第二章 5 一元二次方程的根与系数的关系-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

∗5　 一元二次方程的根与系数的关系　 　 一元二次方程的根与系数的关系 1. (3 分)若 α、β 是一元二次方程 x2 +2x-2 026 = 0 的两个实数根,则 αβ 的值为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 026 B. 2 C. -2 D. -2 026 2. (3 分)已知一元二次方程 2x2 -5x+1 = 0 的两 个根为 x1,x2,下列结论正确的是(　 　 ) A. x1 +x2 = - 5 2 B. x1x2 = 1 C. x1,x2 都是有理数 D. x1,x2 都是正数 3. (6 分)不解方程,求下列各方程的两根之和与 两根之积. (1)x2 +3x+1 = 0;　 　 　 (2)3x2 -2x-1 = 0. 利用根与系数的关系求相关代数式 的值 4. (3 分)已知方程 x2 -5x+3 = 0 的两个解分别为 x1,x2,则 x1 +x2 -x1·x2 的值为(　 　 ) A. -8 B. -2 C. 8 D. 2 5. (3 分)若 α、β 是一元二次方程 3x2 +2x-9 = 0 的两个实数根,则 β α + α β 的值是(　 　 ) A. 4 27 B. - 4 27 C. -58 27 D. 58 27 6. (3 分)已知 x1,x2 是方程 x2 - 3x = 15 的两个 根,则代数式 x1 2 +x2 2 的值是(　 　 ) A. 24 B. 39 C. -6 D. -21 7. (3 分)已知 α、β 是方程 x2 -2x-2 026 = 0 的两 个实数根,则 α2 -4α-2β-2 的值是(　 　 ) A. 2 018 B. 2 020 C. 2 024 D. 2 026 8. (4 分)已知 x1,x2 是方程 2x2 +4x-3 = 0 的两个 实数根,不解方程,求下列代数式的值. (1)(x1 +x2) 2 -x1x2 = 　 　 　 　 ; (2)(x1 -2)(x2 -2)= 　 　 　 　 . 利用根与系数的关系求待定字母的值 9. (3 分)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2 +2ax+b = 0 的两根,且 x1 +x2 = 3,x1x2 = 1,则 a,b 的值 分别是(　 　 ) A. a= -3,b= 1 B. a= 3,b= 1 C. a= - 3 2 ,b= -1 D. a= - 3 2 ,b= 1 10. (3 分)关于 x 的方程 ax2 -(3a+1)x+2(a+1) = 0 有两个不相等的实数根 x1,x2,且有 x1 - x1x2 +x2 = 1-a,则 a 的值是(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 1 或-1 D. 2 11. (3 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 +(m+ 3)x+m+1 = 0 的两个实数根为 x1,x2,且 x1 2 + x2 2 = 4,则 m 的值为　 　 　 　 . 12. (6 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m- 3)x-m= 0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两实根为 x1,x2,且 x1 2 +x2 2 - x1x2 = 7,求 m 的值. 53 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 13. (3 分)若 α、β 是方程 x2 +2x-2 025 = 0 的两 个实数根,则 α2 +3α+β 的值为(　 　 ) A. 2 023 B. 2 025 C. -2 025 D. 4 050 14. (3 分)(郑州月考)已知 x1,x2 是关于 x 的方 程 x2 +bx-3 = 0 的两根,且满足 x1 +x2 -3x1x2 = 4,那么 b 的值为(　 　 ) A. 5 B. -5 C. 4 D. -4 15. (5 分)(平顶山月考)是否存在 a 的值,使方 程 x2 +(a-2)x+a2 +4 = 0 的两根互为相反数? 若有,求出 a 的值;若没有,说明原因. 16. (7 分)已知关于 x 的方程 x2 -(2k+1)x+k2 +1 = 0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求 k 的 取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形的两边 长,且 k= 3,求该矩形的周长. 17. (9 分)(1)x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 -2(k+1)x+k2 +2 = 0 的两实数根,且(x1 +1) ·(x2 +1)= 8,求 k 的值. (2)已知:α,β(α>β)是一元二次方程 x2 -x-1 = 0 的两个实数根,设 s1 =α+β,s2 =α2 +β2,…, sn =αn+βn . 根据根的定义,有 α2 -α-1 = 0,β2 - β-1 = 0,将两式相加,得(α2 +β2 ) -(α+β) -2 = 0,即 s2 -s1 -2 = 0. 根据以上信息,解答下列问题: ①直接写出 s1,s2 的值; ②经计算可得:s3 = 4,s4 = 7,s5 = 11,当 n≥3 时,请猜想 sn, sn-1, sn-2 之间满足的数量关 系,并给出证明. 63 程,得 32 -3p-6 = 0,∴ p= 1. 10. 1 或-1　 【解析】∵ 同时满足 a+b+c = 0 和 a-b+c = 0,∴ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的两个实数根为 x1 = 1,x2 = -1. ∵ (x+2)(x-n)= 0,∴ x+2 = 0 或 x-n= 0,∴ (x +2)(x-n)= 0 的根为 x= -2 或 x=n. ∵ ax2 +bx+c= 0(a≠ 0)与(x+ 2) (x-n)= 0 互为“同伴方程”,∴ n = 1 或 n = -1. 11. 解:(1)设原正方形空地的边长为 xm,则剩余部分长(x- 4)m,宽(x- 5) m. 依题意得:(x- 4) ( x- 5) = 650, 整理 得:x2 -9x-630 = 0,解得 x1 = 30,x2 = - 21(不合题意,舍 去) . 故原正方形空地的边长为 30m. (2)设小道的宽度为 ym,则栽种鲜花的区域可合成长 (30-y)m,宽(30-1-y)m 的矩形,依题意得:(30-y)(30 -1-y)= 812,整理得:y2 -59y+58 = 0,解得 y1 = 1,y2 = 58 (不合题意,舍去) . 故小道的宽度为 1m. 12. 解:(1)由题意得(3x+2) 2 = 4x2 ,即(3x+2) 2 -4x2 = 0,(3x +2+2x)(3x+2-2x)= 0,(5x+2)(x+2)= 0,5x+2 = 0 或 x +2 = 0,∴ x1 = - 2 5 ,x2 = -2. (2)原方程可以化为 5(4x-1) +(4x-1) (x+2)= 0,(4x- 1)(5+x+2)= 0,(4x-1) (x+7)= 0,∴ 4x-1 = 0 或 x+7 = 0,∴ x1 = 1 4 ,x2 = -7,∴ 整数解为 x= -7. (3)根据题意,得 2 ( x- 3) 2 + ( 3x- x2 ) = 0,2 ( x - 3) 2 - x(x-3)= 0,(x-3)(2x-6-x)= 0, x-3 = 0 或 2x-6-x= 0, x1 = 3,x2 = 6,∴ x 的值为 3 或 6. 13. 解:设 x2 =a≥0,则原方程可化为 a2 -a-6 = 0,因式分解, 得(a-3)(a+2)= 0,解得 a= 3 或 a= -2. ∵ a≥0,∴ a = - 2 舍去,则 a= 3,∴ x2 = 3,∴ x1 = 3 ,x2 = - 3 . 专题　 一元二次方程的四种解法 1. C 2. 解:(1)x2 = 49 4 ,∴ x= ± 7 2 ,∴ x1 = 7 2 ,x2 = - 7 2 ; (2)(2x-1) 2 = 25,∴ 2x-1 = ±5,∴ x1 = 3,x2 = -2. 3. A 4. 解:(1)x2 +12x= -25,x2 +12x+36 = -25+36,(x+6) 2 = 11,x +6 = ± 11 ,∴ x+6 = 11 或 x+6 = - 11 ,x1 = -6+ 11 , x2 = -6- 11 ; (2)x2 +2x-999 = 0,x2 +2x= 999,x2 +2x+1 = 999+1,(x+1) 2 = 1 000,x+1 = ±10 10 ,x+1 = 10 10 或 x+1 = -10 10 , ∴ x1 = -1+10 10 ,x2 = -1-10 10 . 5. 解:(1)方程 3x2 -2x-1 = 0 中 a= 3,b = -2,c= -1,故 Δ = b2 -4ac= ( - 2) 2 - 4 × 3 × ( - 1) = 16 > 0,由求根公式,得 x = 2± 16 6 = 2±4 6 ,故原方程的解为 x1 = 1,x2 = - 1 3 . (2)方程 2y2 -y- 1 2 = 0 中 a= 2,b = -1, c= - 1 2 ,故 Δ = b2 - 4ac= ( - 1) 2 - 4 × 2 × ( - 1 2 ) = 5 > 0,由求根公式,得 x = 1± 5 4 ,故原方程的解为 x1 = 1+ 5 4 ,x2 = 1- 5 4 . (3)方程- 2 3 x2 + 1 2 x+1 = 0 中,a= - 2 3 ,b = 1 2 ,c= 1,故 Δ = b2 -4ac= ( 1 2 ) 2 -4×(- 2 3 ) ×1 = 35 12 >0,由求根公式,得 x = - 1 2 ± 35 12 - 4 3 = 3± 105 8 ,故原方程的解为 x1 = 3+ 105 8 ,x2 = 3- 105 8 . 6. B 7. 解:(1)∵ (y-2)(y-3)= 12,∴ y2 -5y-6 = 0,∴ (y-6) (y+ 1)= 0,∴ y-6 = 0 或 y+1 = 0,∴ y1 = 6,y2 = -1; (2)(x+4) 2 -5(x+4) = 0,(x+4) (x+4-5) = 0,∴ x+ 4 = 0 或 x-1 = 0,∴ x1 = -4,x2 = 1. ∗5　 一元二次方程的根与系数的关系 1. D 2. D　 【解析】 x1 +x2 = 5 2 ,A 错误;x1 ·x2 = 1 2 ,B 错误;x = -(-5)± (-5) 2 -4×2×1 2×2 = 5± 17 4 ,x1,x2 是无理数,都 为正数. C 错误;D 正确. 故选 D. 3. 解:(1)x1 +x2 = -3　 x1x2 = 1 (2)x1 +x2 = 2 3 　 x1x2 = - 1 3 4. D　 5. C 6. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:先确定 a,b,c 的值,再根据一元二次方程的根 与系数的关系得到 x1 +x2 和 x1x2 的值,整体代入求解即 可. 7. B　 【解析】∵ α 是方程 x2 -2x-2 026 = 0 的实数根,∴ α2 - 2α-2 026 = 0,∴ α2 - 2α = 2 026. ∵ α、β 是方程 x2 - 2x- 2 026 = 0 的两个实数根,∴ α+β = 2,∴ α2 -4α-2β-2 = (α2 -2α)-2(α+β)-2 = 2 026-2×2-2 = 2 020. 故选 B. 8. (1) 11 2 　 (2) 13 2 9. D 10. B　 【解析】∵ Δ>0,∴ [-(3a+1)] 2 -4a·2(a+1)= (a- 1) 2 >0. ∵ x1 -x1x2 +x2 = 1-a, 3a+1 a -2(a+1) a = 1-a,∴ a2 = 1,a= ±1. ∵ (a-1) 2 >0,∴ a= -1. 故选 B. 11. -1 或-3　 【解析】Δ=m2 +2m+5 = (m+1) 2 +4>0,故 m 可 取任意实数. ∵ x21 +x 2 2 =(x1 +x2) 2 -2x1x2 = 4,∴ (-m-3) 2 - 2(m+1)= 4,(m+2) 2 = 1,∴ m1 = -1,m2 = -3. 12. (1)证明:由题意,得 a = 1,b = -(m- 3),c = -m. Δ = b2 - 4ac= [-(m-3)] 2 -4×(-m)= 9-6m+m2 +4m =m2 -2m+1 +8 = (m-1) 2 +8,∵ (m-1) 2 ≥0,∴ (m-1) 2 +8≥8,Δ>0. ∴ 方程有两个不相等的实数根; (2)解:由题意,得 x1 +x2 =m-3,x1x2 = -m. ∵ x 2 1 +x 2 2 -x1x2 = 7,(x1 +x2 ) 2 -3x1x2 = 7,∴ (m-3) 2 -3×( -m)= 7,∴ m2 - 6m+9+3m-7 = 0,∴ m2 -3m+2 = 0,∴ (m-1) (m-2) = 0, ∴ m1 = 1,m2 = 2. 13. A　 【解析】α2 + 3α+β = α2 + 2α+(α+β)= 2 025+(- 2)= 2 023. 故选 A. 14. A　 【解析】∵ x1 +x2 -3x1x2 = 4,即-b-3×(-3)= 4,∴ b = 5. 故选 A. —01— 15. 解:由题可知 x1 +x2 = 0,则 x1 +x2 = -(a-2)= 0,a= 2. ∵ b 2 -4ac= (a-2) 2 -4(a2 +4)= 0-32 = -32,∴ Δ<0,则方程无 实数根,所以不存在 a 的值. 16. 解:(1)若方程有两个不相等的实数根,则 Δ = [ -(2k+ 1)] 2 -4(k2 +1)>0,即 4k2 +4k+1-4k2 -4 = 4k-3>0,得 k> 3 4 ; (2)当 k= 3 时,x1 +x2 = - -(2k+1) 1 = 2k+1 = 3×2+1 = 7,∴ 矩形的周长为 2×7 = 14. 17. 解:(1)由题意,得:x1 +x2 = 2(k+1),x1x2 = k 2 +2,∴ (x1 + 1)(x2 +1)= x1x2 +(x1 +x2 )+1 = 2(k+1)+k 2 +2+1 = 8,即 k2 +2k-3 = 0,解得 k1 = -3,k2 = 1. 当 k1 = -3 时,Δ= 4(k+1) 2 -4(k2 +2)= 42 -4×11<0,∴ k= -3 舍去;当 k2 = 1 时,Δ= 4 (k+1) 2 -4(k2 +2)= 42 -4×3>0,∴ k 的值为 1. (2)①s1 = 1,s2 = 3; ②猜想:sn = sn-1 +sn-2 ,证明:根据根的定义,得 α 2 -α-1 = 0,两边都乘以 αn-2 ,得 αn-αn-1 -αn-2 = 0①,同理 βn-βn-1 - βn-2 = 0②. ①+②,得(αn +βn) -(αn-1 +βn-1 ) -(αn-2 +βn-2 ) = 0,因为 sn =α n+βn,sn-1 =α n-1 +βn-1 ,sn-2 =α n-2 +βn-2 ,所以 sn-sn-1 -sn-2 = 0,即 sn = sn-1 +sn-2 . 6　 应用一元二次方程 第 1 课时　 动点、变化率问题 1. 10s 或55 4 s　 【解析】50÷ 2 = 25( s),40÷ 3 = 40 3 ( s) . 设运动 时间为 xs. 当 0<x≤40 3 时,PC=(50-2x)m,CQ= 3xm,依题 意得: 1 2 (50-2x)·3x = 450,整理得:x2 -25x+150 = 0,解 得:x1 = 10,x2 = 15(不合题意,舍去);当 40 3 <x<25 时,PC = (50-2x)m,CQ = 40m,依题意得: 1 2 ×40×(50-2x)= 450, 解得 x= 55 4 . 综上,经过的时间是 10s 或55 4 s. 2. 解:设需 t 小时才能在点 B 处追上,则 AB = 24t,OB = 26t. ∵ ∠OAB = 90°, ∴ OB2 = OA2 + AB2 , 即 102 + ( 24t) 2 = (26t) 2 ,解得 t1 = 1,t2 = -1(舍去),∴ t= 1,即巡逻艇需要 1 小时才能追上涉嫌走私船只. 3. 解:(1) 设运动时间为 x 秒,则 PB = ( 16 - 3x) cm,QC = 2xcm,S四边形PBCQ = 1 2 (16-3x+2x) ×6 = 33,解得 x = 5. 故点 P、Q 两点从出发开始到 5 秒时,四边形 PBCQ 的面积为 33cm2 ; (2)设运动时间为 t 秒时,PQ= 10cm,作 QE⊥AB 于点 E, ∵ ∠A= ∠D = ∠B = ∠C = 90°,∴ 四边形 AEQD、EBCQ 都 为矩形. ∴ QE=AD= 6,BE=CQ= 2tcm. ∵ PA= 3t,CQ=BE= 2t,∴ PE= |16-5t | ,由勾股定理,得(16-5t) 2 +62 = 102 ,解 得 t1 = 4. 8,t2 = 1. 6. 故出发到 1. 6 秒或 4. 8 秒时,点 P 和 点 Q 的距离是 10cm. 4. B 5. 20%　 【解析】设这种产品的年平均下降率为 x,由题意, 得 5 000(1-x) 2 = 3 200. 解得 x1 = 1. 8(舍去),x2 = 0. 2 = 20%,∴ 这种产品成本的年平均下降率为 20%. 6. 解:(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 x,依题意得 1 000(1+x) 2 = 1 440,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(舍去) . ∴ 该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 20%. (2)设该市在 2025 年可以改造 y 个老旧小区,依题意得 80×(1+20%)y≤1 440×(1+20%),解得 y≤18. 又∵ y 为 整数,∴ y 的最大值为 18. ∴ 该市在 2025 年最多可以改 造 18 个老旧小区. 7. 解:(1)设这两个月接待游客人数的月平均增长率为 x, 依题意得 10(1+x) 2 = 14. 4,解得:x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2 (舍去);即这两个月接待游客人数的月平均增长率为 20%; (2)8 月份接待游客人数:14. 4×( 1+ 20% ) = 17. 28(万 人),9 月份接待游客人数:14. 4×(1+20%) 2 = 20. 736 (万 人) . ∴ 第三季度接待游客总人数为:14. 4+17. 28+20. 736 = 52. 416(万人),∵ 52. 416>50,∴ 第三季度(7 月 ~ 9 月) 该馆接待游客总量能达到 50 万人. 8. 解:(1)(12-2t)　 4t (2)由题意可得,0≤t≤6. 过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,过 点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连接 BD. ∵ ∠ABC= 90°,D 是 AC 的中点,∴ BD= 1 2 AC= AD,四边形 BHDE 是矩形. ∴ BE = 1 2 AB=DH= 6cm. 同理可得 DE = 1 2 BC = 12cm. 根据题意, 得 S△PDQ =S△ABC-S△PBQ-S△CDQ-S△APD = 1 2 ×12×24- 1 2 ×4t× (12-2t)- 1 2 ×(24-4t)×6- 1 2 ×2t×12 = 40,整理,得 t2 -6t+ 8 = 0,解得 t1 = 2,t2 = 4,即当 t 为 2 或 4 时,△PDQ 的面积 是 40cm2 . 第 2 课时　 营销及其他问题 1. (50-25-x)(100+5x)= 1 500 2. 解:设应将每个口罩涨价 x 元,则每天可售出(200- 10× x 0. 5 )个. 依题意,得(1+x) (200-10× x 0. 5 )= 480,解得 x1 = 2,x2 = 7. 又∵ 为了尽快销售完,∴ x = 2. 故应将每个口罩 涨价 2 元,才能尽快销售完的同时每天利润为 480 元. 3. 解:(1)设每次下降的百分率为 a,根据题意,得 50(1-a) 2 = 32,解得 a1 = 1. 8(舍去),a2 = 0. 2 = 20%,故每次下降的 百分率为 20%; (2)设每千克应涨价 x 元,由题意,得(10+x) (500- 20x) = 6 000,整理,得 x2 -15x+50 = 0,解得 x1 = 5,x2 = 10,因为 要尽快减少库存,所以 x = 5 符合题意. 故该商场要保证 每天盈利 6 000 元,那么每千克应涨价 5 元. 4. B　 【解析】设共有 x 支队伍参加比赛,根据题意,可得 x(x-1) 2 = 45,解得 x1 = 10,x2 = -9(舍),∴ 共有 10 支队伍 参加比赛. 故选 B. 5. D　 6. 11 和 13 7. 解:(1)设 B 型设备每小时铺设路面 x 米,则 A 型设备每 小时铺设路面(2x+30)米. 根据题意得 32x+32(2x+30)= 4 800,解得 x= 40,则 2x+30 = 110,∴ A 型设备每小时铺设 的路面长度为 110 米; (2)根据题意得,40( 32 +m+ 25) + ( 110 - 3m) ( 32 +m) = 4 800+1 000,整理得 m2 -18m= 0,解得 m1 = 18,m2 = 0(舍 去),∴ m 的值为 18. —11—