22.3 实际问题与二次函数-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 22. 3　 实际问题与二次函数 第 1 课时　 几何图形与利润问题 　 　 二次函数与几何图形问题 1. (3 分)(湖北咸宁中考)用一根长为 40 cm 的 绳子围成一个面积为 a cm2 的长方形,那么 a 的值不可能为(　 　 ) A. 20　 　 　 B. 40　 　 　 C. 100　 　 　 D. 120 2. 生活情境·纸盒的折叠 (3 分) (南京二模改 编)如图,有一张长 10 cm,宽 6 cm 的矩形纸 板,在它的四个角处分别裁去一个同样的小 正方形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖 的长方体纸盒,则该纸盒侧面积的最大值 是(　 　 ) A. 2 cm2 B. 16 cm2 C. 32 cm2 D. 64 cm2 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. (8 分)如图,某农场要盖一排三间长方形的羊 圈,打算一面利用长为 16 m 的旧墙,其余各面 用木材围成栅栏,栅栏的总长为 24 m,设每间 羊圈与墙垂直的边长为 x(m),三间羊圈的总 面积为 S ( m2 ),则 S 与 x 的函数关系式为 　 　 　 　 　 　 ,x 的取值范围是 　 　 　 　 　 , 当 x= 　 　 　 　 时,面积 S 最大,最大面积为 　 　 　 　 . 4. (9 分)(河南林州期末)在美化校园的活动中, 某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边 足够长),用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边),设 AB=x m. (1)若花园的面积为 192 m2,求 x 的值; (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD,AD 的距离分 别是 15 m 和 6 m,要将这棵树围在花园内(含 边界,不考虑树的粗细),求花园面积 S 的最 大值. 二次函数与利润问题 请完成 5~ 7 题: 5. 文化情境·传统文化 (3 分)中国传统手工艺 品,如中国结,油纸伞,团扇等,是古代先民智 慧和勤劳的结晶,是中华传统文化的表达方 式之一,也是各地传统风俗的体现. 某工艺品 店出售某种手工团扇,若每个获利 x 元,一天 可售出(8-x)个,为了使一天出售该种手工艺 品的总利润 y(元)最大,则 x 的值为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. (3 分)某旅游景点的收入受季节的影响较大, 有时候会出现赔本的经营状况. 因此,公司规 定:若无利润时,该景点关闭. 经跟踪计算,该 景点一年中的利润 W(单位:万元) 与月份 x 之间满足二次函数 W= -x2 +16x-48,则该景点 63 一年中处于关闭状态有(　 　 )个月. A. 5　 　 　 B. 6　 　 　 C. 7　 　 　 D. 8 7. 生活劳动情境·干果销售 (10 分)某商贸公司 以每千克 40 元的价格购进一种干果,计划以 每千克 60 元的价格销售,为了让顾客得到更 大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销 售量 y(千克)与每千克降价 x(元) (0<x<20) 之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)商贸公司要想获利 2 090 元,同时让顾客 得到更大的实惠,则这种干果每千克应降价 多少元? (3)该干果每千克降价多少元时,商贸公司获 利最大? 最大利润是多少元? 利用二次函数解决几何问题时没有找 准等量关系 8. (6 分)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°, ∠B= 30°,AB = 12,点 P 是 AB 边上的一个动 点,过点 P 作 PE⊥BC,PF⊥AC,当 PB = 　 　 　 　 时,四边形 PECF 的面积最大,最大值 为　 　 　 　 . 9. 生活情境·床位出租 (3 分) (河南新乡期末) 某旅社有 100 张床位,每床每晚收费 10 元时, 床位可全部租出,若每床每晚收费提高 2 元, 则减少 10 张床位的租出,若每床每晚收费再 提高 2 元,则再减少 10 张床位的租出,以每次 提高 2 元的这种方法变化下去,为了投资少而 获利大,每床每晚应提高(　 　 ) A. 4 元或 6 元 B. 4 元 C. 6 元 D. 8 元 10. (3 分)如图,线段 AB 的长为 2,C 为 AB 上一 个动点,分别以 AC,BC 为斜边在 AB 的同侧 作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE,那么 DE 长的最小值为(　 　 ) A. 2 2 　 　 　 B. 1 2 　 　 　 C. 1　 　 　 D. 2 11. (9 分) (河南巩义期中) 如图所示,AB = 4 cm,P 为线段 AB 上的一点,以 AP 为边作正 方形 APMN,以 BP 为边在另一侧作等腰直 角三角形 BPQ,连接 MQ. 当 AP 与 BP 的关 系如何时,△MPQ 的面积最大? 最大面积是 多少? 73 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 第 2 课时　 抛物线形问题 二次函数在实际问题中的应用 1. 生活情境·音乐喷泉 (3 分)某中心广场有各 种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高 度为 3 米,此时距喷水管的水平距离为 1 2 米, 在如图所示的坐标系中,这个喷泉的函数解 析式是(　 　 ) A. y= -(x- 1 2 ) 2 +3　 　 B. y= -3(x+ 1 2 ) 2 +3 C. y= -12(x- 1 2 ) 2 +3 D. y= -12(x+ 1 2 ) 2 +3 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分)某公司草坪的防护栏由 100 段形状相 同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,每段 护栏需要间距 0. 4 m 加设一根不锈钢的支柱, 防护栏的最高点距底部 0. 5 m,则这条防护栏 需要不锈钢支柱的总长度至少为(　 　 ) A. 50 m　 　 　 　 　 　 　 B. 100 m C. 160 m D. 200 m 3. 跨学科试题·体育 (3 分)如图所示,是一个 学生推铅球时,铅球行进的高度 y(米)与水平 距离 x(米)的函数图象,观察图象,铅球到达最 高点时距离地面　 　 　 　 米,铅球被推出的距离 约是　 　 　 　 米. 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. 生活情境·荡秋千 (3 分)如图,小明的父亲在 相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了 一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都 是 2. 5 米,绳子自然下垂呈抛物线形,身高 1 米的小明距较近的那棵树 0. 5 米时,头部刚好 接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离 为　 　 　 　 米. 5. 生活情境·拱桥 (9 分)(河南洛阳期末)如图 所示,一拱桥的截面呈抛物线形,抛物线两端 点与水面的距离都是 1 m,拱桥的跨度为 10 m,拱桥与水面的最大距离是 5 m,桥洞两侧壁 上各有一盏距离水面 4 m 的观景灯. (1)建立坐标系,求抛物线的解析式; (2)求两盏观景灯之间的水平距离. 6. 生活情境·隧道中卡车的行驶 (9 分) (河南禹 州期中)某隧道的横截面由抛物线与矩形的 三边组成,尺寸如图所示. (1)以隧道的横截面抛物线的顶点为原点,以 抛物线的对称轴为 y 轴,建立平面直角坐标 83 系,求该抛物线对应的函数解析式; (2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集 装箱,箱宽 3 m,车与箱共高 4. 5 m,此车能否 通过隧道? 并说明理由. 7. (10 分)(河南新乡期末)如图,某公路隧道横 截面为抛物线,其最大高度为 6 米,底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点,OM 所在直线 为 x 轴建立直角坐标系. (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标; (2)求这条抛物线的解析式; (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB, 使 C,D 点在抛物线上,A,B 点在地面 OM 上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 8. 生活情境·喷水池 (10 分) (河南商丘二模) 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池, 喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为 抛物线,在距水池中心 3 米处达到最高,高度 为 5 米,且各方向喷出的水柱恰好在水池中 心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为 x 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函 数解析式; (2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水头 意外喷水,为了不被淋湿,身高 1. 8 米的王师 傅站立时必须在离水池中心多少米以内? (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如 下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提 下,把水池的直径扩大到 32 米,各方向喷出 的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高 度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水 柱的最大高度. 93 (4)方程 ax2 +bx+c = k 有两个不相等的实数根,即直线 y = k 与此抛物线有两个交点,由图知,当 k<2 时,方程 ax2 +bx+c = k 有两个不相等的实数根 . 10. C　 【解析】对称轴为直线 x = - b 2×1 = 1,解 得 b = -2,所以,二次函数解析式为 y = x2 - 2x,y = ( x-1) 2 -1. ∵ -1<x<4,当 x = -1 时, y = 1+2 = 3;当 x = 4 时,y = 16 - 2 × 4 = 8. ∵ x2 +bx- t = 0 相当于 y = x2 +bx 与直线 y = t 的交点的横坐标,∴ 当 -1≤ t<8 时,在-1<x<4 的范围内有解 . 故选 C. 11. 解:(1)证明:当 y = 0 时,x2 -(m+ 2) x+ 2m = 0. ∵ b2 - 4ac = (m+2) 2 -8m = (m- 2) 2 ≥0,∴ 方程总有两个实 数根,∴ 该二次函数的图象与 x 轴总有公共点; (2) <1　 【解析】若 m = 0,y = x2 -2x = ( x-1) 2 -1,所以 该抛物线的顶点坐标是(1,- 1) . 由于 a = 1 > 0,所以 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小 . 12. 解:(1) ∵ 把点 A(1,0) ,B( 3,2)分别代入直线 y = x+ m 和抛物线 y = x2 +bx+c 得 0 = 1+m, 0 = 1+b+c 2 = 9+3b+c{ ,∴ m = -1,b = - 3,c = 2,∴ 直线 y = x- 1,抛物线 y = x2 - 3x +2; (2)由函数图象可知,当 x<1 或 x>3 时,不等式 x2 +bx +c>x+m; (3)将 M(a,y1 ) ,N( a+ 1,y2 ) 两点代入 y = x 2 - 3x+ 2, 得 y1 = a 2 -3a+2,y2 = (a+1) 2 -3(a+1) +2 = a2 -a. 则 y1 -y2 = a 2 -3a+2-(a2 -a) = 2-2a. ①当 2-2a>0,即 a<1 时,y1 >y2 ;②当 2 - 2a = 0,即 a = 1 时,y1 = y2 ;③当 2 - 2a<0,即 a>1 时,y1 <y2 ;所以当 a<1 时,y1 >y2 ;当 a = 1 时,y1 = y2 ;当 a>1 时,y1 <y2 . 13. A　 【解析】由题意可得对称轴 x = 4,而抛物线在 6<x <7 这一段位于 x 轴上方,∴ 抛物线在 1<x<2 这一段 位于抛物线上方 . ∵ 抛物线在 2 <x< 3 这一段位于 x 轴下方,∴ 抛物线过(2,0),把(2,0)代入抛物线得 a = 1. 故选 A. 22. 3　 实际问题与二次函数 第 1 课时 　 几何图形与利润问题 1. D 2. C　 【解析】设裁去的小正方形的边长为 xcm,则纸盒 的侧面积 = 2x(6-2x) +2x(10 - 2x) = - 8x2 + 32x = - 8( x - 2) 2 + 32. ∵ - 8 < 0, ∴ 当 x = 2 时,取 得 最 大 值,为 32cm2 . 故选 C. 3. S = -4x2 +24x 　 2≤x< 6　 3　 36m2 　 【解析】根据题意 可知,三 间 羊 圈 与 旧 墙 平 行 的 一 边 的 总 长 为 ( 24 - 4x),则 S = (24-4x) x = - 4x2 + 24x. 由题可知:16≥24 - 4x> 0, x > 0,所 以 x 的 取 值 范 围 是 2 ≤ x < 6,当 x = - 24 2×( -4) = 3 时,S最大 = 36m 2 . 4. 解: ( 1) ∵ AB = xm,则 BC = ( 28 - x) m, ∴ x( 28 - x) = 192,解得 x1 = 12,x2 = 16,即 x 的值为 12 或 16; (2) ∵ AB = xm,∴ BC = (28-x) m,∴ S = x(28-x) = -x2 + 28x = -( x-14) 2 +196. ∵ 在 P 处有一棵树与墙 CD,AD 的距离分别是 15m 和 6m. ∵ 28 -x≥15,∴ 6≤ x≤13, ∴ 当 x = 13 时,S 取到最大值,S = - ( 13 - 14) 2 + 196 = 195,即花园面积 S 的最大值为 195 平方米 . 5. A 6. A　 【解析】由 W = -x2 + 16x- 48,令 W = 0,则 x2 - 16x+ 48 = 0,解得 x = 12 或 4,∴ 不等式-x2 +16x-48≤0 的解 集为 x≤4 或 x≥12,∴ 该景点一年中处于关闭状态的 是 1 月、2 月、3 月、4 月、12 月,共有 5 个月 . 故选 A. 7. 解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y = kx+b,把( 2, 120)和 ( 4,140) 代入得 2k+b = 120 4k+b = 140{ ,解得 k = 10 b = 100{ ,所 以 y 与 x 之间的函数关系式为 y = 10x+100(0<x<20) ; (2)根据题意得,(60- 40 -x) ( 10x+ 100) = 2 090,解得 x = 1 或 x = 9,为了让顾客得到更大的实惠,所以 x = 9, 因此,这种干果每千克应降价 9 元; (3) 设最大利润是 w 元,根据题意得 w = ( 60 - 40 -x) (10x+100) = -10x2 +100x+2 000 = -10( x- 5) 2 + 2 250, 故该干果每千克降价 5 元时,商贸公司获利最大,最 大利润是 2 250 元 . 8. 6　 9 3 　 【解析】设 PB = x. ∵ ∠C = 90°,∠B = 30°,AB = 12,∴ BC = 6 3 ,PE = 1 2 x,BE = 3 2 x,则 EC = 6 3 - 3 2 x,故四边形 FCEP 的面积 = PE×EC = 1 2 x·(6 3 - 3 2 x)= - 3 4 ( x- 6) 2 + 9 3 ,故当 x = 6 时,四边形 PECF 的 面积最大,最大值为 9 3 . 9. C　 【解析】设每床每晚收费应提高 x 个 2 元,获得利 润为 y 元,根据题意得 y = ( 10 + 2x) ( 100 - 10x) = - 20 ( x- 5 2 ) 2 +1 125. ∵ x 取整数,∴ 当 x = 2 或 3 时,y 最 大,当 x = 3 时,每床收费提高 6 元,床位最少,即投资 少,∴ 为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高 6 元 . 故选 C. 10. C　 【解析】设 AC = x,则 BC = 2-x. ∵ △ACD 和△BCE 分别 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∴ ∠DCA = 45°, ∠ECB = 45°,DC = 2 2 x,CE = 2 2 (2-x),∴ ∠DCE = 90°,故 DE 2 = DC 2 +CE 2 = 1 2 x2 + 1 2 ( 2 - x) 2 = ( x - 1) 2 + 1,当 x = 1 时,DE 2 取得最小值,DE 也取得最小值,最小值为 1. 故选 C. 11. 解:如图,过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D, 作 QC⊥MP,交 MP 的延长线于 C 点, 设 AP 为 xcm,则 BP = (4-x) cm,PM = AP = xcm. ∵ △BPQ 为等腰直角三角 形,∴ QD =PD = 1 2 (4-x) ( cm),由题意得 QC =DP = 1 2 (4-x)(cm),∴ S△MPQ = 1 2 PM·QC = 1 2 x· 1 2 (4-x) = - 1 4 (x2 -4x)= - 1 4 (x-2) 2 +1,∴ 当 x = 2 时,S△MPQ 的最 —21— 大值为 1cm2 ,4-x = 2,即 AP = PB 时,△MPQ 的面积最 大,最大面积为 1cm2 . 第 2 课时 　 抛物线形问题 1. C 2. C　 【解析】由题意可建立平面直角 坐标系如图所示,A ( - 1,0),B ( 0, 0. 5),C(1,0),设抛物线的解析式 为 y = ax2 +c. 将 A( -1,0),B(0,0. 5)代入得 a = - 1 2 ,c = 1 2 ,∴ 解析式为 y = - 1 2 x2 + 1 2 . 当 x = 0. 2 时,y = 0. 48;当 x = 0. 6 时,y = 0. 32. ∴ B 1C 1 +B 2C 2 +B 3C 3 +B 4C 4 = 2×(0. 48+0. 32)= 1. 6(m) . ∴ 所需不锈钢支柱的总长 度为 1. 6×100 = 160(m) . 故选 C. 3. 5　 10 4. 0. 5　 【解析】以 A 为原点,AC 所在直线 为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,建立如图 所示的直角坐标系 . 设抛物线的函数解 析式为 y = ax2 +bx+c. 将(0,2. 5)、(2,2. 5)、(0. 5,1)代入 y = ax2 +bx+c 得 c = 2. 5 4a+2b+c = 2. 5 1 4 a+ 1 2 b+c = 1 ì î í ï ï ï ï ,解得 a = 2 b = -4 c = 2. 5 ì î í ïï ï . ∴ 抛物线的解析式为 y = 2x2 - 4x+ 2. 5. ∵ y = 2x2 -4x+2. 5 = 2( x- 1) 2 + 0. 5(0≤ x≤2),∴ 抛物线的 顶点坐标为(1,0. 5),∴ 绳子的最低点距地面的距离 为 0. 5m. 5. 解:(1)平面直角坐标系如图 所示,抛物线的顶点坐标为 (5, 5 ) , 与 y 轴 交 点 坐 标 是 (0,1) ,设抛物线的解析式是 y = a( x-5) 2 +5,把( 0,1)代入 y = a( x-5) 2 +5,得 a = - 4 25 ,∴ y = - 4 25 ( x- 5) 2 + 5( 0≤ x ≤10) ;(答案不唯一) (2)由已知得两盏观景灯的纵坐标都是 4,∴ 4 = - 4 25 ( x-5) 2 +5,∴ 4 25 ( x- 5) 2 = 1,∴ x1 = 15 2 ,x2 = 5 2 . ∴ 两盏 观景灯间的距离为 15 2 - 5 2 = 5(米) . 6. 解:(1)设抛物线对应的函数解析式为 y = ax2 ,抛物线 的顶点为原点,隧道宽 6m,高 5m,矩形的高为 2m,所 以抛物线过点( -3,-3) ,代入得-3 = 9a,解得 a = - 1 3 , 所以函数解析式为 y = - x2 3 ( -3≤x≤3) . (2)此车不能通过隧道 . 理由:如果此车能通过隧道, 集装箱处于对称位置,将 x = 1. 5 代入抛物线解析式得 y = -0. 75,此时集装箱顶离隧道的底为 5-0. 75 = 4. 25 (米) ,4. 25<4. 5,即小于车与箱总高 4. 5 米,故此车不 能通过隧道 . 7. 解:(1)M(12,0) ,P(6,6) ; (2)设抛物线解析式为 y = a( x-6) 2 + 6. ∵ 抛物线 y = a( x-6) 2 + 6 经过点 ( 0,0) ,∴ 0 = a( 0 - 6) 2 + 6,即 a = - 1 6 . ∴ 抛物线解析式为 y = - 1 6 ( x - 6) 2 + 6 ( 0 ≤ x≤ 12) ; (3)设 A ( m,0) ,则 B ( 12 -m,0) ,C ( 12 -m, - 1 6 m2 + 2m) ,D(m,- 1 6 m2 +2m) . ∴ 支撑架总长 AD+DC+CB = ( - 1 6 m2 +2m) +(12-2m) +( - 1 6 m2 +2m) = - 1 3 m2 +2m+ 12 = - 1 3 (m-3) 2 +15. ∵ 此二次函数的图象开口向下, ∴ 当 m = 3 时,AD+DC+CB 有最大值为 15 米 . 8. 解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分) 的函数解 析式为 y = a( x-3) 2 +5(a≠0),将(8,0) 代入 y = a( x- 3) 2 +5,得 25a+5 = 0,解得 a = - 1 5 ,∴ 水柱所在抛物线 (第一象限部分)的函数解析式为 y = - 1 5 ( x-3) 2 +5(0< x<8) . (2)当 y = 1. 8 时,有- 1 5 ( x- 3) 2 + 5 = 1. 8,解得 x1 = - 1 (舍去) ,x2 = 7,∴ 为了不被淋湿,身高 1. 8 米的王师 傅站立时必须在离水池中心 7 米以内 . (3)当 x = 0 时,y = - 1 5 ( 0 - 3) 2 + 5 = 16 5 . 设改造后水柱 所在抛物线(第一象限部分) 的函数解析式为 y = - 1 5 x2 +bx+ 16 5 . ∵ 该函数图象过点(16,0) ,∴ 0 = - 1 5 ×162 + 16b+ 16 5 ,解得 b = 3,∴ 改造后水柱所在抛物线(第一象 限部分)的函数解析式为 y = - 1 5 x2 + 3x+ 16 5 = - 1 5 ( x- 15 2 ) 2 + 289 20 (0 <x< 16) . ∴ 扩建改造后喷水池水柱的最 大高度为 289 20 米 . 专题 　 二次函数与几何相结合问题 1. 解:(1) 由题意可知 h = 1,则 y = a( x- 1) 2 +k. 将 A( 3, 0)和 B(0,3)代入得 4a+k = 0 a+k = 3{ ,解得 a = -1 k = 4{ . 故抛物线 对应的函数解析式为 y = -( x-1) 2 +4; (2)设 M 点坐标为(0,t) ,AB = 32 +32 = 3 2 . ①当 MA = MB 时, 32 +t2 = 3 - t,解得 t = 0,故 M 1 ( 0,0) ; ② 当 AB = AM 时, 32 +t2 = 3 2 ,解得 t = 3( 舍去) 或 t = - 3, 故 M 2(0,-3) ;③当 AB = BM 时, | t-3 | = 3 2 ,解得 t = 3 ±3 2 ,故 M 3(0,3+3 2 )或 M 4( 0,3 - 3 2 ) . 综上所述: —31—