第二章 6 应用一元二次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

6　 应用一元二次方程 第 1 课时　 动点、变化率问题 动点问题 1. (3 分)如图,在 Rt△ABC 中,AC = 50 m,CB = 40 m,∠C = 90°,点 P 从点 A 开始沿 AC 边向点 C 以 2 m / s 的速度移动,同时另一个 点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 3 m / s 的 速度移动,当点 P 到达点 C,点 Q 到达点 B 时,P、Q 分别停止运动. 当△PCQ 的面积等于 450 m2 时,经过的时间是　 　 　 　 . 2. 社会发展情境·海上巡查 (7 分) 海关缉私巡 逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其 所处位置点 O 的正北方向 10 海里处的 A 点 有一涉嫌走私船只正以 24 海里 /时的速度向 正东方向航行. 为迅速实施检查,巡逻艇调整 好航向,以 26 海里 /时的速度追赶,在涉嫌船 只不改变航向和航速的前提下,巡逻艇需要 几小时才能追上? 3. (8 分)如图,A、B、C、D 为矩形的四个顶点,AB = 16 cm,AD = 6 cm,动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发,点 P 以 3 cm / s 的速度向点 B 移动, 一直到达 B 为止,点 Q 以 2 cm / s 的速度向 D 移动. (1)P、Q 两点从出发开始到几秒时,四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2; (2)P、Q 两点从出发开始到几秒时,点 P 和点 Q 的距离为 10 cm? 变化率 4. (3 分)某家快递公司 5 月份与 7 月份完成投 递的快递总件数分别为 100 万件和 144 万件, 设该快递公司 5 月到 7 月投递总件数的月平 均增长率为 x,则下列方程正确的是(　 　 ) A. 100(1+2x)= 144　 　 　 B. 100(1+x) 2 = 144 C. 100(1-2x)= 144 D. 100(1-x) 2 = 144 5. (3 分) 两年前生产 1 t 某种产品的成本是 5 000 元,随着生产技术的进步,现在生产 1 t 这种产品的成本是 3 200 元,这种产品成本的 年平均下降率是　 　 　 　 　 . 6. 社会发展情境·城市发展 (9 分)某市从 2022 年起连续投入资金用于“建设美丽城市,改造 老旧小区”. 已知每年投入资金的增长率相 73 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 同,其中 2022 年投入资金 1 000 万元,2024 年 投入资金 1 440 万元. (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均 增长率; (2)2024 年老旧小区改造的平均费用为每个 80 万元,2025 年为提高老旧小区品质,每个 小区改造费用计划增加 20%. 如果投入资金 年增长率保持不变,求该市 2025 年最多可以 改造多少个老旧小区? 7. 历史文化情境·博物馆 (8 分)在我国,博物馆 是最受欢迎的旅游景点之一,随着“博物馆 热”持续升温,越来越多的人走进博物馆,了 解文化历史、感受艺术魅力,某城市博物馆, 今年 5 月份接待游客 10 万人,7 月份接待游 客增加到 14. 4 万人. (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均 增长率. (2)如果能保持这个月平均增长率,第三季度 (7 月~ 9 月)该馆接待游客总量能否达到 50 万人? 8. ( 9 分) 如图, 在 △ABC 中, ∠B = 90°, AB = 12 cm,BC = 24 cm,动点 P 从点 A 出发沿边 AB 向点 B 以 2 cm / s 的速度移动,同时动点 Q 从点 B 出发沿边 BC 向点 C 以 4 cm / s 的速度 移动,当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止 运动,设运动时间为 t s. (1)BP = 　 　 　 　 cm,BQ = 　 　 　 　 cm;(用 含 t 的代数式表示) (2)D 是 AC 的中点,连接 PD、QD、PQ,t 为何 值时△PDQ 的面积为 40 cm2? 83 第 2 课时　 营销及其他问题 商品销售问题 1. (3 分)某商品进价为 25 元 / 件,当每件售价为 50 元时,每天能售出 100 件. 经市场调查发 现,每件售价每降低 1 元,则每天可多售出 5 件,店里每天的利润要达到 1 500 元. 若设店 主把该商品每件售价降低 x 元,可列方程为 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 2. (7 分)某商店新进了一批口罩,若按每个盈利 1 元销售,每天可售出 200 个,如果每个口罩 的售价上涨 0. 5 元,则销售量就减少 10 个,问 应将每个口罩涨价多少元时,才能在每天盈 利 480 元的同时尽快销售完? 3. (8 分)某水果商场经销一种高档水果,原价每 千克 50 元,连续两次降价后每千克 32 元,若 每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率; (2)若每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千 克,经市场调查发现,在进货价不变的情况 下,商场决定采取适当的涨价措施. 若每千克 涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克,现该商场 要保证每天盈利 6 000 元,且要尽快减少库 存,那么每千克应涨价多少元? 其他问题 4. 热点情境·奥运会 (3 分)第 24 届北京冬奥会 女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比 赛,单循环比赛共进行了 45 场,共有多少支队 伍参加比赛? (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 8 B. 10 C. 7 D. 9 5. 生活情境·银行存款 (3 分) 某班级前年“五 一”将勤工俭学挣得的班费中 2 000 元按一年 定期存入银行,去年“五一”到期后取出 1 000 元捐给“希望工程”,将剩下的 1 000 元与利息 继续按一年定期存入该银行(年利率不变) , 今年“五一”全部捐给了母校,且今年“五一” 到期后取得本息和 1 107. 45 元. 若该银行一 年定期存款的年利率是 x(本金×利率×期数= 利息,本息和=本金+利息) ,则下列方程正确 的是(　 　 ) A. 1 000 (1+x) 2 = 1 107. 45 B. 2 000x+1 000(1+x) = 1 107. 45 C. 2 000 (1+x) 2 -1000 = 1 107. 45 D. (1 000+2 000x) (1+x) = 1 107. 45 6. (3 分)两个相邻正奇数的积为 143,这两个正 奇数为　 　 　 　 . 7. 社会发展情境·公路改造 (7 分) 某工程队采 用 A、B 两种设备同时对长度为 4 800 米的公 路进行施工改造. 原计划 A 型设备每小时铺 设路面比 B 型设备的 2 倍多 30 米,则 32 小时 恰好完成改造任务. (1)求 A 型设备每小时铺设的路面长度; (2)通过勘察,此工程的实际施工里程比最初 93 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 的 4 800 米多了 1 000 米. 在实际施工中,B 型 设备在铺路效率不变的情况下,时间比原计划 增加了(m+25)小时,同时,A 型设备的铺路速 度比原计划每小时下降了 3m 米,而使用时间 增加了 m 小时,求 m 的值. 8. (7 分)一种传染性极强的疾病,如果有一人患 病,经过两轮传染后有 121 人患病,则每轮传 染中平均一个人传染了多少个人? 9. 热点情境·食品安全 (3 分)第七届绿色食品 产业博览会开幕,某市组建团队参加,在参加 会议前团队每两个人间互送了一次名片,一 共送出 90 张名片,这个团队有　 　 　 　 个人. 10. (8 分)某校有 200 台学生用电脑和 1 台教师 用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感 染,且该电脑病毒传播非常快. 如果一台电 脑被感染,经过两轮感染后就会有 16 台电脑 被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电 脑? (2)若病毒得不到有效控制,　 　 　 　 轮感 染后机房内所有电脑都被感染. 11. (8 分)某饮料批发商店平均每天可售出某款 饮料 300 瓶,售出 1 瓶该款饮料的利润是 1 元. 经调查发现,若该款饮料的批发价每降 低 0. 1 元,则每天可多售出 100 瓶,为了使每 天获得的利润更多,该饮料批发商店决定降 价 x 元销售. (1)当 x 为多少时,该饮料批发商店每天卖 出该款饮料的利润为 400 元? (2)若按照这种降价促销的策略,该饮料批 发商店每天卖出该款饮料的利润能达到 500 元吗? 若能,请求出 x 的值;若不能,请说明 理由. 04 15. 解:由题可知 x1 +x2 = 0,则 x1 +x2 = -(a-2)= 0,a= 2. ∵ b 2 -4ac= (a-2) 2 -4(a2 +4)= 0-32 = -32,∴ Δ<0,则方程无 实数根,所以不存在 a 的值. 16. 解:(1)若方程有两个不相等的实数根,则 Δ = [ -(2k+ 1)] 2 -4(k2 +1)>0,即 4k2 +4k+1-4k2 -4 = 4k-3>0,得 k> 3 4 ; (2)当 k= 3 时,x1 +x2 = - -(2k+1) 1 = 2k+1 = 3×2+1 = 7,∴ 矩形的周长为 2×7 = 14. 17. 解:(1)由题意,得:x1 +x2 = 2(k+1),x1x2 = k 2 +2,∴ (x1 + 1)(x2 +1)= x1x2 +(x1 +x2 )+1 = 2(k+1)+k 2 +2+1 = 8,即 k2 +2k-3 = 0,解得 k1 = -3,k2 = 1. 当 k1 = -3 时,Δ= 4(k+1) 2 -4(k2 +2)= 42 -4×11<0,∴ k= -3 舍去;当 k2 = 1 时,Δ= 4 (k+1) 2 -4(k2 +2)= 42 -4×3>0,∴ k 的值为 1. (2)①s1 = 1,s2 = 3; ②猜想:sn = sn-1 +sn-2 ,证明:根据根的定义,得 α 2 -α-1 = 0,两边都乘以 αn-2 ,得 αn-αn-1 -αn-2 = 0①,同理 βn-βn-1 - βn-2 = 0②. ①+②,得(αn +βn) -(αn-1 +βn-1 ) -(αn-2 +βn-2 ) = 0,因为 sn =α n+βn,sn-1 =α n-1 +βn-1 ,sn-2 =α n-2 +βn-2 ,所以 sn-sn-1 -sn-2 = 0,即 sn = sn-1 +sn-2 . 6　 应用一元二次方程 第 1 课时　 动点、变化率问题 1. 10s 或55 4 s　 【解析】50÷ 2 = 25( s),40÷ 3 = 40 3 ( s) . 设运动 时间为 xs. 当 0<x≤40 3 时,PC=(50-2x)m,CQ= 3xm,依题 意得: 1 2 (50-2x)·3x = 450,整理得:x2 -25x+150 = 0,解 得:x1 = 10,x2 = 15(不合题意,舍去);当 40 3 <x<25 时,PC = (50-2x)m,CQ = 40m,依题意得: 1 2 ×40×(50-2x)= 450, 解得 x= 55 4 . 综上,经过的时间是 10s 或55 4 s. 2. 解:设需 t 小时才能在点 B 处追上,则 AB = 24t,OB = 26t. ∵ ∠OAB = 90°, ∴ OB2 = OA2 + AB2 , 即 102 + ( 24t) 2 = (26t) 2 ,解得 t1 = 1,t2 = -1(舍去),∴ t= 1,即巡逻艇需要 1 小时才能追上涉嫌走私船只. 3. 解:(1) 设运动时间为 x 秒,则 PB = ( 16 - 3x) cm,QC = 2xcm,S四边形PBCQ = 1 2 (16-3x+2x) ×6 = 33,解得 x = 5. 故点 P、Q 两点从出发开始到 5 秒时,四边形 PBCQ 的面积为 33cm2 ; (2)设运动时间为 t 秒时,PQ= 10cm,作 QE⊥AB 于点 E, ∵ ∠A= ∠D = ∠B = ∠C = 90°,∴ 四边形 AEQD、EBCQ 都 为矩形. ∴ QE=AD= 6,BE=CQ= 2tcm. ∵ PA= 3t,CQ=BE= 2t,∴ PE= |16-5t | ,由勾股定理,得(16-5t) 2 +62 = 102 ,解 得 t1 = 4. 8,t2 = 1. 6. 故出发到 1. 6 秒或 4. 8 秒时,点 P 和 点 Q 的距离是 10cm. 4. B 5. 20%　 【解析】设这种产品的年平均下降率为 x,由题意, 得 5 000(1-x) 2 = 3 200. 解得 x1 = 1. 8(舍去),x2 = 0. 2 = 20%,∴ 这种产品成本的年平均下降率为 20%. 6. 解:(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 x,依题意得 1 000(1+x) 2 = 1 440,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(舍去) . ∴ 该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 20%. (2)设该市在 2025 年可以改造 y 个老旧小区,依题意得 80×(1+20%)y≤1 440×(1+20%),解得 y≤18. 又∵ y 为 整数,∴ y 的最大值为 18. ∴ 该市在 2025 年最多可以改 造 18 个老旧小区. 7. 解:(1)设这两个月接待游客人数的月平均增长率为 x, 依题意得 10(1+x) 2 = 14. 4,解得:x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2 (舍去);即这两个月接待游客人数的月平均增长率为 20%; (2)8 月份接待游客人数:14. 4×( 1+ 20% ) = 17. 28(万 人),9 月份接待游客人数:14. 4×(1+20%) 2 = 20. 736 (万 人) . ∴ 第三季度接待游客总人数为:14. 4+17. 28+20. 736 = 52. 416(万人),∵ 52. 416>50,∴ 第三季度(7 月 ~ 9 月) 该馆接待游客总量能达到 50 万人. 8. 解:(1)(12-2t)　 4t (2)由题意可得,0≤t≤6. 过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,过 点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连接 BD. ∵ ∠ABC= 90°,D 是 AC 的中点,∴ BD= 1 2 AC= AD,四边形 BHDE 是矩形. ∴ BE = 1 2 AB=DH= 6cm. 同理可得 DE = 1 2 BC = 12cm. 根据题意, 得 S△PDQ =S△ABC-S△PBQ-S△CDQ-S△APD = 1 2 ×12×24- 1 2 ×4t× (12-2t)- 1 2 ×(24-4t)×6- 1 2 ×2t×12 = 40,整理,得 t2 -6t+ 8 = 0,解得 t1 = 2,t2 = 4,即当 t 为 2 或 4 时,△PDQ 的面积 是 40cm2 . 第 2 课时　 营销及其他问题 1. (50-25-x)(100+5x)= 1 500 2. 解:设应将每个口罩涨价 x 元,则每天可售出(200- 10× x 0. 5 )个. 依题意,得(1+x) (200-10× x 0. 5 )= 480,解得 x1 = 2,x2 = 7. 又∵ 为了尽快销售完,∴ x = 2. 故应将每个口罩 涨价 2 元,才能尽快销售完的同时每天利润为 480 元. 3. 解:(1)设每次下降的百分率为 a,根据题意,得 50(1-a) 2 = 32,解得 a1 = 1. 8(舍去),a2 = 0. 2 = 20%,故每次下降的 百分率为 20%; (2)设每千克应涨价 x 元,由题意,得(10+x) (500- 20x) = 6 000,整理,得 x2 -15x+50 = 0,解得 x1 = 5,x2 = 10,因为 要尽快减少库存,所以 x = 5 符合题意. 故该商场要保证 每天盈利 6 000 元,那么每千克应涨价 5 元. 4. B　 【解析】设共有 x 支队伍参加比赛,根据题意,可得 x(x-1) 2 = 45,解得 x1 = 10,x2 = -9(舍),∴ 共有 10 支队伍 参加比赛. 故选 B. 5. D　 6. 11 和 13 7. 解:(1)设 B 型设备每小时铺设路面 x 米,则 A 型设备每 小时铺设路面(2x+30)米. 根据题意得 32x+32(2x+30)= 4 800,解得 x= 40,则 2x+30 = 110,∴ A 型设备每小时铺设 的路面长度为 110 米; (2)根据题意得,40( 32 +m+ 25) + ( 110 - 3m) ( 32 +m) = 4 800+1 000,整理得 m2 -18m= 0,解得 m1 = 18,m2 = 0(舍 去),∴ m 的值为 18. —11— 8. 解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,根据题意得 1+x+x(1+x)= 121,即(1+x) 2 = 121,解得 x1 = 10,x2 = -12 (不符合题意,舍去) . ∴ 每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:传播问题:若 a 为传染源,x 为每个传染源传播 的个数,则传播两轮后的感染总个数为 a+ax+(a+ax)x=a (1+x) 2 . 9. 10 10. 解:(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑,依 题意得(1+x) 2 = 16,解得 x1 = 3,x2 = - 5(不合题意,舍 去) . ∴ 每轮感染中平均一台电脑会感染 3 台电脑. (2)四 11. 解:(1)由题意可得:( 300 + 100 × x 0. 1 ) ( 1 - x) = 400,即 10x2 -7x+1 = 0,解得:x1 = 1 2 ,x2 = 1 5 . ∴ 当 x 为 1 2 或 1 5 时,利润为 400 元. (2)不能. 理由:令(300+100× x 0. 1 ) (1-x)= 500,即:10x2 -7x+2 = 0,b2 -4ac= 49-4×10×2<0,此方程无实数根. ∴ 按照这种降价促销的策略,该饮料批发商店每天卖出该 款饮料的利润不能达到 500 元. 追梦第二章章末复习　 一元二次方程 1. B 2. D　 【解析】∵ m-3≠0 且 m+2≥0,∴ m≥-2 且 m≠3. 故 选 D. 3. -1　 【解析】把 x= -1 代入 x2 +kx-2 = 0 得 1-k-2 = 0,解得 k= -1. 4. C　 5. D　 6. D　 7. D 8. 解:(1)开方,得 2( t-3)= ±3(2t-3),∴ 2( t-3)= 3(2t-3) 或 2( t-3)= -3(2t-3),∴ t1 = 3 4 ,t2 = 15 8 ; (2)配方,得 x2 - 7 2 x+( 7 4 ) 2 = 2+( 7 4 ) 2 ,即(x- 7 4 ) 2 = 81 16 , ∴ x1 = 4,x2 = - 1 2 ; (3)整理,得 3x2 + 10x+ 5 = 0,Δ = 100- 4× 3× 5 = 40> 0,x = -10±2 10 2×3 = -5± 10 3 ,x1 = -5+ 10 3 ,x2 = -5- 10 3 ; (4)移项,得 3(x-5) 2 + 2( x- 5) = 0,提公因式,得( x- 5) (3x-15+2)= 0,∴ x1 = 5,x2 = 13 3 . 9. 解:当 x= 0 时,原方程为(k+4)×02 +3×0+k2 -16 = 0,解得 k1 = 4,k2 = -4. ∵ k+4≠0,∴ k= 4. 故一元二次方程为 8x 2 + 3x= 0,x( 8x+ 3) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 3 8 ,则另一根为 - 3 8 . 10. C 11. B　 【解析】∵ Δ= 32 -(-1)·4k = 9+4k≥0,∴ k≥- 9 4 且 k≠0. 故选 B. 12. -2　 【解析】∵ Δ= 22 -4a·(-1)= 4+4a<0,∴ a<-1,∴ a 的最大整数值为-2. 13. 2 14. 解:由题意得,x1 +x2 = 7 4 ,x1x2 = - 3 4 , (1)原式= x1x2 -3x1 -3x2 +9 = x1x2 -3(x1 +x2 )+9 = - 3 4 -3× 7 4 +9 = 3; (2)原式= x2(x2 +1)+x1(x1 +1) (x1 +1)(x2 +1) = x22 +x2 +x 2 1 +x1 x1x2 +x1 +x2 +1 = (x1 +x2 ) 2 -2x1x2 +(x1 +x2 ) x1x2 +x1 +x2 +1 = ( 7 4 ) 2 -2×(- 3 4 )+ 7 4 - 3 4 + 7 4 +1 = 101 32 . 15. A　 【解析】设 AB=a,AD= b,∴ 2(a+b)= 20,a+b = 10. 由 题意得 a2 +b2 = 68,∴ a2 +(10-a) 2 = 68. 整理得 a2 -10a+ 16 = 0,∴ (a-8)(a-2)= 0. 解得 a1 = 8 或 a2 = 2. ∵ AB> AD,∴ a= 8. ∴ AB= 8m. 故选 A. 16. 解:(1)设该种商品每次降价的百分率为 x,依题意,得 400·(1-x) 2 = 324. 解得 x1 = 10%,x2 = 190%(舍去),即 该种商品每次降价的百分率为 10%. (2)设第一次降价后售出该种商品 m 件,则第二次降价 后售出该种商品(100-m)件. 由题意得,第一次降价后 单件利润:400×(1-10%) -300 = 60(元) . 第二次降价后 单件利润:324-300 = 24(元),则 60m+ 24×(100-m) ≥ 3 210. 解得 m≥22. 5. ∵ m 只能取整数,∴ m 最小为 23. 即为使两次降价销售的总利润不少于 3 210 元,第一次 降价后至少要售出该种商品 23 件. 17. 解:(1)依题意得:x(30- 3x) = 63,整理得:x2 - 10x+ 21 = 0,解得:x1 = 7,x2 = 3(不符合题意,舍去) . ∴ AB 的长为 7 米. (2)不能围成面积为 78 平方米的花圃,理由如下:依题 意得:x( 30 - 3x) = 78,整理得: x2 - 10x + 26 = 0, ∵ Δ = (-10) 2 -4×1×26 = -4<0,∴ 该方程没有实数根,即不能 围成面积为 78 平方米的花圃. 第三章　 概率的进一步认识 1　 用树状图或表格求概率 第 1 课时　 用树状图或表格求概率 1. D　 2. A 3. 解:(1)树状图如下: (2)∵ 共有 6 种等可能的结果,两个数字之和能被 3 整除 的情况有 2 种,∴ P(两个数字之和能被 3 整除) = 2 6 = 1 3 . 4. C　 【解析】将三个小区分别记为 A,B,C 　 　 违规停车 垃圾分类　 　 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) —21—