴ BO = 1 2 AC = OA,∴ ∠BAC = ∠OBA,又∵ ∠BEF= 2∠BAC,∴ ∠BEF = 2∠OBE. 在 Rt△OBE 中,∠BEO+∠OBE = 90°,∴ ∠OBE = ∠BAC = 30°,∴ BC= 1 2 AC= 3 3,∴ AB= AC2 -BC2 = 9. 21. (1)证明:∵ AD=AE,∴ ∠ADE= ∠AED. 又∵ ED 平分 ∠AEC,∴ ∠DEC= ∠AED. ∴ ∠ADE= ∠DEC. ∴ CE∥ AD. (2)解:四边形 ADCE 是正方形,理由如下:∵ AB = AC,D 是 BC 的中点,∴ AD⊥BC,即∠ADC = 90°. 又 ∵ ∠DAE= ∠BAC = 90°,∴ ∠ADC+∠DAE = 180°. ∴ AE∥CD. 又∵ ∠BAC = 90°,且 D 是 BC 的中点,∴ AD =CD. ∵ AD=AE. ∴ AE =CD. ∴ 四边形 ADCE 是平行 四边形. ∵ ∠ADC = 90°,AD =CD,∴ 四边形 ADCE 是 正方形. 22. ( 1) 证明: ∵ EF 垂直平分对角线 BD, ∴ ∠DOE = ∠BOF= 90°,OB=OD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD ∥BC, ∴ ∠DEO = ∠BFO. 在 △DEO 和 △BFO 中, ∠DOE= ∠BOF ∠DEO= ∠BFO, OD=OB { ∴ △DEO≌△BFO(AAS),∴ DE = BF,∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. ∵ EF⊥BD,∴ 四 边形 BFDE 是菱形; (2)解:四边形 ABCD 是矩形,∴ AB=CD,∠A= ∠C = 90°. ∵ ∠BOF = 90°, ∴ ∠A = ∠BOF = 90°. 在 Rt △BAE 和 Rt △BOF 中, BE=BF AE=OF{ , ∴ Rt △BAE≌ Rt △BOF(HL),∴ AB = OB. ∵ AB = CD,OB = OD,∴ CD = 1 2 BD. 连接 OC. ∵ ∠BCD = 90°,O 为 BD 中点,∴ OC = 1 2 BD = OD = CD. ∴ △OCD 为等边三角形. ∴ ∠BDC= 60°. 23. 证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC =CD =AD,∠B = ∠C = ∠ADC = ∠DAB = 90°,延长 BA,使 AM = CF, 连 接 MD, 在 △AMD 和 △CFD 中, AM=CF ∠MAD= ∠C AD=CD { , ∴ △AMD ≌ △CFD, ∴ ∠MDA = ∠CDF,MD=DF. ∵ ∠EDF= 45°,∴ ∠ADE+∠FDC = 45°,∴ ∠ADM + ∠ADE = 45° = ∠MDE, ∴ ∠MDE = ∠EDF,在△EDM 和△EDF 中, MD=DF ∠MDE= ∠FDE DE=DE { ,∴ △EDM≌△EDF,∴ EF = EM. ∵ EM = AM+AE = AE+ —62— CF,∴ EF=AE+CF. (2)EF2 =AE2 +CF2 ,理由如下:将△CDF 绕点 D 顺时 针旋转 90°,可得△ADN,连接 NE. 由旋转的性质可 得 DN =DF,AN =CF,∠DAN = ∠DCF = 45°,∠CDF = ∠ADN,∴ ∠CAN= ∠CAD+∠DAN = 90°,∴ EN2 = AE2 +AN2 =AE2 +CF2 . ∵ ∠EDF = 45°,∴ ∠CDF+∠ADE = 45°,∴ ∠ADE + ∠ADN = 45° = ∠NDE = ∠EDF, 在 △EDF 和△EDN 中, DF=DN ∠FDE= ∠NDE DE=DE { , ∴ △EDF≌ △EDN,∴ EF=EN,∴ EF2 =AE2 +CF2 . 第二章情境测试卷 一、选择题 1. C　 2. C　 3. C　 4. C 5. B　 【解析】∵ x=m 是方程 x2 +x-1 = 0 的根,∴ m2 +m-1 = 0,∴ m2 +m= 1,∴ m2 +m+2 027 = 1+2 027 = 2 028. 故选 B. 6. B 7. B　 【解析】Δ=(2k+1) 2 -4k2 >0 且 k2 ≠0,解得 k>- 1 4 且 k ≠0. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的根的判别 式 Δ= b2 -4ac:当 Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当 Δ = 0,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0,方程没有实数根. 8. B　 【解析】利用一元二次方程的根与系数的关系得 x1 + x2 = 12,x1x2 =m,若 x1 = 4,则 x2 = 8,不成立(根据三角形两 边之和大于第三边),所以 x1 = x2 = 6,则 m= 36. 故选 B. 9. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a-1)x2 +(2a-4)x +a+1 = 0 有实数解,∴ a-1≠0 且 Δ=(2a-4) 2 -4(a-1)(a +1)≥0,解得 a≤ 5 4 且 a≠1. 解关于 x 的分式方程 a x-1 + x+2a 1-x = -3 得 x=a +3 2 ,∵ 方程有正数解,∴ a +3 2 >0 且a +3 2 ≠ 1,解得 a>-3 且 a≠-1,∴ a 的取值范围为-3<a≤ 5 4 且 a ≠±1,∴ 符合条件的整数 a 的值是- 2,0,即符合条件的 整数 a 有 2 个. 故选 B. 10. B　 【解析】设剪去正方形的边长为 xcm,则底面的长为 (10-2x)cm,宽为12 -2x 2 = 6-x,由题意,得(10- 2x) (6- x)= 24,整理,得 x2 - 11x+ 18 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 9(舍 去),故剪去的正方形的边长为 2cm. 故选 B. 二、填空题 11. 2 12. -6　 【解析】∵ 1 2 x2 +x- 5 2 = 0,∴ 1 2 (x2 +2x-5)= 0,∴ 1 2 [(x+1) 2 -6] = 0. ∵ 可配方为 1 2 [(x+1) 2 +k] = 0,∴ k = - 6. 13. 13　 【解析】设该群一共有 x 人,依题意得 x( x- 1) = 156,解得 x1 = - 12(舍去),x2 = 13,即这个群一共有 13 人. 14. 36　 【解析】设这位风流人物去世时的年龄个位上的数 是 x,则十位上的数是 x- 3,由题意得,10(x- 3) +x = x2, 解得 x1 = 5,x2 = 6,当 x= 5 时,这位风流人物的年龄为 25 岁,不符合而立之年,舍去,当 x = 6 时,这位风流人物的 年龄为 36 岁,符合题意. 15. 2 或-1　 【解析】分两种情况:①当(x-1) 2 <x2 即 x> 1 2 时,∴ (x-1) 2 = 1,解得 x = 2 或 0. ∵ x = 0 时,不符合题 意,∴ x= 2;②当(x-1) 2 >x2,即 x< 1 2 时,x2 = 1,解得 x = 1 或-1,∵ x= 1 不符合题意,∴ x= -1. 综上,x= 2 或-1. 三、16. 解:(1)方程整理得(x-2)(x+1)= 0,∴ x-2 = 0 或 x+ 1 = 0,解得 x1 = 2,x2 = -1. (2) 方程整理得:x2 + 2x = 399,配方得:x2 + 2x+ 1 = 400,即(x+1) 2 = 400,开方得:x+1 = ± 20,解得 x1 = - 21,x2 = 19. 17. 解:(1)△ABC 是直角三角形. 理由:∵ 方程有两个相 等的实数根,∴ (2b) 2 -4(a+c) (a-c)= 0,∴ 4b2 -4a2 +4c2 = 0,∴ a2 = b2 +c2 ,∴ △ABC 是直角三角形; (2)当△ABC 是等边三角形时,a = b = c,∵ (a+c) x2 + 2bx+(a-c)= 0,∴ 2ax2 +2ax= 0,∵ a>0,∴ x2 +x = 0. 解 得 x1 = 0,x2 = -1. 18. (1)证明:由题意可知:当 m≠0 时,Δ = (m+2) 2 -8m =m2 +4m+4-8m=m2 -4m+4 = (m-2) 2 ,∴ Δ≥0,故不 论 m 为何值时,方程一定有两个实数根; (2)解:由题意可知:Δ>0,∴ m≠2. ∵ mx2 -(m+2)x+ 2 = 0,∴ (x-1) (mx-2)= 0,∴ x = 1 或 x = 2 m . ∵ 方程 有两个不相等的整数根,∴ m = ±1 或 m = -2,∴ 整数 m 的值为 1 或-1 或-2. 19. 解:(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 x,根据题意得 2. 5(1+x) 2 = 3. 6,解得 x1 = 0. 2 = 20%, x2 = -2. 2(不合题意舍去),故该养殖场蛋鸡产蛋量 的月平均增长率为 20%. (2)3. 6×(1+20%)= 4. 32 万(kg),4. 32÷0. 32 = 13. 5 ≈14(个),3. 6÷0. 32 = 11. 25≈12(个),∴ 14-12 = 2 (个),故至少再增加 2 个销售点. 20. 解:(1)设养鸡场的宽为 x m,根据题意得:x(33-2x+ 2)= 150,解得 x1 = 10,x2 = 7. 5,当 x1 = 10 时,33-2x+ 2 = 15<18,当 x2 = 7. 5 时,33-2x+2 = 20>18(舍去), 则养鸡场的宽是 10 m,长为 15 m. (2)根据题意得 x(33-2x+2)= 200. 整理得:2x2 -35x +200 = 0,Δ= (-35) 2 -4×2×200 = 1 225-1 600 = -375 <0,因为方程没有实数根,所以围成养鸡场的面积不 能达到 200 m2 . 21. 解:(1)当 x≥0 时,原方程化为:x2 -x-6 = 0,解得 x1 = 3,x2 = -2(舍去);当 x<0 时,原方程化为:x 2 +x- 6 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 2(舍去) . 所以,原方程的根是 x1 = 3 或 x2 = -3. (2)当 x-5≥0 即 x≥5 时,原方程化为 x2 -(x-5) -5 = 0 即 x2 -x= 0,解得 x1 = 0(舍去),x2 = 1(舍去);当 x -5<0 即 x<5 时,原方程化为 x2 +(x-5)-5 = 0 即 x2 + x-10 = 0,解得 x1 = -1+ 41 2 ,x2 = -1- 41 2 ,∴ 原方程 的根为 x1 = -1+ 41 2 或 x2 = -1- 41 2 . —72—