第一章 1 菱形的性质与判定-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

1　 菱形的性质与判定 第 1 课时　 菱形的性质 　 　 菱形的定义及对称性 1. (3 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,添加下列一个条件,能使平 行四边形 ABCD 成为菱形的是(　 　 ) A. AO=BO B. AC=AD C. AB=BC D. OD=AC 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,在菱形 OABC 中,点 B 在 x 轴上,点 A 的坐标为(2,2 3),则点 C 的坐标为(　 　 ) A. ( -2,-2 3 ) B. (2 3 ,-2) C. (2,-2 3 ) D. (2,-2) 菱形的边的性质 3. [教材例 1 变式](3 分)如图,菱形 ABCD 的周 长是 16, ∠ABC = 60°, 则对角线 AC 的长 是(　 　 ) A. 16 B. 10 C. 8 D. 4 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 生活情境·衣帽架 (3 分)如图所示的木制活 动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实 际需要可以调节 AE 间的距离. 若 AE 间的距 离调节到 60 cm,菱形的边长 AB = 20 cm,则 ∠DAB 的度数是　 　 　 　 . 5. (6 分)如图,菱形 ABCD 中,点 E、F 分别是边 CD、AD 的中点,求证:AE=CF. 菱形的对角线的性质 6. [教材习题 2 变式](3 分)如图,菱形 ABCD 的 对角线 AC,BD 的长分别为 6 和 10,则这个菱 形的周长是(　 　 ) A. 4 34 B. 4 C. 32 D. 2 34 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. (3 分) 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, OE ⊥ AB, 垂足为点 E, 若 ∠ADC= 130°,则∠AOE 的大小为(　 　 ) A. 75° B. 65° C. 55° D. 50° 8. (7 分)如图,已知菱形 ABCD 的周长为 40 cm, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AO 与 BO 的长 度比是 4 ∶3,求对角线 AC,BD 的长. 1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 9. (3 分)(天津一模)如图,在菱形 ABCD 中,M、 N 分别是边 BC、CD 的中点,P 是对角线 BD 上 一动点. 已知菱形边长为 5,对角线 AC 长为 6,则△PMN 周长的最小值是(　 　 ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. (3 分)如图,在菱形 ABCD 中,点 E 为 AB 上一点,DE = AD,连接 EC. 若 ∠ADE = 36°, 则 ∠BCE 的度数为 　 　 　 　 . 请完成 11~ 12 题: 11. (3 分)如图 1 是清代方胜纹暗花缎袄,如图 2 是缎袄上面方胜纹示意图,菱形 ABCD 与菱形 A′B′C′D′是完全相同的两个菱形,中间四边形 EB′FD 也是菱形,EF、B′D 相交于点 M,若 EF= 3 2 ,B′D=3,则菱形 EB′FD 的周长为　 　 　 　 . 12. (3 分)“福”字象征着中华民族的历史文化与 精神. 如图①是小明家大门上的“福”字,如图 ②是抽离出来的菱形 ABCD,对角线 AC、BD 相交于点 O,∠ABC = 80°,E 是线段 AO 上一 点,且 BC=CE,则∠OBE 的度数是　 　 　 　 . 图①　 　 　 　 　 图② 13. (8 分)如图,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 交于点 O,DH⊥AB 于点 H. (1)若对角线 AC= 8 cm,BD= 6 cm,则 DH 的 长为　 　 　 　 cm; (2)连接 HO,求证:∠BOH= ∠DAH. 14. (9 分)(南京模拟改编)【问题情境】如图,在 菱形 ABCD 中,AB = 4,∠BAD = 120°,点 E、F 分别在 BC、CD 边上,∠EAF = 60°. 当点 E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动,且点 E、F 不与点 B、C、D 重合时. (1)求证:不论点 E、F 在边 BC、CD 上如何滑 动,总有 BE=CF. (2)当点 E、F 在边 BC、CD 上滑动时,四边形 AECF 的面积是否发生变化? 如果不变,求 出四边形 AECF 的面积;如果变化,请说明理 由. 2 第 2 课时　 菱形的判定　 　 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1. (3 分)如图所示,在△ABC 中,AB≠AC,D 是 BC 上一点,DE∥AC 交 AB 于点 E,DF∥AB 交 AC 于点 F,要使四边形 AEDF 是菱形,只需添 加的条件是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. AD⊥BC B. ∠BAD= ∠CAD C. BD=DC D. AD=BD 2. (7 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是对 角线 AC 上的一点. 连接 BE,DE,BE = DE, ∠BEC= ∠DEC,求证:四边形 ABCD 是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3. [教材例 2 变式](3 分)如 图,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB = 15,BD= 18. 当 AC= 　 　 　 　 时,▱ABCD 是 菱形. 4. (8 分)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过 AD 的中点 O 作 AD 的垂线,分别交 AB,AC 于 E,F 两点,连接 DE,DF. 求证:四边形 AEDF 是菱形. 四边相等的四边形是菱形 5. 学习情境·折纸 (3 分)如图,将一张长方形纸 片对折后再对折,然后沿着图中的虚线剪下, 得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图 形是(　 　 ) A. 长方形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 菱形 6. 生活情境·观赏鱼 (7 分)如图①是一种观赏 鱼,体色绚丽多彩,身上的红光可以反射出闪 烁的光芒,被誉为“会游泳的宝石”,它的体型 简图如图②所示,△ACD 和△ABC 均为等腰 三角形,AD = DC,AB = BC,∠DAF = ∠BAE,AE =AF,∠E= ∠F. 证明:四边形 ABCD 是菱形. 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 臆造菱形的判定方法致错 7. (3 分)张师傅应客户要求加工 4 个菱形零件. 在交付之前,张师傅需要对 4 个零件进行检 测. 根据零件的检测结果,图中有可能不合格 的零件是(　 　 ) A. B. C. D. 8. (3 分)根据以下尺规作图痕迹,在一个平行四 边形内作出的四边形 ABCD 中,无法确定是菱 形的是(　 　 ) A. B. C. D. 9. 生产劳动情境·池塘扩建 (3 分)王师傅承包了一 块形状为平行四边形的 池塘 ABCD,并且装有护 栏,且护栏总长为 32 m,现在准备将其扩建. 扩建草图如图所示,将 BC,AD 边等距离延长 至点 E,F,AE⊥BF,若扩建后 BF= 16 m,AE= 12 m,则需要增加护栏　 　 　 　 m. 10. 中考新趋势·条件开放 ( 9 分) 小惠自编一 题:如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,AC⊥BD,OB = OD,求证:四边形 ABCD 是菱形,并将自己的证明过程与同学 小洁交流. 小惠:证明:∵ AC⊥BD,OB =OD, ∴ AC 垂直平分 BD,∴ AB=AD,CB =CD,∴ 四边形 ABCD 是菱形. 小洁:这个 题 目 还 缺 少条件,需 要 补 充 一 个条件才能证明. 若赞同小惠的证法,请在第一个方框内画 “√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条 件,并证明. 11. ( 11 分) 如图, 在 △ABC 中, AB = AC = 2, ∠BAC= 45°,△AEF 是由△ABC 绕点 A 按逆 时针方向旋转得到的,连接 BE、CF 相交于 点 D. (1)求证:BE=CF; (2)探究旋转角等于多少度时,四边 形 ABDF 为菱形,证明你的结论. 4 第 3 课时　 菱形的性质与判定的运用 菱形的面积 1. [教材例 3 变式] (3 分)已知菱形的周长为 40,一条对角线长为 16,那么这个菱形的面积 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 40 B. 48 C. 96 D. 192 2. [教材习题 3 变式](3 分)如 图,在菱形 ABCD 中,DE⊥AB 于点 E,菱形 ABCD 的面积为 48,DE= 6,则 AD 的长为(　 　 ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. (8 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相 交于点 O,E、F 分别是 AB、BC 边上的中点,连 接 EF. 若 EF = 3 ,BD = 4,求菱形 ABCD 的周 长和面积. 菱形的性质与判定的综合 4. 热点情境·环保 (3 分)绿丝带是颜色丝带的 一种,被用来象征许多事物,例如环境保护、 解放农业等,同时绿丝带也代表健康,使人对 健康的人生与生命的活力充满无限希望. 某 班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制 作象征“健康快乐”的绿丝带(丝带的对边平 行且宽度相同),如图所示,丝带重叠部分形 成四边形 ABCD. 若 AD= 8,则四边形 ABCD 的 周长是(　 　 ) A. 8 B. 16 C. 32 D. 40 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. (3 分)(南阳一模)如图,在∠MON 的两边上 分别截取 OA、OB,使 OA = OB;分别以点 A、B 为圆心,OA 长为半径作弧,两弧交于点 C;连 接 AC、BC、AB、OC. 若 AB= 2 cm,四边形 OACB 的面积为 4 cm2,则 OC 的长为(　 　 ) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm 6. (3 分)(郑州月考)如图,AD 是 ∠BAC 的平分线,DE∥AC 交 AB 于点 E,DF∥AB 交 AC 于点 F, 且 AD 交 EF 于点 O,则∠AOF = 　 　 　 度. 7. (10 分)如图,已知▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,且∠1 = ∠2. (1)求证:▱ABCD 是菱形; (2)F 为 AD 上一点,连接 BF 交 AC 于点 E,且 AE=AF,若 AF= 3,AB= 5,求 BD 的长. 5 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 8. (3 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的 平分线交 BC 于点 E,∠ABC 的平分线交 AD 于 点 F,若 BF= 12,AB= 10,则 AE 的长为(　 　 ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 第 8 题图 　 第 9 题图 9. (3 分)如图,四边形 ABCD 中,AD∥ BC,∠C = 90°,AB = AD,连接 BD,作 ∠BAD 的平分线 AE 交 BD、BC 于点 F、E.若 EC= 3,CD= 4,则 AE 的长为　 　 　 　 . 10. (10 分) (江苏一模)如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D. 在 线段 AD 上任取一点 P(点 A 除外),过点 P 作 EF∥AB,分别交 AC,BC 于点 E 和点 F,作 PQ∥AC,交 AB 于点 Q,连接 QE. (1)求证:四边形 AEPQ 为菱形; (2)当点 P 在何处时,菱形 AEPQ 的面积为 四边形 EFBQ 面积的一半? 11. (11 分)(青岛期中改编)【问题提出】我们知 道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求,而 且知道菱形面积等于对角线长的乘积的一 半. 那么对于其他四边形是不是也可以用这 种方法求面积呢? 图 1 　 　 　 图 2 【深入探究】如图 1,四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 互相垂直, 其中对角线 BD 长为 40 cm,AC 长为 30 cm,垂足为 E,求四边形 ABCD 的面积. (请写出求解过程) 由此,我们可以得出一个结论 1:对角线互相 垂直的四边形的面积等于 　 　 . 【拓展提高】由上述的结论 1 给我们的启示: 对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何 求解呢? 下面让我们一起来研究如图 2,四 边形 ABCD 的对角线 BD 长为 40 cm,点 A 到 BD 的距离与点 C 到 BD 的距离之和为 30 cm,求四边形 ABCD 的面积. (请写出求解过 程) 结论 2:任意四边形的面积等于 　 　 . 6 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第一章　 特殊平行四边形 1　 菱形的性质与判定 第 1 课时　 菱形的性质 1. C　 2. C　 3. D 4. 120°　 【解析】连接 AE,∵ AE 间的距离调节到 60cm,木制 活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,∴ AC= 20cm. ∵ 菱 形的边长 AB= 20cm,∴ AB=BC= 20cm,∴ AC=AB=BC,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B= 60°,∴ ∠DAB= 120°. 　 5. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD =CD,∵ 点 E、F 分别 是边 CD、AD 的中点,∴ DF = 1 2 AD,DE = 1 2 DC,∴ DF = DE,在△ADE 和△CDF 中,AD = CD,∠D = ∠D,DE = DF, ∴ △ADE≌△CDF(SAS),∴ AE=CF. 6. A 7. B　 【解析】∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, ∠ADC= 130°,∴ AB∥CD,∴ ∠BAO = 1 2 ∠BAD,∠BAD = 50°,∴ ∠BAO= 1 2 ×50° = 25°. ∵ OE⊥AB,∴ ∠AEO = 90°, ∴ ∠AOE= 90°-∠BAO= 65°. 故选 B. 8. 解: ∵ 四边形 ABCD 是菱形,且周长为 40cm, ∴ AB = 10cm,AC⊥BD,AO = 1 2 AC,BO = 1 2 BD. ∵ AO ∶BO = 4 ∶ 3, ∴ 设 AO= 4x,则 BO= 3x,由勾股定理,得 AB= 5x= 10,∴ x = 2,∴ AO= 8cm,BO= 6cm,∴ AC= 16cm,BD= 12cm. 9. C　 【解析】作点 N 关于 BD 的对称点 E(E 为 AD 中点), 连接 EM 交 BD 于 P′,∴ EM =P′E+P′M =P′N+P′M,此时 △P′MN 的周长最小. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥BC, AD=BC,AC⊥BD,OA = OC = 3. ∵ M 为 BC 中点,∴ DE = CM,∴ 四边形 DEMC 为平行四边形,∴ EM =DC = 5. 在 Rt △DOC 中,OD= CD2 -OC2 = 52 -32 = 4,∴ BD = 2OD = 8,∵ DN=NC,CM=BM,∴ MN = 1 2 BD = 4,∴ △PMN 周长 的最小值为 P′M+P′N+MN=EM+MN= 9. 10. 18° 11. 3 5 　 【解析】∵ 四边形 EB′FD 是菱形,且 EF = 3 2 ,B′D = 3. ∴ B′M= 1 2 B′D = 3 2 ,EM = 1 2 EF = 3 4 . 在 Rt△EB′M 中,EB′ = B′M2 +EM2 = 3 5 4 ,∴ 菱形 EB′FD 的周长 = 4EB′= 4×3 5 4 = 3 5 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　方法点拨:根据菱形的性质求出 B′M,EM 的长,再由勾股 定理求出 B′E 的长,最后求出菱形 EB′FD 的周长即可. 12. 25°　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC = 80°,∴ ∠CBO= ∠ABO= 40°,AC⊥BD,∴ ∠COB= 90°,∴ ∠BCO = 90°- ∠CBO = 90° - 40° = 50°. ∵ BC = CE,∴ ∠CBE = ∠CEB= 1 2 (180°-∠BCO)= 1 2 ×(180° - 50°) = 65°,∴ ∠OBE= ∠CBE-∠CBO= 65°-40° = 25°. 13. (1) 24 5 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC = 8cm,BD = 6cm,∴ AC⊥BD,∴ OA = 1 2 AC = 4cm,OB = 1 2 BD = 3cm, ∴ AB = OA2 +OB2 = 42 +32 = 5( cm) . ∵ DH⊥AB,∴ S△ABD = 1 2 OA·BD= 1 2 AB·DH,∴ DH =OA·BD AB = 4×6 5 = 24 5 (cm); (2)证明:延长 HO 与 CD 交于点 G. ∵ AB∥CD,∴ ∠HBO = ∠GDO. ∵ ∠BOH = ∠DOG, OB = OD, ∴ △BOH ≌ △DOG. ∴ OH=OG,BH=DG. ∵ ∠DHB = 90°,AB∥CD,∴ ∠HDG= 90° = ∠DHB. ∵ DH=DH,∴ △DHB≌△HDG. ∴ BD=HG. ∵ OB = OD,∴ OH = OB,∴ ∠OHB = ∠OBH,∴ ∠BOH= 180°-2∠OBH,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD = AB,∴ ∠DAH= 180°-2∠OBH,∴ ∠BOH= ∠DAH. 14. 解:(1)证明:连接 AC,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠BAD = 120°,∴ ∠BAC= ∠DAC= 60°,∴ ∠BAE+∠EAC = 60°. ∵ ∠EAF= 60°,即∠CAF+∠EAC = 60°,∴ ∠BAE = ∠CAF, ∵ ∠BAC= 60°,AB=BC,∴ △ABC 为等边三角形,∴ AC = AB,∠B = ∠ACF = 60°. 在△ABE 和△ACF 中,∠BAE = ∠CAF,AB = AC, ∠ABC = ∠ACD, ∴ △ABE ≌ △ACF (ASA) . ∴ BE=CF; (2) 解:四边形 AECF 的面积不变. 由( 1) 得△ABE≌ △ACF,则 S△ABE =S△ACF,故 S四边形AECF =S△AEC+S△ACF = S△AEC +S△ABE =S△ABC 是定值,作 AH⊥BC 于 H 点,则 BH = 2,∴ S四边形AECF = S△ABC = 1 2 BC· AH = 1 2 BC· AB2 -BH2 = 4 3 . 第 2 课时　 菱形的判定 1. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨:本题主要考查了菱形的判定,菱形的判定方法 有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;② 四边相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四 边形是菱形. 2. 证明:在△BEC 和△DEC 中 BE=DE ∠BEC= ∠DEC, EC=EC { ∴ △BEC≌ △DEC(SAS),∴ BC=CD,又∵ 四边形 ABCD 是平行四边 形,∴ 四边形 ABCD 是菱形. 3. 24 4. 证明:∵ EF 垂直平分 AD,∴ AF = DF,∴ ∠FAD = ∠FDA, ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠FAD,∴ ∠BAD = ∠FDA, 又∵ ∠AOE= ∠DOF,AO=DO,∴ △AOE≌△DOF(ASA), ∴ EO=FO,又∵ AO=DO,∴ 四边形 AEDF 是平行四边形, 又∵ AD⊥EF,∴ 四边形 AEDF 是菱形. 5. D 6. 证明: ∵ ∠DAF = ∠BAE, ∴ ∠DAF + ∠EAF = ∠BAE + ∠EAF, 即 ∠DAE = ∠BAF. 在 △ADE 与 △ABF 中 —1— ∠DAE= ∠BAF AE=AF ∠E= ∠F { ,∴ △ADE≌△ABF(ASA),∴ AD =AB. ∵ AD=DC,AB=BC,∴ AB=AD=CD=BC,∴ 四边形 ABCD 是 菱形. 7. C　 8. C 9. 8　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,由题意得将 BC,AD 延长至点 E,F 后,四边形 ABEF 是平行四边形. ∵ AE⊥BF,∴ ▱ABEF 是菱形,∴ AO= 1 2 AE= 6m,BO= 1 2 BF = 8m,∴ AB = AO2 +BO2 = 10m,∴ C菱形ABEF = 4 × 10 = 40 (m),∵ 原来护栏总长为 32m,∴ 需要增加护栏长度为 C菱形ABEF-C▱ABCD = 40-32 = 8(m) . 10. 解:赞成小洁的说法,补充条件:OA = OC,证明如下:∵ OA=OC,OB =OD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,又∵ AC⊥BD,∴ 四边形 ABCD 是菱形. 11. 解:(1)由题意可得△AEF≌△ABC. ∴ ∠BAC = ∠EAF, AB=AC= AE = AF,∴ ∠BAC+∠CAE = ∠EAF+∠CAE,即 ∠BAE = ∠CAF. ∴ 在 △BAE 和 △CAF 中, AB=AC ∠BAE= ∠CAF AE=AF { ,∴ △BAE≌△CAF(SAS) . ∴ BE=CF. (2)当旋转角为 90°时,四边形 ABDF 为菱形,证明:∵ 旋 转角为 90°,∴ ∠BAE = ∠CAF = 90°,∴ △BAE 与△CAF 均是等腰直角三角形,∴ ∠ABE = ∠ACF = 45°,∵ ∠BAF = ∠BAE+ ∠EAF = 90° + 45° = 135°,∴ ∠ABE+ ∠BAF = 45°+135° = 180°,∴ AF∥BE,又∵ ∠BAC = ∠ACF = 45°, ∴ AB∥CF,∴ 四边形 ABDF 为平行四边形,∵ AB =AF. ∴ 四边形 ABDF 为菱形. 第 3 课时　 菱形的性质与判定的应用 1. C　 【解析】∵ 菱形的周长为 40,∴ 边长为 10. 如图所示:AB= 10,AC= 16,根据菱形的性 质,得 AC⊥BD,AO = 8,∴ BO = AB2 -AO2 = 6,∴ BD= 12,∴ S菱形 = 1 2 ×16×12= 96. 故选 C. 2. B 3. 解:∵ E、F 分别是 AB、BC 边上的中点,EF = 3 ,∴ AC = 2EF= 2 3 . ∴ 菱形的面积为 1 2 AC×BD= 1 2 ×2 3 ×4 = 4 3 . ∵ AO= 3 ,BO= 2,∠AOB = 90°,∴ AB = AO2 +BO2 = 7 , ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4 7 . 4. C　 5. C　 6. 90　 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠2 = ∠ACB,∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠1 = ∠ACB,∴ AB = CB,∴ ▱ABCD 是菱形. (2)解:由(1)可知,▱ABCD 是菱形,∴ BC = AB = 5,AO = CO,BO= DO,AC⊥BD,∵ AD∥BC,∴ ∠AFE = ∠CBE,∵ AE= AF = 3, ∴ ∠AFE = ∠AEF,又∵ ∠AEF = ∠CEB, ∴ ∠CBE= ∠CEB,∴ CE = BC = 5,∴ AC = AE+CE = 3+ 5 = 8, ∴ AO= 1 2 AC= 4. 在 Rt△AOB 中,BO = 3,∴ BD = 2BO = 6, 即 BD 的长为 6. 8. D　 【解析】记 AE,BF 交点为 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠DAE= ∠AEB. ∵ ∠BAD 的平分线 交 BC 于点 E,∴ ∠DAE = ∠BAE,∴ ∠BAE = ∠BEA,∴ AB =BE,同理可得 AB=AF,∴ AF =BE,∴ 四边形 ABEF 是平 行四边形. ∵ AB = AF,∴ 四边形 ABEF 是菱形,∴ AE⊥ BF,OA = OE,OB = OF = 1 2 BF = 6,∴ OA = AB2 -OB2 = 102 -62 = 8,∴ AE= 2OA= 16. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　方法点拨:先证明四边形 ABEF 是平行四边形,再证明邻 边相等即可得出四边形 ABEF 是菱形,得出 AE⊥BF,OA= OE,OB=OF= 1 2 BF= 6,由勾股定理求出 OA,即可得出 AE 的长. 9. 2 5 　 【解析】连接 DE. 在 Rt△CDE 中,∠C = 90°,EC = 3, CD= 4,根据勾股定理,得 DE = 5. ∵ AB = AD,AE 平分 ∠BAD,∴ AE 垂直平分 BD,∠BAE = ∠DAE. ∴ DE = BE = 5. ∵ AD∥BC,∴ ∠DAE = ∠AEB,∴ ∠BAE = ∠AEB,∴ AB =BE= 5,∴ BC=BE+EC= 8,四边形 ABED 是菱形. 由勾股 定理得出 BD= CD2 +BC2 = 42 +82 = 4 5,BF = 1 2 BD = 2 5 . ∴ FE= BE2 -BF2 = 52 -(2 5) 2 = 5,∴ AE = 2FE = 2 5 . 10. (1)证明:∵ EF∥AB,PQ∥AC,∴ 四边形 AEPQ 为平行四 边形,∴ ∠BAD = ∠EPA,∵ AD 平分∠CAB,∴ ∠CAD = ∠BAD,∴ ∠CAD= ∠EPA,∴ EA=EP,∴ 四边形 AEPQ 为 菱形. (2)解:P 为 EF 中点时,S菱形AEPQ = 1 2 S四边形EFBQ . ∵ 四边形 AEPQ 为菱形,∴ AD⊥EQ,∵ AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD⊥BC,∴ EQ∥BC,又∵ EF∥AB,∴ 四边形 EFBQ 为平 行四边形. 作 EN⊥AB 于 N,则 S菱形AEPQ =EP·EN = 1 2 EF ·EN= 1 2 S四边形EFBQ . 11. 解:【深入探究】S四边形ABCD =S△ABD +S△BCD = 1 2 ×BD×AE+ 1 2 ×BD×CE= 1 2 ×BD×(AE+CE)= 1 2 ×BD×AC= 1 2 ×40×30 = 600(cm2 ) . 两对角线长的乘积的一半 【拓展提高】连接 BD,过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,过点 C 作 CF⊥BD 于点 F. ∴ S四边形ABCD = S△ABD +S△BCD = 1 2 ×BD× AE+ 1 2 ×BD×CF = 1 2 ×BD×(AE+CF) = 1 2 × 40× 30 = 600 (cm2 ) . 一条对角线长与另一条对角线两个端点到这条对角线 的距离之和的乘积的一半 2　 矩形的性质与判定 第 1 课时　 矩形的性质 1. 矩形　 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2. A　 3. 5　 4. C　 【解析】在矩形 ABCD 中,AC = BD = 4,AO = CO = BO = DO= 1 2 AC = 2. ∵ ∠AOB = 120°,∴ ∠AOD = 180°- 120° = —2—