21.2.3 因式分解法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 21. 2. 3　 因式分解法　 　 　 　 用因式分解法解一元二次方程 1. (3 分)方程-x(x+1)= 0 的解是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x= -1 B. x1 = -1,x2 = 0 C. x= 0 D. x1 = 1,x2 = 0 2. (3 分)(河南新乡期末)关于 x 的方程 ax(x- b) +(b-x)= 0(a≠0)的根是(　 　 ) A. x1 = b,x2 =a B. x1 = b,x2 = 1 a C. x1 =a,x2 = 1 b D. x1 =a2,x2 = b2 3. 学习情境·过程性纠错 (3 分)(河北石家庄期 末)老师设计了一个游戏,用合作的方式解一 元二次方程,规则是:每人只能看到前一个人 计算的步骤,并进行下一步计算,再将结果传 递给下一个人,最后得到方程的解. 过程如 图:接力中,自己负责的一步出现错误的学生 人数是(　 　 ) 老师:(x-1)(x-5)= 7x+35 ↓ 甲:(x-1)(x+5)= 7(x+5) ↓ 乙:x-1 = 7 ↓ 丙:x= 7-1 ↓ 丁:x1 = x2 = 5 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (3 分)小华在解方程 x2 = 3x 时,只得出一个 根是 x= 3,则被他漏掉的一个根是 x= 　 　 　 . 5. 学科素养·整体思想 (3 分)已知实数 x、y 满足 (x2+y2+1)(x2+y2+3)= 15,则 x2+y2 =　 　 　 　 . 用合适的方法解一元二次方程 6. (3 分)解方程(5-x) 2 = 7( x-5),选择相对合 适的方法是(　 　 ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 7. (12 分)用恰当的方法解下列方程: (1)4x2 -144 = 0; (2)2x2 +3x= 3; (3)(x-3) 2 +4x(x-3)= 0. 忽略方程成立的条件致错 8. (3 分)若关于 x 的方程 x2 +2x-3 = 0 与 2 x+3 = 1 x-a 有一个解相同,则 a 的值为(　 　 ) A. 1 B. 1 或-3 C. -1 D. -1 或 3 9. 中考新趋势·新定义 (3 分) (河南禹州期末) 现定义运算“ ★”,对于任意实数 a,b,都有 a ★b=a2 -3a+b,如:3★5 = 32 -3×3+5. 若 x★2 = 6,则实数 x 的值是(　 　 ) A. -4 或-1 B. 4 或-1 C. 4 或-2 D. -4 或 2 8 10. 学科内融合 (3 分) (丹东中考)若实数 k、b 是一元二次方程(x+3) (x-1)= 0 的两个根, 且 k < b,则一次函数 y = kx + b 的图象不经 过(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. (3 分) (甘肃期末)菱形 ABCD 的一条对角 线长为 6,边 AB 的长是方程 x2 -7x+12 = 0 的 一个根,则菱形 ABCD 的周长为(　 　 ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 24 12. (3 分) (河南安阳期末)已知 3,a,4,b,5 这 五个数据,其中 a,b 是方程 x2 -3x+2 = 0 的两 个根,则这五个数据的方差是　 　 　 　 . 13. (3 分) (海南海口模拟)关于 x 的一元二次 方程 x2 +bx+c = 0 的两个实数根分别为 2 和 -3,则分解因式:x2 +bx+c= 　 　 　 　 . 14. 学科素养·整体思想 (7 分)(河南商丘月考) 为解方程(x2 -1) 2 -5(x2 -1) +4 = 0,我们可以 将 x2 -1 视为一个整体,然后可设 x2 -1 = y,则 (x2 -1) 2 = y2,原方程可化为 y2 -5y+4 = 0,解 得 y1 = 1,y2 = 4. 当 y= 1 时,x2 -1 = 1,则 x2 = 2,∴ x= ± 2 ; 当 y= 4 时,x2 -1 = 4,则 x2 = 5,∴ x= ± 5 . ∴ 原方程的根为: x1 = 2 ,x2 = - 2 ,x3 = 5 ,x4 = - 5 . 根据以上材料解方程:x4 -x2 -6 = 0. 15. (10 分)(辽宁期中)解方程 x2 +2x-35 = 0,我 们可以按下面的方法解答: 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 分解因式 x2 +2x-35: ①竖分二次项与常数项: x2 = x·x,-35 =(-5)×(+7) . ②交叉相乘,验中项: ⇒7x-5x= 2x. ③横向写出两因式: x2 +2x-35 =(x+7)(x-5) . 根据等式的性质可以这样求解: x2 +2x-35 = 0 方程左边因式分解得 (x+7)(x-5)= 0, 所以 x+7 = 0 或 x-5 = 0. 得 x1 = -7,x2 = 5. 试用上述方法和原理解下列方程: (1)x2 +5x+6 = 0; (2)x2 -6x-7 = 0. 9 ∵ 方程两根都是正整数,∴ m-1 = 1,或 m-1 = 2, 解得 m1 = 2,m2 = 3. ∴ 当 m 为 2 或 3 时,方程两根均 为正整数 . 14. 解:先解方程 y2 +6y-49× 1 7 = 0,得 y1 = 1,y2 = -7. ∴ 方程 49x2 +6x- 1 7 = 0 的两根是 x1 = 1 49 ,x2 = - 7 49 . 即 x1 = 1 49 ,x2 = - 1 7 . 21. 2. 3　 因式分解法 1. B　 【解析】∵ -x( x+1)= 0,∴ x+ 1 = 0 或 -x = 0,∴ x1 = -1,x2 = 0. 故选 B. 2. B　 【解析】原方程可变形为( x-b)(ax-1)= 0,解得 x1 = b,x2 = 1 a . 故选 B. 3. D　 【解析】甲错误:在上一步基础上,左边 x- 5 误写 成 x+5;乙错误:未明确 x+ 5 是否为 0,不能两边都除 以 x+5;丙错误:在上一步基础上,移项未变号;丁错 误:在上一步基础上,不能得出 x1 = x2 = 5. 故选 D. 4. 0　 【解析】∵ x2 = 3x,∴ x2 -3x = 0,∴ x( x- 3)= 0,∴ x = 0 或 x-3 = 0,∴ x1 = 0,x2 = 3. 5. 2　 【解析】设 x2 +y2 = z,原方程化为( z+1) ( z+3)= 15, 即 z2 +4z-12 = 0. 解得 z1 = 2,z2 = -6(不符合题意,舍), 所以 x2 +y2 = 2. 6. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】用因式分解法解一元二次方程时,不要急 于将方程化为一般形式,要先观察方程的特点,能提公 因式的先提公因式 . 7. 解:(1)化简,得 x2 = 36,x1 = 6,x2 = -6; (2)整理,得 2x2 + 3x- 3 = 0. x = -3± 32 -4×2×( -3) 2×2 = -3± 33 4 ,x1 = -3+ 33 4 ,x2 = -3- 33 4 ; (3)因式分解,得( x- 3) ( x- 3 + 4x) = 0,即( x- 3) ( 5x- 3) = 0,∴ x-3 = 0 或 5x-3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 3 5 . 8. C　 【解析】方程 x2 + 2x- 3 = 0 因式分解,得( x+ 3) ( x- 1)= 0,∴ x1 = - 3,x2 = 1. ∵ 2 x+3 = 1 x-a ,∴ x≠ - 3 且 x≠ a. 将 x = 1 代入得 2 1+3 = 1 1-a ,∴ a = -1. 故选 C. 9. B 10. C　 【解析】∵ k<b,解方程,得 k = -3,b = 1,∴ 函数 y = kx+b 的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限 . 故选 C. 11. C　 【解析】分解因式得:( x- 3) ( x- 4) = 0,可得 x- 3 = 0 或 x-4 = 0,解得 x = 3 或 x = 4,当 AB = 3 时,3+3 = 6,不能构成三角形,舍去;当 AB = 4 时,菱形周长为 16. 故选 C. 12. 2　 【解析】 x2 -3x+2 = 0,得 x1 = 1,x2 = 2,则(3+1+4+2 +5) ÷5 = 3, 1 5 ×[(3-3) 2 +(1-3) 2 +(4-3) 2 +(2-3) 2 + (5-3) 2] = 2. 13. ( x-2) ( x+3) 14. 解:设 x2 = a≥0,则原方程可化为 a2 -a-6 = 0,因式分 解得(a-3) (a+ 2) = 0,解得 a = 3 或 a = - 2. ∵ a≥0, ∴ a = -2 舍去,则 a = 3,∴ x2 = 3,∴ x1 = 3 ,x2 = - 3 . 15. 解:(1) x2 +5x+6 = 0,方程左边因式分解得( x+2) ( x+ 3) = 0. 所以 x+2 = 0 或 x+3 = 0. 得 x1 = -2,x2 = -3. (2) x2 -6x-7 = 0,方程左边因式分解,得( x+1) ( x-7) = 0. 所以 x+1 = 0 或 x-7 = 0. 得 x1 = -1,x2 = 7. 21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. D　 2. A　 3. D　 4. D 5. 解:(1) x1 +x2 = -3,x1 x2 = 1;(2) x1 +x2 = 2 3 ,x1 x2 = - 1 3 . 6. A　 7. A　 8. D　 9. C 10. 解:不存在 . 由题可知 x1 +x2 = 0,则 x1 +x2 = -( a- 2) = 0,则 a = 2. ∵ b2 - 4ac = ( a - 2) 2 - 4 ( a2 + 4) = 0 - 32 = -32,∴ Δ<0,则方程无实数根,所以不存在 a 的值, 使方程 x2 +(a-2) x+a2 +4 = 0 的两根互为相反数 . 11. 解:(1)由题可知 b2 - 4ac≥0,∴ ( - 5) 2 - 4 × 2m≥0,m ≤ 25 8 ; (2)把 m = 5 2 代入方程得 x2 - 5x + 5 = 0,矩形面积 = x1 x2 = 5. 12. B　 【解析】∵ a2 - 4a = b2 - 4b = 2,∴ a2 - 4a- 2 = 0,b2 - 4b-2 = 0. ∵ a≠b,∴ a、b 是方程 x2 - 4x- 2 = 0 的两个 根,∴ a+b = 4,ab = - 2,∴ a2 +b2 = ( a+b) 2 - 2ab = 16 + 4 = 20. 故选 B. 13. B　 【解析】由题意知 a≠0,Δ>0,∴ [ -(3a+ 1)] 2 - 4a ·2(a+1) >0,(a-1) 2 > 0,∴ a≠1. ∵ x1 -x1 x2 +x2 = 1 - a,∴ x1 +x2 -x1 x2 = 3a+1 a - 2(a +1) a = 1 -a,解得 a = ± 1. ∵ a≠1,∴ a = -1. 故选 B. 14. -4　 15. 3 4 16. -1 或-3　 【解析】 x21 +x 2 2 = ( x1 +x2) 2 -2x1 x2 = ( -m-3) 2 -2(m+1)= 4,∴ m1 = -1,m2 = -3. 17. (1)证明:Δ = b2 -4ac = [ -(m- 3) ] 2 - 4( -m) = m2 - 2m +9 = (m-1) 2 +8>0,∴ 方程有两个不相等的实数根; (2)解:∵ x1 + x2 = m - 3,x1 x2 = -m, ∴ x1 2 + x2 2 - x1 x2 = ( x1 +x2 ) 2 -3x1 x2 = (m-3) 2 +3m = 7,∴ m = 1 或 2. 18. (1)证明:∵ Δ = [ -(m+5) ] 2 -4×4(m+ 1) = m2 - 6m+ 9 = (m-3) 2 ≥0,∴ 该一元二次方程总有两个实数根; (2)点 P(m,n)所形成的函数图象经过点 A( 1,-1) . 理由如下:根据根与系数的关系得 x1 +x2 = m+ 5,∴ n = x1 +x2 -7 = m+5- 7 = m- 2,当 m = 1 时,n = 1 - 2 = - 1, ∴ 点 P(m,n)所形成的函数图象经过点 A(1,-1) . —3—