第二章 4 用因式分解法求解一元二次方程&专题 一元二次方程的四种解法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 4　 用因式分解法求解一元二次方程　 　 用因式分解法解一元二次方程 1. (3 分)方程 2x(x-5)= 6(x-5)的根是(　 　 ) A. x= 5　 　 　 　 　 　 　 B. x= -5 C. x1 = -5,x2 = 3 D. x1 = 5,x2 = 3 2. (3 分)解下列一元二次方程时,最适合用因式 分解法的是(　 　 ) A. x2 -x-1 = 0 B. x2 -7x= -1 C. (x-1) 2 -4x= 2 D. (x-3) 2 -16 = 0 3. 中考新趋势·过程纠错 (3 分)对于一元二次 方程:x2 =mx,下列是小聪求解的过程: 解:两边都减 m2,得 x2 -m2 =mx-m2;① 两边分别分解因式,得(x+m) (x-m)= m( x- m);② 两边都除以 x-m,得 x+m=m;③ 两边都减 m,得 x= 0. ④ 以上推理过程,开始出现错误的那一步对应 的序号是　 　 　 　 . 4. (8 分)用因式分解法解下列方程: (1)(2x-1) 2 -5 = 0; (2)(x-3) 2 +4x(x-3)= 0. 用适当的方法解一元二次方程 5. (3 分)解方程 x(x-2) +3(x-2)= 0,最适当的 解法是(　 　 ) A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 公式法 6. (9 分)用适当的方法解下列方程: (1)x2 +1 = 7+2x;　 　 　 (2)2x2 -4x-3 = 0; (3)(x-1) 2 +2(x-1) -3 = 0. 方程两边同时除以含相同未知数的代 数式导致错误 7. (3 分)方程 x2 = 3x 的根是(　 　 ) A. x= 3 B. x1 = 0,x2 = -3 C. x1 = 0,x2 = 3 D. 没有实数根 8. (3 分)(平顶山期末)关于 x 的方程 ax(x-b) +(b-x)= 0(a≠0)的根是(　 　 ) A. x1 = b,x2 =a B. x1 = b,x2 = 1 a C. x1 =a,x2 = 1 b D. x1 =a2,x2 = b2 9. 一题多解 (3 分)用因式分解法解一 元二次方程 x2 -px- 6 = 0 时,若 x- 3 是该方程左边二次三项式的一个因 式,则 p 的值是　 　 　 　 . 23 10. 中考新趋势·新定义 (3 分)定义:若两个一 元二次方程有且只有一个相同的实数根,我 们就称这两个方程为“同伴方程” . 例如 x2 = 4 和(x-2) (x+3) = 0 有且仅有一个相同的 实数根 x = 2,所以这两个方程为 “ 同伴方 程” . 若关于 x 的方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的 参数同时满足 a+b+c = 0 和 a-b+c = 0,且该 方程与(x+2)(x-n)= 0 互为“同伴方程”,则 n= 　 　 　 　 . 11. 生产劳动情境·校园改造 (10 分)如图①,某 校进行校园改造,准备将一块正方形空地划出 部分区域栽种鲜花,原空地一边减少了 4 m,另 一边减少了 5 m,剩余部分面积为 650 m2. (1)求原正方形空地的边长; (2)在实际建造时,从校园美观和实用的角 度考虑,按图②的方式进行改造,先在正方 形空地一侧建成 1 m 宽的画廊,再在余下地 方建成宽度相等的两条小道后,其余地方栽 种鲜 花. 如 果 栽 种 鲜 花 区 域 的 面 积 为 812 m2,求小道的宽度. 图① 　 图② 12. (9 分) (1)若代数式(3x+2) 2 与代数式 4x2 的值相同,求 x 的值; (2)求方程 5(4x-1)= (1-4x) (x+2)的整数 解; (3)当代数式 2(x-3) 2 与(3x-x2 )互为相反 数时,x 的值是多少? 13. 学科素养·整体代入 (10 分)为解方程( x2 - 1) 2 -5(x2 -1) +4 = 0,我们可以将 x2 -1 视为 一个整体,然后设 x2 -1 = y,则(x2 -1) 2 = y2, 原方程化为 y2 -5y+4 = 0,因式分解,得(y-1) (y-4)= 0,解得 y1 = 1,y2 = 4. 当 y= 1 时,x2 -1 = 1,则 x2 = 2,∴ x= ± 2 ; 当 y= 4 时,x2 -1 = 4,则 x2 = 5,∴ x= ± 5 . ∴ 原方程的根为:x1 = 2 ,x2 = - 2 ,x3 = 5 , x4 = - 5 . 根据以上材料解方程:x4 -x2 -6 = 0. 33 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 专题　 一元二次方程的四种解法 直接开平方法 1. (3 分)关于 x 的方程(x-2) 2 = 1-m 无实数根, 那么 m 满足的条件是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m>2 B. m<2 C. m>1 D. m<1 2. (8 分)用直接开平方法解下列方程: (1)4x2 = 49; (2)(2x-1) 2 -25 = 0. 配方法 3. (3 分)把方程 x2 -10x-3 = 0 配方成(x+m) 2 =n 的形式,则 m,n 的值是(　 　 ) A. -5,28 B. 5,-28 C. 5,-25 D. -5,25 4. (8 分)用配方法解方程: (1)x2 +12x+25 = 0; (2)2x2 +4x-1 998 = 0. 公式法 5. (12 分)用公式法解方程: (1)3x2 -2x-1 = 0; (2)2y2 -y- 1 2 = 0; (3) - 2 3 x2 + 1 2 x+1 = 0. 因式分解法 6. (3 分)下列一元二次方程中最适合用因式分 解法求解的是(　 　 ) A. (x-2)(x+5)= 2 B. (x-2) 2 = x-2 C. x2 +5x-2 = 0 D. 12(2-x) 2 = 5 7. (8 分)用因式分解法解方程: (1)(y-2)(y-3)= 12; (2)(x+4) 2 = 5(x+4) . 43 =(-1) 2 -4×1×(-2)= 9>0,∴ 原方程有两个不相等的实 数根. 故选 C. 11. 一 12. m≥- 1 4 　 【解析】根据题意得 x2 -3x+2 =m,方程化为一 般式为 x2 -3x+2-m = 0,∵ 方程有两个实数根,∴ Δ = (- 3) 2 -4(2-m)≥0,解得 m≥- 1 4 ,即 m 的取值范围为 m ≥- 1 4 . 13. 解:(1)一　 方程没有化成一般形式 (2)方程化为 x2 -5x-1 = 0,∵ a = 1,b = -5,c = -1,∴ b2 - 4ac= ( - 5) 2 - 4× 1×( - 1) = 29> 0. ∴ x = 5± 29 2 . ∴ x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 14. (1)证明:∵ Δ= [-(m+1)] 2 -4×2 (m-1)= m2 -6m+9 = (m-3) 2 ≥0,∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:若腰长为 4,将 x = 4 代入原方程,得:16- 4(m+ 1)+2(m-1)= 0,解得 m= 5,∴ 原方程为 x2 -6x+8 = 0,解 得 x1 = 2,x2 = 4. 组成三角形的三边长度为 2、4、4;若底边 长为 4,则此方程有两个相等实数根,∴ Δ = 0,即 m = 3, 此时方程为 x2 -4x+4 = 0,解得 x1 = x2 = 2,由于 2+ 2 = 4, 不能构成三角形,舍去;所以三角形另外两边长度为 4 和 2. 第 2 课时　 公式法的应用 1. 24±12 2 2. 解:设每根横彩条的宽度为 5xcm,则每根竖彩条的宽度 为 4xcm,依题意,得(15-2×5x)(10-2×4x)= 15×10×(1- 1 3 ),整理,得 8x2 -22x+5 = 0,解得 x1 = 5 2 ,x2 = 1 4 . 当 x = 5 2 时,10-2×4x= -10<0,不合题意,舍去;当 x = 1 4 时,10- 2×4x= 8>0,符合题意,∴ 5x = 5 4 ,4x = 1. 故每根横彩条的 宽度为 5 4 cm,每根竖彩条的宽度为 1cm. 3. 解:(1)设 AB= x,则 BC= 38-2x. 根据题意列方程得 x(38 -2x)= 180,解得 x1 = 10,x2 = 9. 当 x = 10,38-2x = 18,当 x = 9,38-2x= 20,而墙长 19 米,不合题意舍去,若围成的面 积为 180 平方米,自行车车棚的长和宽分别为 18 米,10 米. (2)不能. 理由:根据题意列方程得,x(38-2x)= 200,整理 得出:x2 -19x+100 = 0. Δ = 361- 400 = - 39< 0,故此方程没 有实数根,故不能围成面积为 200m2 的自行车车棚. 4. 解:(1)(30-2x)(12-2x)= 144　 【解析】设切去的正方形 的边长为 xcm,则折成的方盒的底面为长(30-2x) cm,宽 (12-2x)cm 的矩形,依题意,得(30-2x)(12-2x)= 144. (2)能. 设裁去的正方形的边长为 ycm,则折成的长方体 盒子的底面为长( 30 2 -y) cm,宽(12-2y) cm 的矩形. 依题 意,得( 30 2 -y)(12-2y) = 104,整理,得 y2 -21y+38 = 0,解 得 y1 = 2,y2 = 19(不合题意,舍去) . ∴ 盒子的体积= 104×2 = 208(cm3 ) . 故能折出底面积为 104cm2 的有盖盒子,盒 子的体积为 208cm3 . 专题　 一元二次方程根的判别式的应用 1. A　 【解析】当 k= 0 时,方程化为-2x= 0,解得 x= 0;当 k≠ 0 时,当 Δ=[-(k+2)] 2 -4k· 1 4 k= 4k+4≥0 时,方程有两 个实数解,此时 k≥-1 且 k≠0,所以当 k≥-1 时,方程有 实数解,所以乙和丙的说法正确. 故选 A. 2. C 3. A　 【解析】由数轴看出 m>0,n<0. ∵ 2x2 -(m+n)x+mn= 0 是关于 x 的一元二次方程,∴ Δ=[-(m+n)] 2 -8mn. ∵ m> 0,n<0,∴ -8mn>0,∴ Δ=(m+n) 2 -8mn>0,∴ 原方程有两 个不相等的实数根. 故选 A. 4. A　 5. D 6. A　 【解析】分为两种情况:①当 a= 0 时,x-4 = 0,解得 x = 4;②当 a≠0 时,∵ 方程 ax2 -(2a-1)x+a-4 = 0 有实数根, ∴ Δ=[-(2a-1)] 2 - 4×a×(a- 4)= 12a+ 1≥0,解得 a≥ - 1 12 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　易错提醒:对于二次项系数含参数的方程,在没有指明该 方程是一元二次方程时,要注意该方程有可能是一元一 次方程,需根据题设条件进行分类讨论. 7. B　 【解析】由题意得 Δ=(-2) 2 -4(k-2)×1>0,且 k-2≠ 0,∴ k<3 且 k≠2,∴ 符合条件的 k 的非负整数值是 0,1. 故选 B. 8. B 4　 用因式分解法求解一元二次方程 1. D　 2. D 3. ③ 4. 解:(1)∵ (2x-1) 2 -5 = 0,∴ (2x-1+ 5 ) (2x-1- 5 )= 0, ∴ x1 = 1+ 5 2 ,x2 = 1- 5 2 ; (2)原方程可变形为(x-3)(x-3)+4x(x-3)= 0,∴ (x-3+ 4x)(x-3)= 0,(5x-3)(x-3)= 0,∴ x1 = 3 5 ,x2 = 3; 5. B 6. 解:(1)整理得:x2 -2x-6 = 0,∴ x2 -2x= 6,则 x2 -2x+1 = 6+ 1,即(x-1) 2 = 7,∴ x-1 = ± 7 ,∴ x1 = 1+ 7 ,x2 = 1- 7 ; (2)∵ a= 2,b= -4,c = -3,∴ Δ = ( -4) 2 -4×2×( -3) = 40> 0,则 x= 4±2 10 4 = 2± 10 2 ,∴ x1 = 2+ 10 2 ,x2 = 2- 10 2 ; (3)∵ (x-1) 2 +2(x-1) -3 = 0,∴ (x-1-1) (x-1+3) = 0, 即(x-2)(x+2)= 0,则 x-2 = 0 或 x+2 = 0,解得 x1 = 2,x2 = -2. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　拓展延伸:对(x+p)(x+q)= x2 +(p+q) x+pq 进行逆用,即 x2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(常数项是两个数的积,一次 项系数是这两个数的和),也是因式分解的一种方法,我 们称之为“十字相乘法”. 7. C　 8. B　 9. 1　 【解析】解法一:设 x2 -px-6 = 0 分解因式得(x-3)(x- m)= 0,化成一般形式为 x2 -(3+m)x+3m = 0,∴ 3m = -6, ∴ m= -2,∴ p = 3-2 = 1;解法二:∵ x- 3 是该方程左边二 次三项式的一个因式,∴ 原方程可转化的两个方程之一 为 x-3 = 0,∴ x = 3 是原方程的一个根,把 x = 3 代入原方 —9— 程,得 32 -3p-6 = 0,∴ p= 1. 10. 1 或-1　 【解析】∵ 同时满足 a+b+c = 0 和 a-b+c = 0,∴ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的两个实数根为 x1 = 1,x2 = -1. ∵ (x+2)(x-n)= 0,∴ x+2 = 0 或 x-n= 0,∴ (x +2)(x-n)= 0 的根为 x= -2 或 x=n. ∵ ax2 +bx+c= 0(a≠ 0)与(x+ 2) (x-n)= 0 互为“同伴方程”,∴ n = 1 或 n = -1. 11. 解:(1)设原正方形空地的边长为 xm,则剩余部分长(x- 4)m,宽(x- 5) m. 依题意得:(x- 4) ( x- 5) = 650, 整理 得:x2 -9x-630 = 0,解得 x1 = 30,x2 = - 21(不合题意,舍 去) . 故原正方形空地的边长为 30m. (2)设小道的宽度为 ym,则栽种鲜花的区域可合成长 (30-y)m,宽(30-1-y)m 的矩形,依题意得:(30-y)(30 -1-y)= 812,整理得:y2 -59y+58 = 0,解得 y1 = 1,y2 = 58 (不合题意,舍去) . 故小道的宽度为 1m. 12. 解:(1)由题意得(3x+2) 2 = 4x2 ,即(3x+2) 2 -4x2 = 0,(3x +2+2x)(3x+2-2x)= 0,(5x+2)(x+2)= 0,5x+2 = 0 或 x +2 = 0,∴ x1 = - 2 5 ,x2 = -2. (2)原方程可以化为 5(4x-1) +(4x-1) (x+2)= 0,(4x- 1)(5+x+2)= 0,(4x-1) (x+7)= 0,∴ 4x-1 = 0 或 x+7 = 0,∴ x1 = 1 4 ,x2 = -7,∴ 整数解为 x= -7. (3)根据题意,得 2 ( x- 3) 2 + ( 3x- x2 ) = 0,2 ( x - 3) 2 - x(x-3)= 0,(x-3)(2x-6-x)= 0, x-3 = 0 或 2x-6-x= 0, x1 = 3,x2 = 6,∴ x 的值为 3 或 6. 13. 解:设 x2 =a≥0,则原方程可化为 a2 -a-6 = 0,因式分解, 得(a-3)(a+2)= 0,解得 a= 3 或 a= -2. ∵ a≥0,∴ a = - 2 舍去,则 a= 3,∴ x2 = 3,∴ x1 = 3 ,x2 = - 3 . 专题　 一元二次方程的四种解法 1. C 2. 解:(1)x2 = 49 4 ,∴ x= ± 7 2 ,∴ x1 = 7 2 ,x2 = - 7 2 ; (2)(2x-1) 2 = 25,∴ 2x-1 = ±5,∴ x1 = 3,x2 = -2. 3. A 4. 解:(1)x2 +12x= -25,x2 +12x+36 = -25+36,(x+6) 2 = 11,x +6 = ± 11 ,∴ x+6 = 11 或 x+6 = - 11 ,x1 = -6+ 11 , x2 = -6- 11 ; (2)x2 +2x-999 = 0,x2 +2x= 999,x2 +2x+1 = 999+1,(x+1) 2 = 1 000,x+1 = ±10 10 ,x+1 = 10 10 或 x+1 = -10 10 , ∴ x1 = -1+10 10 ,x2 = -1-10 10 . 5. 解:(1)方程 3x2 -2x-1 = 0 中 a= 3,b = -2,c= -1,故 Δ = b2 -4ac= ( - 2) 2 - 4 × 3 × ( - 1) = 16 > 0,由求根公式,得 x = 2± 16 6 = 2±4 6 ,故原方程的解为 x1 = 1,x2 = - 1 3 . (2)方程 2y2 -y- 1 2 = 0 中 a= 2,b = -1, c= - 1 2 ,故 Δ = b2 - 4ac= ( - 1) 2 - 4 × 2 × ( - 1 2 ) = 5 > 0,由求根公式,得 x = 1± 5 4 ,故原方程的解为 x1 = 1+ 5 4 ,x2 = 1- 5 4 . (3)方程- 2 3 x2 + 1 2 x+1 = 0 中,a= - 2 3 ,b = 1 2 ,c= 1,故 Δ = b2 -4ac= ( 1 2 ) 2 -4×(- 2 3 ) ×1 = 35 12 >0,由求根公式,得 x = - 1 2 ± 35 12 - 4 3 = 3± 105 8 ,故原方程的解为 x1 = 3+ 105 8 ,x2 = 3- 105 8 . 6. B 7. 解:(1)∵ (y-2)(y-3)= 12,∴ y2 -5y-6 = 0,∴ (y-6) (y+ 1)= 0,∴ y-6 = 0 或 y+1 = 0,∴ y1 = 6,y2 = -1; (2)(x+4) 2 -5(x+4) = 0,(x+4) (x+4-5) = 0,∴ x+ 4 = 0 或 x-1 = 0,∴ x1 = -4,x2 = 1. ∗5　 一元二次方程的根与系数的关系 1. D 2. D　 【解析】 x1 +x2 = 5 2 ,A 错误;x1 ·x2 = 1 2 ,B 错误;x = -(-5)± (-5) 2 -4×2×1 2×2 = 5± 17 4 ,x1,x2 是无理数,都 为正数. C 错误;D 正确. 故选 D. 3. 解:(1)x1 +x2 = -3　 x1x2 = 1 (2)x1 +x2 = 2 3 　 x1x2 = - 1 3 4. D　 5. C 6. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:先确定 a,b,c 的值,再根据一元二次方程的根 与系数的关系得到 x1 +x2 和 x1x2 的值,整体代入求解即 可. 7. B　 【解析】∵ α 是方程 x2 -2x-2 026 = 0 的实数根,∴ α2 - 2α-2 026 = 0,∴ α2 - 2α = 2 026. ∵ α、β 是方程 x2 - 2x- 2 026 = 0 的两个实数根,∴ α+β = 2,∴ α2 -4α-2β-2 = (α2 -2α)-2(α+β)-2 = 2 026-2×2-2 = 2 020. 故选 B. 8. (1) 11 2 　 (2) 13 2 9. D 10. B　 【解析】∵ Δ>0,∴ [-(3a+1)] 2 -4a·2(a+1)= (a- 1) 2 >0. ∵ x1 -x1x2 +x2 = 1-a, 3a+1 a -2(a+1) a = 1-a,∴ a2 = 1,a= ±1. ∵ (a-1) 2 >0,∴ a= -1. 故选 B. 11. -1 或-3　 【解析】Δ=m2 +2m+5 = (m+1) 2 +4>0,故 m 可 取任意实数. ∵ x21 +x 2 2 =(x1 +x2) 2 -2x1x2 = 4,∴ (-m-3) 2 - 2(m+1)= 4,(m+2) 2 = 1,∴ m1 = -1,m2 = -3. 12. (1)证明:由题意,得 a = 1,b = -(m- 3),c = -m. Δ = b2 - 4ac= [-(m-3)] 2 -4×(-m)= 9-6m+m2 +4m =m2 -2m+1 +8 = (m-1) 2 +8,∵ (m-1) 2 ≥0,∴ (m-1) 2 +8≥8,Δ>0. ∴ 方程有两个不相等的实数根; (2)解:由题意,得 x1 +x2 =m-3,x1x2 = -m. ∵ x 2 1 +x 2 2 -x1x2 = 7,(x1 +x2 ) 2 -3x1x2 = 7,∴ (m-3) 2 -3×( -m)= 7,∴ m2 - 6m+9+3m-7 = 0,∴ m2 -3m+2 = 0,∴ (m-1) (m-2) = 0, ∴ m1 = 1,m2 = 2. 13. A　 【解析】α2 + 3α+β = α2 + 2α+(α+β)= 2 025+(- 2)= 2 023. 故选 A. 14. A　 【解析】∵ x1 +x2 -3x1x2 = 4,即-b-3×(-3)= 4,∴ b = 5. 故选 A. —01—