追梦第二十二章章末复习 二次函数-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

追梦第二十二章章末复习　 二次函数 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)对称轴: x= - b 2a 或 x= x1 +x2 2 (其中 x1,x2 是关于对称轴对称的两点 的横坐标) . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)的顶点坐标: (- b 2a ,4ac -b2 4a ) . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈二次函数的增减性: 当 a>0 时,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而减小;在对称轴右侧,y 随 x 的增 大而增大;当 a<0 时,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而增大;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈二次函数的最值 a>0:当 x= - b 2a 时,y 的最小值为4ac -b2 4a ; a<0:当 x= - b 2a 时,y 的最大值为4ac -b2 4a . { 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈二次函数图象与 a、b、c的关系 a 决定抛物线开口方向 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下. { a、b 决定抛物线对称轴的 位置(对称轴 x= - b 2a ) b= 0,对称轴为 y 轴; a、b 同号(ab>0),对称轴在 y 轴左侧; a、b 异号(ab<0),对称轴在 y 轴右侧. { c 决定抛物线与 y 轴的交点位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴. { ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈抛物线与 x 轴的交点个数 b2 -4ac= 0 时,与 x 轴有唯一交点(顶点); b2 -4ac>0 时,与 x 轴有两个不同的交点; b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点. { 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈平移的方法步骤 1. 将抛物线的解析式转化为顶点式 y=a(x-h) 2 +k,确定其顶点坐标(h,k) . 2. 保持抛物线形状不变,平移顶点坐标即可. { 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 待定系数 法求解析式 1. 当已知抛物线上任意三点时,通常设函数的解析式为 y=ax2 +bx+c; 2. 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值时,通常设解析式为 y=a(x-h) 2 +k; 3. 当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时,通常设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) . ì î í ï ï ïï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈二次函数与一元二次方程: 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元二次方 程 ax2 +bx+c= 0 的根. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈二次函数与不等式: 抛物线 y=ax 2 +bx+c 在 x 轴上方点的纵坐标都为正,所对应的 x 的所有值就 是不等式 ax2 +bx+c>0 的解集;在 x 轴下方点的纵坐标都为负,所对应的 x 的所有值就是不等式 ax2 +bx+c<0 的解集. 34 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 二次函数的图象与性质 1. (3 分)下列函数是二次函数的是(　 　 ) A. y= 2x2 -3　 　 　 　 　 　 B. y=ax2 C. y= 2(x+3) 2 -2x2 D. y= 3 x2 +2 2. (3 分)(河南安阳一模)抛物线 y = -x2 +4x+3 的顶点坐标为(　 　 ) A. ( -2,7) B. (2,7) C. (2,-9) D. ( -2,-9) 3. (3 分)(河南中考)已知抛物线 y= -x2+bx+4 经 过(-2,n)和(4,n)两点,则 n 的值为(　 　 ) A. -2　 　 　 B. -4　 　 　 C. 2　 　 　 D. 4 4. (3 分)将函数 y = x2 的图象用下列方法平移 后,所得的图象不经过点 A ( 1, 4) 的方法 是(　 　 ) A. 向左平移 1 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度 C. 向上平移 3 个单位长度 D. 向下平移 1 个单位长度 5. (3 分) (内蒙古呼伦贝尔中考)二次函数 y = (x+2) 2 -1 的图象大致为(　 　 ) A. 　 　 　 　 B. C. D. 6. (3 分)如图,抛物线 y = ax2 +bx+c(a≠0)的对 称轴为直线 x = 1,与 x 轴的一个交点坐标为 ( -1,0),其部分图象如图所示,下列结论: ①4ac<b2; ②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1 =-1,x2 =3; ③3a+c>0; ④当 y>0 时,x 的取值范围是-1≤x<3; ⑤当 x<0 时,y 随 x 增大而增大. 其中结论正确的有　 　 　 　 . 用待定系数法求解析式 7. (3 分)已知抛物线 y = x2 -8x+c 的顶点在 x 轴 上,则 c 等于(　 　 ) A. 4　 　 　 B. 8　 　 　 C. -4　 　 　 D. 16 8. (9 分)如图,已知二次函数 y = ax2 +bx+c 的图 象过 A(2,0),B(0,-1)和 C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点 为 D,求点 D 的坐标; (3)在同一坐标系中画出直线 y = x+1,并写出 当 x 在什么范围内时,一次函数的值大于二次 函数的值. 44 二次函数与一元二次方程(不等式) 9. (3 分) (浙江宁波模拟)如图是二次函数 y = ax2 +bx+c 的部分图象,由图象可知不等式 ax2 +bx+c<0 的解集是(　 　 ) A. -1<x<5 B. x>5 C. x<-1 D. x<-1 或 x>5 10. (9 分)已知关于 x 的函数 y= (a2 +3a+2)x2 + (a+1)x+ 1 4 的图象与 x 轴总有交点. (1)求 a 的取值范围; (2)设函数的图象与 x 轴有两个不同的交点, 分别为 A(x1,0),B(x2,0),当 1 x1 + 1 x2 =a2-3 时,求 a 的值. 用二次函数解决实际问题 11. 生产劳动情境·销售水果 (9 分)某水果店销 售某种水果,由历年市场行情可知,从第 1 月 至第 12 月,这种水果每千克售价 y1(元)与 销售时间第 x 月之间存在如图①所示(一条 线段)的变化趋势,每千克成本 y2(元)与销 售时间第 x 月满足函数关系式 y2 =mx2 -8mx +n,其变化趋势如图②所示. (1)y2 的解析式为　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)第几月销售这种水果每千克所获得利润 最大? 最大利润是多少? 图① 　 　 　 　 图② 12. 社会发展情境·水库围网 (9 分)(安徽中考) 为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸 堤(岸堤足够长)为一边,用总长为 80 m 的 围网在水库中围成了如图所示的①②③三 块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相 等,设 BC 的长度是 x m,矩形区域 ABCD 的 面积为 y m2 . (1)求 y 与 x 之间的函数解析式,并注明自 变量 x 的取值范围; (2)当 x 取何值时,y 有最大值? 最大值是多 少? 54 -2x+3,直线 CD 与 x 轴的交点即为 P 点坐标,当 y = 0 时,即-2x+3 = 0,x = 3 2 . ∴ P 点坐标为( 3 2 ,0) . 7. 解:(1)将 A( -1,0) ,B( 3,0) 代入 y = -x2 +bx+ c 中得 -1-b+c = 0 -9+3b+c = 0{ ,解得 b = 2 c = 3{ . ∴ 抛物线解析式为 y = -x 2 + 2x+3; (2)存在 . 理由如下:由题知 A、B 两点关于抛物线的 对称轴 x = 1 对称,∴ AQ = BQ,当 C、B、Q 三点共线时, CQ+AQ = CQ+BQ 最小,∴ 直线 BC 与 x = 1 的交点即为 Q 点,此时△AQC 周长最小 . ∵ 抛物线解析式为 y = - x2 +2x+3,∴ 点 C 的坐标为( 0,3) . 设直线 BC 的解析 式为 y = kx+b. 将 C(0,3) ,B( 3,0)代入可得 b = 3 3k+b = 0{ , 解得 k = -1 b = 3{ . ∴ 直线 BC 的解析式为 y = -x+ 3,当 x = 1 时,y = -1+3 = 2,∴ Q 点的坐标为(1,2) . 追梦第二十二章章末复习 　 二次函数 1. A　 2. B　 3. B　 【解析】∵ 抛物线 y = -x2 +bx+4 经过( -2,n)和(4, n)两点,有 n = -( -2) 2 -2b+4 n = -42 +4b+4{ ,解得 n = -4 b = 2{ . 故选 B. 4. D　 5. D　 6. ①②⑤　 【解析】 ∵ 抛物线与 x 轴有 2 个交点,∴ b2 - 4ac>0,所以①正确;∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1, 而点( -1,0)关于直线 x = 1 的对称点的坐标为(3,0), ∴ 方程 ax2 +bx+c = 0 的两个根是 x1 = -1,x2 = 3,所以② 正确;∵ x = - b 2a = 1,即 b = -2a,而 x = -1 时,y = 0,即 a- b+c = 0,∴ a+2a+c = 3a+c = 0,所以③错误;∵ 抛物线与 x 轴的两交点坐标为( -1,0),(3,0),∴ 当-1<x<3 时, y>0,所以④错误;∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,∴ 当 x<1 时,y 随 x 增大而增大,所以⑤正确 . ∴ 结论正 确的有①②⑤ . 7. D　 8. 解:(1)将点 A(2,0) 、B(0,- 1) 、C( 4,5) 代入 y = ax2 + bx+ c 中, 4a+2b+c = 0 c = -1 16a+4b+c = 5 ì î í ïï ï ,解得 a = 1 2 b = - 1 2 c = -1 ì î í ï ï ï ï ï ï ,∴ 该二次函数 的解析式为 y = 1 2 x2 - 1 2 x-1; (2)令 y = 1 2 x2 - 1 2 x-1 = 1 2 ( x+1) ( x-2) = 0,解得 x1 = -1,x2 = 2,∴ 点 D 的坐标为( -1,0) ; (3)在同一坐标系中画出一次函数 y = x+ 1 的图象,如 图所示 . 观察函数图象可知:当-1<x<4 时,一次函数图象在二 次函数图象上方,∴ 当-1<x<4 时,一次函数的值大于 二次函数的值 . 9. D　 【解析】由图象,得对称轴是 x = 2,其中一个点的 坐标为( 5,0),∴ 图 象 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 为 ( -1,0),利用图象可知:ax2 +bx+c< 0 的解集即是 y< 0 的解集,∴ x<-1 或 x>5. 故选 D. 10. 解:(1) ①当 a2 +3a+2 = 0 时,a = -1 或 a = -2. 若 a = - 1,则 y = 1 4 与 x 轴无交点;若 a = -2,则 y = -x+ 1 4 与 x 轴有一个交点 . ②当 a2 + 3a+ 2≠0 时,即 a≠ - 1 且 a ≠ -2 时,函数 y = ( a2 + 3a+ 2) x2 +( a+ 1) x+ 1 4 为二次 函数 . 要使函数图象与 x 轴总有交点,则 Δ = ( a+ 1) 2 -4(a2 +3a+2) × 1 4 ≥0,解得 a≤ - 1. 故当 a< - 1 且 a ≠ -2 时,二次函数的图象与 x 轴有两个交点 . 综上所述,当 a < - 1 时,此函数的图象与 x 轴总有 交点; (2)由函数图象与 x 轴有两个不同的交点知一元二 次方程(a2 +3a+2) x2 +( a+ 1) x+ 1 4 = 0 有两个不同的 实数根 . 由根与系数的关系得 x1 +x2 = - a+1 a2 +3a+2 ,x1 x2 = 1 4(a2 +3a+2) . ∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1 x2 = - 4( a+ 1) = a2 - 3, 即 a2 +4a+1 = 0,解得 a1 = -2- 3 ,a2 = - 2 + 3 . 由( 1) 知,a<-1 且 a≠ - 2 时,函数的图象与 x 轴有两个交 点 . ∵ -2+ 3 >-1,故舍去,∴ a = -2- 3 . 11. 解:( 1) y2 = 1 8 x2 -x+ 63 8 ( 1≤ x≤12) 　 【解析】 (1)由 图可知, y2 = mx 2 - 8mx + n 经 过 点 ( 3,6),( 7,7),∴ 9m-24m+n = 6 49m-56m+n = 7{ ,解得 m = 1 8 n = 63 8 ì î í ï ï ï ï . ∴ y2 = 1 8 x2 - x + 63 8 ( 1 ≤x≤12); (2)设 y1 = kx+b( k≠0),由图可知,函数图象经过点 (4,11),(8,10),则 4k+b = 11 8k+b = 10{ ,解得 k = - 1 4 b = 12 ì î í ïï ï ,∴ y1 = - 1 4 x+12(1≤x≤12),∴ 每千克所获得利润 = y1 -y2 = ( - 1 4 x+12) -( 1 8 x2 -x+ 63 8 )= - 1 8 ( x-3) 2 + 21 4 . ∵ - 1 8 < 0,∴ 当 x = 3 时,所获得利润最大,最大为 21 4 . 即第 3 月销售这种水果每千克所获得利润最大,最大利润 是 21 4 元 . 12. 解:(1) ∵ 三块矩形区域的面积相等,∴ 矩形 AEFD 的面积是矩形 BCFE 面积的 2 倍 . ∴ AE = 2BE. 设 BE —51— = am,则 AE = 2am. ∴ 8a+2x = 80. ∴ a = - 1 4 x+ 10,∴ y = (2a+a) · x = 3a· x = 3· ( - 1 4 x+ 10) · x = - 3 4 x2 + 30x. ∵ a = - 1 4 x+10>0,x>0,∴ 0<x<40. 则 y = - 3 4 x2 + 30x(0<x<40) ; (2) y = - 3 4 x2 +30x = - 3 4 ( x-20) 2 +300( 0<x<40) ,∵ - 3 4 <0,∴ 当 x = 20 时,y 有最大值,最大值为 300. 第二十三章 　 旋转 23. 1　 图形的旋转 1. A　 2. D 3. A　 【解析】∵ ∠1 = 130°,∴ ∠3 = 50°,若 a∥b,则∠3 = ∠2 = 60°,∴ 此时需旋转 60°-50° = 10°. 故选 A. 4. B　 【解析】连接 BD 交 AC 于点 O,∵ 四边形 ABCD 是 菱形,∴ CD = AB = 2,∠BCD = ∠BAD = 60°,∠ACD = ∠BAC = 1 2 ∠BAD = 30°,OA = OC,AC⊥BD,∴ OB = 1 2 AB = 1,∴ OA = 3 OB = 3 ,∴ AC = 2 3 ,由旋转的性质 得:AE = AB = 2,∠EAG = ∠BAD = 60°,∴ CE = AC-AE = 2 3 -2,∵ 四边形 AEFG 是菱形,∴ EF∥AG,∴ ∠CEP = ∠EAG = 60°,∠CEP + ∠ACD = 90°,∴ ∠CPE = 90°, ∴ PE = 1 2 CE = 3 - 1,PC = 3 PE = 3 - 3 ,∴ DP = CD- PC = 2-(3- 3 )= 3 -1. 故选 B. 5. (1)点 B　 (2)90° 　 (3)垂直且相等 6. 解:根据旋转的性质得∠PAP′ = ∠BAC = 90°,AP = AP′ = 3,即 △PAP′为等腰直角三角形,根据勾股定理得 PP′= AP 2 +AP′2 = 32 +32 = 3 2 . 7. 解:(1) ∵ △ABC 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重 合,A 为顶点,∴ 旋转中心是点 A,根据旋转的性质可 知:∠CAE = ∠BAD = 180°-∠B-∠ACB = 150°,∴ 旋转 角度是 150°; (2)由(1) 可知:∠BAE = 360° - 150° × 2 = 60°,由旋转 可知:△ABC≌ △ADE, ∴ AB = AD,AC = AE,又 ∵ 点 C 为 AD 中点,∴ AC = AE = 1 2 AB = 1 2 ×4 = 2( cm) . 8. 解:如图,△ABN 即为所求 . 9. 解:△AB 1C 1 如图 . 10. C　 【解析】∵ 点 D(5,3)在边 AB 上,∴ BC = 5,BD = 5 -3 = 2,① 若顺时针旋转,则点 D′在 x 轴负半轴上, OD′= 2,所以 D′( -2,0);②若逆时针旋转,则点 D′到 x 轴的距离为 10,到 y 轴的距离为 2,在第一象限,所 以 D′(2,10) . 综上所述,点 D′的坐标为(2,10)或( - 2,0) . 故选 C. 11. D 12. D　 【解析】∵ 四边形 OABC 是正方形,且 OA = 1,∴ B (1,1),连接 OB,由勾股定理得 OB = 2 ,由旋转得 OB = OB 1 = OB 2 = OB 3 = … = 2 . ∵ 将正方形 OABC 绕 点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B 1C 1,相当于 将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45°,依次得到∠AOB = ∠BOB 1 = ∠B 1OB 2 = … = 45°,∴ B 1(0, 2 ),B 2( - 1, 1),B 3( - 2 ,0),…,8 次一循环,所以 2 026 ÷ 8 = 253 ……2,∴ 点 B 2 026 的坐标为( -1,1) . 故选 D. 13. (1)证明:∵ 将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60° 得△ADC,∴ CO = CD,∠OCD = 60°,∴ △COD 是等边 三角形; (2)解:当 α = 150°时,△AOD 是直角三角形 . 理由: ∵ 将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC, ∴ △BOC ≌ △ADC, ∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°, 又 ∵ △COD 是等边三角形, ∴ ∠ODC = 60°, ∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 90°. ∵ α = 150°, ∠AOB = 110°, ∠COD = 60°, ∴ ∠AOD = 360° - α - ∠AOB - ∠COD = 40°,∴ △AOD 不是等腰直角三角形,故△AOD 是直 角三角形 . 23. 2　 中心对称 23. 2. 1　 中心对称 1. A　 【解析】A. 一个图形绕某一点旋转 180°,如果旋转 后的图形能够与另一个图形重合,那么这两个图形关 于这个点中心对称 . 故选 A. 2. A　 3. D　 4. D 5. A　 【解析】∵ △ABC 以点 O 为旋转中心,旋转 180°后 得到△A′B′C′,∴ △ABC≌ △A′B′C′,∴ B′C′ = BC = 4, ED = E′D′. ∵ ED = 1 2 BC,∴ D′E′ = 1 2 BC = 1 2 B′C′ = 1 2 × 4 = 2. 故选 A. 6. 平行且相等 　 【解析】∵ △ABO 与△CDO 关于 O 点成 中心对称,∴ OA = OC,OB = OD. ∵ AF = CE,∴ OE = OF, 在△DOF 和△BOE 中,OF = OE,∠DOF = ∠BOE,OD = OB,∴ △DOF≌ △BOE,∴ FD = BE,∠ODF = ∠OBE, ∴ DF∥BE. 综上可得,DF 与 BE 平行且相等 . 7. 解:点 O 为旋转中心,四边形 A1B 1C 1D 1 为旋转后的 图形 . 8. 解:(1) (0,2. 5) ; (2)B( -2,4) ,C( -2,2) ,B 1(2,1) ,C 1(2,3) . 9. D —61—