第二章 1 认识一元二次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

1　 认识一元二次方程 第 1 课时　 一元二次方程 一元二次方程的定义及一般形式 1. (3 分)下列方程中一定是关于 x 的一元二次 方程的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ax2 +bx+c= 0 B. x2 +1-y2 = 0 C. x2 + 1 x = 2 D. x2 -x-2 = 0 2. [教材习题 2 变式](3 分)方程 7x2 = 6x-8 化 为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、 一次项系数、常数项分别是(　 　 ) A. 7,6,-8 B. 7,-6,-8 C. 7,-6,8 D. 6,7,-8 3. (3 分)若方程(m-2) x2 -x = 1 是一元二次方 程,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m≠0 B. m≠2 C. m= 1 D. m≠1 列一元二次方程 4. 生活情境·绿地扩建 (3 分)今年我市计划扩 大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的 短边长为 40 m,若将短边增长到与长边相等 (长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方 形,且面积比原来增加 500 m2 . 设原来绿地的 长边为 x(m),则可列方程为(　 　 ) A. x2 -40x= 500 B. x2 +40x= 500 C. (x-40) 2 = 500 D. x2 -1600 = 500 5. [教材习题 1(2)变式] (3 分)已知三个连续 奇数的平方和是 371,设第二个奇数为 x,则依 题意可得到的方程是　 　 　 　 　 　 　 　 . 忽略二次项系数不为 0 致错 6. (3 分)已知关于 x 的方程(a-3)x | a-1 | +x-1 = 0 是一元二次方程,则 a 的值是(　 　 ) A. -1 B. 2 C. -1 或 3 D. 3 7. (3 分)已知一个一元二次方程化为一般形式 后,二次项系数是 5,一次项系数是-4,常数项 是-1,则这个一元二次方程可能是(　 　 ) A. 5x2 +4x= 1 B. x2 -4x-5 = 0 C. 5x2 -1 = 0 D. 5x2 -1 = 4x 8. 学习情境·摄影展览 (3 分)在“双减”政策下, 学校开展了丰富多彩的活动,其中,要举办一 次摄影展览,在每张长和宽分别为 20 cm 和 15 cm 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验,彩纸面积为相片面积的 1 3 时较美观. 若所镶彩纸的宽为 x cm,根据题意,列方程为 　 . 9. (6 分)已知关于 x 的方程(2k+1)x2 -4kx+k-1 = 0. (1)k 为何值时,此方程是一元一次方程? 求 出这个一元一次方程的根; (2)k 为何值时,此方程是一元二次方程? 并 写出这个一元二次方程的二次项系数、一次 项系数、常数项. 22 第 2 课时　 一元二次方程的解及其估算 一元二次方程的解 1. (3 分)以-2 为根的一元二次方程是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x2 -x+2 = 0 B. x2 -x-2 = 0 C. x2 +x+2 = 0 D. x2 +x-2 = 0 2. (3 分)已知一元二次方程 x2 +kx-3 = 0 有一个 根为 x= 1,则 k 的值为(　 　 ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 3. (3 分)已知 x= 1 是一元二次方程 x2 +ax+b= 0 的一个根,则 a2 +2ab+b2 的值为　 　 　 　 . 估计一元二次方程的近似解 4. (3 分)根据下表:确定方程 x2 -bx-5 = 0 的解 的取值范围是(　 　 ) x -3 -2 -1 … 4 5 6 x2 -bx-5 13 5 -1 … -1 5 13 A. -2<x<-1 或 4<x<5 B. -2<x<-1 或 5<x<6 C. -3<x<-2 或 5<x<6 D. -3<x<-2 或 4<x<5 5. (3 分)如表给出了 x,x2 +2x-9 的一些对应值, 则可以估计一元二次方程 x2 +2x-9 = 0 的一个 近似解(精确到 0. 1)为(　 　 ) x … 2 2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 … x2 +2x-9 … -1 -0. 39 0. 24 0. 89 1. 56 … A. -1 B. 2. 2 C. 0. 24 D. -0. 39 6. (3 分)关于 x 的方程 2x2 +mx+n = 0 的两个根 是-2 和 1,则 nm 的值为(　 　 ) A. -8 B. 8 C. 16 D. -16 7. (3 分)若非零实数 a 是一元二次方程 x2 -3x+1 = 0 的一个根,则代数式 2- 1 a -a 的值为(　 　 ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 5 8. 跨学科试题·物理 (6 分)在没有空气阻力的 条件下,对于竖直向上抛出的物体,有如下关 系:h= vt- 1 2 gt2,其中 h 是离抛出点所在平面 的高度,v 是初速度,g 是重力加速度( g = 10 m / s2),t 是抛出后所经过的时间. (1)如果将一物体以 25 m / s 的初速度向上抛 出,几秒钟后它在离抛出点 20 m 高的地方? 由此可得到的方程为　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)填写下表: t / s 1 2 3 4 5 6 … h / m … (3)请估算,当 t 为　 　 　 　 s 后,物体在离抛 出点 20 m 高的地方. 9. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 ( a≠ 0) 的一个根是 1,且 a, b 满足 b = a-2 + 2-a -3,求这个一元二次方程. 32 -2t,t= 10 3 . 即当 t= 10 3 时,四边形 AEFD 为菱形. 6. B　 7. B　 8. C 9. 证明:(1)∵ 点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,∴ ∠DAP = ∠PAB, AD = AB. ∵ 在 △ABP 和 △ADP 中, AB=AD ∠PAB= ∠PAD AP=AP { ,∴ △ABP≌△ADP (SAS); (2)∵ PE∥CD,PF∥AD,∴ 四边形 EPFD 为平行四边形. 由(1)得:△ABP≌△ADP,∴ BP =DP. 又∵ BP =EF,∴ DP =EF,∴ 四边形 EPFD 为矩形. 10. B　 【解析】过 C 作 CF⊥AB 交 AB 延长线于 F,如图,∵ 图 1 正方形的对角线为 2,∴ 图 1 正方形的边长为 2,∴ 图 2 中,AD=BC = 2,根据图 1 知,图 2 中∠DBC = 90°, ∠DBA= 45°,∴ ∠CBF= 45°,∴ △CBF 是等腰直角三角 形,∴ BF= CF = 1. ∵ AB = 2,∴ AF = AB+BF = 3,∴ AC = AF2 +CF2 = 32 +12 = 10 . 故选 B. 11. 6 12. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = CD,∠ABE =∠CDF= 45°. 又∵ AE∥CF,∴ ∠AEF= ∠CFE,∴ ∠AEB = ∠CFD,∴ △ABE≌△CDF(AAS); (2)解:四边形 AECF 是菱形. 理由如下:连接 AC,与 BD 交于点 O,∵ △ABE≌△CDF,∴ BE =DF. 又∵ OB = OD, ∴ OB-BE = OD-DF,即 OE = OF. ∵ OA = OC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 又∵ AC⊥EF,∴ 四边形 AECF 是 菱形. 13. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD = BC, ∠BAD = 90°. ∵ AF ⊥ AC, ∴ ∠EAF = 90°, ∴ ∠BAF = ∠DAE. 在△ADE 和△ABF 中 AD=AB ∠DAE= ∠BAF AE=AF { ,∴ △ADE ≌△ABF(SAS),∴ BF=DE; (2)解:当点 E 运动到 AC 的中点时,四边形 AFBE 是正 方形,理由:当点 E 运动到 AC 的中点时,∵ AB = BC,∴ BE⊥AC,BE= AE = 1 2 AC. ∵ AF = AE,∴ BE = AF = AE. 又 ∵ BE⊥AC,∠FAE= ∠BEC = 90°,∴ BE∥AF. ∵ BE = AF, ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形. ∵ ∠FAE = 90°,AF = AE, ∴ 四边形 AFBE 是正方形. 14. 解: (1)线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC,PG PC = 1; (2)猜想:线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC,PG PC = 3 . 证明:延长 GP 交 DC 于点 H,∵ P 是线段 DF 的中 点,∴ FP=DP,由题意可知 DC∥GF,∴ ∠GFP = ∠HDP, ∵ ∠GPF = ∠HPD, ∴ △GFP≌ △HDP ( ASA), ∴ GP = HP,GF= DH = GB,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ CD = CB, ∴ CG= CH,∴ △CHG 是等腰三角形,∴ PG⊥PC,CP 平 分∠BCD. 又∵ ∠ABC = 60°,AB∥CD,∴ ∠BCD = 180° - ∠ABC= 120°. ∴ ∠GCP = 60°, ∴ ∠CGP = 30°. ∴ CG = 2PC. ∴ PG= CG2 -PC2 = 3PC. ∴ PG PC = 3 . 第二章　 一元二次方程 1　 认识一元二次方程 第 1 课时　 一元二次方程 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　易错提醒:一元二次方程必须同时满足三个条件:是整式 方程;只含有一个未知数;未知数的最高次数是 2. 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　易错提醒:(1)确定一元二次方程的项及各项系数时,必 须先将方程化成一般形式,习惯上把二次项系数化为正 数; (2) 写项和各项的系数时都包括其前面的符号. 3. B　 4. A 5. (x-2) 2 +x2 +(x+2) 2 = 371 6. A　 【解析】因为关于 x 的方程(a-3) x | a-1 | +x-1 = 0 是一 元二次方程,所以 a-3≠0 且 | a-1 | = 2,解得 a = -1. 故选 A. 7. D 8. (20+2x)(15+2x)-20×15 = 1 3 ×20×15 9. 解:(1)2k+1 = 0 且-4k≠0,即 k = - 1 2 时,(2k+1)x2 -4kx+ k-1 = 0 是一元一次方程,2x- 3 2 = 0,解得 x= 3 4 ; (2)2k+1≠0,即 k≠- 1 2 时,(2k+1)x2 -4kx+k-1 = 0 是一 元二次方程,二次项系数是(2k+ 1),一次项系数是- 4k, 常数项是(k-1) . 第 2 课时　 一元二次方程的解及其估算 1. D　 2. B　 3. 1　 4. A　 5. B 6. C　 【解析】将 x= -2 代入方程得 2×(-2) 2 +(-2)m+n= 0, 则 n= 2m-8,将 x= 1 代入方程得 2×12 +m+n= 0,则 n= -2 -m. ∴ 2m-8 = -2-m. 则 m = 2,n = -4,∴ nm = (-4) 2 = 16. 故选 C. 7. B　 【解析】∵ a 是方程 x2 -3x+1 = 0 的一个根,∴ a2 -3a+1 = 0. ∵ a≠0,∴ a-3+ 1 a = 0,即 a+ 1 a = 3,∴ 2- 1 a -a= 2-(a + 1 a )= -1. 故选 B. 8. (1)25t-5t2 = 20 (2)20　 30　 30　 20　 0　 -30 (3)1 或 4 9. 解:∵ a-2≥0 2-a≥0{ ,∴ a-2 = 0,a = 2,∵ b = a-2 + 2-a - 3, ∴ b= -3. ∵ 将 x= 1 代入方程,得 a+b+c = 0,∴ c = 1,∴ 这 个一元二次方程为 2x2 -3x+1 = 0. 2　 用配方法求解一元二次方程 第 1 课时　 用配方法求解一元二次方程(一) 1. C　 2. B 3. 解:(1)x2 = 25 9 . 两边开平方,得 x1 = 5 3 或 x2 = - 5 3 . (2)方程两边同时除以 6,得(x+2) 2 = 8. 两边开平方,得 x —7—