22.2 二次函数与一元二次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 22. 2　 二次函数与一元二次方程 　 　 　 第 1 课时　 二次函数与一元二次方程之间的关系 　 二次函数与一元二次方程之间的关系 1. (3 分)已知二次函数 y= x2 -3x+m(m 为常数) 的图象与 x 轴的一个交点为(1,0),则关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x +m = 0 的两实数根 是(　 　 ) A. x1 = 1,x2 = -1　 　 　 　 B. x1 = 1,x2 = 2 C. x1 = 1,x2 = 0 D. x1 = 1,x2 = 3 2. (3 分)若二次函数 y = ax2 + 1 的图象经过点 ( -2,0),则关于 x 的方程 a(x-2) 2 +1 = 0 的实 数根为(　 　 ) A. x1 = 0,x2 = 4 B. x1 = -2,x2 = 6 C. x1 = 3 2 ,x2 = 5 2 D. x1 = -4,x2 = 0 3. (3 分)将抛物线 y = x2 -1 向下平移 8 个单位 长度后与 x 轴的两个交点之间的距离为(　 　 ) A. 4　 　 　 B. 6　 　 　 C. 8　 　 　 D. 10 4. (3 分)(河南安阳月考)抛物线 y = ax2 +2ax+c 与 x 轴的一个交点为( -5,0),则它与 x 轴的 另一个交点的坐标为(　 　 ) A. (3,0) B. ( -3,0) C. ( 1 3 ,0) D. 不能确定 5. (3 分)(河南新乡期末)如图,抛物线 y = ax2 + bx+c 的顶点为 B( -1,3),与 x 轴的交点 A 在 点( -3,0)和( -2,0)之间,以下结论: ①b2 -4ac= 0;②a+b+c>0; ③2a-b= 0;④c-a= 3. 其中正确的有(　 　 ) A. 1 个　 　 B. 2 个　 　 C. 3 个　 　 D. 4 个 二次函数图象与 x轴的交点个数问题 6. (3 分)下列抛物线中,与 x 轴有两个交点的 是(　 　 ) A. y= 3x2 -5x+3 B. y= 4x2 -12x+9 C. y= x2 -2x+3 D. y= 2x2 +3x-4 7. (3 分)抛物线 y = -3x2 -x+4 与坐标轴的交点 个数是(　 　 ) A. 3　 　 　 B. 2　 　 　 C. 1　 　 　 D. 0 8. (3 分)若抛物线 y = ax2 +bx-3 的顶点坐标为 (1,-4),则抛物线与 x 轴的交点个数为(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 9. (3 分)若函数 y= x2 -2x+b 的图象与坐标轴有 三个交点,则 b 的取值范围是(　 　 ) A. b<1 且 b≠0 B. b>1 C. 0<b<1 D. b<1 10. (3 分)(河南林州期末)已知函数 y=ax2 -2ax -1(a 是常数,a≠0),下列结论正确的是(　 　 ) A. 当 a= 1 时,函数图象经过点( -1,1) B. 当 a= -2 时,函数图象与 x 轴没有交点 C. 若 a<0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方 D. 若 a>0,则当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大 根据二次函数和一元二次方程的关系求值 11. (3 分)(湖北荆门中考)二次函数 y =x2 +mx 的 图象的对称轴是直线 x=3,则关于 x 的方程 x2+ mx=7 的解为(　 　 ) A. x1 = 0,x2 = 6 B. x1 = 1,x2 = 7 C. x1 = 1,x2 = -7 D. x1 = -1,x2 = 7 12. (3 分)二次函数 y=ax2 +bx 的图象如图所示, 若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+m= 0 有实 数根,则 m 的最大值为(　 　 ) A. -7　 　 　 B. 7　 　 　 C. -10　 　 　 D. 10 23 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13. (3 分)已知 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图 所示,对称轴为直线 x= 2. 若 x1,x2 是一元二 次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的两个根,且 x1 < x2,-1<x1 <0,则下列说法正确的是(　 　 ) A. x1 +x2 <0 B. 4<x2 <5 C. b2 -4ac<0 D. ab>0 14. (3 分)(贵州安顺中考)已知二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象经过( -3,0)与(1,0)两点,关 于 x 的方程 ax2 +bx+c+m = 0(m> 0) 有两个 根,其中一个根是 3,则关于 x 的方程 ax2 +bx +c+n= 0(0<n<m)有两个整数根为(　 　 ) A. -2 或 0 B. -4 或 2 C. -5 或 3 D. -6 或 4 15. (3 分)(河南洛阳期末)抛物线 y = ax2 +bx+c 经过 A(-3,0),B(4,0)两点,则关于 x 的一元 二次方程 a(x-1)2+c=b-bx 的解为　 　 　 　 . 16. (3 分)如图,抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴相交于 A,B 两点,点 A 在点 B 左 侧,顶点在折线 M—P— N 上移动,它们的坐标分 别为 M( -1,4),P(3,4),N(3,1) . 若在抛物 线移动过程中,点 A 横坐标的最小值为-3, 则 a-b+c 的最小值为　 　 　 　 . 17. (11 分) (江苏南京中考)已知函数 y = -x2 + (m-1)x+m(m 为常数) . (1) 该函数的图象与 x 轴公共点的个数 是(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 (2)求证:不论 m 为何值,该函数的图象的顶 点都在函数 y= (x+1) 2 的图象上; (3)当-2≤m≤3 时,求该函数的图象的顶点 纵坐标的取值范围. 18. (11 分) (河南巩义一模)已知二次函数 y = 2x2 -mx-m2 . (1)求证:对于任意实数 m,该二次函数的图 象与 x 轴总有公共点; (2)若该二次函数的图象与 x 轴有两个公共 点 A,B,且 A 点坐标为( 1,0),求 B 点的坐 标. 33 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 第 2 课时　 用二次函数的图象解一元二次方程(不等式) 用二次函数的图象解一元二次方程 1. (3 分)(鄂州中考改编)二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示,则一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的两根分别为(　 　 ) A. x1 = 1,x2 = -3 B. x1 = x2 = 1 C. x1 = x2 = 3 D. x1 = -1,x2 = 3 2. (3 分)下表是一组二次函数 y= x2 +3x-5 的自 变量 x 与函数值 y 的对应值: x 1 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 y -1 -0. 49 0. 04 0. 59 1. 16 那么方程 x2+3x-5=0 的一个近似根是(　 　 ) A. 1　 　 B. 1. 1　 　 C. 1. 2　 　 D. 1. 3 3. (3 分)如果二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图 象经过点( -1,0),对称轴为 x= 1,那么一元二 次方程 ax2 +bx+c= 0 的解为　 　 　 　 . 4. (3 分)(河南新乡期末)已知二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,顶点坐标 为( -1,-3. 2),由图象可知关于 x 的一元二次 方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根分别是 x1 = 1. 3,x2 = 　 　 　 　 . 用二次函数的图象解一元二次不等式 5. (3 分)二次函数 y = ax2 +bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则函数值 y>0 时,x 的取值范围是(　 　 ) A. x<-1　 　 　 　 　 B. x>3 C. -1<x<3 D. x<-1 或 x>3 6. (3 分)如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象的 一部分,对称轴是直线 x= 1. ①b2 >4ac;②4a-2b+c<0; ③不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是 x≥3. 5; ④若( -2,y1 ),(5,y2 )是抛物线上的两点,则 y1 <y2 . 上述 4 个判断中,正确的是(　 　 ) A. ①②　 　 　 　 B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 7. (3 分)如图,直线 y =mx+n 与抛物线 y = ax2 + bx+c 交于 A( -1,p),B(4,q)两点,则关于 x 的 不等式 mx+n>ax2 +bx+c 的解集是　 　 　 　 . 8. (12 分) (河南商丘月考)已知二次函数 y = -x2 +bx+c 的图象如图所示,解决下列问题: (1)求关于 x 的一元二次方程-x2+bx+c=0 的解; (2)求此抛物线的解析式; (3)当 x 为何值时,y<0; (4)若直线 y= k 与抛物线没有交点,直接写出 k 的取值范围. 43 不能正确利用二次函数的图象求解 9. (12 分)(河南禹州期中)二次函数 y = ax2 +bx +c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下 列问题: (1)写出方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根; (2)写出不等式 ax2 +bx+c>0 的解集; (3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取 值范围; (4)若方程 ax2 +bx+c= k 有两个不相等的实数 根,求 k 的取值范围. 10. (3 分) (河南漯河期末)二次函数 y = x2 +bx 的图象如图所示,对称轴为直线 x = 1. 若关 于 x 的一元二次方程 x2 +bx-t = 0( t 为实数) 在-1<x<4 的范围内有解,则 t 的取值范围是(　 　 ) A. t≥-1 B. -1≤t<3 C. -1≤t<8 D. 3<t<8 11. (9 分)已知二次函数 y= x2 -(m+2) x+2m(m 为常数) . (1)求证:不论 m 取何值,该二次函数的图象 与 x 轴总有公共点; (2)若 m= 0,当 x　 　 　 　 时,y 随 x 的增大 而减小. 12. (10 分)(河南信阳二模)如图,直线 y = x+m 和抛物线 y = x2 +bx+c 都经过点 A( 1,0),B (3,2) . (1)求 m 的值和抛物线的解析式; (2)求不等式 x2 +bx+c>x+m 的解集;(直接写 出答案) (3)若 M(a,y1 ),N(a+ 1,y2 )两点都在抛物 线 y= x2 +bx+c 上,试比较 y1 与 y2 的大小. 13. (3 分)(浙江中考)二次函数 y=a(x-4)2 -4 的 图象在 2<x<3 这一段位于 x 轴下方,在 6<x<7 这一段位于 x 轴的上方,则 a 的值为(　 　 ) A. 1　 　 　 B. -1　 　 　 C. 2　 　 　 D. -2 53 (2)由 y = - 1 2 x 2 +x = - 1 2 ( x- 1) 2 + 1 2 可知抛物线的对 称轴为直线 x = 1,并且对称轴垂直平分线段 OB,∴ OM = BM,∴ OM+AM = BM+AM. 连接 AB 交直线 x = 1 于 M 点,则此时 OM+AM 最小 . 过点 A 作 AN⊥x 轴于 点 N, 在 Rt △ABN 中, AB = AN 2 +BN 2 = 4 2 + 4 2 = 4 2 ,因此 OM+AM 的最小值为 4 2 . 专题 　 二次函数的图象和性质及二次函数解析式 1. A　 2. C　 3. C 4. B　 【解析】 ∵ 抛物线的开口向下,∴ a< 0. ∵ - b 2a > 0, ∴ b>0. ∵ 抛物线与 y 轴交于正半轴,∴ c>0,∴ abc<0, ①错误;∵ 对称轴为直线 x = 1,∴ - b 2a = 1,即 2a+b = 0, ②正确;由图象可知 x = - 1 时,y< 0,∴ a-b+c< 0,③错 误;∵ 2a+b = 0,∴ b = -2a,∴ a-b+c = a-( -2a) +c = 3a+ c<0,故④正确 . 则其中正确的有②④ . 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】二次函数 y = ax2 +bx+ c 中,抛物线的开口 方向决定 a 的符号,抛物线对称轴的大致位置决定 a、 b 的符号,抛物线与 y 轴交点的大致位置决定 c 的符 号,点(1,a+b+c)的位置决定 a+b+c 的符号 . 5. C　 【解析】根据两个动点的运动状态可知,(1)当 0≤ t≤1 时,S = 1 2 ×2t×2t = 2t2,此时抛物线开口向上;(2) 当 1<t≤2 时,S = 2×2-2× 1 2 ×2×(2t-2) - 1 2 (4 - 2t) 2 = -2t2 +4t,此时抛物线的开口向下 . 故选 C. 6. A　 【解析】对称轴 x = - -2 2×1 = 1. 故选 A. 7. B　 8. 0　 【解析】∵ y = x2 -2x-3 = ( x-1) 2 -4,∴ 对称轴为 x = 1. ∵ 3≤x≤6 时,y 随 x 的增大而增大,∴ x = 3 时,有 最小值,y最小值 = 2 2 -4 = 0. 9. 解:(1)由题可得 A( - 1,0) ,B( 0,- 1) ,将 x = 0,y = - 1 代入抛物线解析式得 a = - 1,则抛物线解析式为 y = -( x+1) 2 = -x2 -2x-1; (2)过 C 作 CD⊥x 轴,将 C( -3,b)代入抛物线解析式 得 b = - 4,即 C ( - 3, - 4) ,则 S△ABC = S梯形OBCD - S△ACD - S△AOB = 1 2 ×3×(4+1) - 1 2 ×4×2- 1 2 ×1×1 = 3. 22. 2　 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 　 二次函数与一元二次方程之间的关系 1. B　 【解析】∵ 二次函数的解析式是 y = x2 -3x+m(m 为 常数),∴ 该抛物线的对称轴是 x = 3 2 . 又∵ 二次函数 y = x2 -3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为 (1,0),∴ 根据抛物线的对称性质知,该抛物线与 x 轴 的另一个交点的坐标是(2,0),∴ 关于 x 的一元二次 方程 x2 -3x+m = 0 的两实数根分别是:x1 = 1,x2 = 2. 故 选 B. 2. A　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 + 1 的图象经过点( - 2, 0),∴ 4a+1 = 0,解得 a = - 1 4 . ∴ 关于 x 的方程 a( x- 2) 2 +1 = 0 可化为- 1 4 ( x- 2) 2 + 1 = 0,即( x- 2) 2 = 4,解 得 x1 = 0,x2 = 4. 故选 A. 3. B 　 【解析】将抛物线 y = x2 - 1 向下平移 8 个单位长 度,其解析式为 y = x2 - 9,所以由 x2 - 9 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 3,则抛物线 y = x 2 -9 与 x 轴的交点为( -3,0)、 (3,0),所以抛物线 y = x2 - 1 向下平移 8 个单位长度 后与 x 轴的两个交点之间的距离为 6. 故选 B. 4. A　 【解析】∵ 对称轴是 x = - 2a 2a = -1,∴ 另一个交点横 坐标为-1+[ -1-( -5)] = 3,即坐标是(3,0) . 故选 A. 5. B　 【解析】∵ 图象和 x 轴有两个交点,∴ b2 -4ac>0,故 ①错误;∵ 抛物线对称轴为直线 x = -1,直线 x = -3 与 直线 x = 1 关于直线 x = - 1 对称,∵ x = - 3 时,y< 0,∴ 当 x = 1 时,y = a+b+c<0,故②错误;∵ - b 2a = - 1,∴ 2a- b = 0,故③正确;∵ 抛物线的顶点为 B( -1,3),∴ a-b+ c = 3. ∵ 2a-b = 0,∴ a- 2a+c = 3,即 c-a = 3. 故④正确 . 故选 B. 6. D　 【解析】A 选项中,Δ = ( -5) 2 -4×3×3 = 25-36 = -11 <0,抛物线与 x 轴无交点,故本选项错误;B 选项中 Δ = ( -12) 2 -4×4×9 = 144-144 = 0,抛物线与 x 轴有一个 交点,故本选项错误;C 选项中,Δ = ( - 2) 2 - 4 × 1 × 3 = 4 -12 = - 8 < 0,抛物线与 x 轴无交点,故本选项错误;D 选项中,Δ = 32 -4× 2 ×( - 4)= 9 + 32 = 41 > 0,抛物线与 x 轴有两个交点,故本选项正确 . 故选 D. 7. A　 【解析】这里的“坐标轴”包括 x 轴和 y 轴 . (1)抛 物线与 x 轴交点个数情况:∵ Δ = ( -1) 2 -4×( -3) ×4 = 49>0,∴ 抛物线与 x 轴有 2 个交点;(2)抛物线与 y 轴 交点个数情况:交点坐标为(0,4) . 因此抛物线与坐标 轴的交点个数是 3. 故选 A. 8. C　 【解析】设抛物线解析式为 y = a( x- 1) 2 - 4,即 y = ax2 -2ax+a-4,所以 a- 4 = - 3,解得 a = 1. 所以抛物线 解析式为 y = x2 -2x-3. 因为 Δ = ( -2) 2 -4×( - 3)= 16 > 0,所以抛物线与 x 轴有 2 个交点 . 故选 C. 9. A　 【解析】函数 y = x2 - 2x+b 的图象与坐标轴有三个 交点,∴ Δ = ( -2) 2 -4b>0 b≠0{ ,解得 b<1 且 b≠0. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】求解抛物线与 x 轴的公共点问题:( 1)根 据抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴公共点的个数,可知对应 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的根的情况,从而可知判 别式的符号,再求系数中字母的值(或取值范围);(2) 根据二次函数解析式,确定对应的一元二次方程的根 的判别式的符号,从而可确定抛物线与 x 轴的公共点 个数 . 10. D　 【解析】A. 当 a = 1 时,函数解析式为 y = x2 - 2x- 1,当 x = -1 时,y = 1+2-1 = 2,∴ 当 a = 1 时,函数图象 经过点( -1,2),∴ A 选项不符合题意;B. 当 a = - 2 时,函数解析式为 y = -2x2 +4x-1,令 y = -2x2 +4x-1 = —01— 0,则 Δ = 42 -4×( -2) ×( -1)= 8>0,∴ 当 a = -2 时,函 数图象与 x 轴有两个不同的交点,∴ B 选项不符合 题意;C. ∵ y = ax2 -2ax- 1 = a( x- 1) 2 - 1 -a,∴ 二次函 数图象的顶点坐标为(1,-1-a),当 - 1 -a< 0 时,有 a >-1,∴ C 选项不符合题意;D. y = ax2 - 2ax- 1 = a( x- 1) 2 -1-a,∴ 二次函数图象的对称轴为 x = 1,若 a>0, 则当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大 . ∴ D 选项符合题 意 . 故选 D. 11. D　 【解析】∵ 二次函数 y = x2 +mx 的对称轴是 x = 3, ∴ - m 2 = 3,解得 m = -6,∴ 关于 x 的方程 x2 +mx = 7 可 化为 x2 -6x-7 = 0,即( x+ 1) ( x- 7) = 0,解得 x1 = - 1, x2 = 7. 故选 D. 12. B　 【解析】∵ 抛物线的开口向上,顶点坐标为( - b 2a , -7),∴ a> 0,- b2 4a = - 7,即 b2 = 28a. ∵ 一元二次方程 ax2 +bx+m = 0 有实数根,∴ Δ = b2 - 4am≥ 0,即 28a - 4am≥0,即 28-4m≥0,解得 m≤7,∴ m 的最大值为 7. 故选 B. 13. B　 【解析】∵ x1、x2 是一元二次方程 ax 2 +bx+c = 0 的 两个根,∴ x1、x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标 . ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 2,∴ x1 +x2 2 = 2,即 x1 +x2 = 4>0;∵ x1 <x2,-1<x1 <0,∴ -1<4-x2 <0,解得 4<x2 <5; ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴ b2 - 4ac> 0;∵ 抛物线 开口向下,∴ a<0. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 2,∴ - b 2a = 2,∴ b = -4a>0,∴ ab<0. 故选 B. 14. B　 15. x1 = -2,x2 = 5 16. -15　 【解析】由题意得顶点在 M 处,点 A 横坐标为 -3,设抛物线的表达式为 y = a( x+ 1) 2 + 4,将点 A 坐 标( -3,0)代入得 0 = a( - 3 + 1) 2 + 4,解得 a = - 1. 当 x = -1 时,y = a-b+c,顶点在 N 处时,y = a-b+c 取得最 小值,顶点在 N 处,抛物线的表达式为 y = -( x-3) 2 + 1,当 x = -1 时,y = a-b+c = -( -1-3) 2 +1 = -15. 17. (1) D 　 【解析】 函数 y = - x2 + (m - 1) x +m (m 为 常 数),∴ Δ = (m-1) 2 +4m = (m+1) 2 ≥0,则该函数图象 与 x 轴的公共点的个数是 1 或 2. 故选 D. (2) 证 明: y = - x2 + ( m - 1 ) x + m = - ( x - m-1 2 ) 2 + (m+1) 2 4 ,把 x = m-1 2 代入 y = ( x+1) 2 得 y = ( m-1 2 +1) 2 = (m +1) 2 4 ,则不论 m 为何值,该函数的图象的顶点 都在函数 y = ( x+1) 2 的图象上; (3)解:顶点纵坐标 y = (m+1) 2 4 ,当 m = -1 时,有最小 值为 0;当 m<- 1 时,y 随 m 的增大而减小;当 m> - 1 时,y 随 m 的增大而增大,当 m = -2 时,y = 1 4 ;当 m = 3 时,y = 4,则当-2≤m≤3 时,该函数图象的顶点纵 坐标的取值范围是 0≤y≤4. 18. (1)证明:当二次函数图象与 x 轴相交时,2x2 -mx- m2 = 0,Δ = ( -m) 2 - 4 × 2 ×( -m2 ) = 9m2 . ∵ m2 ≥0,∴ Δ ≥0. ∴ 对于任意实数 m,该二次函数的图象与 x 轴 总有公共点; (2)解:把 ( 1,0) 代入二次函数解析式得 0 = 2 -m - m2 ,∴ m1 = -2,m2 = 1,当 m = - 2 时,二次函数解析式 为 y = 2x2 +2x-4,令 y = 0,得 2x2 + 2x- 4 = 0,解得 x = 1 或-2,∴ 二次函数图象与 x 轴两个公共点是( 1,0) , ( -2,0) . 又∵ A 点坐标为(1,0) ,则 B( -2,0) ;当 m = 1 时,同 理 可 得 B ( - 1 2 , 0 ) . 综 上 所 述, B ( - 2, 0 ) 或 B( - 1 2 ,0) . 第 2 课时 　 用二次函数的图象解一元二次方程(不等式) 1. D　 2. C 3. x1 = -1,x2 = 3　 【解析】∵ 抛物线与 x 轴的一个交点坐 标为( -1,0),而抛物线的对称轴为 x = 1,∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(3,0),∴ 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的解为 x1 = -1,x2 = 3. 4. -3. 3　 【解析】∵ 抛物线 y = ax2 +bx+ c 的顶点坐标为 ( -1,-3. 2),∴ 其对称轴为直线 x = -1. ∵ 由图象可知 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的 1 个根是 x1 = 1. 3,∴ 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的另一个根是 x2 = -3. 3. 5. D　 6. B　 【解析】①∵ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴ b2 -4ac> 0,∴ b2 >4ac,故①正确;②x = -2 时,y = 4a- 2b+c,而题 中条件不能判断此时 y 的正负,即 4a- 2b+c 可能大于 0,可能等于 0,也可能小于 0,故②错误;③如果设 ax2 +bx+c = 0 的两根为 α、β( α<β),那么根据图象可知不 等式 ax2 +bx+c>0 的解集是 x<α 或 x>β,故③错误;④ ∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的对称轴是直线 x = 1,∴ x = -2 与 x = 4 时的函数值相等 . ∵ 4 < 5,当抛物线开口向 上时,在对称轴的右边,y 随 x 的增大而增大,∴ y1 < y2,故④正确 . 故选 B. 7. x<-1 或 x>4 8. 解:(1)观察图象可看出抛物线与 x 轴交点的横坐标 为-1,3,∴ 方程的解为 x1 = -1,x2 = 3; (2)设抛物线的解析式为 y = -( x-1) 2 +k. ∵ 抛物线与 x 轴交于点(3,0) ,∴ -( 3 - 1) 2 +k = 0,解得 k = 4,∴ 抛 物线解析式为 y = -( x-1) 2 +4,即抛物线解析式为 y = -x2 +2x+3; (3)若 y<0,则函数的图象在 x 轴的下方,由函数的图 象可知:x>3 或 x<-1; (4)若直线 y = k 与抛物线没有交点,则 k 大于函数的 最大值,即 k>4. 9. 解:(1) 由图象可知,图象与 x 轴交于( 1,0) 和( 3,0) 两点,则方程 ax2 +bx+c = 0 的两个根为 1 和 3; (2)由图象可知当 1<x<3 时,不等式 ax2 +bx+c>0; (3)由图象可知,y = ax2 +bx+c( a≠0) 的图象的对称轴 为 x = 2,开口向下,即当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小; —11— (4)方程 ax2 +bx+c = k 有两个不相等的实数根,即直线 y = k 与此抛物线有两个交点,由图知,当 k<2 时,方程 ax2 +bx+c = k 有两个不相等的实数根 . 10. C　 【解析】对称轴为直线 x = - b 2×1 = 1,解 得 b = -2,所以,二次函数解析式为 y = x2 - 2x,y = ( x-1) 2 -1. ∵ -1<x<4,当 x = -1 时, y = 1+2 = 3;当 x = 4 时,y = 16 - 2 × 4 = 8. ∵ x2 +bx- t = 0 相当于 y = x2 +bx 与直线 y = t 的交点的横坐标,∴ 当 -1≤ t<8 时,在-1<x<4 的范围内有解 . 故选 C. 11. 解:(1)证明:当 y = 0 时,x2 -(m+ 2) x+ 2m = 0. ∵ b2 - 4ac = (m+2) 2 -8m = (m- 2) 2 ≥0,∴ 方程总有两个实 数根,∴ 该二次函数的图象与 x 轴总有公共点; (2) <1　 【解析】若 m = 0,y = x2 -2x = ( x-1) 2 -1,所以 该抛物线的顶点坐标是(1,- 1) . 由于 a = 1 > 0,所以 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小 . 12. 解:(1) ∵ 把点 A(1,0) ,B( 3,2)分别代入直线 y = x+ m 和抛物线 y = x2 +bx+c 得 0 = 1+m, 0 = 1+b+c 2 = 9+3b+c{ ,∴ m = -1,b = - 3,c = 2,∴ 直线 y = x- 1,抛物线 y = x2 - 3x +2; (2)由函数图象可知,当 x<1 或 x>3 时,不等式 x2 +bx +c>x+m; (3)将 M(a,y1 ) ,N( a+ 1,y2 ) 两点代入 y = x 2 - 3x+ 2, 得 y1 = a 2 -3a+2,y2 = (a+1) 2 -3(a+1) +2 = a2 -a. 则 y1 -y2 = a 2 -3a+2-(a2 -a) = 2-2a. ①当 2-2a>0,即 a<1 时,y1 >y2 ;②当 2 - 2a = 0,即 a = 1 时,y1 = y2 ;③当 2 - 2a<0,即 a>1 时,y1 <y2 ;所以当 a<1 时,y1 >y2 ;当 a = 1 时,y1 = y2 ;当 a>1 时,y1 <y2 . 13. A　 【解析】由题意可得对称轴 x = 4,而抛物线在 6<x <7 这一段位于 x 轴上方,∴ 抛物线在 1<x<2 这一段 位于抛物线上方 . ∵ 抛物线在 2 <x< 3 这一段位于 x 轴下方,∴ 抛物线过(2,0),把(2,0)代入抛物线得 a = 1. 故选 A. 22. 3　 实际问题与二次函数 第 1 课时 　 几何图形与利润问题 1. D 2. C　 【解析】设裁去的小正方形的边长为 xcm,则纸盒 的侧面积 = 2x(6-2x) +2x(10 - 2x) = - 8x2 + 32x = - 8( x - 2) 2 + 32. ∵ - 8 < 0, ∴ 当 x = 2 时,取 得 最 大 值,为 32cm2 . 故选 C. 3. S = -4x2 +24x 　 2≤x< 6　 3　 36m2 　 【解析】根据题意 可知,三 间 羊 圈 与 旧 墙 平 行 的 一 边 的 总 长 为 ( 24 - 4x),则 S = (24-4x) x = - 4x2 + 24x. 由题可知:16≥24 - 4x> 0, x > 0,所 以 x 的 取 值 范 围 是 2 ≤ x < 6,当 x = - 24 2×( -4) = 3 时,S最大 = 36m 2 . 4. 解: ( 1) ∵ AB = xm,则 BC = ( 28 - x) m, ∴ x( 28 - x) = 192,解得 x1 = 12,x2 = 16,即 x 的值为 12 或 16; (2) ∵ AB = xm,∴ BC = (28-x) m,∴ S = x(28-x) = -x2 + 28x = -( x-14) 2 +196. ∵ 在 P 处有一棵树与墙 CD,AD 的距离分别是 15m 和 6m. ∵ 28 -x≥15,∴ 6≤ x≤13, ∴ 当 x = 13 时,S 取到最大值,S = - ( 13 - 14) 2 + 196 = 195,即花园面积 S 的最大值为 195 平方米 . 5. A 6. A　 【解析】由 W = -x2 + 16x- 48,令 W = 0,则 x2 - 16x+ 48 = 0,解得 x = 12 或 4,∴ 不等式-x2 +16x-48≤0 的解 集为 x≤4 或 x≥12,∴ 该景点一年中处于关闭状态的 是 1 月、2 月、3 月、4 月、12 月,共有 5 个月 . 故选 A. 7. 解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y = kx+b,把( 2, 120)和 ( 4,140) 代入得 2k+b = 120 4k+b = 140{ ,解得 k = 10 b = 100{ ,所 以 y 与 x 之间的函数关系式为 y = 10x+100(0<x<20) ; (2)根据题意得,(60- 40 -x) ( 10x+ 100) = 2 090,解得 x = 1 或 x = 9,为了让顾客得到更大的实惠,所以 x = 9, 因此,这种干果每千克应降价 9 元; (3) 设最大利润是 w 元,根据题意得 w = ( 60 - 40 -x) (10x+100) = -10x2 +100x+2 000 = -10( x- 5) 2 + 2 250, 故该干果每千克降价 5 元时,商贸公司获利最大,最 大利润是 2 250 元 . 8. 6　 9 3 　 【解析】设 PB = x. ∵ ∠C = 90°,∠B = 30°,AB = 12,∴ BC = 6 3 ,PE = 1 2 x,BE = 3 2 x,则 EC = 6 3 - 3 2 x,故四边形 FCEP 的面积 = PE×EC = 1 2 x·(6 3 - 3 2 x)= - 3 4 ( x- 6) 2 + 9 3 ,故当 x = 6 时,四边形 PECF 的 面积最大,最大值为 9 3 . 9. C　 【解析】设每床每晚收费应提高 x 个 2 元,获得利 润为 y 元,根据题意得 y = ( 10 + 2x) ( 100 - 10x) = - 20 ( x- 5 2 ) 2 +1 125. ∵ x 取整数,∴ 当 x = 2 或 3 时,y 最 大,当 x = 3 时,每床收费提高 6 元,床位最少,即投资 少,∴ 为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高 6 元 . 故选 C. 10. C　 【解析】设 AC = x,则 BC = 2-x. ∵ △ACD 和△BCE 分别 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∴ ∠DCA = 45°, ∠ECB = 45°,DC = 2 2 x,CE = 2 2 (2-x),∴ ∠DCE = 90°,故 DE 2 = DC 2 +CE 2 = 1 2 x2 + 1 2 ( 2 - x) 2 = ( x - 1) 2 + 1,当 x = 1 时,DE 2 取得最小值,DE 也取得最小值,最小值为 1. 故选 C. 11. 解:如图,过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D, 作 QC⊥MP,交 MP 的延长线于 C 点, 设 AP 为 xcm,则 BP = (4-x) cm,PM = AP = xcm. ∵ △BPQ 为等腰直角三角 形,∴ QD =PD = 1 2 (4-x) ( cm),由题意得 QC =DP = 1 2 (4-x)(cm),∴ S△MPQ = 1 2 PM·QC = 1 2 x· 1 2 (4-x) = - 1 4 (x2 -4x)= - 1 4 (x-2) 2 +1,∴ 当 x = 2 时,S△MPQ 的最 —21—