24.4 弧长和扇形面积(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

圆 第二十四章 知识梳理 形成联系 【知识点】 弧长公式和扇形面积公式及应用 ◎ 在半径为 R 的圆中， n° 的圆心角所对的弧长 ，圆心角为 n° 的扇形面积 ， 半径为 R ，比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长 l 表示扇形的面积 . 1. 若扇形的圆心角为 90° ， 半径为 6 ， 则该扇形的弧长为 （ ） A. 3 2 π B. 2π C. 3π D. 6π 2. 在半径为 6 的圆中， 120° 的圆心角所对扇形的面积是 . 例题点拨 素养导向 【例】 如图 24.4-1 ， 在 ⊙O 中， AB 是直径， 点 C 是圆上一点 . 在 AB 的延长线上取一点 D ， 连接 CD ， 使 ∠BCD=∠A. 若 ∠ACD=120° ， CD=2 3 姨 ， 求图中阴影部分的面积 （结果用 含 π 的式子表示） . 【点拨】 本题的关键是求出半径， 进而根据三角形的面积公式和扇形的面积公式求解 . 夯实四基 达标闯关 1. 若扇形的半径为 3 ， 圆心角为 60° ， 则此扇形的弧长是 （ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 2. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 是 ⊙O 上一点， 连接 AC ， OC ， 若 AB＝6 ， ∠A＝30° ， 则 B B C 的长为 （ ） A. 6π B. 2π C. 3 2 π D. π 24.4 弧长和扇形面积 （第一课时） 图 24.4-1 O A B C D 第 2 题图 O A B C 107 九年级上册 （人教版）数学 3. 《九章算术》 是中国古代第一部数学专著， 卷一 《方田》 中讲述了平面几何图形面积 的计算方法， 比如扇形面积的计算， “今有宛田， 下周三十步， 径十六步， 问为田几何 . ” 大致意思为： 现有一块扇形的田， 弧长 30 步， 其所在圆的直径是 16 步， 则这块田的面积为 （ ） A. 120 平方步 B. 240 平方步 C. 32 3 π 平方步 D. 44 3 π 平方步 4. 如图， 折扇的骨柄 AB 的长为 25 cm ， 折扇张开的 ∠BAC 为 164° ， 图中 B B C 的长为 （ ） A. 205π 18 cm B. 22π cm C. 205π 9 cm D. 23π cm 5. 如图是一副制作弯形管道的示意图， 工人师傅需要先按中心线计算 “展直长度” 再施 工， 半径 OB＝30 mm ， ∠AOB＝120° ， 则这段管道 AB 的长为 mm. 6. 已知扇形的半径为 3 cm ， 圆心角为 120° ， 则扇形的面积为 cm 2 . 7. 若扇形的弧长为 π ， 半径为 3 2 ， 则它的圆心角的度数为 . 8. 一个扇形的面积是 3π cm 2 ， 它的弧长为 2π cm ， 则这个扇形的圆心 角度数为 . 9. 如图， PA ， PB 与 ⊙O 相切， 切点分别为 A ， B. PA＝3 ， ∠P＝60° ， 若 AC 为 ⊙O 的直径， 则圆中阴影部分的面积为 . 能力提升 综合拓展 10. 如图， 正方形 ABCD 的边长是 2 ， 将对角线 AC 绕点 A 顺时针旋转 ∠CAD 的度数， 点 C 旋转后的对应点为 E ， 则弧 CE 的长是 . （结果保留 π ） 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 A B C A B 120° O 30 mm 第 9 题图 第 10 题图 O A B C P A B C D E 108 圆 第二十四章 11. 如图， 将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋转 45° 至四边形 AB′C′D′ 的位置， 若 AB＝16 cm ， 则图中阴影部分的面积为 cm 2 . 12. 如图， 已知 AB 是 ⊙O 的弦， 半径 OA＝2 ， ∠AOB＝120° ， 求图中 阴影部分的面积 . 中考链接 真题演练 13. （ 2023 ·锦州） 如图， 点 A ， B ， C 在 ⊙O 上， ∠ABC＝40° ， 连接 OA ， OC. 若 ⊙O 的半径为 3 ， 则扇形 AOC （阴影部分） 的面积为 （ ） A. 2 3 π B. π C. 4 3 π D. 2π 14. （ 2023 ·十堰） 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， AC＝BC ， 点 O 在 AB 上， 以 O 为圆心， OA 为半径的半圆分别交 AC ， BC ， AB 于点 D ， E ， F ， 且点 E 是弧 DF 的中点 . （ 1 ） 求证： BC 是 ⊙O 的切线； （ 2 ） 若 CE= 2 姨 ， 求图中阴影部分的面积 （结果保留 π ） . 第 12 题图 第 13 题图 O A B 第 14 题图 O A B C A B C D E F O 第 11 题图 A C D D′ C′ B′ B 109 参 考 答 案 5. 解 ： （ 1 ） ⊙O 的内接正六边形 ABCDEF 如图 所示 . （ 2 ） 在 ⊙O 中 ， 连接 OF. ∵ 正六边形 ABCDEF 内 接于 ⊙O ， ∴A " B = B " C = C " D = D " E = E " F = A " F ， ∴∠AOF＝ 60° ， ∴∠ADF= 1 2 ∠AOF＝30°. ∵AD 为 ⊙O 的直径 ， ∴ ∠AFD＝90° ， AF= 1 2 AD=4 ， ∴DF＝4 3 姨 . 6. 解 ： （ 1 ） 90° （ 2 ） 如图 ， 过点 F 作 FH⊥AE ， H 为垂足 . ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形 ， ⊙O 的半径为 2 cm ， ∴AF＝EF＝ 2 cm ， ∠AFE ＝120° ， ∴∠FAE ＝∠FEA ＝30° ， ∴FH ＝ 1 cm ， ∴AH= AF 2 -FH 2 姨 = 3 姨 （ cm ） . ∴AE=2 3 姨 cm. ∵P 是 ED 的中点 ， ∴EP＝1 cm ， 由 （ 1 ） 知 ∠AED＝90° ， ∴AP= AE 2 +EP 2 姨 = 12+1 姨 = 13 姨 （ cm ） . 7. D 8. B 9. ４ 3 姨 ３ 24.4 弧长和扇形面积 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 l＝ n仔R 180 S 扇形 = n仔R 2 360 S= 1 2 lR 1. C 2. 12仔 【 例 】 解 ： 连接 OC ， ∵AB 是直径 ， ∴∠ACB= 90°. ∵∠ACD=120° ， ∠ACB=90° ， ∴∠A=∠BCD= 120°-90°=30° ， ∴∠BOC=2∠A=60°. ∵ 在 Rt△OCD 中 ， CD=2 3 姨 ， ∠A=30° ， ∴OC=2 ， ∴S 阴 影 ＝ S △OCD -S 扇 形 BOC = 1 2 ×2 3 姨 ×2- 60仔×2 2 360 =2 3 姨 - 2仔 3 . 1. A 2. D 3. A 4. C 5. 20仔 6. 3仔 7. 120° 8. 120° 9. 仔 2 10. 2 姨 2 仔 11. 32仔 12. 解 ： 如图 ， 作 OC⊥AB 于 点 C ， ∵OA＝OB ， ∴∠OAB＝∠OBA ， ∴∠OAB= 1 2 （ 180°-120° ） ＝30°. ∵OA＝ OB ， ∴AC ＝BC. 在 Rt △OAC 中 ， OC= 1 2 OA＝1 ， 根据勾股定理 AC= AO 2 -OC 2 姨 = 2 2 -1 2 姨 = 3 姨 ， ∴AB＝2AC＝2 3 姨 ， ∴S 阴 影 ＝S 扇 形 AOB -S △AOB = 120×仔×2 2 360 - 1 2 ×2 3 姨 ×1＝ 4 3 仔- 3 姨 . 13. D 14. （ 1 ） 证明 ： 连接 OE ， OD ， 如图 1 ， ∵∠C＝ 90° ， AC＝BC ， ∴∠OAD＝∠B＝45°. ∵OA＝OD ， ∴∠OAD＝ ∠ADO＝45° ， ∴∠AOD＝90°. ∵ 点 E 是弧 DF 的中点 . ∴ ∠DOE＝∠EOF= 1 2 ∠DOF＝45° ， ∴∠OEB＝180°-∠EOF- ∠B＝90°. ∴OE⊥BC. ∵OE 是半径 ， ∴BC 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解 ： 如图 2 ， 过点 O 作 OH⊥AC 于点 H ， ∵OE⊥BC ， OH⊥AC ， ∴∠OEC＝∠OHC=∠C＝90° ， ∴ 四 边形 OECH 为矩形 ， ∴OH＝CE= 2 姨 . ∵∠A＝45° ， ∴AH= OH＝ 2 姨 ， ∴ 在 Rt△AHO 中 ， 根据勾股定理 AO= O A B C D E F P H O F E D C B A 第 5 题答图 第 6 题答图 O A B C D 例题答图 O A B C 第 12 题答图 A B C D E F O 图 1 A B C D E F O H 图 2 第 14 题答图 73 九年级上册 （ 人教版 ）数学 AH 2 +OH 2 姨 = （ 2 姨 ） 2 + （ 2 姨 ） 2 姨 =2 ， ∴S 阴 影 ＝S Rt△OEB - S 扇形 OEF = 1 2 ×2×2- 45×仔×2 2 360 =2- 仔 2 . 24.4 弧长和扇形面积 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 仔lr 仔lr＋仔r 2 A 【 例 】 解 ： 设圆锥底面圆的半径为 r ， 母线长 为 l ， 2仔r= 180 · 仔 · l 2 ， ∴l＝2r. ∵ 在 Rt△SAO 中 ， 根据勾股定理 OA 2 +OS 2 ＝SA 2 ， ∴r 2 +10 2 ＝ （ 2r ） 2 ， r= 100 3 姨 3 ， ∴l= 200 3 姨 3 ， ∴ 圆锥的全面积 ＝仔 · r 2 + 1 2 · 2仔r · 2r＝3仔r 2 ＝3仔 · 100 3 =100仔 （ cm 2 ） . 1. D 2. D 3. A 4. 3 5. 2 3 仔 6. 5 7. 解 ： 小张的说法不正确 . 设直角三角尺三边长 分别为 BC＝a ， AC= 3 姨 a ， AB＝2a ， ∴ 甲圆锥的侧面积 S 甲 ＝仔 · BC · AB＝仔×a×2a＝2仔a 2 . 乙圆锥的侧面积 S 乙 ＝仔 · AC · AB＝仔× 3 姨 a×2a＝2 3 姨 仔a 2 ， ∴S 甲 ≠S 乙 ， ∴ 小张的 说法不正确 . 8. B 9. 10 10. 3 姨 3 11. C 12. B 第二十五章 概率初步 25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件 【 知识点 1 】 必然 不可能 必然 不可能 1. D 2. ①③⑤ 【 知识点 2 】 发生 不发生 1. A 2. 随机 【 例 】 解 ： （ 1 ） 盒中装有红球 2 个 、 黄球 8 个 ， 则 “ 摸到 3 个球都是红球 ” 是不可能事件 ； （ 2 ） 盒中装有红球 8 个 、 黄球 2 个 ， 则 “ 摸到红 球 ” 是必然事件 ； （ 3 ） 盒中装有红球 8 个 、 黄 球 2 个 ， 则 “ 摸到 2 个黄球 ” 是随机事件 ； （ 4 ） 盒中装有红球 9 个 、 黄球 1 个 ， 则 “ 摸到 2 个黄 球 ” 是不可能事件 ， 属于确定事件 . （ 答案不唯一 ） 1. D 2. 确定 3. 随机 4. 白 5. ④⑥ ①②③⑤ ⑥ ④ ① ⑤ 6. （ 1 ） 黑 （ 2 ） 放入 4 个红球 ， 2 个黑球 7. A 8. A 25.1.2 概 率 【 知识点 1 】 1. A 2. A 【 知识点 2 】 可能性 m n （ 1 ） 1 （ 2 ） 0 （ 3 ） 0＜P （ A ） ＜1 （ 4 ） １ 0 1. 1 4 2. 1 6 【 例 】 解 ： （ 1 ） 从袋中任意摸出一个球有 10 种 结果 ， 即红球 、 红球 、 红球 、 红球 、 红球 、 红球 、 黑球 、 黑球 、 黑球 、 白球 ， 这些结果出现的可能性 相等 . 其中是红球 （ 记为事件 A ） 的有 6 种结果 ， 即 从袋中任意摸出一个球为红球的概率为 P （ A ） = 6 10 ＝ 3 5 . （ 2 ） 设取走了 x 个红球 ， 根据题意 ， 得 1+x 10 ＝ 2 5 ， 解得 x＝3. 答 ： 取走了 3 个红球 . 1. C 2. D 3. 3 16 4. 0 5. （ 1 ） 1 2 （ 2 ） 1 2 （ 3 ） 0 （ 4 ） 1 6. 解 ： （ 1 ） 从盒子里摸出 1 个球有 5 种结果 ， 即 红球 、 白球 、 白球 、 黑球 、 黑球 ， 这些结果出现的可 能性相等 . 其中摸出 1 个球是红球 （ 记为事件 A ） 的结 果有 1 个 ， 即红球 ， 因此 P （ A ） = 1 5 . （ 2 ） 摸出 1 个 球不是红球 （ 记为事件 B ） 的结果有 4 个 ， 即白球 、 白球 、 黑球 、 黑球 ， 因此 P （ A ） = 4 5 . 7. 抽取 1 张卡片 ， 卡片上的数字有 7 种结果 ， 即 -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 这些结果出现的可能性相 等 . 其中抽取的卡片上的数字是负数 （ 记为事件 A ） 的 结果有 2 种 ， 即 -2 ， -1 ， 因此 P （ A ） = 2 7 . 第十次抽取 的卡片上的数字是负数的概率是 2 7 . 8. 解 ： （ 1 ） 不能 . （ 2 ） 摸到白球的概率最大 ， 摸到红球的概率最小 . （ 3 ） 拿出 1 个黄球和 2 个白 球即可 . （ 答案不唯一 ） 9. B 10. D 25.2 用列举法求概率 （ 第一课时 ） 【 例 】 解 ： （ 1 ） 已确定 A 打第一场 ， 再从其 余 3 名同学中随机选取 1 名 ， 恰好选中 B 同学的 概率是 1 3 ， 故答案为 1 3 . 74