21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 　 　 　 　 　 　 21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系　 　 　 一元二次方程根与系数的关系 1. (3 分)若 α、β 是方程 x2 +2x-2 026 = 0 的两个 实数根,则 α·β 的值为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 2 026 B. 2 C. -2 D. -2 026 2. (3 分)在下列方程中,两个实数根互为相反数 的是(　 　 ) A. x2 -1 = 0 B. 2x2 +1 = 0 C. x2 +x= 0 D. x2 -x= 0 3. (3 分)已知一元二次方程 2x2 -5x+1 = 0 的两 个根为 x1,x2,下列结论正确的是(　 　 ) A. x1 +x2 = - 5 2 B. x1x2 = 1 C. x1,x2 都是有理数 D. x1,x2 都是正数 4. (3 分)已知方程 x2 -5x+3 = 0 的两个根分别为 x1,x2,则 x1 +x2 -x1x2 的值为(　 　 ) A. -8 B. -2 C. 8 D. 2 5. (6 分)不解方程,求下列各方程的两根之和与 两根之积. (1)x2 +3x+1 = 0; (2)3x2 -2x-1 = 0. 一元二次方程的根与系数的关系的 应用 6. (3 分)已知关于 x 的方程 x2 +x-a = 0 的一个 根为 2,则另一个根是(　 　 ) A. -3 B. -2 C. 3 D. 6 7. (3 分)(山东日照中考)如果关于 x 的一元二 次方程 x2 +px+q = 0 的两根分别为 x1 = 2,x2 = 1,那么 p,q 的值分别是(　 　 ) A. -3,2 B. 3,-2 C. 2,-3 D. 2,3 8. 学习情境·错解问题 (3 分)(湖北期中)甲、乙 两个同学分别解一道一元二次方程,甲因把 一次项系数看错了,而解得方程两根为-3 和 5,乙把常数项看错了,解得两根为+ 2 和- 3, 则原方程是(　 　 ) A. x2 +4x-15 = 0 B. x2 -4x+15 = 0 C. x2 +4x+15 = 0 D. x2 +x-15 = 0 9. (3 分)(四川眉山中考)若 α、β 是一元二次方 程 3x2+2x-9= 0 的两根,则 β α +α β 的值是(　 　 ) A. 4 27 B. - 4 27 C. -58 27 D. 58 27 10. (7 分)(河南新乡月考)是否存在 a 的值,使 方程 x2 +(a-2) x+a2 +4 = 0 的两根互为相反 数? 若有,求出 a 的值,若没有,说明原因. 01 利用一元二次方程中根与系数的关系 求值 11. (6 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -5x+ 2m= 0 有实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)当 m= 5 2 时,方程的两根分别是矩形的长 和宽,求该矩形的面积. 12. (3 分)已知实数 a,b 满足 a≠b,且 a2 -4a= b2 -4b= 2,则 a2 +b2 的值为(　 　 ) A. 16 B. 20 C. 25 D. 30 13. (3 分)关于 x 的方程 ax2 -(3a+1)x+2(a+1) = 0 有两个不相等的实数根 x1,x2,且有 x1 - x1x2 +x2 = 1-a,则 a 的值是(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 1 或-1 D. 2 14. (3 分)设 x1,x2 是方程 x2 +2x+1 = 4 的两个实 数根,则(x1 +1)(x2 +1)的值是　 　 　 　 . 15. (3 分) (河南洛阳期末)若关于 x 的一元二 次方程(m-2) x2 +3x+m2 -4 = 0 有一个根为 0,则另一个根为　 　 　 　 . 16. (3 分)(湖北荆门中考)已知关于 x 的一元二 次方程 x2+(m+3)x+m+1 = 0 的两个实数根为 x1,x2,且 x12+x22 = 4,则 m 的值为　 　 　 　 . 17. (8 分) (四川南充中考)已知关于 x 的一元 二次方程 x2 -(m-3)x-m= 0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两实根为 x1,x2,且 x1 2 +x2 2 - x1x2 = 7,求 m 的值. 18. (9 分) (河南安阳期中)已知关于 x 的一元 二次方程 x2 -(m+5)x+4(m+1)= 0. (1)求证:该一元二次方程总有两个实数根; (2)若该一元二次方程的两个实数根分别为 x1,x2,且 n= x1 +x2 -7,判断动点 P(m,n)所形 成的函数图象是否经过点 A(1,-1),并说明 理由. 11 ∵ 方程两根都是正整数,∴ m-1 = 1,或 m-1 = 2, 解得 m1 = 2,m2 = 3. ∴ 当 m 为 2 或 3 时,方程两根均 为正整数 . 14. 解:先解方程 y2 +6y-49× 1 7 = 0,得 y1 = 1,y2 = -7. ∴ 方程 49x2 +6x- 1 7 = 0 的两根是 x1 = 1 49 ,x2 = - 7 49 . 即 x1 = 1 49 ,x2 = - 1 7 . 21. 2. 3　 因式分解法 1. B　 【解析】∵ -x( x+1)= 0,∴ x+ 1 = 0 或 -x = 0,∴ x1 = -1,x2 = 0. 故选 B. 2. B　 【解析】原方程可变形为( x-b)(ax-1)= 0,解得 x1 = b,x2 = 1 a . 故选 B. 3. D　 【解析】甲错误:在上一步基础上,左边 x- 5 误写 成 x+5;乙错误:未明确 x+ 5 是否为 0,不能两边都除 以 x+5;丙错误:在上一步基础上,移项未变号;丁错 误:在上一步基础上,不能得出 x1 = x2 = 5. 故选 D. 4. 0　 【解析】∵ x2 = 3x,∴ x2 -3x = 0,∴ x( x- 3)= 0,∴ x = 0 或 x-3 = 0,∴ x1 = 0,x2 = 3. 5. 2　 【解析】设 x2 +y2 = z,原方程化为( z+1) ( z+3)= 15, 即 z2 +4z-12 = 0. 解得 z1 = 2,z2 = -6(不符合题意,舍), 所以 x2 +y2 = 2. 6. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】用因式分解法解一元二次方程时,不要急 于将方程化为一般形式,要先观察方程的特点,能提公 因式的先提公因式 . 7. 解:(1)化简,得 x2 = 36,x1 = 6,x2 = -6; (2)整理,得 2x2 + 3x- 3 = 0. x = -3± 32 -4×2×( -3) 2×2 = -3± 33 4 ,x1 = -3+ 33 4 ,x2 = -3- 33 4 ; (3)因式分解,得( x- 3) ( x- 3 + 4x) = 0,即( x- 3) ( 5x- 3) = 0,∴ x-3 = 0 或 5x-3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 3 5 . 8. C　 【解析】方程 x2 + 2x- 3 = 0 因式分解,得( x+ 3) ( x- 1)= 0,∴ x1 = - 3,x2 = 1. ∵ 2 x+3 = 1 x-a ,∴ x≠ - 3 且 x≠ a. 将 x = 1 代入得 2 1+3 = 1 1-a ,∴ a = -1. 故选 C. 9. B 10. C　 【解析】∵ k<b,解方程,得 k = -3,b = 1,∴ 函数 y = kx+b 的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限 . 故选 C. 11. C　 【解析】分解因式得:( x- 3) ( x- 4) = 0,可得 x- 3 = 0 或 x-4 = 0,解得 x = 3 或 x = 4,当 AB = 3 时,3+3 = 6,不能构成三角形,舍去;当 AB = 4 时,菱形周长为 16. 故选 C. 12. 2　 【解析】 x2 -3x+2 = 0,得 x1 = 1,x2 = 2,则(3+1+4+2 +5) ÷5 = 3, 1 5 ×[(3-3) 2 +(1-3) 2 +(4-3) 2 +(2-3) 2 + (5-3) 2] = 2. 13. ( x-2) ( x+3) 14. 解:设 x2 = a≥0,则原方程可化为 a2 -a-6 = 0,因式分 解得(a-3) (a+ 2) = 0,解得 a = 3 或 a = - 2. ∵ a≥0, ∴ a = -2 舍去,则 a = 3,∴ x2 = 3,∴ x1 = 3 ,x2 = - 3 . 15. 解:(1) x2 +5x+6 = 0,方程左边因式分解得( x+2) ( x+ 3) = 0. 所以 x+2 = 0 或 x+3 = 0. 得 x1 = -2,x2 = -3. (2) x2 -6x-7 = 0,方程左边因式分解,得( x+1) ( x-7) = 0. 所以 x+1 = 0 或 x-7 = 0. 得 x1 = -1,x2 = 7. 21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. D　 2. A　 3. D　 4. D 5. 解:(1) x1 +x2 = -3,x1 x2 = 1;(2) x1 +x2 = 2 3 ,x1 x2 = - 1 3 . 6. A　 7. A　 8. D　 9. C 10. 解:不存在 . 由题可知 x1 +x2 = 0,则 x1 +x2 = -( a- 2) = 0,则 a = 2. ∵ b2 - 4ac = ( a - 2) 2 - 4 ( a2 + 4) = 0 - 32 = -32,∴ Δ<0,则方程无实数根,所以不存在 a 的值, 使方程 x2 +(a-2) x+a2 +4 = 0 的两根互为相反数 . 11. 解:(1)由题可知 b2 - 4ac≥0,∴ ( - 5) 2 - 4 × 2m≥0,m ≤ 25 8 ; (2)把 m = 5 2 代入方程得 x2 - 5x + 5 = 0,矩形面积 = x1 x2 = 5. 12. B　 【解析】∵ a2 - 4a = b2 - 4b = 2,∴ a2 - 4a- 2 = 0,b2 - 4b-2 = 0. ∵ a≠b,∴ a、b 是方程 x2 - 4x- 2 = 0 的两个 根,∴ a+b = 4,ab = - 2,∴ a2 +b2 = ( a+b) 2 - 2ab = 16 + 4 = 20. 故选 B. 13. B　 【解析】由题意知 a≠0,Δ>0,∴ [ -(3a+ 1)] 2 - 4a ·2(a+1) >0,(a-1) 2 > 0,∴ a≠1. ∵ x1 -x1 x2 +x2 = 1 - a,∴ x1 +x2 -x1 x2 = 3a+1 a - 2(a +1) a = 1 -a,解得 a = ± 1. ∵ a≠1,∴ a = -1. 故选 B. 14. -4　 15. 3 4 16. -1 或-3　 【解析】 x21 +x 2 2 = ( x1 +x2) 2 -2x1 x2 = ( -m-3) 2 -2(m+1)= 4,∴ m1 = -1,m2 = -3. 17. (1)证明:Δ = b2 -4ac = [ -(m- 3) ] 2 - 4( -m) = m2 - 2m +9 = (m-1) 2 +8>0,∴ 方程有两个不相等的实数根; (2)解:∵ x1 + x2 = m - 3,x1 x2 = -m, ∴ x1 2 + x2 2 - x1 x2 = ( x1 +x2 ) 2 -3x1 x2 = (m-3) 2 +3m = 7,∴ m = 1 或 2. 18. (1)证明:∵ Δ = [ -(m+5) ] 2 -4×4(m+ 1) = m2 - 6m+ 9 = (m-3) 2 ≥0,∴ 该一元二次方程总有两个实数根; (2)点 P(m,n)所形成的函数图象经过点 A( 1,-1) . 理由如下:根据根与系数的关系得 x1 +x2 = m+ 5,∴ n = x1 +x2 -7 = m+5- 7 = m- 2,当 m = 1 时,n = 1 - 2 = - 1, ∴ 点 P(m,n)所形成的函数图象经过点 A(1,-1) . —3—