第二章 3 用公式法求解一元二次方程&专题 一元二次方程根的判别式的应用-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 3　 用公式法求解一元二次方程 第 1 课时　 用公式法求解一元二次方程 用公式法解一元二次方程 1. (3 分)(平顶山期末)利用求根公式求 5x2 + 1 2 = 6x 的根时,a,b,c 的值分别是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 5, 1 2 ,6 B. 5,6, 1 2 C. 5,-6, 1 2 D. 5,-6,- 1 2 2. (3 分)下列方程中,以 x = -5± 25+4c 2 为根的 是(　 　 ) A. x2 -5x-c= 0 B. x2 +5x-c= 0 C. x2 -5x+4c= 0 D. x2 +5x+c= 0 3. (3 分)一元二次方程 x2 + 2 2 x- 6 = 0 的根 是(　 　 ) A. x1 = x2 = 2 B. x1 = 0,x2 = -2 2 C. x1 = 2 ,x2 = -3 2 D. x1 = - 2 ,x2 = 3 2 4. (8 分)用公式法解下列方程: (1) 3 2 x2 +4x-1 = 0; (2)6x2 -4 = 3x. 一元二次方程的根的判别式 5. (3 分)在方程 6x2 -5x = -1 中,根的判别式的 值为(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 49 D. -49 6. (3 分)关于 x 的一元二次方程 x2 + 4kx- 1 = 0 的根的情况是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. (3 分)若关于 x 的一元二次方程 x2 -x- 5 4 +k = 0 有两个相等的实数根,则 k 的值为(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 3 2 D. 1 4 8. (3 分)关于 x 的一元二次方程 x2 -2x+a = 0 有 实数根,那么 a 的取值范围是(　 　 ) A. a≤1 B. a≥1 C. a>1 D. a<1 用一元二次方程的根的判别式时忽视 二次项系数不为 0 9. (3 分)若关于 x 的一元二次方程 kx2 +2x+1 = 0 有两个实数根,则 k 的取值范围是(　 　 ) A. k≥-1 B. k≤1 C. k≥-1 且 k≠0 D. k≤1 且 k≠0 10. (3 分)若 x2 -1 比 x 大 1,则关于 x 的值,下列 说法正确的是(　 　 ) A. 不存在这样 x 的值 82 B. 只存在一个 x 的值 C. 存在两个不相等的 x 的值 D. 无法确定 11. 学科内融合 (3 分)已知关于 x 的一元二次 方程 x2 -2x-m= 0 无实数根,则一次函数 y = (m+1) x+m-1 的图象不经过第　 　 　 　 象 限. 12. 中考新趋势·新定义 (3 分)(成都期中)定义 新运算“∗”:对于实数 x 和 y,有 x∗y = x2 - xy+2,例如:3∗( -2) = 32 -3×( -2) +2 = 17, 若关于 x 的方程 x∗3 = m 有两个实数根,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 13. 中考新趋势·过程纠错 (10 分) (1)小明在用公式法解方程 x2 -5x= 1 时出现 了错误,解答过程如下: ∵ a= 1,b= -5,c= 1,(第一步) ∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×1×1 = 21>0,(第二步) ∴ x= 5± 21 2 . (第三步) ∴ x1 = 5+ 21 2 ,x2 = 5- 21 2 . (第四步) 小明解答过程是从第 　 　 　 　 步开始出错 的,其错误原因是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)请你写出此题正确的解答过程. 14. 学科素养·分类讨论 (9 分)已知关于 x 的方 程 x2 -(m+1)x+2(m-1)= 0. (1)求证:无论 m 取何值时,方程总有实数 根; (2)若等腰三角形一边长为 4,另两边恰好是 此方程的根,求此三角形的另两边长. 92 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 第 2 课时　 公式法的应用 公式法的应用 1. (3 分)如图,某广场有一块圆形 的花圃,中间有一个正方形的水 池,测量出除水池外圆内可种植 面积是 120 m2,从水池边到圆周, 每边都相距 4 m. 则正方形的边长是　 　 　 　 m. (π 取 3) 2. (8 分) (舞钢期末) 如图,要设计一个长为 15 cm,宽为 10 cm 的矩形图案,其中有两横两 竖彩条,横竖彩条的宽度之比为 5 ∶4,若使所 有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分 之一,应如何设计每根彩条的宽度? 3. 生产劳动情境·搭建车棚 (9 分)如图所示,学 校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行 车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙 长为 19 m),另外三边利用学校现有总长 38 m 的铁栏围成. (1)若围成的面积为 180 m2,试求出自行车车 棚的长和宽. (2)能围成面积为 200 m2 的自行车车棚吗? 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说 明理由. 4. (10 分)一块长 30 cm,宽 12 cm 的矩形铁皮, (1)如图 1,在铁皮的四角各切去一个同样的 正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作 成一个底面积为 144 cm2 的无盖方盒. 如果设 切去的正方形的边长为 x cm,则可列方程为 　 　 　 　 　 　 　 　 . (2)由于实际需要,计划制作一个有盖的长方 体盒子,为了合理使用材料,某学生设计了如 图 2 的裁剪方案,空白部分为裁剪下来的边角 料,其中左侧两个空白部分为正方形,问能否 折出底面积为 104 cm2 的有盖盒子(盒盖与盒 底的大小形状完全相同)? 如果能,请求出盒 子的体积;如果不能,请说明理由. 图 1 　 　 　 图 2 03 专题　 一元二次方程根的判别式的应用 判断一元二次方程根的情况 1. 学习情境·问题讨论 (3 分)已知实数 k,现有 甲、乙、丙、丁四人对关于 x 的方程 kx2 -(k+2) x+ 1 4 k= 0 进行了讨论,说法正确的是(　 　 ) 甲说:这一定是关于 x 的一元二次方程; 乙说:这有可能是关于 x 的一元一次方程; 丙说:当 k≥-1 时,该方程有实数根; 丁说:只有当 k≥-1 且 k≠0 时,该方程有实 数根. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 乙和丙说得对 B. 甲和丁说得对 C. 甲和丙说得对 D. 乙和丁说得对 2. (3 分)对于一元二次方程 x2 -5x+c = 0 来说, 当 c= 25 4 时,方程有两个相等的实数根,若将 c 的值在 25 4 的基础上减小,则此时方程根的情 况是(　 　 ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. (3 分)(南京模拟)已知关于 x 的一元二次方 程 2x2 -(m+n)x+mn= 0,其中m,n 在数轴上的 对应点如图所示,则这个方程的根的情况 是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 中考新趋势·新定义 (3 分)对于 4 个实数 a、 b、c、d 给出一种新的运算,定义 a　 b c　 d =ad-bc. 例如: 8　 9 3　 5 = 8×5-9×3 = 40-27 = 13,则方程 x　 1 6x　 x = -9 的根的情况为(　 　 ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 确定一元二次方程中未知字母的取值 (范围) 5. (3 分)关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x+ 1 = 2k 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围 为(　 　 ) A. k> 3 2 B. k<1 C. k<-1 D. k>- 3 2 6. (3 分)(山东模拟)若关于 x 的方程 ax2 -(2a- 1) x + a - 4 = 0 有实数根,则 a 的取值范围 是(　 　 ) A. a≥- 1 12 B. a≥- 1 12 且 a≠0 C. a≤- 1 12 D. a≤- 1 12 且 a≠0 7. (3 分)若关于 x 的一元二次方程(k-2) x2 -2x +1 = 0 有两个不相等的实数根,且 k 为非负整 数,则符合条件的 k 的个数为(　 　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. (3 分)若关于 x 的一元二次方程 x2 -2x-k+1 = 0 有两个不相等的实数根,则一次函数 y= kx -k 的大致图象是(　 　 ) A. B. C. D. 13 +2 = ±2 2 ,即 x+2 = 2 2 ,或 x+2 = -2 2 . ∴ x1 = -2+2 2 , x2 = -2-2 2 . 4. B 5. A　 【解析】∵ x2 -8x+42 = 48+42,∴ (x-4) 2 = 48+16,∴ a= 4,b= 16,∴ a+b= 4+16 = 20. 故选 A. 6. C 7. (1)4　 2　 (2)±3　 ± 3 2 8. 解:(1)配方,得 x2 +4x+4 = -1+4,即(x+2) 2 = 3,∴ x1 = 3 -2,x2 = - 3 -2. (2)移项,得 x2 -6x = -5,配方,得 x2 - 6x+ 9 = 9- 5,即(x- 3) 2 = 4,∴ x1 = 5,x2 = 1. (3)移项,得 x2 - 5x = 1. 配方,得 x2 - 5x+ 25 4 = 29 4 ,即( x- 5 2 ) 2 = 29 4 ,∴ x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . (4)移项,得 x2 - 8 3 x= 20 9 . 配方,得 x2 - 8 3 x+ 16 9 = 4,即(x- 4 3 ) 2 = 4. ∴ x- 4 3 = ±2,x1 = 10 3 ,x2 = - 2 3 . 9. 解:(1)二 (2)移项,得 x2 +4x= 8. 配方,得 x2 +4x+4 = 8+4,即(x+2) 2 = 12. 由此,可得 x+ 2 = ± 2 3 . ∴ x1 = - 2+ 2 3 ,x2 = - 2- 2 3 . 10. A　 11. D　 12. B 13. A　 【解析】解一元二次方程,得 x1 = 4,x2 = 2. ∵ 三角形 两边和大于第三条边,∴ 腰只能为 4,周长为 4+ 4+ 2 = 10. 故选 A. 14. D 15. 解:设增加了 x 行,根据题意得(6+x) (8+x) -6×8 = 51, 整理得 x2 + 14x- 51 = 0,解得 x1 = 3,x2 = - 17(不符合题 意,舍去) . 答:增加了 3 行或 3 列. 第 2 课时　 用配方法求解一元二次方程(二) 1. D　 【解析】∵ x2 + 3 2 x- 1 2 = 0,∴ x2 + 3 2 x+( 3 4 ) 2 = 1 2 + ( 3 4 ) 2,∴ (x+ 3 4 ) 2 = 17 16 . 故选 D. 2. B　 【解析】∵ x2 -2x- 1 2 = 0,∴ x2 -2x+1 = 1 2 +1,∴ (x-1) 2 = 3 2 ,∴ m= -1,n= 3 2 . 故选 B. 3. D 4. 解:(1)两边同除以 2,得 x2 - 3 2 x-3 = 0. 配方,得 x2 - 3 2 x+ ( 3 4 ) 2 -( 3 4 ) 2 -3 = 0,(x- 3 4 ) 2 -57 16 = 0. 移项,得(x- 3 4 ) 2 = 57 16 . 两边开平方,得 x- 3 4 = ± 57 4 ,∴ x1 = 3+ 57 4 ,x2 = 3- 57 4 ; (2)两边同除以 2 3 ,得 x2 + 1 2 x- 3 = 0. 配方,得 x2 + 1 2 x+ ( 1 4 ) 2 -( 1 4 ) 2 -3 = 0,(x+ 1 4 ) 2 -49 16 = 0. 移项,得(x+ 1 4 ) 2 = 49 16 . 两边开平方,得 x+ 1 4 = ± 7 4 . ∴ x1 = 3 2 ,x2 = -2. 5. B 6. 解:(1)由题意可得 x2 +2x+10 = (x2 +2x+1) +9 = (x+1) 2 + 9,∵ (x+1) 2 ≥0,∴ (x+1) 2 +9≥9,∴ 当 x = -1 时,代数式 x2 +2x+10 有最小值,最小值是 9; (2)由题意可得 - m2 + 8m + 3 = - (m2 - 8m + 16) + 3 + 16 = -(m-4) 2 +19,∵ (m-4) 2 ≥0,∴ -(m-4) 2 + 19≤19,∴ 当 m= 4 时,代数式-m2 +8m+3 有最大值,最大值为 19. 7. B 8. 解:∵ m-2 +6 |m-n+2 | = 0,∴ m-2 = 0,m-n+2 = 0,解得 m= 2,n= 4,∴ 原方程为 2x2 -4x-2 = 0,∴ x2 -2x-1 = 0. 移 项,得 x2 -2x= 1. 配方,得 x2 -2x+1 = 1+1,(x-1) 2 = 2. 开平 方,得 x-1 = ± 2 ,∴ x1 = 1+ 2 ,x2 = 1- 2 . 9. 解:【类比迁移】 第一步　 x+3 第二步　 x(x+3)　 画四个长为 x+3,宽为 x 的矩形,按如图所示的方式拼成 一个“空心”大正方形,则图中大正方形的面积可表示为 (x+x+3) 2 ,还可表示为四个矩形与一个边长为 3 的小正 方形面积之和,即 4x(x+3) +32 = 4×4+9,因此,可得新方 程:(x+x+3) 2 = 25,∵ x 表示边长,∴ 2x+3 = 5,即 x= 1. 第三步 方程的一个正根为 x= 1. 【拓展应用】 ±2　 3　 1 或 3 3　 用公式法求解一元二次方程 第 1 课时　 用公式法求解一元二次方程 1. C　 2. B　 3. C 4. 解:(1)a= 3 2 ,b = 4,c = -1. 因为 b2 - 4ac = 22> 0,所以 x = -4± 22 2× 3 2 = -4± 22 3 ,即 x1 = -4+ 22 3 ,x2 = -4- 22 3 ; (2)方程变形为 6x2 -3x-4 = 0,a= 6,b = -3,c= -4. 因为 b2 - 4ac = 105 > 0, 所以 x = 3± 105 2×6 = 3± 105 12 , 即 x1 = 3+ 105 12 ,x2 = 3- 105 12 . 5. A 6. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　归纳总结:一元二次方程根的情况与判别式 Δ 的关系:① Δ>0,方程有两个不相等的实数根; ②Δ = 0,方程有两个 相等的实数根;③Δ<0,方程没有实数根. 7. C 8. A　 【解析】根据题意得 Δ=(-2) 2 -4a≥0,解得 a≤1,即 a 的取值范围为 a≤1. 故选 A. 9. D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 +2x+1 = 0,∴ k ≠0,∵ 方程有两个实数根,∴ Δ= 22 -4k×1≥0,解得 k≤1, ∴ k 的取值范围是 k≤1 且 k≠0. 故选 D. 10. C　 【解析】由题意得 x2 -1-x= 1,整理得 x2 -x-2 = 0. ∵ Δ —8— =(-1) 2 -4×1×(-2)= 9>0,∴ 原方程有两个不相等的实 数根. 故选 C. 11. 一 12. m≥- 1 4 　 【解析】根据题意得 x2 -3x+2 =m,方程化为一 般式为 x2 -3x+2-m = 0,∵ 方程有两个实数根,∴ Δ = (- 3) 2 -4(2-m)≥0,解得 m≥- 1 4 ,即 m 的取值范围为 m ≥- 1 4 . 13. 解:(1)一　 方程没有化成一般形式 (2)方程化为 x2 -5x-1 = 0,∵ a = 1,b = -5,c = -1,∴ b2 - 4ac= ( - 5) 2 - 4× 1×( - 1) = 29> 0. ∴ x = 5± 29 2 . ∴ x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 14. (1)证明:∵ Δ= [-(m+1)] 2 -4×2 (m-1)= m2 -6m+9 = (m-3) 2 ≥0,∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:若腰长为 4,将 x = 4 代入原方程,得:16- 4(m+ 1)+2(m-1)= 0,解得 m= 5,∴ 原方程为 x2 -6x+8 = 0,解 得 x1 = 2,x2 = 4. 组成三角形的三边长度为 2、4、4;若底边 长为 4,则此方程有两个相等实数根,∴ Δ = 0,即 m = 3, 此时方程为 x2 -4x+4 = 0,解得 x1 = x2 = 2,由于 2+ 2 = 4, 不能构成三角形,舍去;所以三角形另外两边长度为 4 和 2. 第 2 课时　 公式法的应用 1. 24±12 2 2. 解:设每根横彩条的宽度为 5xcm,则每根竖彩条的宽度 为 4xcm,依题意,得(15-2×5x)(10-2×4x)= 15×10×(1- 1 3 ),整理,得 8x2 -22x+5 = 0,解得 x1 = 5 2 ,x2 = 1 4 . 当 x = 5 2 时,10-2×4x= -10<0,不合题意,舍去;当 x = 1 4 时,10- 2×4x= 8>0,符合题意,∴ 5x = 5 4 ,4x = 1. 故每根横彩条的 宽度为 5 4 cm,每根竖彩条的宽度为 1cm. 3. 解:(1)设 AB= x,则 BC= 38-2x. 根据题意列方程得 x(38 -2x)= 180,解得 x1 = 10,x2 = 9. 当 x = 10,38-2x = 18,当 x = 9,38-2x= 20,而墙长 19 米,不合题意舍去,若围成的面 积为 180 平方米,自行车车棚的长和宽分别为 18 米,10 米. (2)不能. 理由:根据题意列方程得,x(38-2x)= 200,整理 得出:x2 -19x+100 = 0. Δ = 361- 400 = - 39< 0,故此方程没 有实数根,故不能围成面积为 200m2 的自行车车棚. 4. 解:(1)(30-2x)(12-2x)= 144　 【解析】设切去的正方形 的边长为 xcm,则折成的方盒的底面为长(30-2x) cm,宽 (12-2x)cm 的矩形,依题意,得(30-2x)(12-2x)= 144. (2)能. 设裁去的正方形的边长为 ycm,则折成的长方体 盒子的底面为长( 30 2 -y) cm,宽(12-2y) cm 的矩形. 依题 意,得( 30 2 -y)(12-2y) = 104,整理,得 y2 -21y+38 = 0,解 得 y1 = 2,y2 = 19(不合题意,舍去) . ∴ 盒子的体积= 104×2 = 208(cm3 ) . 故能折出底面积为 104cm2 的有盖盒子,盒 子的体积为 208cm3 . 专题　 一元二次方程根的判别式的应用 1. A　 【解析】当 k= 0 时,方程化为-2x= 0,解得 x= 0;当 k≠ 0 时,当 Δ=[-(k+2)] 2 -4k· 1 4 k= 4k+4≥0 时,方程有两 个实数解,此时 k≥-1 且 k≠0,所以当 k≥-1 时,方程有 实数解,所以乙和丙的说法正确. 故选 A. 2. C 3. A　 【解析】由数轴看出 m>0,n<0. ∵ 2x2 -(m+n)x+mn= 0 是关于 x 的一元二次方程,∴ Δ=[-(m+n)] 2 -8mn. ∵ m> 0,n<0,∴ -8mn>0,∴ Δ=(m+n) 2 -8mn>0,∴ 原方程有两 个不相等的实数根. 故选 A. 4. A　 5. D 6. A　 【解析】分为两种情况:①当 a= 0 时,x-4 = 0,解得 x = 4;②当 a≠0 时,∵ 方程 ax2 -(2a-1)x+a-4 = 0 有实数根, ∴ Δ=[-(2a-1)] 2 - 4×a×(a- 4)= 12a+ 1≥0,解得 a≥ - 1 12 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　易错提醒:对于二次项系数含参数的方程,在没有指明该 方程是一元二次方程时,要注意该方程有可能是一元一 次方程,需根据题设条件进行分类讨论. 7. B　 【解析】由题意得 Δ=(-2) 2 -4(k-2)×1>0,且 k-2≠ 0,∴ k<3 且 k≠2,∴ 符合条件的 k 的非负整数值是 0,1. 故选 B. 8. B 4　 用因式分解法求解一元二次方程 1. D　 2. D 3. ③ 4. 解:(1)∵ (2x-1) 2 -5 = 0,∴ (2x-1+ 5 ) (2x-1- 5 )= 0, ∴ x1 = 1+ 5 2 ,x2 = 1- 5 2 ; (2)原方程可变形为(x-3)(x-3)+4x(x-3)= 0,∴ (x-3+ 4x)(x-3)= 0,(5x-3)(x-3)= 0,∴ x1 = 3 5 ,x2 = 3; 5. B 6. 解:(1)整理得:x2 -2x-6 = 0,∴ x2 -2x= 6,则 x2 -2x+1 = 6+ 1,即(x-1) 2 = 7,∴ x-1 = ± 7 ,∴ x1 = 1+ 7 ,x2 = 1- 7 ; (2)∵ a= 2,b= -4,c = -3,∴ Δ = ( -4) 2 -4×2×( -3) = 40> 0,则 x= 4±2 10 4 = 2± 10 2 ,∴ x1 = 2+ 10 2 ,x2 = 2- 10 2 ; (3)∵ (x-1) 2 +2(x-1) -3 = 0,∴ (x-1-1) (x-1+3) = 0, 即(x-2)(x+2)= 0,则 x-2 = 0 或 x+2 = 0,解得 x1 = 2,x2 = -2. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　拓展延伸:对(x+p)(x+q)= x2 +(p+q) x+pq 进行逆用,即 x2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(常数项是两个数的积,一次 项系数是这两个数的和),也是因式分解的一种方法,我 们称之为“十字相乘法”. 7. C　 8. B　 9. 1　 【解析】解法一:设 x2 -px-6 = 0 分解因式得(x-3)(x- m)= 0,化成一般形式为 x2 -(3+m)x+3m = 0,∴ 3m = -6, ∴ m= -2,∴ p = 3-2 = 1;解法二:∵ x- 3 是该方程左边二 次三项式的一个因式,∴ 原方程可转化的两个方程之一 为 x-3 = 0,∴ x = 3 是原方程的一个根,把 x = 3 代入原方 —9—