第一章 3 正方形的性质与判定-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

3　 正方形的性质与判定 第 1 课时　 正方形的性质 　 　 正方形的性质 1. (3 分)下列结论中,正确的有(　 　 ) ①正方形具有平行四边形的一切性质 ②正方形具有矩形的一切性质 ③正方形具有菱形的一切性质 ④正方形有两条对称轴 ⑤正方形有 4 条对称轴 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. [教材随堂练习 1 变式] (3 分) 如图,正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则图中 的等腰直角三角形有(　 　 ) A. 4 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. (3 分) 如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的顶点 O,B 的坐标分别是(0,0),(2, 0),则顶点 C 的坐标是(　 　 ) A. (1,1) B. ( -1,-1) C. (1,-1) D. ( -1,1) 4. (3 分) 如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边 △ABE,则∠BED 的大小为(　 　 ) A. 15° B. 35° C. 45° D. 55° 5. 文化情境·传统文化 (3 分)方胜纹是中国传统 纹样,寓意吉祥,如图①是铜胎画珐琅山水图 方胜盖盒,图②是它的示意图,它由两个全等 的正方形重叠而成,其中重叠部分也是正方 形. 已知该盖盒的长为 17. 6 cm(点 A、B 之间的 距离),宽为 10 cm(点 C、D 之间的距离),则重 叠部分的正方形面积为　 　 　 　 cm2. 图①　 　 　 　 　 　 图②　 6. (10 分)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点 O,点 E,F 是对角线 AC 上的两 点,且 AE=CF. 连接 DE,DF,BE,BF. (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若 AB = 4,AE = 2 ,求四边形 BEDF 的周 长. 无图的情况下没有分情况讨论致错 7. (3 分)在正方形 ABCD 中,AB= 6,点 P 是正方 形边上一点,若 PD = 2AP,则 AP 的长为 　 　 　 　 　 . 31 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 8. (3 分)(焦作期末)如图,在正方形 ABCD 中, 点 F 为 CD 上一点,BF 与 AC 交于点 E. 若 ∠CBF= 20°,则∠DEF 的度数是(　 　 ) A. 25° B. 40° C. 45° D. 50° 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. (3 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1, 连接 AC、BD,CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E,则 DE= 　 　 　 　 . 10. (10 分) (青岛一模)如图,正方形 ABCD,点 P 在边 BC 的延长线上,连接 AP 交 BD 于 F, 过点 C 作 CG∥AP 交 BD 于点 G,连接 AG, CF. (1)求证:△ADF≌△CBG; (2)判断四边形 AGCF 是什么特殊四边形? 请说明理由. 11. (11 分) (深圳模拟)如图,在正方形 ABCD 中,AB= 8,点 E 是射线 DC 上一个动点(点 E 与点 D 不重合),连接 AE,BE,以 BE 为边在 线段 BE 的右侧作正方形 BEFG,连接 CG. 　 备用图 (1)当点 E 在线段 DC 上时,求证:△BAE≌ △BCG; (2)在(1)的条件下,若 CE= 2,求 CG 的长; (3)连接 CF,当△CFG 为等腰三角形时,求 DE 的长. 41 第 2 课时　 正方形的判定　 　 正方形的判定 1. (3 分)下列叙述错误的是(　 　 ) A. 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 有一个角是直角的菱形是正方形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2. [教材议一议变式](3 分)把一张矩形纸片对 折两次(两次的折痕垂直),然后剪下一个角, 为了得到一个正方形:剪刀与折痕所成的角 的度数应为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. (3 分) 如图所示,在△ABC 中,∠ACB = 90°, BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于 点 E,且 BE= BF,添加一个条件,仍不能证明 四边形 BECF 为正方形的是(　 　 ) A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图,已知 AC= 2 cm,小红作了如下操 作:分别以 A,C 为圆心,1 cm 的长为半径作弧, 两弧分别相交于点 B,D,依次连接 AB、BC、CD、 AD、BD,则四边形 ABCD 的形状是(　 　 ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 5. (3 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 4 cm,∠DAB = 60°,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 同时 从 O 点出发在线段 AC 上以 0. 5 cm / s 的速度 反向运动(点 E,F 分别到达 A,C 两点时停止运 动),设运动时间为 t s. 连接 DE,DF,BE,BF,当 t= 　 　 　 　 s 时,四边形 DEBF 为正方形. 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. (3 分)如图,在△ABC 中,AC =BC,点 D、E 分 别是边 AB、AC 的中点. 延长 DE 到点 F,使 DE =EF,得四边形 ADCF. 当∠ACB = 　 　 　 　 时,四边形 ADCF 是正方形. 7. ( 6 分) 如 图, 在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°, ∠CAB、∠CBA 的平分线相交于点 D,DE⊥BC 于点 E,DF⊥AC 于点 F. 求证:四边形 CEDF 为正方形. 8. 中考新趋势·过程性学习 (3 分) 一个四边形 顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方 形: 51 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 a. 两组对边分别相等 b. 一组对边平行且相等 c. 一组邻边相等 d. 一个角是直角 顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a →b→c;则正确的是(　 　 ) A. ②③ B. ①② C. 仅① D. 仅③ 9. (3 分)如图,在矩形 ABCD 中,M,N 分别是边 AD,BC 的中点,连接 BM、CM,E,F 分别是 BM,CM 的中点,当 AB ∶AD= 　 　 　 　 ,四边形 MENF 是正方形. 第 9 题图 　 第 10 题图 10. (3 分)如图,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、 DA 的中点. 要使四边形 EFGH 是正方形, BD、AC 应满足的条件是　 　 　 　 　 　 . 11. (7 分)如图,等边△AEF 的顶点 E,F 在矩形 ABCD 的边 BC,CD 上,且∠CEF = 45°. 求证: 四边形 ABCD 是正方形. 12. (10 分)如图,在△ABC 中,AC=BC= 6,∠ACB >90°. ∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,E 是 AB 上的点,且 BE=BC,CF∥ED. (1)求证:四边形 CDEF 是菱形; (2)当∠ACB 的度数为多少时,四边形 CDEF 是正方形. 请给予说明. 61 (3)解:当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形. 理由:当 O 为 AC 的中点时,AO = CO,∵ EO = FO, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵ ∠ECF = 90°,∴ 四边形 AECF 是矩形. 第 3 课时　 矩形的性质与判定的运用 1. A　 2. D　 3. C　 4. 36° 5. 2. 4s　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠D = 90°,∴ PD∥CQ. 若使 P、Q、C、D 四点组成矩形,则 PD = CQ. 设运动时间为 ts,由题意得 DP = 12-t,0≤t≤3,CQ = 4t,12-t= 4t,∴ t= 2. 4. 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AC = BD,OA = OC = 1 2 AC,OB=OD = 1 2 BD,∴ OB = OC,∵ BE⊥AC,CF⊥BD, ∴ ∠BEO = ∠CFO = 90°, 在 △BEO 和 △CFO 中, ∠BOE= ∠COF ∠BEO= ∠CFO OB=OC { ,∴ △BEO≌△CFO(AAS),∴ BE=CF; (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC = 90°,AC =BD, OA = OC = 1 2 AC,OB = OD = 1 2 BD,∴ OB = OA,∵ ∠AOB = 60°,∴ △AOB 是等边三角形,∴ AB = AO =OB = 8,∴ AC = 16. 由勾股定理得:BC= 162 -82 = 8 3 ,∴ 矩形的面积是 AB×BC= 8×8 3 = 64 3 . 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ DC∥AB,DC =AB,∵ FC=AE,∴ DC-FC = AB-AE,即 DF = BE,∴ 四边 形 DEBF 是平行四边形,又∵ DE⊥AB,∴ ∠DEB = 90°,∴ 平行四边形 DEBF 是矩形; (2)解:∵ AF 平分∠DAB,∴ ∠DAF = ∠BAF,∵ DC∥AB, ∴ ∠DFA= ∠BAF,∴ ∠DFA = ∠DAF,∴ AD = DF = 10,在 Rt△AED 中,由勾股定理得 DE= AD2 -AE2 = 8,由(1)得 四边形 DEBF 是矩形,∴ BF=DE= 8. 8. 5　 【解析】∵ BE,BF 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABD 的平 分 线, ∴ ∠ABE = ∠EBC = 1 2 ∠ABC, ∠ABF = 1 2 ∠ABD, ∵ ∠ABC + ∠ABD = 180°, ∴ ∠FBE = ∠ABF + ∠ABE= 1 2 ∠ABD+ 1 2 ∠ABC = 90°,∵ AE⊥BE,AF⊥BF, ∴ ∠AFB= ∠AEB = 90°,∴ 四边形 AFBE 是矩形,∴ EF = AB= 7,ME= 1 2 EF,MB=MA = 1 2 AB,∴ MB =ME,∴ ∠ABE = ∠MEB,∴ ∠MEB = ∠EBC,∴ ME∥BC,∵ MB = MA,∴ MN 是△ABC 的中位线,∴ MN = 1 2 BC = 2,∴ MF+NE =EF -MN= 5. 9. 24 5 　 【解析】∵ AB= 6,BC = 8,∴ 矩形 ABCD 的面积为 48, AC= 62 +82 = 10. 在矩形 ABCD 中,AC =BD,OA = 1 2 AC, OD= 1 2 BD,∴ AO=DO = 1 2 AC = 5,∵ 对角线 AC,BD 交于 点 O,∴ △AOD 的面积为 12,∵ EO⊥AO,EF⊥DO,S△AOD = S△AOE+S△DOE,即 12 = 1 2 AO×EO+ 1 2 DO×EF,∴ 12 = 1 2 ×5× EO+ 1 2 ×5×EF,∴ EO+EF= 24 5 . 10. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∴ ∠AEF= ∠EFC,由折叠可知,∠EFC = ∠AFE,∴ ∠AEF = ∠AFE. ∴ AE=AF; (2)解:作 EH⊥CF 于 H. 设 FA =FC = x,则 BF = 9-x,在 Rt△ABF 中,AB2 +BF2 =AF2 ,即 32 +(9-x) 2 = x2 ,解得 x = 5,∴ FA=FC = 5,∴ AE = 5,∴ DE = 4,∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ ∠C = ∠D = 90°. ∵ EH⊥CF,∴ ∠CHE = 90°. ∴ 四边形 CDEH 是矩形. ∴ DE = CH = 4, FH = 1, 在 Rt △EFH 中,EF= FH2 +EH2 = 12 +32 = 10 . 11. 证明: ( 1) ∵ MN∥PQ, ∴ ∠MAB = ∠QBA, ∵ AC 平分 ∠MAB,BD 平分∠QBA,∴ ∠BAC = 1 2 ∠MAB,∠ABD = 1 2 ∠QBA,∴ ∠BAC = ∠ABD,∴ AC∥BD. 同理∠ABC = ∠BAD,∴ AD∥BC,∴ 四边形 ACBD 是平行四边形. ∵ ∠CAD= ∠BAC+∠BAD= 1 2 (∠MAB+∠NAB)= 1 2 ×180° = 90°,∴ 四边形 ACBD 是矩形. (2)连接 CD. ∵ EF∥AB,GH∥AB,∴ EF∥GH. ∵ EG∥FH, ∴ 四边形 EFHG、四边形 EFBA、四边形 ABHG 都是平行 四边形,∴ EF = AB = GH,AE = BF,AG = BH. ∵ ∠EAC = ∠CAB= ∠ECA,∠FBC = ∠ABC = ∠FCB,∴ CE = AE,CF =BF,∴ CE = CF = 1 2 EF,同理 DG = DH = 1 2 GH,∴ CE = DG. ∵ CE∥DG,∴ 四边形 CDGE 是平行四边形,∴ EG = CD. ∵ 四边形 ACBD 是矩形,∴ AB=CD,∴ EF =EG,∴ 四 边形 EFHG 是菱形. 3　 正方形的性质与判定 第 1 课时　 正方形的性质 1. D 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　归纳总结:正方形的每条对角线都把正方形分成两个全 等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全 等的等腰直角三角形. 3. C　 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB = AD,∠BAD = 90°. ∵ △ABE 是等边三角形,∴ AB=AE,∠BAE= ∠AEB = 60°. ∴ AD = AE, ∠DAE = ∠BAD + ∠BAE = 150°. ∴ ∠AED= 180° -150° 2 = 15°. ∴ ∠BED = ∠AEB-∠AED = 60° -15° = 45°. 故选 C. 5. 2. 88　 【解析】如图,根据题意得 OA =OF= EG = BG = OC = OD = 1 2 CD = 5cm. ∵ AB= 17. 6cm,∴ OE =OF-EF = 5-EF. ∵ OE+EG =OG,∴ 5-EF+5 = 17. 6 - 10,∴ EF = 2. 4,∴ 重叠部分的正方形面积 = 1 2 EF2 = 1 2 ×2. 42 = 2. 88(cm2) . 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠DAE = ∠BCF = 45°,AD=BC. ∵ AE=CF,∴ △ADE≌△CBF(SAS) . (2)解:∵ AB=AD= 4,∴ BD= AB2 +AD2 = 4 2 ,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC = BD = 4 2 ,DO = BO = 2 2 = OA = OC. 又∵ AE=CF= 2 ,∴ OE =OF = 2 2 - 2 = 2 ,∴ 四边 —4— 形 BEDF 为平行四边形. ∵ ∠DOE = 90°,∴ 四边形 BEDF 是菱形,DE = DO2 +EO2 = (2 2 ) 2 +( 2 ) 2 = 10 ,故 四边形 BEDF 的周长为 4DE= 4 10 . 7. 2 或 2 3 　 【解析】当点 P 在 AD 上时. ∵ PD = 2AP,PD+ AP= 6,∴ AP= 2;当点 P 在 AB 上时. ∵ PD2 =AP2 +AD2,PD = 2AP,AD = 6,∴ 4AP2 = AP2 + 36,∴ AP = 2 3 . 当点 P 在 BC、CD 上时不满足条件,∴ AP 的长为 2 或 2 3 . 8. D　 【解析】∵ 在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,∴ ∠ACB = ∠ACD = 45°,BC = DC,EC = EC,∴ △BCE≌△DCE,∴ ∠CBF= ∠EDC = 20°,∴ ∠DEC = 180°-∠ACD-∠CDE = 115°. ∵ ∠AEB= ∠ACB+∠CBF= 65°,∴ ∠CEF = ∠AEB = 65°,∴ ∠DEF= ∠DEC-∠CEF= 50°. 故选 D. 9. 2 -1　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AD =CD =BC =AB= 1. 设 AC,BD 相交于点 O,∴ AC⊥BD 于点 O,AC = BD,AO=BO=CO =DO,∠ADB = ∠CDB = 1 2 ∠ADC = 45°. 过点 E 作 EF⊥CD 于点 F. 在 Rt△OCD 中,OD=CO,CD= 1,根据勾股定理得 OD = 2 2 . ∵ CE 平分∠ACD,∠EOC = 90°,EF⊥CD,∴ EO=EF. 易得△OCE≌△FCE,∴ OC=CF =OD = 2 2 ,∴ EF = DF = 1 - 2 2 . 在 Rt △DEF 中,DE = EF2 +DF2 = 2 -1. 10. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD = BC,∠DBC = ∠ADB= 45°. ∵ CG∥AP,∴ ∠BGC = ∠BFP. ∵ ∠BFP = ∠AFD,∴ ∠AFD= ∠BGC,∴ △ADF≌△CBG(AAS); (2)解:四边形 AGCF 是菱形,理由:连接 AC,设 AC 与 BD 交于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ OA =OC,OB =OD,AC⊥BD. 由(1)知:△ADF≌△CBG,∴ DF =BG,∴ OB-BG=OD-FD. ∴ OG =OF,∴ 四边形 AGCF 为平行四 边形. ∵ AC⊥FG,∴ 四边形 AGCF 是菱形. 11. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形, ∴ AB = BC,BE = BG, ∠ABC = ∠EBG = 90°, ∴ ∠ABC - ∠EBC= ∠EBG-∠EBC,即∠ABE = ∠CBG. 在△BAE 和 △BCG 中,AB=BC,∠ABE= ∠CBG,BE=BG,∴ △BAE≌ △BCG(SAS); (2) 解:∵ △BAE≌△BCG,∴ AE = CG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=AD =CD = 8,∠D = 90°,∴ DE =CD-CE = 8-2 = 6,∴ AE= AD2 +DE2 = 82 +62 = 10,∴ CG= 10; (3)解:①当 CG=FG 时,如图 1 所示. 由(1)知△BAE≌ △BCG,∴ AE = CG. ∵ 四边形 BEFG 是正方形,∴ FG = BE,∴ AE =BE. 在 Rt△ADE 和 Rt△BCE 中,AD =BC,AE =BE,∴ Rt△ADE≌Rt△BCE( HL),∴ DE =CE = 1 2 DC = 1 2 ×8 = 4;②当 CF =FG 时,如图 2 所示. 点 E 与点 C 重 合,即正方形 ABCD 和正方形 BEFG 的一条边重合,DE =CD= 8;③当 CF =CG,点 E 在线段 CD 上时,如图 3 所 示. 点 E 与点 D 重合,与题意不符,舍去;④当 CF =CG, 点 E 在 DC 延长线上时,如图 4 所示. ∵ ∠BGF = ∠EFG = 90°,∠CGF= ∠CFG,∴ ∠BGC= ∠EFC. ∵ BG=EF,CG =CF,∴ △BGC≌△EFC. ∴ CE=BC= 8. ∴ DE=CD+CE = 16. 综上所述,当△CFG 为等腰三角形时,DE 的长为 4 或 8 或 16. 　 　 图 1 　 　 　 图 2 图 3 　 图 4 第 2 课时　 正方形的判定 1. D　 2. B　 3. D　 4. D 5. 4　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD = AB. ∵ ∠DAB = 60°,∴ △ABD 是边长为 4cm 的等边三角形,∴ BD = 4cm. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OD = 1 2 BD = 2cm. ∵ 四边形 DEBF 为正方形,∴ OD=OE,∴ t= 2÷0. 5 = 4,即 t= 4s 时,四边形 DEBF 为正方形. 6. 90° 7. 证明:过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ DE⊥BC,DF⊥AC, ∠C= 90°,∴ 四边形 CEDF 为矩形. 又∵ AD 平分∠FAG, BD 平分∠EBG,∴ DF = DG,DE = DG,∴ DE = DF,∴ 四边 形 CEDF 为正方形. 8. B　 9. 1 ∶2　 【解析】∵ AB ∶AD = 1 ∶2,AM = DM,AB = CD,∴ AB = AM = DM = DC. ∵ ∠A = ∠D = 90°,∴ ∠ABM = ∠AMB = ∠DMC= ∠DCM = 45°,∴ ∠BMC = 90°. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC= ∠DCB= 90°,∴ ∠MBC= ∠MCB= 45°, ∴ BM=CM. ∵ N,E,F 分别是 BC,BM,CM 的中点,∴ BE = CF=ME=MF,NF∥BM,NE∥CM,∴ 四边形 MENF 是平行 四边形. ∵ ME = MF,∠BMC = 90°,∴ 四边形 MENF 是正 方形. 10. AC=BD 且 AC⊥BD　 【解析】∵ E,F,G,H 分别是边 AB、 BC、CD、DA 的中点,∴ HG∥AC 且 HG = 1 2 AC;同理 EF∥ AC 且 EF= 1 2 AC,同理可得 EH= 1 2 BD 且 EH∥BD,∵ HG ∥EF 且 HG = EF,∴ 四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵ AC= BD,∴ EF = EH,∴ 四边形 EFGH 为菱形. ∵ AC⊥ BD,EF∥AC,∴ EF ⊥ BD. ∵ EH∥BD, ∴ EF ⊥ EH, ∴ ∠FEH= 90°,∴ 菱形 EFGH 是正方形. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:中点四边形 EFGH 的形状取决于线段 BD,AC 的数量与位置关系,要使四边形 EFGH 是正方形,则线段 AC=BD 且 AC⊥BD. 11. 证明:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠B = ∠D = ∠C = 90°. ∵ ∠CEF = 45°,∴ ∠CFE = 90° -∠CEF = 45°. ∵ △AEF 是等边三角形, ∴ ∠AEF = ∠AFE = 60°, AE = AF. ∵ ∠CEF+∠AEF+∠AEB = 180°,∠CFE+∠AFE+∠AFD = 180°, ∴ ∠AEB = ∠AFD. 在 △ABE 和 △ADF 中, ∠AEB= ∠AFD ∠B= ∠D AE=AF { ,∴ △ABE≌△ADF( AAS) . ∴ AB = AD. —5— 又∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ 四边形 ABCD 是正方形. 12. (1)证明:连接 CE. ∵ BE = BC,BD 平分∠ABC,∴ BD 为 线段 CE 的垂直平分线,∴ BD⊥CE,EF=FC,DE=CD. ∵ DF=DF,∴ △FDE≌△FDC,∴ ∠EFD = ∠DFC. ∵ CF∥ DE,∴ ∠DFC= ∠FDE,∴ ∠FDE= ∠EFD,∴ EF =DE,∴ EF=FC=CD=DE,∴ 四边形 CDEF 为菱形; (2)解:当∠ACB= 120°时,四边形 CDEF 是正方形. 理由 如下:∵ ∠ACB = 120°,BC = AC,∴ ∠ABC = ∠BAC = 30°. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠DBC = 15°,且 BD⊥EC,∴ ∠BCE = 75°,∴ ∠ACE= 45°. ∵ 四边形 CDEF 是菱形,∴ ∠FCD = 2∠ACE= 90°,∴ 四边形 CDEF 为正方形. 专题　 与正方形有关的四个常考模型 1. 解:(1)EF=BE+DF,理由:将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABG. ∴ GB = DF,AF = AG,∠BAG = ∠DAF. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠BAD = 90°. ∵ ∠EAF = 45°, ∴ ∠BAE+∠DAF = 45°,∴ ∠BAG+∠BAE = 45° = ∠EAG, ∴ ∠EAG= ∠EAF,∵ AE = AE,∴ △AGE≌△AFE( SAS), ∴ GE=EF. ∵ GE=GB+BE=BE+DF,∴ EF=BE+DF. (2)EF=DF-BE 2. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = BC, ∠ABE = ∠BCF = 90°. ∵ ∠AOF = 90°, ∠AOB = 90°, ∴ ∠BAE + ∠OBA = 90°. 又 ∵ ∠FBC + ∠OBA = 90°, ∴ ∠BAE = ∠CBF. ∴ △ABE≌△BCF(ASA) . ∴ BE=CF. 3. 解: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AO = BO, AO ⊥ BO, ∠BAO= ∠CBO = 45°,∴ ∠AOE+∠BOE = 90°. ∵ 四边形 A1B1C1O 是正方形,∴ ∠A1OC1 = 90°,∴ ∠A1OB+∠BOC1 = 90°,∴ ∠AOE = ∠BOF,∴ △AOE≌ △BOF( ASA), ∴ S△AOE =S△BOF,∴ 两个正方形重叠部分的面积 = S△ABO = 正 方形 ABCD 面积的 1 4 . 4. (1)证明:过点 P 作 PF⊥AB,PG⊥BC,∴ ∠PFB = ∠PGB = ∠PGC= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A = ∠ABC = 90°,AB= AD = BC,∴ ∠ABD = ∠ADB = 45°,四边形 FB- GP 是矩形,∴ ∠FPB = 90° - ∠ABD = 90° - 45° = 45°,∴ ∠ABD= ∠FPB,∴ FP = FB,∴ 矩形 FBGP 是正方形,∴ PF= PG, ∠FPG = 90°, ∴ ∠FPE + ∠EPG = 90°. ∵ PE⊥ PC,∴ ∠EPC = 90°,∴ ∠GPC+ ∠EPG = 90°,∴ ∠FPE = ∠GPC,∴ △PFE≌△PGC(ASA),∴ PE=PC; (2)4 2 　 【解析】设 EF= x. ∵ △PFE≌△PGC,∴ GC =EF = x,由 BE= 2 得 BF= x+2,由正方形 FBGP 得 BG= x+2. ∵ BC= 6,∴ BG+GC= 6,∴ ( x+ 2) +x = 6,解得 x = 2,∴ PF = BF= 2+2 = 4. 在△PFB 中,∠PFB = 90°,PB2 = 42 +42 = 32. ∵ PB>0,∴ PB= 4 2 . 专题　 特殊平行四边形中的折叠问题 1. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB =BC =CD = AD, AC⊥BD,AO=CO= 2,BO=DO= 2 3,∴ AB= AO2 +BO2 = 4+12 = 4,∴ AB=BC=CD=AD= 4. 由折叠的性质,得 BF = OF,∴ ∠FOB = ∠FBO,∴ ∠FCO = ∠FOC,∴ OF = CF, ∴ OF=CF=BF= 2. 同理可得 BE =OE = AE = 2,∴ EF = 1 2 AC= 2,∴ 五边形 AEFCD 的周长 = 4+4+2+2+2 = 14. 故选 A. 2. 解:取 BC 中点 M,连接 FM. ∵ ∠CFB = 90°,CF = 1,CB = 2,∴ FM= 1 2 BC=CM=BM= 1 =CF. ∴ △CMF 为等边三角 形,∠BFM= ∠CBF = 1 2 ∠CMF = 30°. ∵ 四边形 ABCD 是 菱形,∴ AB∥CD,AD∥BC,∴ ∠A = ∠CBF = 30°. ∵ A′B⊥ CD,∴ A′B⊥AB. 由折叠知,∠ABE = ∠A′BE = 45°,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,∴ BH=EH. 设 BH =EH = x,则 AH = 2- x,AE= 2x,由勾股定理,得 AH= AE2 -EH2 = 3 x. ∵ AB = 2,∴ 3 x+x= 2,解得 x= 3 -1. ∴ AE= 2x= 2 3 -2. 3. 1 4. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC, ∴ ∠BHG = ∠DGH. 由折叠可知, ∴ ∠BHG = ∠DHG, BH = DH, ∴ ∠DHG= ∠DGH,∴ DG =DH,∴ DG =BH,四边形 BHDG 是 平行四边形. ∵ BH=DH,∴ 四边形 BHDG 是菱形. 5. 5 -1　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =AD =BC =CD,∠B= ∠C= ∠D= 90°. ∵ E 是 CD 的中点,∴ CD=AD = 2DE= 2,设 BF = x,则 FG = BF = x,∴ CF = 2 - x. 在 Rt △ADE 中,AE= 5 . ∴ GE = 5 - 2. 连接 EF,在 Rt△GEF 中,EF2 =( 5 -2) 2 +x2 . 在 Rt△FCE 中,EF2 = (2-x) 2 +12, 所以( 5 -2) 2 +x2 =(2-x) 2 +12,解得 x = 5 -1,∴ BF = 5 -1. 6. (1)证明:由折叠及轴对称的性质可知. △ABF≌△GBF, BF 垂直平分 AG,∴ BF⊥AE,AH =GH,∴ ∠BAH+∠ABH = 90°. 又 ∵ ∠FAH + ∠BAH = 90°, ∴ ∠ABH = ∠FAH. 在 △ABF 与△DAE 中, ∠BAF= ∠ADE AB=AD ∠ABF= ∠DAE ì î í ïï ï ,∴ △ABF≌ △DAE (ASA),∴ AF=DE; (2)16 5 5 　 【解析】∵ 点 E 是 CD 的中点,∴ DE = CE = 4. 由( 1 ) 知 △ABF ≌ △DAE. ∴ AF = DE = 4, ∴ BF = AF2 +AB2 = 16+64 = 4 5,由折叠可得:BF 垂直平分 AG,∴ AH=HG,BF⊥AG,∵ S△ABF = 1 2 ×AB×AF = 1 2 ×BF× AH,∴ AH= 8 5 5 ,∴ AG= 16 5 5 . 追梦第一章章末复习　 特殊平行四边形 1. B 2. C　 【解析】连接 OD. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥BC, AB∥CD,∴ ∠OAM= ∠OCN. 在△AOM 和△CON 中, ∠OAM= ∠OCN ∠AOM= ∠CON AM=CN { ,∴ △AOM≌△CON(AAS),∴ OA=OC, ∴ BD 与 AC 相交于点 O,∴ B,O,D 三点共线. ∴ BO⊥AC. ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC = ∠ACB = 28°, ∴ ∠OBC = 90° - ∠ACB= 62°. 故选 C. 3. 6　 4. CB=BF(答案不唯一) 5. (1)证明:在△DFC 中,∠DFC= 90°,∠C= 30°,DC= 2t,∴ DF= t. 又∵ AE= t,∴ AE=DF. ∵ DF⊥BC,∴ ∠DFC = 90°, ∵ ∠B= 90°,∴ ∠B = ∠DFC,∴ AE∥DF,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形; (2)解:能,∵ ∠B = 90°,∠C = 30°,∴ AC = 2AB,∵ BC2 + AB2 =AC2 ,BC= 5 3 ,∴ AB = 5,∴ AC = 2AB = 10. ∴ AD = AC -DC= 10-2t. 若使▱AEFD 为菱形,则需 AE =AD,即 t = 10 —6—