22.1.1 二次函数&22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 　 　 　 　 二次函数的概念及一般式 1. (3 分)下列式子中二次函数有(　 　 ) ①y= 1-x2;②y= x(x-1); ③y= 1 x2 +1 ;④y= (x-2) 2 -x2 . A. 1 个　 　 B. 2 个　 　 C. 3 个　 　 D. 4 个 2. (3 分)(河南洛阳期中)函数 y= (m-n)x2 +mx +n 是二次函数要满足的条件是(　 　 ) A. m、n 是常数,且 m≠0 B. m、n 是常数,且 m≠n C. m、n 是常数,且 n≠0 D. m、n 可以为任何常数 3. (3 分)已知二次函数 y= 2-3x+x2,则其二次项 系数 a、一次项系数 b、常数项 c 分别为(　 　 ) A. a= 2,b= -3,c= 1 B. a= 2,b= 3,c= 1 C. a= 1,b= 3,c= 2 D. a= 1,b= -3,c= 2 实际问题中的二次函数关系式 4. 生产劳动情境·商品销售 (3 分) 某商店从厂 家以每件 21 元的价格购进一批商品,该商店 可以自行定价,若每件商品的售价为 x 元,则 可卖出(350-10x)件商品,那么销售该商品所 赚利润 y(元)与每件商品的售价 x(元)的函 数关系式为(　 　 ) A. y= -10x2 -560x+7 350 B. y= -10x2 +560x-7 350 C. y= -10x2 +350x D. y= -10x2 +350x-7 350 5. (3 分)(河南开封月考)圆的面积公式 S = πr2 中,S 与 r 之间的关系是(　 　 ) A. S 是关于 r 的正比例函数 B. S 是关于 r 的一次函数 C. S 是关于 r 的二次函数 D. 以上答案都不对 6. (3 分)在一个边长为 2 的正方形中挖去一个 边长为 x 的小正方形,如果设剩余部分的面积 为 y,那么 y 关于 x 的函数解析式是(　 　 ) A. y= x2 B. y= 4-x2 C. y= x2 -4 D. y= 4-2x 忽略二次项系数不为 0 致错 7. (3 分)若 y= (m-1)xm 2+1 是二次函数,则 m 的 值是(　 　 ) A. 1　 　 　 B. -1　 　 　 C. 1 或-1　 　 　 D. 2 8. 学科内融合 (9 分)(北京模拟改编)已知:y= y1 +y2,y1 与 x2 成正比,y2 与 x-2 成正比.当 x= 1 时,y= 1;当 x= -1 时,y= -5. 求 y 与 x 之间的 函数关系式. 9. (10 分)如图,在△ABC 中,∠B = 30°,AB+BC = 12. 设 AB= x,△ABC 的面积是 S,求 S 关于 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围. 02 22. 1. 2　 二次函数 y= ax2 的图象和性质　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 1. (3 分)(河南安阳月考)抛物线 y= 2x2 的顶点 坐标是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. (2,0) B. (1,2) C. (0,0) D. (0,2) 2. (3 分)若二次函数 y=axa 2-1 的图象开口向上, 则 a 的值为(　 　 ) A. 3 B. -3 C. 3 D. - 3 3. (3 分)若二次函数 y = ax2 的图象过点 P( -2, 4),则该图象必经过点(　 　 ) A. (2,4) B. ( -2,-4) C. ( -4,2) D. (4,-2) 4. (3 分)(河南许昌期中)关于二次函数 y = 3x2 的图象,下列说法错误的是(　 　 ) A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上,且关于 y 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与 y= -3x2 的图象关于 x 轴对称 5. (3 分)当 ab>0 时,y = ax2 与 y = ax+b 的图象 大致是(　 　 ) A B C D 6. (3 分)已知点( -1,y1),(2,y2 ),( -3,y3 )都在 函数 y= x2 的图象上,则(　 　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y1 <y3 <y2 C. y3 <y2 <y1 D. y2 <y1 <y3 应用二次函数 y=ax2 的性质求值 7. (11 分)根据下列条件分别求 a 的取值范围. (1)函数 y= (a-2) x2,当 x>0 时,y 随 x 的增 大而减小,当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大; (2)函数 y= (3a-2)x2 有最大值; (3)抛物线 y=(a+2)x2 与 y=- 1 2 x2 的形状相同; (4)函数 y=axa 2 的图象是开口向上的抛物线. 8. (3 分)(河南新乡期末)在同一坐标系中画出 y1 = 2x2,y2 = -2x2,y3 = 1 2 x2 的图象 l1,l2,l3,正确 的是(　 　 ) A B C D 9. (3 分)(河南林州月考)已知原点是抛物线 y = ( m + 1) x2 的最低点, 则 m 的取值范围 是(　 　 ) A. m<-1　 B. m<1　 C. m>-1　 D. m>-2 12 (2) ( x1 + 1 x2 ) ( x2 + 1 x1 ) = x1 x2 + 1 + 1 + 1 x1 x2 = - 1 2 + 2 + 1 ( - 1 2 ) = - 1 2 . 8. 解:设去年至今年平均每间店面房年租金的平均增长 率为 x. 依题意得,1×(1+x) 2 = 1. 21,解得 x1 = 0. 1,x2 = -2. 1(舍去) . 故去年至今年平均每间店面房年租金 的平均增长率为 10%. 9. 解:(1)设每轮传染中平均每一个人传染了 x 个人,1+ x+x( x+1) = 64,即( x+1) 2 = 64. x = 7 或 x = -9(舍去) , 即每轮传染中平均每一个人传染了 7 个人 . (2) 64 × 7 = 448 ( 个 ) , 即第三轮将又有 448 个人被 传染 . 10. 解:设每件服装应降价 x 元 . 则(40-x) (20+ x 4 ·8) = 1 200,解得 x1 = 20,x2 = 10. ∵ 要更好的让消费者得 到实惠,∴ x = 20 元,故每件服装应降价 20 元 . 追梦第二十一章章末复习 　 一元二次方程 1. B 2. B　 【解析】∵ a-1≠0 且 | a | -1 = 0,∴ a = -1. 故选 B. 3. D　 【解析】∵ m-3≠0 且 m+2≥0,∴ m≥ -2 且 m≠3. 故选 D. 4. 解:将 x = 0 代入原方程得( k+ 4) ·02 + 3·0 +k2 - 16 = 0,解得 k1 = 4,k2 = -4. ∵ k+4≠0,∴ k = 4. 5. D　 6. 解:(1)降次,得 2( t-3) = ±3( 2t-3) ,∴ 2( t-3) = 3( 2t -3)或 2( t-3) = -3(2t-3) ,∴ t1 = 3 4 ,t2 = 15 8 ; (2)系数化为 1,移项,得 x2 - 7 2 x = 2. 配方,得 x2 - 7 2 x+ ( 7 4 ) 2 = 2+( 7 4 ) 2 ,( x- 7 4 ) 2 = 81 16 ,∴ x1 = 4,x2 = - 1 2 ; (3)化简,得 3x2 +10x+5 = 0. x = -10± 102 -4×3×5 2×3 = -10±2 10 6 = -5± 10 3 , x1 = -5+ 10 3 ,x2 = -5- 10 3 ; (4)移项,得 3( x-5) 2 + 2( x- 5) = 0. 因式分解,得( x- 5) (3x-15+2) = 0,( x-5) (3x-13) = 0,x1 = 5,x2 = 13 3 . 7. C 8. A　 【解析】 b2 - 4ac = [2(m- 1)] 2 - 4m2 = - 8m+ 4. ∵ m 未知,∴ 无法确定 . 故选 A. 9. B　 【解析】∵ b2 -4ac = 32 -( -1)·4k = 9+4k≥0,∴ k≥ - 9 4 且 k≠0. 故选 B. 10. C 11. A　 【解析】由题意得( -1) 2 -3+c = 0,解得 c = 2,故原 方程中 c = 4. 则 b2 - 4ac = 9 - 4 × 1 × 4 = - 7 < 0,则原方程 的根的情况是不存在实数根 . 故选 A. 12. -2　 【解析】∵ b2 -4ac = 22 -4a×( -1)= 4+4a<0,∴ a< -1,∴ a 的最大整数值为-2. 13. 解:由题意得 x1 +x2 = 7 4 ,x1 x2 = - 3 4 , (1)原式 = x1 x2 -3x1 -3x2 + 9 = x1 x2 - 3( x1 +x2 ) + 9 = - 3 4 -3× 7 4 +9 = 3; ( 2 ) 原 式 = x2( x2 +1) +x1( x1 +1) ( x1 +1) ( x2 +1) = x22 +x2 +x 2 1 +x1 x1 x2 +x1 +x2 +1 = ( x1 +x2 ) 2 -2x1 x2 +( x1 +x2 ) x1 x2 +x1 +x2 +1 = ( 7 4 ) 2 -2×( - 3 4 ) + 7 4 - 3 4 + 7 4 +1 = 101 32 . 14. 解:(1)把 x = 1 代入(m-1) x2 -4x+2 = 0 得 m-1-4+2 = 0,解得 m = 3; (2)若方程没有实数根,则有 m - 1 ≠ 0,Δ = ( - 4) 2 - 4(m-1) ×2<0,解得 m>3. 15. A　 16. A　 【解析】设 AB = am,AD = bm,∴ 2( a+b) = 20,a+b = 10. ∵ a2 +b2 = 68,∴ a2 +(10 -a) 2 = 68,a2 - 10a+ 16 = 0,∴ (a-8) ( a- 2) = 0. ∴ a1 = 8,a2 = 2. ∵ AB>AD,∴ AB = 8m. 故选 A. 17. 解:设扩建后广场的长为 4xm,宽为 3xm,依题意得 4x·3x·100+30(4x·3x-30× 20) = 606 000. 解得 x1 = 20,x2 = -20(舍去) . 所以 4x = 80,3x = 60. 即扩建后 广场的长为 80m,宽为 60m. 第二十二章 　 二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 1. B 2. B　 【解析】根据二次函数的定义可得 m-n≠0,即 m≠ n. 故选 B. 3. D　 4. B　 5. C　 6. B 7. B　 【解析】由题可知 m-1≠0,且 m2 +1 = 2,则 m = -1. 故选 B. 8. 解:∵ y = y1 +y2 ,y1 与 x 2 成正比,y2 与 x- 2 成正比,设 y1 = k1 x 2 ,y2 = k2( x-2) . ∴ y = k1 x 2 +k2 ( x- 2) . ∵ 当 x = 1 时,y = 1;当 x = - 1 时, y = - 5. ∴ k1 -k2 = 1 k1 -3k2 = -5 { , 解得 k1 = 4 k2 = 3 { ,∴ y = 4x2 + 3( x- 2) = 4x2 + 3x- 6. 即 y 与 x 的函 数关系式是 y = 4x2 +3x-6. 9. 解:作 △ABC 的高 AD. 在 △ABD 中 . ∵ ∠ADB = 90°, ∠B = 30°,∴ AD = 1 2 AB = 1 2 x,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 (12-x) · 1 2 x = - 1 4 x2 + 3x,∴ 面积 S 关于 x 的函数解 析式为 S = - 1 4 x2 +3x(0<x<12) . —5— 22. 1. 2　 二次函数 y = ax2 的图象和性质 1. C 2. C　 【解析】根据题意,得 a > 0,a2 - 1 = 2,∴ a = 3 . 故 选 C. 3. A　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 的对称轴为 y 轴,∴ 若 图象经过点 P( - 2,4),则该图象必经过点(2,4) . 故 选 A. 4. C　 【解析】 二次函数 y = 3x2 是一条抛物线,开口向 上,对称轴为 y 轴,顶点是抛物线的最低点,它与 y = -3x2 的图象关于 x 轴对称,故 A、B、D 说法正确,C 说 法错误 . 故选 C. 5. D　 【解析】根据题意,ab>0,即 a、b 同号,当 a>0 时,b >0,y = ax2 的开口向上,过原点,y = ax+b 过一、二、三 象限;此时,没有选项符合;当 a< 0 时,b< 0,y = ax2 的 开口向下,过原点,y = ax+b 过二、三、四象限;此时,D 选项符合 . 故选 D. 6. A　 7. 解:(1)由题意得 a-2<0,解得 a<2; (2) ∵ 函数 y = (3a-2) x2 有最大值,∴ 3a-2<0,解得 a < 2 3 ; (3) ∵ 抛物线 y = (a+ 2) x2 与抛物线 y = - 1 2 x2 的形状 相同,∴ a+2 = - 1 2 或 a+2 = 1 2 ,解得 a = - 5 2 或 a = - 3 2 ; (4) ∵ 函数 y = ax a 2 图象是开口向上的抛物线, ∴ a2 = 2,a>0,∴ a = 2 . 8. D　 9. C　 【解析】∵ 原点是抛物线 y = (m+ 1) x2 的最低点, ∴ m+1>0,即 m>-1. 故选 C. 22. 1. 3 二次函数 y = a( x-h) 2 +k 的图象和性质 第 1 课时 　 二次函数 y = ax2 +k 的图象和性质 1. A　 【解析】由题知 a = - 1 2 ,则抛物线 y = - 1 2 x2 + c. ∵ 抛物线 y = - 1 2 x2 +c 的顶点是(0,2),则 c = 2. 故选 A. 2. A　 3. y = x2 +3　 4. C　 5. D 6. B　 【解析】A. 二次函数 y = -2x2 +3 中,a = - 2 < 0,此抛 物线开口向下,故本选项错误;B. 抛物线的对称轴 x = 0,∴ 当 x< -1 时函数图象在对称轴左侧,y 随 x 的增 大而增大,故本选项正确;C. 抛物线的顶点坐标为(0, 3),故本选项错误;D. 抛物线开口向下,此函数有最 大值,故本选项错误 . 故选 B. 7. D　 【解析】A. 若 y1 = y2,则 x1 = -x2;B. 若 x1 = -x2,则 y1 = y2;C. 若 0 <x1 <x2 则在对称轴的右侧,y 随 x 的增 大而增大,则 y1 <y2;D. 若 x1 <x2 < 0,则在对称轴的左 侧,y 随 x 的增大而减小,则 y1 >y2 . 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　【易错提醒】归纳总结:对于二次函数 y = ax2 +k 图象上 的两点 A( x1,y1),B( x2,y2),可依据下列规律比较函数 值的大小: | x1 | < | x2 | → y1 <y2(a>0) y1 >y2(a<0){ | x1 | = | x2 | →y1 = y2 ì î í ïï ïï . 8. B　 9. a<-3　 【解析】∵ 抛物线 y = ( a+ 3) x2 - 5 不经过第一 象限,∴ a+3<0,解得 a<-3. 10. c　 11. 解:抛物线 y = x2 向下平移 2 个单位长度后抛物线的 解析式为:y = x2 -2. 所以新抛物线的顶点 C 的坐标 是( 0, - 2 ) , 即 OC = 2, 由 y = x y = x2 -2{ 得 到 x = 2 y = 2{ 或 x = -1 y = -1{ ,则 A(2,2) ,B( -1,-1) ,∴ S△ABC = S△OAC +S△OBC = 1 2 OC | xA | + 1 2 OC | xB | = 1 2 OC· ( | xA | + | xB | ) = 1 2 × 2×3 = 3. 12. A　 【解析】根据二次函数 y = ax2 +k 关于 y 轴对称 . A ( -3,y1)的对称点为 (3,y1 ) . ∵ y2 <y3 <y1,∴ 在对称 轴右边 y 随 x 的增大而增大,∴ 抛物线的开口向上, ∴ a>0. 故选 A. 13. B　 【解析】抛物线 y = x2 -4 与 x 轴交于 B、C 两点,顶 点为 A,∴ B( -2,0),C(2,0),A(0,-4) . ∴ BC = 4,AB = AC = 22 +42 = 2 5 ,∴ △ABC 周长 = AB+BC+AC = 4 +4 5 . 故选 B. 14. y1 <y2 　 【解析】由题可知,a = - 1 2 <0,∴ 二次函数 y = - 1 2 x2 -2 的图象开口向下,且其对称轴为 y 轴,即直 线 x = 0,∴ 当 x1 <x2 <0 时,y 随 x 的增大而增大,∴ y1 <y2 . 15. 解:( 1) 设直线 l 的解析式为 y = kx+b,把 A( 3,0) ,B (0,3) 代入得 3k+b = 0 b = 3{ ,解得 k = -1 b = 3{ ,∴ 直线 l 为 y = -x+3,解方程组 y = x2 +1 y = -x+3{ ,得 C( 1,2) ,∴ S△AOC = 1 2 × 3×2 = 3; (2)顶点 D(0,1) ,∴ S△ABD = 1 2 ×(3-1) ×3 = 3. 16. 解:(1)连接 BC 交 OA 于 D. 在 y = ax2 +c 中,令 x = 0, 则 y = c, ∴ 点 A 的坐标为 ( 0, c) ,OA = c. ∵ 四边形 ABOC 是正方形,∴ BC⊥OA,OD = 1 2 OA = c 2 ,BD = CD = 1 2 BC = 1 2 OA = c 2 . ∵ 点 B,C 分别在第二、第一象 限,∴ 点 B 的坐标为( - c 2 , c 2 ) ,点 C 的坐标为( c 2 , c 2 ) ; (2)点 C( c 2 , c 2 ) 在抛物线 y = ax2 + c 上,∴ c 2 = a· ( c 2 ) 2 +c,∴ c 2 = 1 4 ac2 +c. ∵ c≠0. ∴ 1 2 = 1 4 ac+ 1,∴ ac = -2. 17. A　 【解析】 ∵ 两解析式的二次项系数相同,∴ 两抛 —6—