24.2.2 直线和圆的位置关系(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

圆 第二十四章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 切线的判定 ◎ 切线的判定定理：经过半径的外端并且 于这条半径的 直线是圆的切线. 1. 如图 24.2-4 ， ⊙O 的半径 5 ， 点 P 在圆外 ， 点 A 在圆上 ， 且 PO＝13 ， PA＝12. 判断 PA 与 ⊙O 的位置关系， 并给出证明 . 2. 如图 24.2-5 ， 已知在 △OAB 中， OA＝OB＝13 ， AB＝24 ， ⊙O 的半径长为 r＝5 ， 判断直线 AB 与 ⊙O 的位置关系， 并说明理由 . 【知识点 2 】 切线的性质 ◎ 切线的性质定理：圆的切线 于过切点的半径. 如图 24.2-6 ， AB 是 ⊙O 的切线， A 为切点， 连接 OA ， OB. 若 ∠B＝35° ， 则 ∠AOB 的度数为 （ ） A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° 例题点拨 素养导向 【例】 如图 24.2-7 ， 点 O 是 △ABC 的边 AC 上一点， 以点 O 为圆心， OA 为半径作 ⊙O ， 与 BC 相切于点 E ， 交 AB 于点 D ， 连接 OE ， 连接 OD 并延长交 CB 的延长线于点 F ， ∠AOD＝∠EOD. 连接 AF ， 求证： AF 是 ⊙O 的切线 . 【点拨】 要想证明切线， 只需证明垂直即可， 根据全等直接找到等于 90° 的角， 进而推出 . 24.2.2 直线和圆的位置关系 （第二课时） 图 24.2-4 图 24.2-3 图 24.2-5 O C D O P O A B 图 24.2-6 O A B 图 24.2-7 O A B C D E F A 97 九年级上册 （人教版）数学 夯实四基 达标闯关 1. 如图， AB 是 ⊙O 的弦， BC 与 ⊙O 相切于点 B ， 连接 OA ， 若 ∠ABC＝70° ， 则 ∠A 等于 （ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 2. 如图 ， B 为 ⊙O 外一点 ， BA 与 ⊙O 相切于点 A ， OB＝10 ， ∠B＝30° ， 则 OA 长为 . 3. 如图， PA ， PB 分别与 ⊙O 相切于点 A ， B ， AC 为 ⊙O 的直径， AC＝4 ， ∠C＝60° ， 则 PA＝ . 4. 如图， A 是 ⊙O 上一点， 且 PA＝12 ， PB＝8 ， OB＝5 ， 则 PA 与 ⊙O 的位置关系是 . 5. 如图， AC 是 ⊙O 的切线， B 为切点， 连 接 OA ， OC. 若 ∠A＝30° ， AB＝2 3 姨 ， BC＝3 ， 则 OC 的长度是 . 6. 如图， AB 与 ⊙O 相切于点 B ， 连接 AO 并 延长交 ⊙O 于点 C ， 连接 BC. 若 ∠C＝25° ， 则 ∠A 的度数是 . 7. 如图， 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， 且对角线 BD 为 ⊙O 的直径， 过点 A 作 AE⊥CD ， 与 CD 的延长线交于点 E ， 且 DA 平分 ∠BDE. （ 1 ） 求证： AE 是 ⊙O 的切线； （ 2 ） 若 ⊙O 的半径为 5 ， CD＝6 ， 求 AD 的长 . 第 3 题图第 2 题图第 1 题图 第 4 题图 第 6 题图第 5 题图 A B C O O A B O A B C P O A B P O A B C O A B C O A B C D E 第 7 题图 98 圆 第二十四章 能力提升 综合拓展 8. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， PA 与 ⊙O 相切于点 A ， ∠ABC＝20° ， OC 的延长线交 PA 于 点 P ， 则 ∠P 的度数是 （ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 9. 如图， 在 ⊙O 中， A A B=C A B ， 过点 A 作 BC 的平行线交过点 C 的圆的切线于点 D ， 若 ∠ABC＝46° ， 则 ∠D 的度数是 （ ） A. 74° B. 67° C. 66° D. 60° 10. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， DE 切 ⊙O 于点 E ， BD⊥DE 于点 D ， 交 ⊙O 于点 C. 若 AB＝5 ， BC＝3 ， 则 CD＝ . 11. 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， 点 D 是 AB 上一点， 点 O 在 BC 上， 以点 O 为圆 心的圆经过 C ， D 两点， 连接 CD ， ∠A＝2∠BCD. （ 1 ） 求证： 直线 AB 为 ⊙O 的切线； （ 2 ） 若 BC=2BD ， ⊙O 的半径为 2 ， 求 BD 的长 . 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·攀枝花） 如图， AB 为 ⊙O 的直径， 如果圆上的点 D 恰使 ∠ADC＝∠B ， 求证： 直线 CD 与 ⊙O 相切 . 第 10 题图第 9 题图 O A B C D O A B C D E 第 8 题图 O A B C P 第 11 题图 第 12 题图 O A B C D O A B C D 99 九年级上册 （ 人教版 ）数学 24.2.2 直线和圆的位置关系 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 d<r d=r d>r C 【 例 】 解 ： 作 MC⊥OA 于 点 C ， 如 图 所 示 ， 则 ∠OCM ＝90° ， ∵ ∠AOB ＝ 30° ， OM =5 cm ， ∴MC = 1 2 OM＝2.5 cm ， 即圆心 M 到直线 OA 的距离 d＝ 2.5 cm ， （ 1 ） 当 r＝2 cm 时 ， d＞r ， ∴⊙M 与直线 OA 相离 . （ 2 ） 当 r＝4 cm 时 ， d＜r ， ∴⊙M 与直线 OA 相交 . （ 3 ） 当 r＝2.5 cm 时 ， d＝r ， ∴⊙M 与直线 OA 相切 . 1. A 2. C 3. 相离 4. 解 ： （ 1 ） 2.4 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 当 ⊙C 与斜边 AB 相切时 ， r＝2.4 ， ∵ ⊙C 与斜边 AB 有两个公共点 ， ∴r 的取值范围是 2.4＜r≤3. （ 3 ） ∵⊙C 与斜边 AB 有且只有一个公共点 ， ∴r 的 取值范围是 3＜r≤4 或 r＝2.4. 故答案为 3＜r≤4 或 r＝2.4. 5. D 6. 8≤AB≤10 7. 解 ： （ 1 ） 过点 O 作 OH⊥BC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴∠B ＝∠D ＝60° . ∵AB ＝10 ， ∴OB＝5 ， ∴∠BOH=30° ， ∴BH= 1 2 OB= 5 2 . 在 Rt△OBH 中 ， 根据勾股定理得 OH= BO 2 -BH 2 姨 = 5 3 姨 2 ， ∴ 圆 心 O 到 BC 的距离为 5 3 姨 2 . （ 2 ） 分别过 A ， O 两点作 AE⊥CD ， OF⊥CD ， 垂 足分别为点 E 、 点 F ， ∴AE∥OF ， OF 就是圆心 O 到 CD 的距离 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥ CD ， ∴AE＝OF. ∵ 在 Rt△ADE 中 ， ∠D＝60° ， ∠DAE= 30° ， ∴DE = 1 2 AD = m 2 ， ∴ 根 据 勾 股 定 理 得 AE = AD 2 -DE 2 姨 = 3 姨 2 m， ∴OF＝AE= 3 姨 2 m ， ∴ 圆心到 CD 的距离 OF 为 3 姨 2 m. （ 3 ） ∵OF= 3 姨 2 m ， AB 为 ⊙O 的直径 ， 且 AB＝10 ， ∴ 当 OF＝5 时 ， CD 与 ⊙O 相切于点 F ， 即 3 姨 2 m＝5 ， m= 10 3 姨 3 ， ∴ 当 m= 10 3 姨 3 时 ， CD 与 ⊙O 相切 . （ 4 ） 若 ⊙O 与线段 CD 有两个公共点 ， 则该圆和 线段 CD 相交 ， 则 5≤m< 10 3 姨 3 . 8. B 24.2.2 直线和圆的位置关系 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 垂直 1. 解 ： PA 与圆 O 相切 ， 理由如下 ： 连接 OA ， ∵OA＝5 ， PO＝13 ， PA＝12 ， ∴5 2 +12 2 ＝13 2 ， 即 OA 2 +PA 2 ＝PO 2 ， ∴△AOP 为 直 角 三 角 形 ， 即 ∠OAP＝90° ， ∴AP⊥OA ， 则 AP 为圆 O 的切线 . 2. 解 ： 直线 AB 与 ⊙O 相切 . 理由如下 ： 如 图 ， 作 OC⊥AB 于点 C ， ∵OA＝OB＝13 ， ∴AC＝ BC= 1 2 AB＝12 ， ∴OC= OA 2 -AC 2 姨 =5. ∵⊙O 的半 径为 5 ， ∴d＝r ， ∴ 直线 AB 与 ⊙O 相切 . 【 知识点 2 】 垂直 B A B M O C 例题答图 H C B A 第 4 题答图 H E F O A B C D 第 7 题答图 O P A 知识点 1-1 答图 O A B C 知识点 1-2 答图 70 参 考 答 案 【 例 】 证 明 ： 在 △AOF 和 △EOF 中 ， OA=OE ， ∠AOD=∠EOD ， OF=OF F % % % % $ % % % % & ， ∴ △AOF ≌ △EOF （ SAS ） ， ∴∠OAF＝∠OEF. ∵BC 与 ⊙O 相切 ， ∴OE⊥FC ， ∴∠OAF＝∠OEF＝90° ， 即 OA⊥AF. ∵OA 是 ⊙O 的半径 ， ∴AF 是 ⊙O 的切线 . 1. C 2. 5 3. 2 3 姨 4. 相切 5. 13 姨 6. 40° 7. （ 1 ） 证明 ： 如图 1 ， 连接 OA ， ∵OA＝OD ， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵DA 平分 ∠BDE ， ∴∠ODA＝∠ADE ， ∴ ∠ADE ＝ ∠OAD ， ∴OA ∥CE. ∵AE⊥CD ， ∴∠E =90° ， ∠OAE = 180° -90° ， ∴AE⊥OA. ∵OA 为 半 径 ， ∴AE 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解 ： 如图 2 ， 过点 O 作 OF⊥DC ， 垂足为 F ， ∴∠OFD＝90°. ∵ ∠OAE ＝ ∠E ＝90° ， ∴ 四 边 形 OAEF 是矩形 ， ∴OA＝EF＝5 ， AE＝ OF. ∵OF ⊥CD ， ∴DF = 1 2 CD ＝3 ， ∴DE＝EF-DF＝5-3＝2 ， ∴OF= OD 2 -DF 2 姨 = 5 2 -3 2 姨 =4. ∵AE＝OF＝4 ， ∴AD= AE 2 +DE 2 姨 = 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ， ∴AD 的长为 2 5 姨 . 8. C 9. B 10. 1 11. （ 1 ） 证明 ： 连接 OD ， 如图所示 . ∵ 以点 O 为圆心的圆经过 C ， D 两 点 ， ∴OC＝OD ， ∴∠ODC＝ ∠BCD ， ∴∠BOD＝∠ODC+ ∠BCD＝2∠BCD. ∵∠A＝2∠BCD ， ∴∠BOD＝∠A. 在 △ABC 中 ， ∠ACB＝90° ， ∴∠A+∠B＝90° ， ∴∠BOD+ ∠B＝90° ， ∴∠ODB＝90° ， 即 OD⊥AB. ∵OD 为 ⊙O 的半 径 ， ∴ 直线 AB 为 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 ： ∠BOD＝∠A ， ∠ODB＝ 90° ， ∴BD=x ， BC＝2x. 在 Rt△BOD 中 ， OD＝2 ， BD=x ， OB=2x-2. 由勾股定理得 OD 2 +BD 2 =OB 2 ， 即 2 2 +x 2 = （ 2x- 2 ） 2 . x= 8 3 或 x=0 （ 不合题意 ， 舍去 ） . ∴BD= 8 3 . 12. 证明 ： 如图 ， 连接 OD ， ∵OA＝OD ， ∴∠A＝∠ODA. ∵AB 为 ⊙O 的直径 ， ∴∠ADB＝90° . ∴∠A+∠B＝90° . ∵∠ADC＝∠B ， ∴∠ODA+∠ADC＝90° ， 即 ∠CDO＝ 90° ， ∴CD⊥OD. ∵OD 是 ⊙O 的半径 ， ∴ 直线 CD 与 ⊙O 相切 . 24.2.2 直线和圆的位置关系 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 切点 线段长 两条切线的夹 角 130° 3 25° 【 知识点 2 】 三角形三条角平分线 140° 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∵BA ， BC ， CD 分别与 ⊙O 相切于 A ， M ， D 三点 ， AB＝1 ， CD＝3. ∴AB＝MB＝ 1 ， CD＝CM＝3 ， ∴BC＝BM+CM＝1+3＝4. （ 2 ） 连接 OM ， ∵AB∥ DC ， ∴∠ABC+∠DCB＝180°. ∵∠DCB ＝60° ， ∴∠ABC ＝ 120° . ∵BA ， BC ， CD 分别 与 ⊙O 相切于 A ， M ， D 三 点 ， ∴OM ⊥BC ， OB 平 分 ∠ABM ， OC 平 分 ∠BCD ， ∴∠BMO=90° ， ∠OBM= 1 2 ∠ABC＝60° ， ∠OCM= 1 2 ∠DCB＝30° ， ∴∠OBM+∠OCM＝90° ， ∴∠BOC=90° ， ∴∠BOM＝∠BMO-∠OBM＝30° . ∴OB＝2MB＝2 ， ∴ 在 Rt△OBC 中 ， 根据勾股定理 OC= BC 2 -OB 2 姨 =2 3 姨 ， ∴OB＝2 ， OC＝2 3 姨 . 1. B 2. 16 3. 10 4. 52 5. 解 ： （ 1 ） 直线 PD 为 ⊙O 的切线 . 理由是 ： 如 图 ， 连接 OD ， ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠ADB＝90° ， ∴∠ADO+∠BDO＝90°. 又 ∵DO＝BO ， ∴∠BDO＝∠PBD. ∵∠PDA＝∠PBD ， ∴∠BDO＝∠PDA ， ∴∠ADO+∠PDA＝ 90° ， 即 PD⊥OD. ∵ 点 D 在 ⊙O 上 ， ∴ 直线 PD 为 ⊙O 的切线 . O A B C D E 图 1 O A B C D E F 图 2 O A B C D 第 11 题答图 O A B C D 第 12 题答图 A B C D M O 例题答图 A B P D E O 第 5 题答图 第 7 题答图 71