1.3 勾股定理的应用-【木牍中考●名师教案】2024-2025学年八年级上册数学(北师大版2012)

3　勾股定理的应用 ◇教学目标◇ 　　1.让学生经历应用勾股定理及直角三角形的判别条件将实际问题抽象成数学问题的过程，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 2.激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决实际问题. 【教学难点】 从实际问题中合理抽象出数学模型. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图所示，游乐场有一个圆柱形的大型玩具，现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子，正好到达A点的正上方B点.已知圆柱形玩具的底面周长是12米，高AB为5米，那么梯子的长度最少是多少米？ 二、合作探究 探究点1　应用勾股定理解决立体图形表面上两点之间的最短距离问题 典例1　如图所示的圆柱，它的高是15 cm，底面周长是10 cm，圆柱的下底面A点处有一只蚂蚁，想吃到距上底面3 cm的B点处的食物，需爬行的最短距离是多少？ [解析]　圆柱侧面展开图如图所示，需爬行的最短距离是线段AB的长，AC为底面周长的一半. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝15－3＝12， 由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝52＋122＝132，所以AB＝13. 故蚂蚁需爬行的最短距离为13 cm. 　　解决有关立体图形表面上两点之间的最短距离问题，通常要把立体图形展开，从而将立体图形转化为平面图形，再利用勾股定理解决，但一定要弄清哪条路径是最短的.对于长方体物体，由于它的侧面展开的方式不同，结果也不会相同，因此需要分类讨论，然后利用勾股定理计算，从中找出最小值. 变式训练　如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为9 cm.如果用一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q，那么所用细线最短需要　　　　　cm. [答案]　15 探究点2　应用勾股定理解决方位问题 典例2　如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海.由于世界各国都加大了反走私的力度，走私集团度日如年.某日上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私船C的距离是13海里，A，B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C船12海里.若走私船C的速度不变，则其最早会在什么时间进入我国领海？ [解析]　设MN与AC相交于点E，当MN⊥CE，走私船C进入我国领海的最短路程是CE，则∠BEC＝90°. 因为AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°. 由题意，得△ABC的面积＝AB·BC＝AC·BE， 即5×12＝13·BE，解得BE＝. 在Rt△BCE中，因为CE2＋BE2＝BC2， 所以CE2＋＝122，解得CE＝. ÷13≈0.85（h）＝51（min）. 即走私船最早在10时41分进入我国领海. 探究点3　应用勾股定理解决折叠问题 典例3　如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，若将△ABC折叠使点B恰好落在斜边AC上与点B'重合，AE为折痕，则EB'＝　　　　. [解析]　根据折叠的性质，可得BE＝EB'，AB'＝AB＝3. 设BE＝EB'＝x，则EC＝4－x. 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理，得AC2＝32＋42＝52，所以AC＝5， 所以B'C＝5－3＝2. 在Rt△B'EC中，由勾股定理，得x2＋22＝（4－x）2，解得x＝1.5. 所以EB'的长为1.5. [答案]　1.5 变式训练　如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，若将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（　　） A. B. C. D. [答案]　B 三、板书设计 勾股定理的应用 1.立体图形表面上两点之间最短距离问题. 2.方位问题. 3.折叠问题. ◇教学反思◇ 　　通过本课时的学习，要求学生进一步理解并掌握勾股定理，能够利用勾股定理解决立体图形表面上两点之间最短距离问题，能够利用勾股定理解决方位与折叠问题，并在解题过程中使学生掌握转化思想，体会数学在现实生活中的应用. 1 立足安徽 精准备考 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$