22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 22. 1. 3　 二次函数 y= a(x-h) 2 +k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 抛物线 y=ax2 +k 与 y=ax2 之间的关系 1. (3 分)(河南济源月考)抛物线 y = ax2 +c 的顶 点是(0,2),且形状及开口方向与抛物线 y = - 1 2 x2 相同,则 a,c 的值分别为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. - 1 2 ,2 B. - 1 2 ,-2 C. 1 2 ,2 D. 1 2 ,-2 2. (3 分)将抛物线 y= 2x2 +3 平移后得到抛物线 y= 2x2,平移的方法可以是(　 　 ) A. 向下平移 3 个单位长度 B. 向上平移 3 个单位长度 C. 向上平移 2 个单位长度 D. 向下平移 2 个单位长度 3. (3 分)如果将抛物线 y = x2 向上平移 3 个单 位,那么所得新抛物线的表达式是　 　 　 　 . 抛物线 y=ax2 +k 的图象和性质 4. (3 分)二次函数 y=x2+1 的图象大致是(　 　 ) A B C D 5. (3 分)在同一坐标系中,一次函数 y = -mx+n2 与二次函数 y= x2 +m 的图象可能是(　 　 ) A 　 　 　 　 　 B C D 6. (3 分) (河南安阳月考) 关于二次函数 y = -2x2 +3,下列说法正确的是(　 　 ) A. 它的图象的开口向上 B. 当 x<-1 时,y 随 x 的增大而增大 C. 它的图象的顶点坐标是( -2,3) D. 当 x= 0 时,y 有最小值 3 7. (3 分)已知点(x1,y1 ),(x2,y2 )均在抛物线 y = x2 -1 上,下列说法正确的是(　 　 ) A. 若 y1 = y2,则 x1 = x2 B. 若 x1 = -x2,则 y1 = -y2 C. 若 0<x1 <x2,则 y1 >y2 D. 若 x1 <x2 <0,则 y1 >y2 8. (3 分)(上海模拟改编)与抛物线 y= -x2 -1 顶 点相同,形状相同且开口方向相反的抛物线 所对应的函数是(　 　 ) A. y= -x2 -1 B. y= x2 -1 C. y= -x2 +1 D. y= x2 +1 9. (3 分)如果二次函数 y=(a+3)x2-5 的图象不经 过第一象限,那么 a 的取值范围是　 　 　 　 . 10. (3 分)二次函数 y = ax2 +c(a≠0)中,当 x 分 别取 x1,x2(x1≠x2)时,它们对应的函数值相 等,则当 x 取 x1+x2 时,函数的值为　 　 　 　 . 未理解抛物线 y = ax2 +k 与 y = ax2 之间 的关系致错 11. (8 分)(河南周口期中)将抛物线 y = x2 向下 平移 2 个单位长度后,所得到的抛物线与直 线 y= x 交于 A,B 两点,且平移后的抛物线的 22 顶点为 C,试求△ABC 的面积. 12. (3 分) 已知 y = ax2 + k 的图象上有三点 A ( -3,y1),B(1,y2),C(2,y3),且 y2 <y3 <y1,则 a 的取值范围是(　 　 ) A. a>0 B. a<0 C. a≥0 D. a≤0 13. (3 分)(河南安阳期中)抛物线 y = x2 -4 与 x 轴交于 B,C 两点,顶点为 A,则△ABC 的周长 为(　 　 ) A. 4 5 B. 4 5 +4 C. 12 D. 2 5 +4 14. (3 分)(河南巩义月考)若点(x1,y1 )和(x2, y2)在二次函数 y= - 1 2 x2 -2 的图象上,且 x1 < x2 <0,则 y1 与 y2 的大小关系为　 　 　 　 . 15. (10 分)如图,直线 l 经过 A(3,0),B(0,3)两 点,且与二次函数 y = x2 +1 的图象在第一象 限内相交于点 C. (1)求△AOC 的面积; (2)二次函数图象的顶点为 D,求△ABD 的 面积. 16. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函 数 y=ax2 +c(a≠0)的图象经过正方形 ABOC 的三个顶点 A,B,C. (1)求点 A,B,C 的坐标;(用含 c 的代数式表 示) (2)求 ac 的值. 17. (3 分)(贵州遵义中考)如图,两条抛物线 y1 = - 1 2 x2 +1,y2 = - 1 2 x2 -1 与分别经过点( -2, 0),(2,0)且平行于 y 轴的两条平行线围成 的阴影部分的面积为(　 　 ) A. 8　 　 　 B. 6　 　 　 C. 10　 　 　 D. 4 32 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 第 2 课时　 二次函数 y= a( x-h) 2 的图象和性质 抛物线 y=a(x-h) 2 与 y=ax2 的关系 1. (3 分)(江苏南京中考)抛物线 y = -5(x-2) 2 的顶点坐标是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. ( -2,0) B. (2,0) C. (0,-2) D. (0,2) 2. (3 分)把抛物线 y = x2 向右平移 1 个单位,那 么所得的抛物线的解析式是(　 　 ) A. y= x2 -1 B. y= x2 +1 C. y= (x-1) 2 D. y= (x+1) 2 3. (3 分)已知二次函数 y=a(x-h) 2 的图象是由 抛物线 y = -2x2 向左平移 3 个单位长度得到 的,则 a= 　 　 　 　 ,h= 　 　 　 　 . 二次函数 y=a(x-h) 2 的图象和性质 4. (3 分)二次函数 y=-(x+1)2 的最大值是(　 　 ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 0 5. (3 分) (河南长葛月考)对于函数 y = 3( x- 2) 2,下列说法正确的是(　 　 ) A. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小 B. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大 C. 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大 D. 当 x>-2 时,y 随 x 的增大而减小 6. (3 分)在平面直角坐标系中,函数 y= -x+1 与 y= - 3 2 (x-1) 2 的图象大致是(　 　 ) A B C D 7. (3 分)顶点为( -6,0),开口向下,形状与函数 y= 1 2 x2 的图象相同的抛物线对应的解析式为 　 　 　 　 . 8. (3 分)(杭州模拟改编)已知二次函数 y= 3(x -a) 2,当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大,则 a 的 取值范围是　 　 　 　 . 9. (3 分)已知 A( -1,y1),B( -2,y2 ),C(3,y3 )三 点都在二次函数 y = -2( x+ 2) 2 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是　 　 　 　 　 　 　 . 10. (8 分)已知函数 y = (x-1) 2,自己画出草图, 根据图象回答问题: (1)求当-2≤x≤-1 时,y 的取值范围; (2)求当 0≤x≤3 时,y 的取值范围. 11. (9 分) (河南周口期末) 已知 y = (m + 3) xm 2+4m-3 是关于 x 的二次函数. (1)求 m 的值; (2)当 m 为何值时,该函数图象的开口向上? (3)当 m 为何值时,该函数有最大值? 42 12. (10 分)已知抛物线 y= -(x-1) 2 . (1)抛物线的对称轴是　 　 　 　 ,顶点坐标 为　 　 　 　 . (2)选取适当的数值填入下表,并在如图所 示的直角坐标系中描点画出该抛物线的图 象. x … 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 … (3)说明该抛物线与抛物线 y= -x2 有什么关 系. 13. (3 分)关于二次函数 y = -2( x+3) 2,下列说 法正确的是(　 　 ) A. 其图象的开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 x= 3 C. 其图象的顶点坐标是(0,3) D. 当 x>-3 时,y 随 x 的增大而减小 14. (3 分)(河南林州模拟)已知,抛物线 y = a(x +1) 2 的顶点为 A,图象与 y 轴负半轴交点为 B,且 OB=OA,若点 C( -4,b)在抛物线上,则 △ABC 的面积为(　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 15. 中考新趋势·结论开放 (3 分)有一个二次函 数 y=a(x-k) 2 的图象,三位同学分别说出了 它的一些特点: 甲:开口向上. 乙:对称轴是直线 x= 2. 丙:与 y 轴的交点到原点的距离为 2. 满足上述全部特点的二次函数解析式为 　 　 　 　 　 　 . 16. (9 分)(河南安阳期末)已知直线 y = x+1 与 x 轴交于点 A,抛物线 y= -2x2 平移后的顶点 与点 A 重合. (1)求平移后的抛物线 l 的解析式; (2)若点 B(x1,y1),C(x2,y2 )在抛物线 l 上, 且- 1 2 <x1 <x2,试比较 y1,y2 的大小. 17. 学科内融合 (8 分) (河南禹州月考)如图, 抛物线 y= 2(x-2) 2 与平行于 x 轴的直线交 于点 A,B,顶点为 C,△ABC 为等边三角形, 求 S△ABC . 52 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 　 　 　 　 第 3 课时　 二次函数 y= a( x-h) 2 +k 的图象和性质　 抛物线 y=a(x-h) 2 +k 与 y=ax2 的关系 1. (3 分)将抛物线 y = 2x2 向左平移 3 个单位长 度,再向上平移 5 个单位长度,得到的抛物线 对应的函数解析式为(　 　 ) A. y= 2(x-3) 2 -5　 　 　 　 B. y= 2(x+3) 2 +5 C. y= 2(x-3) 2 +5 D. y= 2(x+3) 2 -5 2. (3 分)将抛物线 y= 2x2 的图象经过怎样的平移 可得到抛物线 y=2(x+3)2-4 的图象(　 　 ) A. 先向左平移 3 个单位长度,再向上平移 4 个 单位长度 B. 先向左平移 3 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度 C. 先向右平移 3 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度 D. 先向右平移 3 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度 3. (3 分)在平面直角坐标系中,如果抛物线 y = 3x2 不动,而把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移 3 个单位长度,那么在新坐标系下此抛物线的 解析式是(　 　 ) A. y= 3(x-3) 2 +3 B. y= 3(x-3) 2 -3 C. y= 3(x+3) 2 +3 D. y= 3(x+3) 2 -3 二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象和性质 4. (3 分)(无锡中考)下列二次函数中,图象以直 线 x= 2 为对称轴,且经过点(0,1)的是(　 　 ) A. y= (x-2) 2 +1 B. y= (x+2) 2 +1 C. y= (x-2) 2 -3 D. y= (x+2) 2 -3 5. (3 分) (上海模拟)已知 k 为任意实数,则抛 物线 y=a(x-k) 2 +k 的顶点在(　 　 ) A. x 轴上 B. y 轴上 C. 直线 y= x 上 D. 直线 y= -x 上 6. (3 分)对于抛物线 y = - 1 2 ( x+1) 2 +3,下列结 论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线 x= 1;③顶点坐标为( -1,3);④x>1 时,y 随 x 的 增大而减小,其中正确结论的个数为(　 　 ) A. 1 个　 　 B. 2 个　 　 C. 3 个　 　 D. 4 个 7. (3 分)已知点 A( x1,y1 ),B( x2,y2 )在二次函 数 y= (x-1) 2 +1 的图象上,若 x1 >x2 >1,则 y1 　 　 　 　 y2(填“ >”“ <”或“ = ”) . 8. (10 分)(盐城中考)已知二次函数 y=(x-2)2-4. (1)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的 图象; (2)根据图象,直接写出 y< 0 时 x 的取值范 围. 二次函数 y = a(x-h) 2 +k 的图象在平移 中的应用 9. (10 分)把二次函数 y = a(x-h) 2 +k 的图象先 向左平移 2 个单位长度,再向上平移 4 个单位 长度,得到二次函数 y= 1 2 (x+1)2-1 的图象. (1)试确定 a,h,k 的值; 62 (2)指出二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象的开 口方向、对称轴和顶点坐标. 10. (3 分)若抛物线 y = (x-m) 2 +(m+1)的顶点 在第一象限,则 m 的取值范围为(　 　 ) A. m>1 B. m>0 C. m>-1 D. -1<m<0 11. (3 分)已知二次函数 y= -(x-2) 2 +c,当 x= x1 时,函数值为 y1;当 x = x2 时,函数值为 y2. 若 |x1-2| >|x2-2|,则 y1,y2 的大小关系是(　 　 ) A. y1 <y2 B. y1 >y2 C. y1 = y2 D. 无法确定 12. (3 分)(河南巩义期末)已知二次函数 y = (x -h) 2 +1(h 为常数),在自变量 x 的值满足 1 ≤x≤3 的情况下,与其对应的函数值 y 的最 小值为 5,则 h 的值为(　 　 ) A. 1 或-5 B. -1 或 5 C. 1 或-3 D. 1 或 3 13. (3 分)(吉林长春期末)如图,在平面直角坐 标系中,抛物线 y= - 2 3 (x-3) 2 +k 经过坐标原 点 O,与 x 轴的另一个交点为 A,过抛物线的 顶点 B 分别作 BC⊥x 轴于点 C,BD⊥y 轴于 点 D,则图中阴影部分的面积和为　 　 　 　 . 14. (11 分)在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 y= 2x2 沿 y 轴向上平移 1 个单位长度,再沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,平移后抛物线的 顶点坐标记作 A,直线 x = 3 与平移后的抛物 线相交于 B,与直线 OA 相交于 C. (1)求平移后抛物线的解析式; (2)求△ABC 的面积. 15. (3 分) (安徽期末) 如图,在正方形 OABC 中,点 A(0,2),点 C(2,0),当二次函数 y = (x-m) 2 -m 与正方形有公共点时,m 的最小 值等于　 　 　 　 . 16. (3 分)(辽宁抚顺一模)已知函数 y = (x-1) 2 -1(x≤3) 2(x-5) 2 -2(x>3){ 与直线 y=k(k 为常数)恰好有 4 个交点,依次是 A(x1,y1)、B (x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)四点,且 x1 <x2 <x3 < x4,若 t=x1·x2 +x3 +x4,则 t 的取值范围为　 　 　 　 . 72 22. 1. 2　 二次函数 y = ax2 的图象和性质 1. C 2. C　 【解析】根据题意,得 a > 0,a2 - 1 = 2,∴ a = 3 . 故 选 C. 3. A　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 的对称轴为 y 轴,∴ 若 图象经过点 P( - 2,4),则该图象必经过点(2,4) . 故 选 A. 4. C　 【解析】 二次函数 y = 3x2 是一条抛物线,开口向 上,对称轴为 y 轴,顶点是抛物线的最低点,它与 y = -3x2 的图象关于 x 轴对称,故 A、B、D 说法正确,C 说 法错误 . 故选 C. 5. D　 【解析】根据题意,ab>0,即 a、b 同号,当 a>0 时,b >0,y = ax2 的开口向上,过原点,y = ax+b 过一、二、三 象限;此时,没有选项符合;当 a< 0 时,b< 0,y = ax2 的 开口向下,过原点,y = ax+b 过二、三、四象限;此时,D 选项符合 . 故选 D. 6. A　 7. 解:(1)由题意得 a-2<0,解得 a<2; (2) ∵ 函数 y = (3a-2) x2 有最大值,∴ 3a-2<0,解得 a < 2 3 ; (3) ∵ 抛物线 y = (a+ 2) x2 与抛物线 y = - 1 2 x2 的形状 相同,∴ a+2 = - 1 2 或 a+2 = 1 2 ,解得 a = - 5 2 或 a = - 3 2 ; (4) ∵ 函数 y = ax a 2 图象是开口向上的抛物线, ∴ a2 = 2,a>0,∴ a = 2 . 8. D　 9. C　 【解析】∵ 原点是抛物线 y = (m+ 1) x2 的最低点, ∴ m+1>0,即 m>-1. 故选 C. 22. 1. 3 二次函数 y = a( x-h) 2 +k 的图象和性质 第 1 课时 　 二次函数 y = ax2 +k 的图象和性质 1. A　 【解析】由题知 a = - 1 2 ,则抛物线 y = - 1 2 x2 + c. ∵ 抛物线 y = - 1 2 x2 +c 的顶点是(0,2),则 c = 2. 故选 A. 2. A　 3. y = x2 +3　 4. C　 5. D 6. B　 【解析】A. 二次函数 y = -2x2 +3 中,a = - 2 < 0,此抛 物线开口向下,故本选项错误;B. 抛物线的对称轴 x = 0,∴ 当 x< -1 时函数图象在对称轴左侧,y 随 x 的增 大而增大,故本选项正确;C. 抛物线的顶点坐标为(0, 3),故本选项错误;D. 抛物线开口向下,此函数有最 大值,故本选项错误 . 故选 B. 7. D　 【解析】A. 若 y1 = y2,则 x1 = -x2;B. 若 x1 = -x2,则 y1 = y2;C. 若 0 <x1 <x2 则在对称轴的右侧,y 随 x 的增 大而增大,则 y1 <y2;D. 若 x1 <x2 < 0,则在对称轴的左 侧,y 随 x 的增大而减小,则 y1 >y2 . 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　【易错提醒】归纳总结:对于二次函数 y = ax2 +k 图象上 的两点 A( x1,y1),B( x2,y2),可依据下列规律比较函数 值的大小: | x1 | < | x2 | → y1 <y2(a>0) y1 >y2(a<0){ | x1 | = | x2 | →y1 = y2 ì î í ïï ïï . 8. B　 9. a<-3　 【解析】∵ 抛物线 y = ( a+ 3) x2 - 5 不经过第一 象限,∴ a+3<0,解得 a<-3. 10. c　 11. 解:抛物线 y = x2 向下平移 2 个单位长度后抛物线的 解析式为:y = x2 -2. 所以新抛物线的顶点 C 的坐标 是( 0, - 2 ) , 即 OC = 2, 由 y = x y = x2 -2{ 得 到 x = 2 y = 2{ 或 x = -1 y = -1{ ,则 A(2,2) ,B( -1,-1) ,∴ S△ABC = S△OAC +S△OBC = 1 2 OC | xA | + 1 2 OC | xB | = 1 2 OC· ( | xA | + | xB | ) = 1 2 × 2×3 = 3. 12. A　 【解析】根据二次函数 y = ax2 +k 关于 y 轴对称 . A ( -3,y1)的对称点为 (3,y1 ) . ∵ y2 <y3 <y1,∴ 在对称 轴右边 y 随 x 的增大而增大,∴ 抛物线的开口向上, ∴ a>0. 故选 A. 13. B　 【解析】抛物线 y = x2 -4 与 x 轴交于 B、C 两点,顶 点为 A,∴ B( -2,0),C(2,0),A(0,-4) . ∴ BC = 4,AB = AC = 22 +42 = 2 5 ,∴ △ABC 周长 = AB+BC+AC = 4 +4 5 . 故选 B. 14. y1 <y2 　 【解析】由题可知,a = - 1 2 <0,∴ 二次函数 y = - 1 2 x2 -2 的图象开口向下,且其对称轴为 y 轴,即直 线 x = 0,∴ 当 x1 <x2 <0 时,y 随 x 的增大而增大,∴ y1 <y2 . 15. 解:( 1) 设直线 l 的解析式为 y = kx+b,把 A( 3,0) ,B (0,3) 代入得 3k+b = 0 b = 3{ ,解得 k = -1 b = 3{ ,∴ 直线 l 为 y = -x+3,解方程组 y = x2 +1 y = -x+3{ ,得 C( 1,2) ,∴ S△AOC = 1 2 × 3×2 = 3; (2)顶点 D(0,1) ,∴ S△ABD = 1 2 ×(3-1) ×3 = 3. 16. 解:(1)连接 BC 交 OA 于 D. 在 y = ax2 +c 中,令 x = 0, 则 y = c, ∴ 点 A 的坐标为 ( 0, c) ,OA = c. ∵ 四边形 ABOC 是正方形,∴ BC⊥OA,OD = 1 2 OA = c 2 ,BD = CD = 1 2 BC = 1 2 OA = c 2 . ∵ 点 B,C 分别在第二、第一象 限,∴ 点 B 的坐标为( - c 2 , c 2 ) ,点 C 的坐标为( c 2 , c 2 ) ; (2)点 C( c 2 , c 2 ) 在抛物线 y = ax2 + c 上,∴ c 2 = a· ( c 2 ) 2 +c,∴ c 2 = 1 4 ac2 +c. ∵ c≠0. ∴ 1 2 = 1 4 ac+ 1,∴ ac = -2. 17. A　 【解析】 ∵ 两解析式的二次项系数相同,∴ 两抛 —6— 物线的形状完全相同,∴ y1 -y2 = - 1 2 x2 + 1 -( - 1 2 x2 - 1) = 2,∴ S阴影 = ( y1 - y2 ) × | 2 - ( - 2) | = 2 × 4 = 8. 故 选 A. 第 2 课时 　 二次函数 y = a( x-h) 2 的图象和性质 1. B　 2. C　 3. -2　 -3　 4. D　 5. C　 6. D　 7. y = - 1 2 ( x+6) 2 8. a≤2　 【解析】二次函数 y = 3( x-a) 2 的对称轴为直线 x = a,当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大,∴ a≤2. 9. y2 >y1 >y3 10. 解: (1)当-2≤x≤ -1 时,y 的取值范围是 4≤y≤9; (2)当 0≤x≤3 时,y 的取值范围是 0≤y≤4. 11. 解:(1) ∵ 函数 y = (m+ 3) xm 2 + 4m- 3 是关于 x 的二次函 数,∴ m2 +4m-3 = 2,m+ 3≠0,解得 m1 = - 5,m2 = 1,m ≠ -3,∴ m 的值为-5 或 1; (2) ∵ 函数图象的开口向上,∴ m+ 3 > 0,∴ m> - 3. 又 ∵ m = - 5 或 1, ∴ 当 m = 1 时, 该函数图象的开口 向上; (3) ∵ 当 m+ 3 < 0 时,抛物线有最高点,函数有最大 值,∴ m<-3. 又∵ m = -5 或 1,∴ 当 m = -5 时,该函数 有最大值 . 12. 解:(1)直线 x = 1　 (1,0) (2)列表: x … -1 0 1 2 3 … y … -4 -1 0 -1 -4 … 描点、连线: (3)抛物线 y = -( x- 1) 2 与抛物线 y = -x2 形状、开口 方向完全相同,把抛物线 y = -x2 向右平移 1 个单位 得到抛物线 y = -( x-1) 2 . 13. D　 【解析】二次函数 y = - 2( x+ 3) 2 的二次项系数 a = -2<0,因此图象开口向下,故 A 错;由函数解析式 可知:二次函数的对称轴为 x = -3,故 B 错;顶点坐标 为( -3,0),故 C 错;∵ a<0,对称轴为 x = -3,∴ 当 x> -3 时,y 随 x 的增大而减小,故 D 正确 . 故选 D. 14. A 　 【解析】 二 次 函 数 y = a ( x + 1) 2 的 顶 点 坐 标 为 ( -1,0),∴ OA = OB = 1,∴ 点 B 坐 标 为 ( 0, - 1),把 (0,-1)代入 y = a( x+1) 2,得 - 1 = a,∴ y = -( x+ 1) 2, 把( -4,b)代入 y = -( x+1) 2,得 b = -9,∴ 点 C 坐标为 ( -4,-9),∴ S△ABC = S△AOC +S△BOC -S△ABO = 1 2 OA· | y c | + 1 2 OB· | x c | - 1 2 AO·BO = 1 2 × 1 × 9 + 1 2 × 1 × 4 - 1 2 × 1 ×1 = 6. 故选 A. 15. y = 1 2 ( x-2) 2 　 【解析】∵ 二次函数 y = a( x-k) 2 的图 象开口向上,∴ a>0,. ∵ 对称轴为直线 x = 2,∴ k = 2, ∴ 二次函数 y = a( x-k) 2 的解析式为 y = a( x-2) 2 . ∵ 与 y 轴的交点到原点的距离为 2,∴ 与 y 轴交于点 (0,2)或(0,-2),把点(0,2)代入得 2 = 4a,∴ a = 1 2 , 把点(0,-2)代入得 - 2 = 4a,∴ a = - 1 2 (舍去) . ∴ 解 析式为 y = 1 2 ( x-2) 2 . 16. 解:(1) ∵ 直线 y = x+1 与 x 轴交于点 A,∴ A( -1,0) . ∵ 抛物线 y = -2x2 平移后的顶点与点 A 重合,∴ 平移 后的抛物线 l 的解析式是 y = -2( x+1) 2 ; (2)抛物线 l 的对称轴为直线 x = - 1,抛物线开口向 下,故当- 1 2 <x1 <x2 ,y 随 x 的增大而减小,故 y1 >y2 . 17. 解:过 B 作 BP⊥x 轴于 P,由抛物线 y = 2( x-2) 2 得 C (2,0) ,∴ 对称轴为直线 x = 2,设 B(m,n) ,∴ CP = m- 2. ∵ AB∥x 轴, ∴ AB = 2m - 4. ∵ △ABC 是等边三角 形,∴ BC = AB = 2m - 4, ∠BCP = ∠ABC = 60°, ∴ ∠CBP = 90°-60° = 30°,∴ BC = 2PC. 根据勾股定理, 得 PB = 3 (m-2) . ∵ PB = n = 2(m- 2) 2 ,∴ 3 (m-2) = 2(m-2) 2 ,解得 m = 4+ 3 2 或 m = 2(不符合题意,舍 去) ,∴ AB = 3 ,BP = 3 2 ,∴ S△ABC = 1 2 × 3 × 3 2 = 3 3 4 . 第 3 课时 　 二次函数 y = a( x-h) 2 +k 的图象和性质 1. B　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】抛物线 y = a( x-h) 2 +k 左、右平移时,左加 右减自变量,只有常数 h 发生变化;上下平移时,上加 下减常数项,只有常数 k 发生变化 . 2. B　 3. D　 4. C　 5. C　 【解析】由题可知,抛物线的顶点为( k,k),故顶点 在直线 y = x 上 . 故选 C. 6. C　 【解析】① ∵ a = - 1 2 < 0,∴ 抛物线的开口向下,正 确;②对称轴为直线 x = - 1,错误;③顶点坐标为( - 1, 3),正确;④ ∵ x> - 1 时,y 随 x 的增大而减小,∴ x> 1 时,y 随 x 的增大而减小一定正确;综上所述,结论正 确的是①③④,共 3 个 . 故选 C. 7. > 8. 解:(1)列表: x … 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 … 描点、连线如图: —7— (2)由图象可知:当 y<0 时,x 的取值范围是 0<x<4. 9. 解:(1)由题意得 y = a( x-h) 2 +k 经过平移后,得 y = a ( x-h+2) 2 +k+ 4,∴ a = 1 2 ,2 -h = 1,k+ 4 = - 1,解得 a = 1 2 ,h = 1,k = -5; (2)由(1)得 y = a( x-h) 2 +k 的解析式为 y = 1 2 ( x- 1) 2 -5,a = 1 2 >0,则函数图象开口向上,对称轴是 x = 1,顶 点坐标是(1,-5) . 10. B　 【解析】抛物线 y = ( x-m) 2 +(m+1)的顶点坐标为 (m,m+1) . ∵ 顶点在第一象限,∴ m> 0,m+ 1 > 0,∴ m 的取值范围为 m>0. 故选 B. 11. A　 【解析】∵ y = -( x- 2) 2 + c,∴ 二次函数图象开口 向下,对称轴为直线 x = 2. ∵ | x1 - 2 | > | x2 - 2 | ,∴ 点 ( x1,y1)到对称轴 x = 2 的距离比( x2,y2)到对称轴的 距离要大,∴ y1 <y2 . 故选 A. 12. B　 【解析】①若 h<1,则在 x = 1 时,y 有最小值,所以 (1-h) 2 +1 = 5,(1-h) 2 = 4,h = -1 或 h = 3(舍) . ②若 1 ≤h≤3,则在 x = h 时,y 有最小值 . x = h,y = 1,不符合 条件 . ③若 h>3,则在 x = 3 时,y 有最小值 . (3-h) 2 +1 = 5,(3-h) 2 = 4,故 h = 1(舍)或 h = 5. 综上所述,h 为 -1 或 5. 故选 B. 13. 18　 【解析】把(0,0)代入 y = - 2 3 ( x- 3) 2 +k 得 - 2 3 × (0-3) 2 +k = 0,解得 k = 6. ∴ 抛物线解析式为 y = - 2 3 ( x-3) 2 +6,∴ B 点坐标为(3,6) . ∵ BC⊥x 轴于 C,∴ S阴影 = S矩形OCBD = 3×6 = 18. 14. 解:(1)将抛物线 y = 2x2 沿 y 轴向上平移 1 个单位长 度,再沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,得到平移后抛物 线的解析式为 y = 2(x-2) 2 +1. (2) ∵ 平移后抛物线的解析式为 y = 2( x-2) 2 +1,∴ A 点的坐标为(2,1) . 设直线 OA 的解析式为 y = kx,将 A(2,1) 代入得 k = 1 2 , ∴ 直线 OA 的解析式为 y = 1 2 x,将 x = 3 代入 y = 1 2 x,得 y = 3 2 . ∴ C 点的坐标为(3, 3 2 ) . 将 x = 3 代入 y = 2( x-2) 2 +1 得 y = 3, ∴ B 点的坐标为(3,3) . ∴ BC = 3 2 , ∴ S△ABC = 1 2 ×BC× | xC -xA | = 1 2 × 3 2 × | 3-2 | = 3 4 . 15. -1 　 【解析】 ∵ y = ( x -m) 2 -m, ∴ 抛物线开口向上,顶点坐标为 (m,-m),∴ 抛物线顶点在直线 y = -x 上 . 如图,当抛物线顶点在 y 轴 左 侧,抛 物 线 经 过 A 时,满 足题 意 . 把 ( 0,2) 代 入 y = ( x - m) 2 -m 得 2 = m2 -m,解得 m = 2(舍)或 m = -1. 16. 7 ≤ t < 11 　 【解析】 作 出 函 数 图象如图所示,由题意可得 x1 +x2 = 2,x3 +x4 = 10,-1≤x1 < 1, ∴ x1 · x2 = x1( 2 - x1 ) = -( x1 - 1) 2 + 1. ∴ - 3 ≤ x1 · x2 < 1. ∵ t = x1· x2 + x3 + x4 = x1 · x2 + 10, ∴ 7≤ t<11. 22. 1. 4　 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质 第 1 课时 　 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象和性质 1. B　 【解析】 y = x2 -4x+5 = x2 -4x+22 +1 = ( x-2) 2 +1,当 x = 2 时,二 次 函 数 y = x2 - 4x + 5 取 得 最 小 值 为 1. 故 选 B. 2. A　 【解析】∵ y = x2 - 2x+m2 + 2 = ( x- 1) 2 +(m2 + 1),∴ 顶点坐标为(1,m2 + 1) . ∵ 1 > 0,m2 + 1 > 0,∴ 顶点在第 一象限 . 故选 A. 3. C　 【解析】 x = 0 时,两个函数的函数值都为 y = b,所 以,两个函数图象与 y 轴相交于同一点,故 B、D 选项 错误;由 A、C 选项可知,抛物线开口方向向上,所以 a >0,所以一次函数 y 随 x 的增大而增大,故 A 选项错 误,C 选项正确 . 故选 C. 4. A　 【解析】∵ 抛物线过 A( - 2,0)、O(0,0)两点,∴ 抛 物线的对称轴为 x = -2+0 2 = - 1. ∵ a< 0,∴ 抛物线开口 向下,离对称轴越远,函数值越小,比较可知 C 点离对 称轴远,对应的纵坐标值小,即 y1 >y2 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【归纳总结】比较二次函数值大小的方法有:(1)代入 比较法;(2)增减性比较法;(3)根据点到对称轴的距 离比较大小:当抛物线开口向上时,点到对称轴的距离 越大,相应的函数值越大,当抛物线开口向下时,点到 对称轴的距离越大,相应的函数值越小 . 5. D　 6. B　 【解析】抛物线 y = -( x+1)( x-3)= -x2 +2x+3 = -x2 +2x-1+ 4 = -( x- 1) 2 + 4,则抛物线的顶点坐标为 ( 1, 4) . 故选 B. 7. D 8. C　 【解析】∵ 一次函数 y = ax+b( a≠0)的图象与 x 轴 的交点坐标为( -2,0),∴ -2a+b = 0,即 b = 2a,∴ 抛物 线 y = ax2 +bx 的对称轴为直线 x = - b 2a = - 2a 2a = - 1. 故 选 C. 9. B　 【解析】∵ a<0,∴ 抛物线的开口方向向下,故 C 项 错误;∵ c<0,∴ 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴 上,故 A 项错误;∵ a< 0,b> 0,对称轴为 x = - b 2a > 0,∴ 对称轴在 y 轴右侧,故 D 项错误 . 故选 B. 10. C　 【解析】∵ 抛物线开口向上,∴ a> 0. ∵ 抛物线对 称轴为直线 x = - b 2a = - 1,∴ b = 2a> 0,则 2a-b = 0,∴ ②正确;∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,∴ c< 0, ∴ abc<0,∴ ①正确;∵ x = 2 时,y> 0,∴ 4a+ 2b+ c> 0, ∴ ③错误;∵ ( -5,y1)关于直线 x = -1 的对称点的坐 —8—