第二章 2 用配方法求解一元二次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 2　 用配方法求解一元二次方程 第 1 课时　 用配方法求解一元二次方程(一) 　 　 直接开平方法解一元二次方程 1. (3 分)一元二次方程 x2 -81 = 0 的解是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x= -9 B. x= 9 C. x1 = 9,x2 = -9 D. x= 81 2. (3 分)用直接开平方法解方程( 2x- 3) 2 = 4 时,可以将其转化为 2x-3 = 2 或 2x-3 = -2,其 依据的数学知识是(　 　 ) A. 完全平方公式 B. 平方根的意义 C. 等式的性质 D. 以上都不是 3. (8 分)解下列方程: (1)9x2 = 25; (2)6(x+2) 2 = 48. 用配方法解二次项系数为 1 的一元二 次方程 4. (3 分)一元二次方程 y2 -y- 3 4 = 0 配方后可化 为(　 　 ) A. (y+ 1 2 ) 2 = 1 B. (y- 1 2 ) 2 = 1 C. (y+ 1 2 ) 2 = 3 4 D. (y- 1 2 ) 2 = 3 4 5. (3 分)一元二次方程 x2 -8x= 48 可表示成(x- a) 2 = 48+b 的形式,其中 a,b 为整数,则 a+b 的值为(　 　 ) A. 20 B. 12 C. -12 D. -20 6. (3 分)用配方法解方程 x2 -12x = 3 时,方程两 边同时加上一个实数,使得方程左边配成一 个完全平方式,则这个实数是(　 　 ) A. 6 B. 12 C. 36 D. -36 7. (4 分)填空: (1)x2 -4x+　 　 = (x-　 　 ) 2; (2)m2 　 　 　 　 m+ 9 4 = (m　 　 　 　 ) 2 . 8. (16 分)解下列方程: (1)x2 +4x= -1; (2)x2 -6x+5 = 0; (3)x2 -5x-1 = 0; (4)x2 - 8 3 x-20 9 = 0. 42 配方时只在方程一边加上二次项系数 一半的平方致错 9. 中考新趋势·过程纠错 (9 分)下面是小明解 一元二次方程的过程,请认真阅读并完成相 应的任务. 解:x2 +4x-8 = 0 移项,得 x2 +4x= 8…第一步 配方,得 x2 +4x+4 = 8,即(x+2) 2 = 8…第二步 由此,可得 x+2 = ±2 2…第三步 所以,x1 = -2+2 2 ,x2 = -2-2 2…第四步 任务: (1)小明同学解题过程中,从第　 　 　 　 步开 始出现错误; (2)请给出正确的解题过程. 10. (3 分)方程(x-2) 2 -3 = 0 的解为(　 　 ) A. x1 = 2+ 3 ,x2 = 2- 3 B. x1 = 2+ 3 ,x2 = -2+ 3 C. x1 = -2- 3 ,x2 = 2+ 3 D. x1 = -2+ 3 ,x2 = -2- 3 11. (3 分)(平顶山期末) 一元二次方程(x+6) 2 = 16 可化为两个一元一次方程,其中一个一 元一次方程是 x+6 = 4,则另一个一元一次方 程是(　 　 ) A. x-6 = 4 B. x-6 = -4 C. x+6 = 4 D. x+6 = -4 12. (3 分)用直接开平方法解方程(x+m) 2 = n, 下列结论正确的是(　 　 ) A. 有两个根,为 x= ± n B. 当 n≥0 时,有两个解,为 x= ± n -m C. 当 n≥0 时,有两个解,为 x= ± n-m D. 当 n≤0 时,无实数解 13. (3 分)(平顶山一模)已知一元二次方程(x- 3) 2 = 1 的两个解恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长, 则 △ABC 的周 长 为(　 　 ) A. 10 B. 10 或 8 C. 9 D. 8 14. (3 分)已知方程 x2 - 6x+q = 0 配方后是( x- p) 2 = 7, 那么方程 x2 + 6x + q = 0 配方后 是(　 　 ) A. (x-p) 2 = 5 B. (x+p) 2 = 5 C. (x-p) 2 = 9 D. (x+p) 2 = 7 15. [教材习题 3 题变式] (8 分)某校团体操表 演队伍有 6 行 8 列,后又增加了 51 人,使得 团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增 加了多少行或多少列? 52 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 第 2 课时　 用配方法求解一元二次方程(二) 用配方法解二次项系数不为 1 的一元 二次方程 1. (3 分)用配方法解方程 2x2 +3x-1 = 0,则方程 可变形为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (x+3) 2 = 1 3 B. (x+ 3 4 ) 2 = 1 2 C. (3x+1) 2 = 1 D. (x+ 3 4 ) 2 = 17 16 2. (3 分)把方程 2x2 -4x-1 = 0 化为(x+m) 2 = n 的形式,则 m,n 的值是(　 　 ) A. m= -1,n= 1 2 B. m= -1,n= 3 2 C. m= 2,n= 4 D. m=n= 2 3. 学习情境·过程性学习 (3 分)在解方程 2x2 + 4x+1 = 0 时,对方程进行配方,一位同学提供 了三种方案. 方案Ⅰ 2x2 +4x+1 = 0; 2x2 +4x= -1; x2 +2x= - 1 2 ; x2 +2x+1 = 1 2 ; (x+1) 2 = 1 2 . 方案Ⅱ 2x2 +4x+1 = 0; x2 +2x+ 1 2 = 0; x2 +2x+1- 1 2 = 0; (x+1) 2 - 1 2 = 0; (x+1) 2 = 1 2 . 方案Ⅲ 2x2 +4x+1 = 0; 2x2 +4x= -1; 4x2 +8x= -2; 4x2 +8x+4 = -2+4; (2x+2) 2 = 2. 对于方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,下列说法正确的是(　 　 ) A. 只有Ⅰ正确 B. 只有Ⅰ、Ⅱ正确 C. 只有Ⅰ、Ⅲ正确 D. 都正确 4. (8 分)解下列方程: (1)2x2 -3x-6 = 0; 　 　 　 (2) 2 3 x2 + 1 3 x-2 = 0. 配方法的应用 5. (3 分)设 M= 2x2 -7x+6,N = x2 -3x+2,则 M,N 的大小关系是(　 　 ) A. M<N B. M≥N C. M=N D. M≤N 6. 学习情境·过程性学习 (8 分)阅读理解:求代 数式 x2 +6x+10 的最小值. 解:∵ x2 +6x+10 = (x2 +6x+9) +1 = (x+3) 2 +1, ∴ 当 x= -3 时,代数式 x2 +6x+10 有最小值,最 小值是 1. 仿照应用求值: (1)求代数式 x2 +2x+10 的最小值; (2)求代数式-m2 +8m+3 的最大值. 62 7. 学习情境·接力游戏 (3 分)老师设计了一个 用合作的方式完成配方法解一元二次方程的 接力游戏,规则如下:每人只能看到前一人给 的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下 一人,最后解出方程,过程如下图所示. 老师 看后,发现有一位同学负责的步骤是错误的, 这位同学是(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. (8 分)若实数 m,n 满足 m-2 +6 | m-n+2 | = 0,用配方法解关于 x 的一元二次方程 mx2 -nx -2 = 0. 9. (11 分)(深圳期末)【综合与实践】阅读材料, 并解决以下问题. 【学习研究】北师大版教材九年级上册介绍了 我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》 中关于一元二次方程的几何解法,以 x2 +2x- 35 = 0 为例,构造方法如下: 首先将方程 x2 + 2x- 35 = 0 变形为 x( x+ 2) = 35,然后画四个长为 x+2,宽为 x 的矩形,按如 图(1)所示的方式拼成一个“空心”大正方形, 则图中大正方形的面积可表示为( x+x+2) 2, 还可表示为四个矩形与一个边长为 2 的小正 方形面积之和,即 4x( x+2) +22 = 4×35+4,因 此,可得新方程:(x+x+2) 2 = 144,∵ x 表示边 长,∴ 2x+2 = 12,即 x = 5,遗憾的是,这样的做 法只能得到方程的其中一个正根. 图(1) 　 画图区 　 　 图(2) 【类比迁移】小明根据赵爽的办法解方程 x2 + 3x-4 = 0,请你帮忙画出相应的图形,将其解 答过程补充完整: 第一 步: 将 原 方 程 变 形 为 x2 + 3x = 4, 即 x(　 　 　 　 )= 4; 第二步:利用四个面积可用 x 表示为　 　 　 　 的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区 画出示意图,标明各边长),并写出完整的解答 过程: 第三步: 【拓展应用】一般地,对于形如:x2 +ax = b 的一 元二次方程可以构造图(2)来解,已知图(2) 是由 4 个面积为 3 的相同矩形构成,中间围成 的正方形面积为 4. 那么此方程的系数 a = 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ,求得方程的一个正根为 　 　 　 　 . 72 -2t,t= 10 3 . 即当 t= 10 3 时,四边形 AEFD 为菱形. 6. B　 7. B　 8. C 9. 证明:(1)∵ 点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,∴ ∠DAP = ∠PAB, AD = AB. ∵ 在 △ABP 和 △ADP 中, AB=AD ∠PAB= ∠PAD AP=AP { ,∴ △ABP≌△ADP (SAS); (2)∵ PE∥CD,PF∥AD,∴ 四边形 EPFD 为平行四边形. 由(1)得:△ABP≌△ADP,∴ BP =DP. 又∵ BP =EF,∴ DP =EF,∴ 四边形 EPFD 为矩形. 10. B　 【解析】过 C 作 CF⊥AB 交 AB 延长线于 F,如图,∵ 图 1 正方形的对角线为 2,∴ 图 1 正方形的边长为 2,∴ 图 2 中,AD=BC = 2,根据图 1 知,图 2 中∠DBC = 90°, ∠DBA= 45°,∴ ∠CBF= 45°,∴ △CBF 是等腰直角三角 形,∴ BF= CF = 1. ∵ AB = 2,∴ AF = AB+BF = 3,∴ AC = AF2 +CF2 = 32 +12 = 10 . 故选 B. 11. 6 12. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = CD,∠ABE =∠CDF= 45°. 又∵ AE∥CF,∴ ∠AEF= ∠CFE,∴ ∠AEB = ∠CFD,∴ △ABE≌△CDF(AAS); (2)解:四边形 AECF 是菱形. 理由如下:连接 AC,与 BD 交于点 O,∵ △ABE≌△CDF,∴ BE =DF. 又∵ OB = OD, ∴ OB-BE = OD-DF,即 OE = OF. ∵ OA = OC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 又∵ AC⊥EF,∴ 四边形 AECF 是 菱形. 13. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD = BC, ∠BAD = 90°. ∵ AF ⊥ AC, ∴ ∠EAF = 90°, ∴ ∠BAF = ∠DAE. 在△ADE 和△ABF 中 AD=AB ∠DAE= ∠BAF AE=AF { ,∴ △ADE ≌△ABF(SAS),∴ BF=DE; (2)解:当点 E 运动到 AC 的中点时,四边形 AFBE 是正 方形,理由:当点 E 运动到 AC 的中点时,∵ AB = BC,∴ BE⊥AC,BE= AE = 1 2 AC. ∵ AF = AE,∴ BE = AF = AE. 又 ∵ BE⊥AC,∠FAE= ∠BEC = 90°,∴ BE∥AF. ∵ BE = AF, ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形. ∵ ∠FAE = 90°,AF = AE, ∴ 四边形 AFBE 是正方形. 14. 解: (1)线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC,PG PC = 1; (2)猜想:线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC,PG PC = 3 . 证明:延长 GP 交 DC 于点 H,∵ P 是线段 DF 的中 点,∴ FP=DP,由题意可知 DC∥GF,∴ ∠GFP = ∠HDP, ∵ ∠GPF = ∠HPD, ∴ △GFP≌ △HDP ( ASA), ∴ GP = HP,GF= DH = GB,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ CD = CB, ∴ CG= CH,∴ △CHG 是等腰三角形,∴ PG⊥PC,CP 平 分∠BCD. 又∵ ∠ABC = 60°,AB∥CD,∴ ∠BCD = 180° - ∠ABC= 120°. ∴ ∠GCP = 60°, ∴ ∠CGP = 30°. ∴ CG = 2PC. ∴ PG= CG2 -PC2 = 3PC. ∴ PG PC = 3 . 第二章　 一元二次方程 1　 认识一元二次方程 第 1 课时　 一元二次方程 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　易错提醒:一元二次方程必须同时满足三个条件:是整式 方程;只含有一个未知数;未知数的最高次数是 2. 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　易错提醒:(1)确定一元二次方程的项及各项系数时,必 须先将方程化成一般形式,习惯上把二次项系数化为正 数; (2) 写项和各项的系数时都包括其前面的符号. 3. B　 4. A 5. (x-2) 2 +x2 +(x+2) 2 = 371 6. A　 【解析】因为关于 x 的方程(a-3) x | a-1 | +x-1 = 0 是一 元二次方程,所以 a-3≠0 且 | a-1 | = 2,解得 a = -1. 故选 A. 7. D 8. (20+2x)(15+2x)-20×15 = 1 3 ×20×15 9. 解:(1)2k+1 = 0 且-4k≠0,即 k = - 1 2 时,(2k+1)x2 -4kx+ k-1 = 0 是一元一次方程,2x- 3 2 = 0,解得 x= 3 4 ; (2)2k+1≠0,即 k≠- 1 2 时,(2k+1)x2 -4kx+k-1 = 0 是一 元二次方程,二次项系数是(2k+ 1),一次项系数是- 4k, 常数项是(k-1) . 第 2 课时　 一元二次方程的解及其估算 1. D　 2. B　 3. 1　 4. A　 5. B 6. C　 【解析】将 x= -2 代入方程得 2×(-2) 2 +(-2)m+n= 0, 则 n= 2m-8,将 x= 1 代入方程得 2×12 +m+n= 0,则 n= -2 -m. ∴ 2m-8 = -2-m. 则 m = 2,n = -4,∴ nm = (-4) 2 = 16. 故选 C. 7. B　 【解析】∵ a 是方程 x2 -3x+1 = 0 的一个根,∴ a2 -3a+1 = 0. ∵ a≠0,∴ a-3+ 1 a = 0,即 a+ 1 a = 3,∴ 2- 1 a -a= 2-(a + 1 a )= -1. 故选 B. 8. (1)25t-5t2 = 20 (2)20　 30　 30　 20　 0　 -30 (3)1 或 4 9. 解:∵ a-2≥0 2-a≥0{ ,∴ a-2 = 0,a = 2,∵ b = a-2 + 2-a - 3, ∴ b= -3. ∵ 将 x= 1 代入方程,得 a+b+c = 0,∴ c = 1,∴ 这 个一元二次方程为 2x2 -3x+1 = 0. 2　 用配方法求解一元二次方程 第 1 课时　 用配方法求解一元二次方程(一) 1. C　 2. B 3. 解:(1)x2 = 25 9 . 两边开平方,得 x1 = 5 3 或 x2 = - 5 3 . (2)方程两边同时除以 6,得(x+2) 2 = 8. 两边开平方,得 x —7— +2 = ±2 2 ,即 x+2 = 2 2 ,或 x+2 = -2 2 . ∴ x1 = -2+2 2 , x2 = -2-2 2 . 4. B 5. A　 【解析】∵ x2 -8x+42 = 48+42,∴ (x-4) 2 = 48+16,∴ a= 4,b= 16,∴ a+b= 4+16 = 20. 故选 A. 6. C 7. (1)4　 2　 (2)±3　 ± 3 2 8. 解:(1)配方,得 x2 +4x+4 = -1+4,即(x+2) 2 = 3,∴ x1 = 3 -2,x2 = - 3 -2. (2)移项,得 x2 -6x = -5,配方,得 x2 - 6x+ 9 = 9- 5,即(x- 3) 2 = 4,∴ x1 = 5,x2 = 1. (3)移项,得 x2 - 5x = 1. 配方,得 x2 - 5x+ 25 4 = 29 4 ,即( x- 5 2 ) 2 = 29 4 ,∴ x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . (4)移项,得 x2 - 8 3 x= 20 9 . 配方,得 x2 - 8 3 x+ 16 9 = 4,即(x- 4 3 ) 2 = 4. ∴ x- 4 3 = ±2,x1 = 10 3 ,x2 = - 2 3 . 9. 解:(1)二 (2)移项,得 x2 +4x= 8. 配方,得 x2 +4x+4 = 8+4,即(x+2) 2 = 12. 由此,可得 x+ 2 = ± 2 3 . ∴ x1 = - 2+ 2 3 ,x2 = - 2- 2 3 . 10. A　 11. D　 12. B 13. A　 【解析】解一元二次方程,得 x1 = 4,x2 = 2. ∵ 三角形 两边和大于第三条边,∴ 腰只能为 4,周长为 4+ 4+ 2 = 10. 故选 A. 14. D 15. 解:设增加了 x 行,根据题意得(6+x) (8+x) -6×8 = 51, 整理得 x2 + 14x- 51 = 0,解得 x1 = 3,x2 = - 17(不符合题 意,舍去) . 答:增加了 3 行或 3 列. 第 2 课时　 用配方法求解一元二次方程(二) 1. D　 【解析】∵ x2 + 3 2 x- 1 2 = 0,∴ x2 + 3 2 x+( 3 4 ) 2 = 1 2 + ( 3 4 ) 2,∴ (x+ 3 4 ) 2 = 17 16 . 故选 D. 2. B　 【解析】∵ x2 -2x- 1 2 = 0,∴ x2 -2x+1 = 1 2 +1,∴ (x-1) 2 = 3 2 ,∴ m= -1,n= 3 2 . 故选 B. 3. D 4. 解:(1)两边同除以 2,得 x2 - 3 2 x-3 = 0. 配方,得 x2 - 3 2 x+ ( 3 4 ) 2 -( 3 4 ) 2 -3 = 0,(x- 3 4 ) 2 -57 16 = 0. 移项,得(x- 3 4 ) 2 = 57 16 . 两边开平方,得 x- 3 4 = ± 57 4 ,∴ x1 = 3+ 57 4 ,x2 = 3- 57 4 ; (2)两边同除以 2 3 ,得 x2 + 1 2 x- 3 = 0. 配方,得 x2 + 1 2 x+ ( 1 4 ) 2 -( 1 4 ) 2 -3 = 0,(x+ 1 4 ) 2 -49 16 = 0. 移项,得(x+ 1 4 ) 2 = 49 16 . 两边开平方,得 x+ 1 4 = ± 7 4 . ∴ x1 = 3 2 ,x2 = -2. 5. B 6. 解:(1)由题意可得 x2 +2x+10 = (x2 +2x+1) +9 = (x+1) 2 + 9,∵ (x+1) 2 ≥0,∴ (x+1) 2 +9≥9,∴ 当 x = -1 时,代数式 x2 +2x+10 有最小值,最小值是 9; (2)由题意可得 - m2 + 8m + 3 = - (m2 - 8m + 16) + 3 + 16 = -(m-4) 2 +19,∵ (m-4) 2 ≥0,∴ -(m-4) 2 + 19≤19,∴ 当 m= 4 时,代数式-m2 +8m+3 有最大值,最大值为 19. 7. B 8. 解:∵ m-2 +6 |m-n+2 | = 0,∴ m-2 = 0,m-n+2 = 0,解得 m= 2,n= 4,∴ 原方程为 2x2 -4x-2 = 0,∴ x2 -2x-1 = 0. 移 项,得 x2 -2x= 1. 配方,得 x2 -2x+1 = 1+1,(x-1) 2 = 2. 开平 方,得 x-1 = ± 2 ,∴ x1 = 1+ 2 ,x2 = 1- 2 . 9. 解:【类比迁移】 第一步　 x+3 第二步　 x(x+3)　 画四个长为 x+3,宽为 x 的矩形,按如图所示的方式拼成 一个“空心”大正方形,则图中大正方形的面积可表示为 (x+x+3) 2 ,还可表示为四个矩形与一个边长为 3 的小正 方形面积之和,即 4x(x+3) +32 = 4×4+9,因此,可得新方 程:(x+x+3) 2 = 25,∵ x 表示边长,∴ 2x+3 = 5,即 x= 1. 第三步 方程的一个正根为 x= 1. 【拓展应用】 ±2　 3　 1 或 3 3　 用公式法求解一元二次方程 第 1 课时　 用公式法求解一元二次方程 1. C　 2. B　 3. C 4. 解:(1)a= 3 2 ,b = 4,c = -1. 因为 b2 - 4ac = 22> 0,所以 x = -4± 22 2× 3 2 = -4± 22 3 ,即 x1 = -4+ 22 3 ,x2 = -4- 22 3 ; (2)方程变形为 6x2 -3x-4 = 0,a= 6,b = -3,c= -4. 因为 b2 - 4ac = 105 > 0, 所以 x = 3± 105 2×6 = 3± 105 12 , 即 x1 = 3+ 105 12 ,x2 = 3- 105 12 . 5. A 6. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　归纳总结:一元二次方程根的情况与判别式 Δ 的关系:① Δ>0,方程有两个不相等的实数根; ②Δ = 0,方程有两个 相等的实数根;③Δ<0,方程没有实数根. 7. C 8. A　 【解析】根据题意得 Δ=(-2) 2 -4a≥0,解得 a≤1,即 a 的取值范围为 a≤1. 故选 A. 9. D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 +2x+1 = 0,∴ k ≠0,∵ 方程有两个实数根,∴ Δ= 22 -4k×1≥0,解得 k≤1, ∴ k 的取值范围是 k≤1 且 k≠0. 故选 D. 10. C　 【解析】由题意得 x2 -1-x= 1,整理得 x2 -x-2 = 0. ∵ Δ —8—