22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质&专题 二次函数的图象和性质及二次函数解析式-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 22. 1. 4　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 　 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象和性质 1. (3 分)(河南商丘月考)二次函数 y = x2 -4x+5 的最小值是(　 　 ) A. -1 B. 1 C. 3 D. 5 2. (3 分)(河南禹州期末)抛物线 y= x2 -2x+m2 + 2(m 是常数)的顶点在(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. (3 分)在同一坐标系内,一次函数 y = ax+b 与 二次函数 y=ax2 +8x+b 的图象可能是(　 　 ) A B C D 4. (3 分)已知抛物线 y = ax2 +bx+ c( a< 0) 过 A ( -2,0),O(0,0),B( - 3,y1 ),C(3,y2 ) 四点, 则 y1 与 y2 的大小关系是(　 　 ) A. y1 >y2 B. y1 = y2 C. y1 <y2 D. 不能确定 5. (3 分)y= (x-1) 2 -1(0≤x≤3)的图象如图所 示,关于该函数在所给自变量取值范围内的 最值,下列说法正确的是(　 　 ) A. 有最小值 0,有最大值 3 B. 有最小值-1,无最大值 C. 有最小值 0,无最大值 D. 有最小值-1,有最大值 3 二次函数的图象与系数的关系 6. (3 分)抛物线 y = -( x+1) ( x-3)的顶点坐标 是(　 　 ) A. ( -1,-4) B. (1,4) C. ( -1,8) D. (1,-8) 7. (3 分)将二次函数 y = x2 -2x+3 化为 y = ( x- h) 2 +k 的形式,结果为(　 　 ) A. y= (x+1) 2 +4 B. y= (x+1) 2 +2 C. y= (x-1) 2 +4 D. y= (x-1) 2 +2 8. (3 分)(浙江舟山中考)若一次函数 y = ax+b (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标为( -2,0), 则抛物线 y=ax2 +bx 的对称轴为(　 　 ) A. 直线 x= 1 B. 直线 x= -2 C. 直线 x= -1 D. 直线 x= 4 9. (3 分)若 a<0,b>0,c<0,则抛物线 y=ax2 +bx+ c 的大致图象为(　 　 ) A B C D 利用二次函数图象来判断系数关系 10. (3 分)如图是二次函数 y = ax2 +bx+c 图象的 一部分,其对称轴是 x = -1,且过点( -3,0), 下列说法:①abc<0;②2a-b = 0;③4a+2b+c< 0;④若( - 5,y1 ),( 5 2 ,y2 ) 是抛物线上两点, 则 y1 >y2 . 其中说法正确的是(　 　 ) A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ 82 11. (3 分)在二次函数 y = -x2 +2x+1 的图象上, 若 y 随 x 的增大而增大,则 x 的取值范围 是(　 　 ) A. x<1 B. x>1 C. x<-1 D. x>-1 12. (3 分)已知点 A(a-2b,2-4ab)在抛物线 y = x2 +4x+10 上,则 A 关于抛物线对称轴的对称 点坐标为(　 　 ) A. ( -3,7) B. ( -1,7) C. ( -4,10) D. (0,10) 13. (3 分)(河南安阳期末)已知二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象如图,有下列结论:①abc>0;② 8a+ c > 0; ③ 9a + 3b + c < 0, 其 中 正 确 的 有(　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 第 13 题图 　 　 　 第 15 题图 14. (3 分)(陕西中考)在同一平面直角坐标系 中,若拋物线 y= x2 +(2m-1)x+2m-4 与 y= x2 -(3m+n)x+n 关于 y 轴对称,则符合条件的 m,n 的值为(　 　 ) A. m= 5 7 ,n= -18 7 B. m= 5,n= -6 C. m= -1,n= 6 D. m= 1,n= -2 15. (3 分)如图,抛物线 y = ax2 +bx+4 交 y 轴于 点 A,交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一 点 B,交 x 轴于 C,D 两点(点 C 在点 D 右 边),对称轴为直线 x = 5 2 ,连接 AC,AD,BC. 若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上,下列结论中错误的是(　 　 ) A. 点 B 坐标为(5,4) 　 B. AB=AD C. a= - 1 6 　 D. OC·OD= 16 16. (12 分)如图,抛物线 y = - 1 2 x2 +bx+c 与 x 轴 交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,经过 B、C 两点的直线解析式是 y= - 1 2 x+2,连接 AC. (1) 求点 B、C 的坐标及抛物线的解析式; (2)判断△ABC 的形状,并说明理由. 17. 中考新趋势·新定义 (3 分)(山东中考)新定 义:在平面直角坐标系中,对于点 P(m,n)和 点 P′(m,n′),若满足 m≥0 时,n′= n-4;m<0 时,n′= -n,则称点 P′(m,n′)是点 P(m,n)的 限变点. 例如:点 P1(2,5)的限变点是 P1′(2, 1),点 P2( -2,3)的限变点是 P2′( -2,-3) . 若点 P(m,n)在二次函数 y = -x2 +4x+2 的图 象上,则当-1≤m≤3 时,其限变点 P 的纵坐 标 n′的取值范围是(　 　 ) A. -2≤n′≤2 　 B. 1≤n′≤3 C. 1≤n′≤2 　 D. -2≤n′≤3 92 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数解析式 用一般式确定二次函数解析式 1. (3 分)已知二次函数的图象经过点( -1,-5), (0,-4)和(1,1),则这个函数的解析式为(　 　 ) A. y= -6x2 +3x+4　 　 　 　 B. y= -2x2 +3x-4 C. y= x2 +2x-4 D. y= 2x2 +3x-4 2. (3 分)(河南义马月考)一个二次函数,当 x = 0 时,y= -5;当 x= -1 时,y= -4;当 x= 2 时,y= 5,则这个二次函数的表达式是(　 　 ) A. y= 2x2 -x-5 B. y= 2x2 +x+5 C. y= 2x2 -x+5 D. y= 2x2 +x-5 用顶点式确定二次函数解析式 3. (3 分)已知二次函数的图象顶点坐标为(2, -3),且过点(1,-2),则解析式为　 　 　 　 . 4. (3 分) (上海模拟)二次函数的图象如图所 示,对称轴为直线 x = - 1,根据图中信息可求 得该二次函数的解析式为　 　 　 　 　 　 　 . 用两点式确定二次函数解析式 5. (3 分)(湖北中考改编)已知抛物线与 x 轴交 于点 A( -2,0),B(1,0),且经过点 C(2,8),则 二次函数解析式为　 　 　 　 　 　 . 6. (8 分) (河南禹州期末)如图,抛物线与 x 轴 的两个交点分别为 A(1,0),B(3,0),且与抛 物线 y= -x2 的形状、开口方向相同,求这条抛 物线对应的函数解析式. 7. (8 分)如图,直线 y= - 3 4 x+3 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B,抛物线经过点 A 和点 B. 已 知 C( -2,0),试确定抛物线的函数解析式. 8. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经 过 A( -2,-4),O(0,0),B(2,0)三点. (1)求抛物线的函数解析式; (2)若点 M 是该抛物线对称轴上的一点,求 AM+OM 的最小值. 03 专题　 二次函数的图象和性质及二次函数解析式 二次函数的图象 1. (3 分)抛物线 y = - 3( x+ 1) 2 不经过的象限 是(　 　 ) A. 第一、二象限　 　 　 　 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限 2. (3 分)(广西贺州中考)一次函数 y = ax+b 与 二次函数 y = ax2 +bx+c 在同一平面直角坐标 系内的图象可能是(　 　 ) A B C D 3. (3 分) (湖北中考改编)如图是二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象,使 y≥-1 成立 的 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≥-1 B. x≤-1 C. -1≤x≤3 D. x≤-1 或 x≥3 4. (3 分)二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如 图所示,对称轴 x = 1. 下列结论中:①abc> 0; ②2a+b= 0;③a-b+c>0;④3a+c<0. 正确的个 数是(　 　 ) A. 1　 　 　 B. 2　 　 　 C. 3　 　 　 D. 4 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. (3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 2 cm,点 P,点 Q 同时从点 A 出发,速度均为 2 cm / s,点 P 沿 A—D—C 向点 C 运动,点 Q 沿 A—B—C 向点 C 运动,则△APQ 的面积 S(cm2 )与运动 时间 t(s)之间函数关系的大致图象是(　 　 ) A. 　 　 　 B. C. 　 　 　 D. 二次函数的性质 6. (3 分)(河南商丘期中)对于抛物线 y = x2 -2x -3,下列判断错误的是(　 　 ) A. 对称轴是 x= -1 B. 与 x 轴有两个交点 C. 开口向上 D. 与 y 轴的交点在 x 轴下方 7. (3 分)抛物线 y = x2 -2(m+1) x+2m2 -m 的对 称轴是 x= 3,则 m 的值为(　 　 ) A. 1　 　 　 B. 2　 　 　 C. 3　 　 　 D. 4 8. (3 分)(河南济源期末)二次函数 y = x2 -2x- 3(3≤x≤6)的最小值为　 　 　 　 . 9. (6 分)如图,抛物线 y= a(x+1) 2 的顶点为 A, 与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OB=OA. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 C( -3,b)在该抛物线上,求 S△ABC 的 值. 13 (2)由图象可知:当 y<0 时,x 的取值范围是 0<x<4. 9. 解:(1)由题意得 y = a( x-h) 2 +k 经过平移后,得 y = a ( x-h+2) 2 +k+ 4,∴ a = 1 2 ,2 -h = 1,k+ 4 = - 1,解得 a = 1 2 ,h = 1,k = -5; (2)由(1)得 y = a( x-h) 2 +k 的解析式为 y = 1 2 ( x- 1) 2 -5,a = 1 2 >0,则函数图象开口向上,对称轴是 x = 1,顶 点坐标是(1,-5) . 10. B　 【解析】抛物线 y = ( x-m) 2 +(m+1)的顶点坐标为 (m,m+1) . ∵ 顶点在第一象限,∴ m> 0,m+ 1 > 0,∴ m 的取值范围为 m>0. 故选 B. 11. A　 【解析】∵ y = -( x- 2) 2 + c,∴ 二次函数图象开口 向下,对称轴为直线 x = 2. ∵ | x1 - 2 | > | x2 - 2 | ,∴ 点 ( x1,y1)到对称轴 x = 2 的距离比( x2,y2)到对称轴的 距离要大,∴ y1 <y2 . 故选 A. 12. B　 【解析】①若 h<1,则在 x = 1 时,y 有最小值,所以 (1-h) 2 +1 = 5,(1-h) 2 = 4,h = -1 或 h = 3(舍) . ②若 1 ≤h≤3,则在 x = h 时,y 有最小值 . x = h,y = 1,不符合 条件 . ③若 h>3,则在 x = 3 时,y 有最小值 . (3-h) 2 +1 = 5,(3-h) 2 = 4,故 h = 1(舍)或 h = 5. 综上所述,h 为 -1 或 5. 故选 B. 13. 18　 【解析】把(0,0)代入 y = - 2 3 ( x- 3) 2 +k 得 - 2 3 × (0-3) 2 +k = 0,解得 k = 6. ∴ 抛物线解析式为 y = - 2 3 ( x-3) 2 +6,∴ B 点坐标为(3,6) . ∵ BC⊥x 轴于 C,∴ S阴影 = S矩形OCBD = 3×6 = 18. 14. 解:(1)将抛物线 y = 2x2 沿 y 轴向上平移 1 个单位长 度,再沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,得到平移后抛物 线的解析式为 y = 2(x-2) 2 +1. (2) ∵ 平移后抛物线的解析式为 y = 2( x-2) 2 +1,∴ A 点的坐标为(2,1) . 设直线 OA 的解析式为 y = kx,将 A(2,1) 代入得 k = 1 2 , ∴ 直线 OA 的解析式为 y = 1 2 x,将 x = 3 代入 y = 1 2 x,得 y = 3 2 . ∴ C 点的坐标为(3, 3 2 ) . 将 x = 3 代入 y = 2( x-2) 2 +1 得 y = 3, ∴ B 点的坐标为(3,3) . ∴ BC = 3 2 , ∴ S△ABC = 1 2 ×BC× | xC -xA | = 1 2 × 3 2 × | 3-2 | = 3 4 . 15. -1 　 【解析】 ∵ y = ( x -m) 2 -m, ∴ 抛物线开口向上,顶点坐标为 (m,-m),∴ 抛物线顶点在直线 y = -x 上 . 如图,当抛物线顶点在 y 轴 左 侧,抛 物 线 经 过 A 时,满 足题 意 . 把 ( 0,2) 代 入 y = ( x - m) 2 -m 得 2 = m2 -m,解得 m = 2(舍)或 m = -1. 16. 7 ≤ t < 11 　 【解析】 作 出 函 数 图象如图所示,由题意可得 x1 +x2 = 2,x3 +x4 = 10,-1≤x1 < 1, ∴ x1 · x2 = x1( 2 - x1 ) = -( x1 - 1) 2 + 1. ∴ - 3 ≤ x1 · x2 < 1. ∵ t = x1· x2 + x3 + x4 = x1 · x2 + 10, ∴ 7≤ t<11. 22. 1. 4　 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质 第 1 课时 　 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质 1. B　 【解析】 y = x2 -4x+5 = x2 -4x+22 +1 = ( x-2) 2 +1,当 x = 2 时,二 次 函 数 y = x2 - 4x + 5 取 得 最 小 值 为 1. 故 选 B. 2. A　 【解析】∵ y = x2 - 2x+m2 + 2 = ( x- 1) 2 +(m2 + 1),∴ 顶点坐标为(1,m2 + 1) . ∵ 1 > 0,m2 + 1 > 0,∴ 顶点在第 一象限 . 故选 A. 3. C　 【解析】 x = 0 时,两个函数的函数值都为 y = b,所 以,两个函数图象与 y 轴相交于同一点,故 B、D 选项 错误;由 A、C 选项可知,抛物线开口方向向上,所以 a >0,所以一次函数 y 随 x 的增大而增大,故 A 选项错 误,C 选项正确 . 故选 C. 4. A　 【解析】∵ 抛物线过 A( - 2,0)、O(0,0)两点,∴ 抛 物线的对称轴为 x = -2+0 2 = - 1. ∵ a< 0,∴ 抛物线开口 向下,离对称轴越远,函数值越小,比较可知 C 点离对 称轴远,对应的纵坐标值小,即 y1 >y2 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【归纳总结】比较二次函数值大小的方法有:(1)代入 比较法;(2)增减性比较法;(3)根据点到对称轴的距 离比较大小:当抛物线开口向上时,点到对称轴的距离 越大,相应的函数值越大,当抛物线开口向下时,点到 对称轴的距离越大,相应的函数值越小 . 5. D　 6. B　 【解析】抛物线 y = -( x+1)( x-3)= -x2 +2x+3 = -x2 +2x-1+ 4 = -( x- 1) 2 + 4,则抛物线的顶点坐标为 ( 1, 4) . 故选 B. 7. D 8. C　 【解析】∵ 一次函数 y = ax+b( a≠0)的图象与 x 轴 的交点坐标为( -2,0),∴ -2a+b = 0,即 b = 2a,∴ 抛物 线 y = ax2 +bx 的对称轴为直线 x = - b 2a = - 2a 2a = - 1. 故 选 C. 9. B　 【解析】∵ a<0,∴ 抛物线的开口方向向下,故 C 项 错误;∵ c<0,∴ 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴 上,故 A 项错误;∵ a< 0,b> 0,对称轴为 x = - b 2a > 0,∴ 对称轴在 y 轴右侧,故 D 项错误 . 故选 B. 10. C　 【解析】∵ 抛物线开口向上,∴ a> 0. ∵ 抛物线对 称轴为直线 x = - b 2a = - 1,∴ b = 2a> 0,则 2a-b = 0,∴ ②正确;∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,∴ c< 0, ∴ abc<0,∴ ①正确;∵ x = 2 时,y> 0,∴ 4a+ 2b+ c> 0, ∴ ③错误;∵ ( -5,y1)关于直线 x = -1 的对称点的坐 —8— 标是(3,y1),又∵ 当 x>-1 时,y 随 x 的增大而增大,3 > 5 2 ,∴ y1 >y2,∴ ④正确 . 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【拓展延伸】对于二次函数 y = ax2 +bx+c,当 x = 1 时,y = a+b+c. 此时,若 y>0,则 a+b+c> 0;若 y = 0,则 a+b+c = 0;若 y<0,则 a+b+c<0. 当 x = -1 时,y = a-b+c. 此时,若 y>0,则 a-b+c>0;若 y = 0,则 a-b+c = 0;若 y<0,则 a-b +c<0. 11. A　 【解析】∵ a = - 1 < 0,∴ 二次函数图象开口向下, 对称轴是直线 x = 1,∴ 当 x<1 时,函数图象在对称轴 的左边,y 随 x 的增大而增大 . 故选 A. 12. D　 【解析】∵ 点 A(a-2b,2-4ab)在抛物线 y = x2 + 4x +10 上,∴ (a-2b) 2 +4( a- 2b) + 10 = 2 - 4ab,a2 - 4ab+ 4b2 +4a-8b+10 = 2-4ab,(a+2) 2 +4( b-1) 2 = 0,∴ a+2 = 0,b-1 = 0,解得 a = - 2,b = 1,∴ a- 2b = - 2 - 2 × 1 = -4,2-4ab = 2-4 ×( - 2) × 1 = 10,∴ 点 A 的坐标为 ( - 4,10),对称轴为直线 x = - 4 2×1 = -2,∴ 点 A 关于对称 轴的对称点的坐标为(0,10) . 故选 D. 13. D　 【解析】由抛物线开口向上得 a> 0,抛物线的对 称轴为 x = - b 2a = 1,则 b = - 2a,故 b< 0;抛 物 线 交 y 轴于负半轴得 c< 0,所以 abc> 0,故 ① 正确;根据 ① 可将抛物线的解析式化为 y = ax 2 - 2ax+c( a≠0) ,由 函数的图象知,当 x = - 2 时,y> 0,即 4a-( - 4a) + c = 8a+ c > 0,故 ② 正 确;根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 知: ( - 1,0)关 于 对 称 轴 的 对 称 点 是 ( 3,0) ,当 x = - 1 时,y< 0,所以当 x = 3 时,也有 y< 0,即 9a+ 3b+ c< 0, 故③正确 . 所以这三个结论都正确 . 故选 D . 14. D　 【解析】∵ 抛物线 y = x2 +(2m-1) x+2m-4 与 y = x2 -(3m+n) x+n 关于 y 轴对称,∴ 2m-1 = 3m+n 2m-4 = n{ ,解得 m = 1 n = -2{ . 故选 D. 15. D　 【解析】∵ 拋物线 y = ax2 +bx+4 交 y 轴于点 A,∴ A (0,4) . ∵ 对称轴为直线 x = 5 2 ,AB∥x 轴,∴ B(5,4), A 正确;过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,则 BE = 4,AB = 5. ∵ AB∥x 轴,∴ ∠BAC = ∠ACO. ∵ 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上,∴ ∠ACO = ∠ACB,∴ ∠BAC = ∠ACB,∴ BC = AB = 5,∴ 在 Rt△BCE 中,由 勾股定理得 EC = 3,∴ C(8,0) . ∵ 对称轴为直线 x = 5 2 ,∴ D( -3,0) . ∵ 在 Rt△ADO 中,OA = 4,OD = 3,∴ AD = 5,∴ AB = AD,B 正确;对称轴 x = - b 2a = 5 2 ,∴ b = -5a. 将 b = -5a,D( -3,0)代入 y = ax2 +bx+4 中,得 9a +15a+4 = 0,∴ a = - 1 6 ,C 正确;OC = 8,OD = 3,∴ OC× OD = 24,故 D 错误 . 故选 D. 16. 解:(1)把 x = 0 代入直线解析式得 y = 2,∴ C( 0,2) , 将 y = 0 代入直线解析式得 0 = - 1 2 x+2,解得 x = 4,∴ B(4,0) . 将点 B(4,0) ,C(0,2)代入抛物线的解析式 得 -8+4b+c = 0 c = 2{ ,解得 b = 3 2 c = 2 ì î í ïï ï ,∴ 抛物线的解析式为 y = - 1 2 x2 + 3 2 x+2; (2) △ABC 是直角三角形 . 理由如下:抛物线的对称 轴为 x = 3 2 ,B ( 4, 0 ) , ∴ A ( - 1, 0 ) . ∴ AB = 5, AC = 12 +22 = 5 ,BC = 42 +22 = 2 5 . ∴ AC 2 +BC 2 = AB 2 , ∴ △ABC 为直角三角形,且∠BCA = 90°. 17. D　 【解析】由题意知,当 m≥0 时,n′ = -m2 +4m+2-4 = -(m-2) 2 +2,∴ 当 0≤m≤3 时,-2≤n′≤2,当 m<0 时,n′= m2 -4m-2 = (m-2) 2 -6,∴ 当-1≤m< 0 时,- 2 <n′≤3,综上,当-1≤m≤3 时,其限变点 P′的纵坐标 n′的取值范围是-2≤n′≤3. 故选 D. 第 2 课时 　 用待定系数法求二次函数解析式 1. D　 2. D 3. y = x2 -4x+1　 【解析】二次函数的图象顶点坐标为(2, -3),设二次函数的解析式为 y = a( x-2) 2 -3,把 x = 1, y = -2 代入 y = a( x-2) 2 -3 得,a-3 = - 2,∴ a = 1,∴ y = ( x-2) 2 -3 = x2 - 4x+ 1,故二次函数的解析式为 y = x2 - 4x+1. 4. y = -x2 -2x+3　 【解析】二次函数对称轴为 x = -1,设二 次函数解析式为 y = a( x+1) 2 +k,把(0,3),(1,0)代入 得 a+k = 3 4a+k = 0{ ,解得 a = -1 k = 4{ ,∴ y = -( x+1) 2 +4,故二次函 数的解析式为 y = -x2 -2x+3. 5. y = 2x2 +2x-4　 【解析】∵ 抛物线与 x 轴交于点 A( -2, 0),B(1,0),∴ 设抛物线解析式为 y = a( x+2) ( x- 1) . ∵ 经过点 C(2,8),∴ 8 = a(2+2) ×(2 - 1),∴ a = 2,∴ y = 2x2 +2x-4. 6. 解:∵ 抛物线与 x 轴的两个交点分别为(1,0) ,(3,0) , 则设二次函数的解析式为 y = a( x- 1) ( x- 3) . ∵ 与抛 物线 y = -x2 的形状,开口方向相同,∴ a = - 1,则 y = -( x-1) ( x-3) ,∴ y = -x2 +4x-3. 7. 解:对于直线 y = - 3 4 x+3,当 x = 0 时,y = 3,当 y = 0 时, x = 4,∴ A(4,0) ,B( 0,3) . 设抛物线解析式为 y = ax2 + bx+ c, 将 A ( 4, 0 ) , B ( 0, 3 ) , C ( - 2, 0 ) 代 入, 得 16a+4b+c = 0 c = 3 4a-2b+c = 0 ì î í ïï ï ,解得 a = - 3 8 b = 3 4 c = 3 ì î í ï ï ï ï ï ï . ∴ 抛物线解析式为 y = - 3 8 x2 + 3 4 x+3. 8. 解:(1)设抛物线解析式为 y = a( x- 0) ( x- 2) = ax( x- 2) ,将 A( -2,- 4) 代入得 - 4 = - 2a( - 2 - 2) ,解得 a = - 1 2 ,∴ 抛物线解析式为 y = - 1 2 x( x-2) = - 1 2 x2 +x; —9— (2)由 y = - 1 2 x 2 +x = - 1 2 ( x- 1) 2 + 1 2 可知抛物线的对 称轴为直线 x = 1,并且对称轴垂直平分线段 OB,∴ OM = BM,∴ OM+AM = BM+AM. 连接 AB 交直线 x = 1 于 M 点,则此时 OM+AM 最小 . 过点 A 作 AN⊥x 轴于 点 N, 在 Rt △ABN 中, AB = AN 2 +BN 2 = 4 2 + 4 2 = 4 2 ,因此 OM+AM 的最小值为 4 2 . 专题 　 二次函数的图象和性质及二次函数解析式 1. A　 2. C　 3. C 4. B　 【解析】 ∵ 抛物线的开口向下,∴ a< 0. ∵ - b 2a > 0, ∴ b>0. ∵ 抛物线与 y 轴交于正半轴,∴ c>0,∴ abc<0, ①错误;∵ 对称轴为直线 x = 1,∴ - b 2a = 1,即 2a+b = 0, ②正确;由图象可知 x = - 1 时,y< 0,∴ a-b+c< 0,③错 误;∵ 2a+b = 0,∴ b = -2a,∴ a-b+c = a-( -2a) +c = 3a+ c<0,故④正确 . 则其中正确的有②④ . 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】二次函数 y = ax2 +bx+ c 中,抛物线的开口 方向决定 a 的符号,抛物线对称轴的大致位置决定 a、 b 的符号,抛物线与 y 轴交点的大致位置决定 c 的符 号,点(1,a+b+c)的位置决定 a+b+c 的符号 . 5. C　 【解析】根据两个动点的运动状态可知,(1)当 0≤ t≤1 时,S = 1 2 ×2t×2t = 2t2,此时抛物线开口向上;(2) 当 1<t≤2 时,S = 2×2-2× 1 2 ×2×(2t-2) - 1 2 (4 - 2t) 2 = -2t2 +4t,此时抛物线的开口向下 . 故选 C. 6. A　 【解析】对称轴 x = - -2 2×1 = 1. 故选 A. 7. B　 8. 0　 【解析】∵ y = x2 -2x-3 = ( x-1) 2 -4,∴ 对称轴为 x = 1. ∵ 3≤x≤6 时,y 随 x 的增大而增大,∴ x = 3 时,有 最小值,y最小值 = 2 2 -4 = 0. 9. 解:(1)由题可得 A( - 1,0) ,B( 0,- 1) ,将 x = 0,y = - 1 代入抛物线解析式得 a = - 1,则抛物线解析式为 y = -( x+1) 2 = -x2 -2x-1; (2)过 C 作 CD⊥x 轴,将 C( -3,b)代入抛物线解析式 得 b = - 4,即 C ( - 3, - 4) ,则 S△ABC = S梯形OBCD - S△ACD - S△AOB = 1 2 ×3×(4+1) - 1 2 ×4×2- 1 2 ×1×1 = 3. 22. 2　 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 　 二次函数与一元二次方程之间的关系 1. B　 【解析】∵ 二次函数的解析式是 y = x2 -3x+m(m 为 常数),∴ 该抛物线的对称轴是 x = 3 2 . 又∵ 二次函数 y = x2 -3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为 (1,0),∴ 根据抛物线的对称性质知,该抛物线与 x 轴 的另一个交点的坐标是(2,0),∴ 关于 x 的一元二次 方程 x2 -3x+m = 0 的两实数根分别是:x1 = 1,x2 = 2. 故 选 B. 2. A　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 + 1 的图象经过点( - 2, 0),∴ 4a+1 = 0,解得 a = - 1 4 . ∴ 关于 x 的方程 a( x- 2) 2 +1 = 0 可化为- 1 4 ( x- 2) 2 + 1 = 0,即( x- 2) 2 = 4,解 得 x1 = 0,x2 = 4. 故选 A. 3. B 　 【解析】将抛物线 y = x2 - 1 向下平移 8 个单位长 度,其解析式为 y = x2 - 9,所以由 x2 - 9 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 3,则抛物线 y = x 2 -9 与 x 轴的交点为( -3,0)、 (3,0),所以抛物线 y = x2 - 1 向下平移 8 个单位长度 后与 x 轴的两个交点之间的距离为 6. 故选 B. 4. A　 【解析】∵ 对称轴是 x = - 2a 2a = -1,∴ 另一个交点横 坐标为-1+[ -1-( -5)] = 3,即坐标是(3,0) . 故选 A. 5. B　 【解析】∵ 图象和 x 轴有两个交点,∴ b2 -4ac>0,故 ①错误;∵ 抛物线对称轴为直线 x = -1,直线 x = -3 与 直线 x = 1 关于直线 x = - 1 对称,∵ x = - 3 时,y< 0,∴ 当 x = 1 时,y = a+b+c<0,故②错误;∵ - b 2a = - 1,∴ 2a- b = 0,故③正确;∵ 抛物线的顶点为 B( -1,3),∴ a-b+ c = 3. ∵ 2a-b = 0,∴ a- 2a+c = 3,即 c-a = 3. 故④正确 . 故选 B. 6. D　 【解析】A 选项中,Δ = ( -5) 2 -4×3×3 = 25-36 = -11 <0,抛物线与 x 轴无交点,故本选项错误;B 选项中 Δ = ( -12) 2 -4×4×9 = 144-144 = 0,抛物线与 x 轴有一个 交点,故本选项错误;C 选项中,Δ = ( - 2) 2 - 4 × 1 × 3 = 4 -12 = - 8 < 0,抛物线与 x 轴无交点,故本选项错误;D 选项中,Δ = 32 -4× 2 ×( - 4)= 9 + 32 = 41 > 0,抛物线与 x 轴有两个交点,故本选项正确 . 故选 D. 7. A　 【解析】这里的“坐标轴”包括 x 轴和 y 轴 . (1)抛 物线与 x 轴交点个数情况:∵ Δ = ( -1) 2 -4×( -3) ×4 = 49>0,∴ 抛物线与 x 轴有 2 个交点;(2)抛物线与 y 轴 交点个数情况:交点坐标为(0,4) . 因此抛物线与坐标 轴的交点个数是 3. 故选 A. 8. C　 【解析】设抛物线解析式为 y = a( x- 1) 2 - 4,即 y = ax2 -2ax+a-4,所以 a- 4 = - 3,解得 a = 1. 所以抛物线 解析式为 y = x2 -2x-3. 因为 Δ = ( -2) 2 -4×( - 3)= 16 > 0,所以抛物线与 x 轴有 2 个交点 . 故选 C. 9. A　 【解析】函数 y = x2 - 2x+b 的图象与坐标轴有三个 交点,∴ Δ = ( -2) 2 -4b>0 b≠0{ ,解得 b<1 且 b≠0. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】求解抛物线与 x 轴的公共点问题:( 1)根 据抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴公共点的个数,可知对应 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的根的情况,从而可知判 别式的符号,再求系数中字母的值(或取值范围);(2) 根据二次函数解析式,确定对应的一元二次方程的根 的判别式的符号,从而可确定抛物线与 x 轴的公共点 个数 . 10. D　 【解析】A. 当 a = 1 时,函数解析式为 y = x2 - 2x- 1,当 x = -1 时,y = 1+2-1 = 2,∴ 当 a = 1 时,函数图象 经过点( -1,2),∴ A 选项不符合题意;B. 当 a = - 2 时,函数解析式为 y = -2x2 +4x-1,令 y = -2x2 +4x-1 = —01—