21.2.2 公式法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 21. 2. 2　 公式法　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一元二次方程根的判别式 1. (3 分)在方程 6x2 - 5x = - 1 中,b2 - 4ac 的值 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 B. -1 C. 49 D. -49 2. (3 分)(河南洛阳月考)求一元二次方程 5x2 + 1 2 = 6x 的根的判别式时,要确定 a,b,c 的值, 正确的是(　 　 ) A. 5, 1 2 ,6 B. 5,6, 1 2 C. 5,-6, 1 2 D. 5,-6,- 1 2 一元二次方程根的应用 3. (3 分)如果一元二次方程 2x2 +3x+m = 0 有两 个相等的实数根,那么实数m的取值为(　 　 ) A. m> 9 8 B. m> 8 9 C. m= 9 8 D. m= 8 9 4. 学科内融合 (3 分)已知关于 x 的一元二次方 程 x2 -mnx+m+n = 0,其中 m,n 在数轴上的对 应点 如 图 所 示, 则 这 个 方 程 的 根 的 情 况 是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. (3 分) (河北中考)在平面直角坐标系中,若 直线 y= -2x+a 不经过第一象限,则关于 x 的 方程 ax2 +x+2 = 0 的实根的个数是(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 6. [教材习题 13 题变式](7 分)已知关于 x 的方 程 x2 -(k+3)x+3k= 0. (1)求证:无论 k 取任何实数,该方程总有实 数根; (2)若等腰三角形的三边长分别为 a,b,c,其 中 a= 1,并且 b,c 恰好是此方程的两个实数 根,求此三角形的周长. 用公式法解一元二次方程 7. (3 分)用公式法解方程 3x2 +4 = 12x,下列代入 求根公式正确的是(　 　 ) A. x= 12± 12 2 -3×4 2 B. x= -12± 122 -3×4 2×3 C. x= 12± 12 2 +3×4 2 D. x= -( -12) ± ( -12) 2 -4×3×4 2×3 8. 学习情境·过程纠错 (3 分) (河南开封期中) 小明在解方程 x2 -4x = 2 时出现了错误,解答 过程如下: ∵ a= 1,b= -4,c= -2(第一步) ∴ b2 -4ac= ( -4) 2 -4×1×( -2)= 24(第二步) ∴ x= -4± 24 2 (第三步) 6 ∴ x1 = -2+ 6 ,x2 = -2- 6 (第四步) 小明解答过程开始出错的步骤是(　 　 ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 9. (8 分)用公式法解下列方程: (1) 3 2 x2 +4x-1 = 0; (2)6x2 -4 = 3x. 未对方程进行分类讨论导致漏解 10. (3 分)关于 x 的方程(k-1) 2x2 +(2k+1) x+1 = 0 有实数根,则 k 的取值范围是(　 　 ) A. k> 1 4 且 k≠1 B. k≥ 1 4 且 k≠1 C. k> 1 4 D. k≥ 1 4 11. (3 分)已知 x=a 是一元二次方程 x2 -x-1= 0 较 大的根,则下面对 a 的估计正确的是(　 　 ) A. 0<a<1 B. 1<a<1. 5 C. 1. 5<a<2 D. 2<a<3 12. 中考新趋势·新定义 (3 分)(河南模拟)定义 运算:a※b=2ab2-ab-1.例如:1※2=2×1×22-1× 2-1=5.则方程 1※x=-2 的根的情况为(　 　 ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 13. (10 分)(河南三门峡期中)已知关于 x 的一 元二次方程(m-1)x2 -2mx+m+1 = 0. (1)求出方程的根; (2)当 m 为何整数时,此方程的两个根都为 正整数? 14. 学科素养·阅读理解 (10 分) (北京模拟)方 程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的 根 是 x = -b± b2 -4ac 2a . 方程 y2 +by+ac = 0 的根是 y = -b± b2 -4ac 2 . 因此,要求 ax2 +bx+ c = 0( a≠ 0)的根,只要求方程 y2 +by+ac= 0 的根,再除 以 a 就可以了. 举例:解方程 72x2 +8x+ 1 6 = 0. 解:先解方程 y2 +8y+72× 1 6 = 0, 得 y1 = -2,y2 = -6. ∴ 方程 72x2 +8x+ 1 6 = 0 的两根是 x1 = - 2 72 ,x2 = - 6 72 . 即 x1 = - 1 36 ,x2 = - 1 12 . 请按照上述方法解方程 49x2 +6x- 1 7 = 0. 7 7. 解:(1)移项,得 2x2 -3x = 6. 二次项系数化为 1,得 x2 - 3 2 x = 3. 配方,得 x2 - 3 2 x+( 3 4 ) 2 = 3+( 3 4 ) 2 , ( x- 3 4 ) 2 = 57 16 . 由此可得 x- 3 4 = ± 57 4 , ∴ x1 = 3+ 57 4 ,x2 = 3- 57 4 ; (2)移项,得 2 3 x2 + 1 3 x = 2. 二次项系数化为 1,得 x2 + 1 2 x = 3. 配方,得 x2 + 1 2 x+( 1 4 ) 2 = 3+( 1 4 ) 2 , ( x+ 1 4 ) 2 = 49 16 . 由此可得 x+ 1 4 = ± 7 4 , ∴ x1 = 3 2 ,x2 = -2. 8. A　 【解析】由题意,得 P-Q = m2 -m-(m-2)= m2 -2m+ 2 = (m-1) 2 +1>0,∴ P>Q. 故选 A. 9. 解:原式 = -3( x2 -4x) -11 = -3( x2 -4x+4) -11+12 = -3 ( x-2) 2 +1,∵ - 3 ( x- 2) 2 ≤ 0,∴ - 3 ( x- 2) 2 + 1 ≤ 1,∴ -3x2 +12x-11≤1,∴ 二次三项式-3x2 +12x-11 的最大 值是 1. 10. C　 【解析】∵ 配方可得 x2 - b 2 x+( b 4 ) 2 = ( b 4 ) 2 - a 2 , ( x- b 4 ) 2 = ( b 4 ) 2 - a 2 ,∴ b 4 = 3 2 ,∴ b = 6. 故选 C. 11. D　 12. B　 【解析】∵ 1 4 m2 + 1 4 n2 = n-m-2,∴ m2 +n2 = 4n-4m -8,∴ (m2 +4m+4) +(n2 -4n+4)= 0,即(m+ 2) 2 +( n- 2) 2 = 0. ∴ m+2 = 0,n-2 = 0,解得 m = - 2,n = 2. ∴ 1 m + 1 n = - 1 2 + 1 2 = 0. 故选 B. 13. 19 或 21 或 23　 【解析】∵ x2 -8x+15 = 0,∴ x1 = 3,x2 = 5,三边为 9,9,3 时,周长 9 × 2 + 3 = 21;三边为 9,9,5 时,周长 9×2+5 = 23;三边为 5,5,9 时,周长 5×2+9 = 19;三边为 3,3,9 时,3 + 3 < 9,无法构成三角形 . 故该 等腰三角形的周长为 19 或 21 或 23. 14. 解:任务一:移项,得 x2 +2x = 35. 配方,得 x2 +2x+1 = 35+1,即( x+1) 2 = 36. 直接开平方,得 x+1 = ±6. ∴ x = -1±6, 即 x1 = 5,x2 = -7. 任务二:利用几何学解一元二次方程的不足之处是漏 解. (答案不唯一) 21. 2. 2　 公式法 1. A　 2. C 3. C　 【解析】∵ 方程有两个相等的实数根,∴ 32 - 4 × 2m = 0,解得 m = 9 8 . 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【归纳总结】一元二次方程根的情况与判别式 Δ 的关 系:①Δ>0,方程有两个不相等的实数根;②Δ = 0,方程 有两个相等的实数根;③Δ<0,方程没有实数根 . 4. A　 【解析】由数轴得 m>0,n< 0,m+n< 0,mn< 0,∴ Δ = ( -mn) 2 -4(m+n) >0,∴ 方程有两个不相等的实数根 . 故选 A. 5. D　 【解析】∵ 直线 y = - 2x+a 不经过第一象限,∴ a≤ 0,∵ ax2 +x+2 = 0,当 a = 0,方程 ax2 +x+ 2 = 0 为一元一 次方程,即 x+2 = 0,解得 x = -2,方程有一个实数根;当 a<0 时,方程 ax2 +x+ 2 = 0 为一元二次方程,∵ Δ = 1 - 8a>0,∴ 方程有 2 个实数根 . 故选 D. 6. (1)证明:∵ 关于 x 的方程 x2 -( k+ 3) x+ 3k = 0,∴ Δ = [ -( k+3) ] 2 - 12k = k2 + 6k+ 9 - 12k = k2 - 6k+ 9 = ( k- 3) 2 ≥0,则无论 k 取何实数值,方程总有实数根; (2)解:当 b = c 时,k = 3,方程为 x2 -6x+9 = 0,解得 x1 = x2 = 3,此时三边长为 1,3,3,周长为 1+3+3 = 7;当 a = b = 1 或 a = c = 1 时,把 x = 1 代入方程得:1-( k+3) +3k = 0,解得:k = 1,此时方程为:x2 -4x+3 = 0,解得:x1 = 3,x2 = 1,此时三边长为 1,1,3,不能组成三角形,综上所 述,三角形的周长为 7. 7. D　 8. C 9. 解:(1)a = 3 2 ,b = 4,c = -1. Δ = b2 -4ac = 22>0, 方程有两个不相等的实数根, x = -4± 22 2× 3 2 = -4± 22 3 , 即 x1 = -4+ 22 3 ,x2 = -4- 22 3 ; (2)方程化为 6x2 -3x-4 = 0,a = 6,b = -3,c = -4. b2 -4ac = 105>0,方程有两个不相等的实数根, x = 3± 105 2×6 = 3± 105 12 , 即 x1 = 3+ 105 12 ,x2 = 3- 105 12 . 10. D　 【解析】当 k- 1≠0,即 k≠1 时,此方程为一元二 次方程 . ∵ 关于 x 的方程( k- 1) 2 x2 +(2k+ 1) x+ 1 = 0 有实数根,∴ Δ = (2k+1) 2 -4×( k-1) 2 ×1 = 12k-3≥0, 解得 k≥ 1 4 ;当 k-1 = 0,即 k = 1 时,方程为 3x+ 1 = 0, 显然有解 . 综上,k 的取值范围是 k≥ 1 4 . 故选 D. 11. C 12. C　 【解析】根据题意得 1※x = 2x2 -x-1 = -2,整理,得 2x2 -x+1 = 0. ∵ Δ = ( - 1) 2 - 4 × 1 × 2 = - 7 < 0,∴ 方程无 实数根 . 故选 C. 13. 解:(1)根据题意,得 m-1≠0,∴ m≠1. ∵ b2 - 4ac = ( - 2m ) 2 - 4(m-1) (m+1) = 4m2 - 4(m2 -1) = 4, ∴ x = -( -2m) ± 4 2(m-1) = m±1 m-1 . ∴ x1 = m+1 m-1 (m≠1) ,x2 = m-1 m-1 = 1; (2)由(1)知,x1 = m+1 m-1 = m -1+2 m-1 = 1+ 2 m-1 . —2— ∵ 方程两根都是正整数,∴ m-1 = 1,或 m-1 = 2, 解得 m1 = 2,m2 = 3. ∴ 当 m 为 2 或 3 时,方程两根均 为正整数 . 14. 解:先解方程 y2 +6y-49× 1 7 = 0,得 y1 = 1,y2 = -7. ∴ 方程 49x2 +6x- 1 7 = 0 的两根是 x1 = 1 49 ,x2 = - 7 49 . 即 x1 = 1 49 ,x2 = - 1 7 . 21. 2. 3　 因式分解法 1. B　 【解析】∵ -x( x+1)= 0,∴ x+ 1 = 0 或 -x = 0,∴ x1 = -1,x2 = 0. 故选 B. 2. B　 【解析】原方程可变形为( x-b)(ax-1)= 0,解得 x1 = b,x2 = 1 a . 故选 B. 3. D　 【解析】甲错误:在上一步基础上,左边 x- 5 误写 成 x+5;乙错误:未明确 x+ 5 是否为 0,不能两边都除 以 x+5;丙错误:在上一步基础上,移项未变号;丁错 误:在上一步基础上,不能得出 x1 = x2 = 5. 故选 D. 4. 0　 【解析】∵ x2 = 3x,∴ x2 -3x = 0,∴ x( x- 3)= 0,∴ x = 0 或 x-3 = 0,∴ x1 = 0,x2 = 3. 5. 2　 【解析】设 x2 +y2 = z,原方程化为( z+1) ( z+3)= 15, 即 z2 +4z-12 = 0. 解得 z1 = 2,z2 = -6(不符合题意,舍), 所以 x2 +y2 = 2. 6. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】用因式分解法解一元二次方程时,不要急 于将方程化为一般形式,要先观察方程的特点,能提公 因式的先提公因式 . 7. 解:(1)化简,得 x2 = 36,x1 = 6,x2 = -6; (2)整理,得 2x2 + 3x- 3 = 0. x = -3± 32 -4×2×( -3) 2×2 = -3± 33 4 ,x1 = -3+ 33 4 ,x2 = -3- 33 4 ; (3)因式分解,得( x- 3) ( x- 3 + 4x) = 0,即( x- 3) ( 5x- 3) = 0,∴ x-3 = 0 或 5x-3 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 3 5 . 8. C　 【解析】方程 x2 + 2x- 3 = 0 因式分解,得( x+ 3) ( x- 1)= 0,∴ x1 = - 3,x2 = 1. ∵ 2 x+3 = 1 x-a ,∴ x≠ - 3 且 x≠ a. 将 x = 1 代入得 2 1+3 = 1 1-a ,∴ a = -1. 故选 C. 9. B 10. C　 【解析】∵ k<b,解方程,得 k = -3,b = 1,∴ 函数 y = kx+b 的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限 . 故选 C. 11. C　 【解析】分解因式得:( x- 3) ( x- 4) = 0,可得 x- 3 = 0 或 x-4 = 0,解得 x = 3 或 x = 4,当 AB = 3 时,3+3 = 6,不能构成三角形,舍去;当 AB = 4 时,菱形周长为 16. 故选 C. 12. 2　 【解析】 x2 -3x+2 = 0,得 x1 = 1,x2 = 2,则(3+1+4+2 +5) ÷5 = 3, 1 5 ×[(3-3) 2 +(1-3) 2 +(4-3) 2 +(2-3) 2 + (5-3) 2] = 2. 13. ( x-2) ( x+3) 14. 解:设 x2 = a≥0,则原方程可化为 a2 -a-6 = 0,因式分 解得(a-3) (a+ 2) = 0,解得 a = 3 或 a = - 2. ∵ a≥0, ∴ a = -2 舍去,则 a = 3,∴ x2 = 3,∴ x1 = 3 ,x2 = - 3 . 15. 解:(1) x2 +5x+6 = 0,方程左边因式分解得( x+2) ( x+ 3) = 0. 所以 x+2 = 0 或 x+3 = 0. 得 x1 = -2,x2 = -3. (2) x2 -6x-7 = 0,方程左边因式分解,得( x+1) ( x-7) = 0. 所以 x+1 = 0 或 x-7 = 0. 得 x1 = -1,x2 = 7. 21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 1. D　 2. A　 3. D　 4. D 5. 解:(1) x1 +x2 = -3,x1 x2 = 1;(2) x1 +x2 = 2 3 ,x1 x2 = - 1 3 . 6. A　 7. A　 8. D　 9. C 10. 解:不存在 . 由题可知 x1 +x2 = 0,则 x1 +x2 = -( a- 2) = 0,则 a = 2. ∵ b2 - 4ac = ( a - 2) 2 - 4 ( a2 + 4) = 0 - 32 = -32,∴ Δ<0,则方程无实数根,所以不存在 a 的值, 使方程 x2 +(a-2) x+a2 +4 = 0 的两根互为相反数 . 11. 解:(1)由题可知 b2 - 4ac≥0,∴ ( - 5) 2 - 4 × 2m≥0,m ≤ 25 8 ; (2)把 m = 5 2 代入方程得 x2 - 5x + 5 = 0,矩形面积 = x1 x2 = 5. 12. B　 【解析】∵ a2 - 4a = b2 - 4b = 2,∴ a2 - 4a- 2 = 0,b2 - 4b-2 = 0. ∵ a≠b,∴ a、b 是方程 x2 - 4x- 2 = 0 的两个 根,∴ a+b = 4,ab = - 2,∴ a2 +b2 = ( a+b) 2 - 2ab = 16 + 4 = 20. 故选 B. 13. B　 【解析】由题意知 a≠0,Δ>0,∴ [ -(3a+ 1)] 2 - 4a ·2(a+1) >0,(a-1) 2 > 0,∴ a≠1. ∵ x1 -x1 x2 +x2 = 1 - a,∴ x1 +x2 -x1 x2 = 3a+1 a - 2(a +1) a = 1 -a,解得 a = ± 1. ∵ a≠1,∴ a = -1. 故选 B. 14. -4　 15. 3 4 16. -1 或-3　 【解析】 x21 +x 2 2 = ( x1 +x2) 2 -2x1 x2 = ( -m-3) 2 -2(m+1)= 4,∴ m1 = -1,m2 = -3. 17. (1)证明:Δ = b2 -4ac = [ -(m- 3) ] 2 - 4( -m) = m2 - 2m +9 = (m-1) 2 +8>0,∴ 方程有两个不相等的实数根; (2)解:∵ x1 + x2 = m - 3,x1 x2 = -m, ∴ x1 2 + x2 2 - x1 x2 = ( x1 +x2 ) 2 -3x1 x2 = (m-3) 2 +3m = 7,∴ m = 1 或 2. 18. (1)证明:∵ Δ = [ -(m+5) ] 2 -4×4(m+ 1) = m2 - 6m+ 9 = (m-3) 2 ≥0,∴ 该一元二次方程总有两个实数根; (2)点 P(m,n)所形成的函数图象经过点 A( 1,-1) . 理由如下:根据根与系数的关系得 x1 +x2 = m+ 5,∴ n = x1 +x2 -7 = m+5- 7 = m- 2,当 m = 1 时,n = 1 - 2 = - 1, ∴ 点 P(m,n)所形成的函数图象经过点 A(1,-1) . —3—