24.2.2 直线和圆的位置关系(第一课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

圆 第二十四章 知识梳理 形成联系 【知识点】 直线和圆的位置关系 ◎ 设⊙ O 的半径为 r ，圆心到直线 l 的距离为 d ，则有：直线 l 与⊙ O 相交 圳 ； 直线 l 与⊙ O 相切 圳 ；直线 l 与 ⊙O 相离 圳 . ⊙O 的半径为 2 ， 圆心 O 到直线 l 的距离为 4 ， 则直线 l 和 ⊙O 的位置关系是 （ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 例题点拨 素养导向 【例】 已知 ∠AOB＝30° ， M 为 OB 上一点， 且 OM＝5 cm ， 以 M 为圆心， 以 r 为半径的圆 与直线 OA 有怎样的位置关系？ 为什么？ （ 1 ） r＝2 cm. （ 2 ） r＝4 cm. （ 3 ） r＝2.5 cm. 【点拨】 根据直线和圆的位置关系进行判断， 因此需要计算圆心到直线 OA 的距离， 根 据 d 与 r 的数量关系判断即可 . 夯实四基 达标闯关 1. 已知 ⊙O 的半径等于 8 cm ， 圆心 O 到直线 l 的距离为 9 cm ， 则直线 l 与 ⊙O 的公共点 的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 2. 直线 l 与半径为 r 的 ⊙O 相交， 且点 O 到直线 l 的距离为 6 ， 则 r 的取值范围是 （ ） A. r＜6 B. r＝6 C. r＞6 D. r≥6 3. 已知点 A （ 3 ， 4 ）， 若以点 A 为圆心， 3 个单位长度为半径作圆， 则 ⊙A 与 x 轴的位置 关系为 . 24.2.2 直线和圆的位置关系 （第一课时） A B M O 图 24.2-2 95 九年级上册 （人教版）数学 4. 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， AC＝3 ， BC＝4 ， 以 C 为圆心， r 为半径作 ⊙C. （ 1 ） 若 ⊙C 与斜边 AB 相切， 则 r 的值为 ； （ 2 ） 若 ⊙C 与斜边 AB 有两个公共点， 求 r 的取值范围； （ 3 ） 若 ⊙C 与斜边 AB 有且只有一个公共点， 则 r 的取值范围是 . 能力提升 综合拓展 5. 已知平面内有 ⊙O 和点 A ， B ， 若 ⊙O 半径为 2 cm ， 线段 OA＝3 cm ， OB＝2 cm ， 则直 线 AB 与 ⊙O 的位置关系为 （ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 6. 如图， 两个同心圆， 大圆的半径为 5 ， 小圆的半径为 3 ， 若大圆的弦 AB 与小圆有公共点， 则弦 AB 的取值范围是 . 7. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB＝10 ， AD＝m ， ∠D＝60° ， 以 AB 为 直径作 ⊙O. （ 1 ） 求圆心 O 到 BC 的距离 . （ 2 ） 求圆心 O 到 CD 的距离 （用含 m 的代数式来表示） . （ 3 ） 当 m 取何值时， CD 与 ⊙O 相切 . （ 4 ） 当 m 取何值时， CD 与圆有两个交点 . 中考链接 真题演练 8. （ 2023 ·宿迁） 在同一平面内， 已知 ⊙O 的半径为 2 ， 圆心 O 到直线 l 的距离为 3 ， 点 P 为圆上的一个动点， 则点 P 到直线 l 的最大距离是 （ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 第 6 题图 A B 第 7 题图 O A B C D 96 九年级上册 （ 人教版 ）数学 24.2.2 直线和圆的位置关系 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 d<r d=r d>r C 【 例 】 解 ： 作 MC⊥OA 于 点 C ， 如 图 所 示 ， 则 ∠OCM ＝90° ， ∵ ∠AOB ＝ 30° ， OM =5 cm ， ∴MC = 1 2 OM＝2.5 cm ， 即圆心 M 到直线 OA 的距离 d＝ 2.5 cm ， （ 1 ） 当 r＝2 cm 时 ， d＞r ， ∴⊙M 与直线 OA 相离 . （ 2 ） 当 r＝4 cm 时 ， d＜r ， ∴⊙M 与直线 OA 相交 . （ 3 ） 当 r＝2.5 cm 时 ， d＝r ， ∴⊙M 与直线 OA 相切 . 1. A 2. C 3. 相离 4. 解 ： （ 1 ） 2.4 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 当 ⊙C 与斜边 AB 相切时 ， r＝2.4 ， ∵ ⊙C 与斜边 AB 有两个公共点 ， ∴r 的取值范围是 2.4＜r≤3. （ 3 ） ∵⊙C 与斜边 AB 有且只有一个公共点 ， ∴r 的 取值范围是 3＜r≤4 或 r＝2.4. 故答案为 3＜r≤4 或 r＝2.4. 5. D 6. 8≤AB≤10 7. 解 ： （ 1 ） 过点 O 作 OH⊥BC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴∠B ＝∠D ＝60° . ∵AB ＝10 ， ∴OB＝5 ， ∴∠BOH=30° ， ∴BH= 1 2 OB= 5 2 . 在 Rt△OBH 中 ， 根据勾股定理得 OH= BO 2 -BH 2 姨 = 5 3 姨 2 ， ∴ 圆 心 O 到 BC 的距离为 5 3 姨 2 . （ 2 ） 分别过 A ， O 两点作 AE⊥CD ， OF⊥CD ， 垂 足分别为点 E 、 点 F ， ∴AE∥OF ， OF 就是圆心 O 到 CD 的距离 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB∥ CD ， ∴AE＝OF. ∵ 在 Rt△ADE 中 ， ∠D＝60° ， ∠DAE= 30° ， ∴DE = 1 2 AD = m 2 ， ∴ 根 据 勾 股 定 理 得 AE = AD 2 -DE 2 姨 = 3 姨 2 m， ∴OF＝AE= 3 姨 2 m ， ∴ 圆心到 CD 的距离 OF 为 3 姨 2 m. （ 3 ） ∵OF= 3 姨 2 m ， AB 为 ⊙O 的直径 ， 且 AB＝10 ， ∴ 当 OF＝5 时 ， CD 与 ⊙O 相切于点 F ， 即 3 姨 2 m＝5 ， m= 10 3 姨 3 ， ∴ 当 m= 10 3 姨 3 时 ， CD 与 ⊙O 相切 . （ 4 ） 若 ⊙O 与线段 CD 有两个公共点 ， 则该圆和 线段 CD 相交 ， 则 5≤m< 10 3 姨 3 . 8. B 24.2.2 直线和圆的位置关系 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 垂直 1. 解 ： PA 与圆 O 相切 ， 理由如下 ： 连接 OA ， ∵OA＝5 ， PO＝13 ， PA＝12 ， ∴5 2 +12 2 ＝13 2 ， 即 OA 2 +PA 2 ＝PO 2 ， ∴△AOP 为 直 角 三 角 形 ， 即 ∠OAP＝90° ， ∴AP⊥OA ， 则 AP 为圆 O 的切线 . 2. 解 ： 直线 AB 与 ⊙O 相切 . 理由如下 ： 如 图 ， 作 OC⊥AB 于点 C ， ∵OA＝OB＝13 ， ∴AC＝ BC= 1 2 AB＝12 ， ∴OC= OA 2 -AC 2 姨 =5. ∵⊙O 的半 径为 5 ， ∴d＝r ， ∴ 直线 AB 与 ⊙O 相切 . 【 知识点 2 】 垂直 B A B M O C 例题答图 H C B A 第 4 题答图 H E F O A B C D 第 7 题答图 O P A 知识点 1-1 答图 O A B C 知识点 1-2 答图 70